与广义范·哈梅型超同余相关的一些超同余的q-模拟
$q$-Analogues of some supercongruences related to generalized Van Hamme-type supercongruences
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中文总结 AI 辅助
本文采用q-望远镜技术建立含q移位阶乘的超同余，给出Jana与Kalita所得两类超同余的q-模拟，拓展了广义范·哈梅型超同余的相关研究。
中文摘要 AI 辅助
近来，Jana和Kalita（《数论研究》第8卷，2022年，第54篇）受广义范·哈梅型超同余启发，得到了某些超同余：对于整数ℓ≥2和满足p≡-1 mod ℓ的奇素数p，有∑（n=0到(p^v +1)/ℓ）(-1)^n(2ℓn -1)(ℓ²n² - ℓn +1)·(-1/ℓ)_n³/(1)_n³ ≡ (-1)^((p^v + p +2)/ℓ) p^(3v) mod p^(3v+1)，以及∑（n=0到(p^v +1)/ℓ）(2ℓn -1)(2ℓ²n² -2ℓn +1)·(-1/ℓ)_n⁴/(1)_n⁴ ≡ -p^(4v) mod p^(4v+1)。本文采用与q-WZ方法类似的q-望远镜技术，建立了若干涉及特定q移位阶乘的超同余，作为特例给出上述超同余的q-模拟。
英文摘要
Recently, Jana and Kalita (Res. Number Theory $\textbf{8}~ (2022),$ Article $54$) obtained certain supercongruences motivated by some generalized Van Hamme type supercongruences, specifically for an integer $\ell \geq 2$ and an odd prime $p$ with $p \equiv -1 \pmod{\ell},$ \begin{align*} \displaystyle \sum_{n=0}^{\frac{p^v + 1}{\ell}} (-1)^n (2 \ell n - 1) (\ell^2 n^2 - \ell n + 1) \frac{(-\frac{1}{\ell})_n^3}{(1)_n^3} \equiv (-1)^{\frac{p^v + p + 2}{\ell}} p^{3v} \pmod{p^{3v+1}}, \end{align*} and \begin{align*} \displaystyle \sum_{n=0}^{\frac{p^v + 1}{\ell}} (2 \ell n - 1) (2 \ell^2 n^2 - 2 \ell n + 1) \frac{(-\frac{1}{\ell})_n^4}{(1)_n^4} \equiv - p^{4v} \pmod{p^{4v+1}}. \end{align*} Employing the $q$-telescoping technique, similar to the $q$-WZ method, we here establish some supercongruences involving certain $q$-shifted factorials. As particular cases, we provide $q$-analogues of the above supercongruences.
发表机构
- National Institute of Technology Silchar（锡尔哈尔国家技术学院）
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