Refined asymptotics of the Riemann-Siegel theta function
针对$t\to+\infty$检验Riemann-Siegel θ函数$\vartheta(t)$。$\log\,\g(z)$的精细渐近展开的使用表明，$\vartheta(t)$的展开包含一个无穷序列的越来越次显性的指数项，每个乘以一个渐近级数涉及$πt$的逆幂。数值例子给出检测和确认这些指数的前三个的存在。
2020-04-08 math.CA
On the double zeros of a partial theta function
级数$θ(q,x):=\sum _{j=0}^{\infty}q^{j(j+1)/2}x^j$收敛于$q\in [0,1)$、$x\in \mathbb{R}$，并定义了{ \em部分θ函数}。对于任何固定的$q\in (0,1)$，它有无穷多个负零。对于取{ \em谱}值$\tilde{q}_1$、$\tilde{q}_2$、$\ldots$（其中$0.3092493386\ldots =\tilde{q}_1<\tilde{q}_2<\cdots <1$、$\lim _{j\rightarrow \infty}\tilde{q}_j=1$）之一的$q$，函数$θ(q,.)$有一个双零$y_j$，它是它的最右边的实零点（其余的是简单的）。对于$q\neq \tilde{q}_j$，部分θ函数没有多个实零点。我们证明了$\tilde{q}_j=1-π/2j+(\log j)/8j^2+O(1/j^2)$和$y_j=-e^πe^{-(\log j)/4j+O(1/j)}$ .
2015-04-22 math.CA
Asymptotics of generalized partial theta functions with a Dirichlet character
本文证明了具有非主Dirichlet特征标的广义偏θ函数的渐近展开式，并将这些渐近展开式与某些$L$ -级数联系起来.
2020-08-10 math.CA math.NT
Expansions of Theta Functions and Applications
我们证明了经典的θ函数$θ_4$可以表示为$$ θ_4(v,τ) = θ_4(0,τ) \exp[- \sum_{p\geq 1} \sum_{k\geq 0} \frac {1}{p} \bigg(\frac {\sin πv}{(\sin (k+{1/2})πτ)}\bigg)^{2p}].$$。我们得到了其他三个θ函数的类似展开式，因为它们是相关的。这些结果有几个后果。特别地，将导出Weierstrass椭圆函数的展开式。模群的作用和其他算术性质也将被考虑。最后，利用Rogers-Ramanujan连分数的一个新表达式，给出了Rogers恒等式的一个简单证明. { \it关键词和短语}：θ函数，椭圆函数，q-级数，傅里叶级数，连分数
2006-05-04 math.CA math.NT
Addendum: A separation in modulus property of the zeros of a partial theta function
我们考虑部分θ函数$θ(q,z):=\sum _{j=0}^{\infty}q^{j(j+1)/2}z^j$，其中$z\in \mathbb{C}$是变量，$q\in \mathbb{C}$，$0<|q|<1$是参数。设置$D(a):=\{ q\in \mathbb{C}$、PDMATHBMR、$\arg (q)\in [π/2,3π/2]\}$。我们表明，对于$k\in \mathbb{N}$和$q\in D(0.55)$，在开放环$|q|^{-k+1/2}<z<|q|^{-k-1/2}$（如果$k\geq 2$）或穿孔盘$0<z<|q|^{-3/2}$（如果$k=1$）中恰好存在一个$θ(q,.)$的零（这是一个简单的零）。对于$k=1$、$4$、$5$、$6$、$\ldots$，这也适用于$q\in D(0.6)$。
2018-12-06 math.CA
On the Theta semigroup
在本文中，我们考虑一个半群的三角展开，将被称为θ半群，因为它的核是第三Jacobi θ函数的倍数。研究了该半群的性质，证明了它是正扩散半群。我们还得到了它的从属半群是经典Poisson半群。也被认为是更高的维度和周期性超分布的扩展。
2012-02-26 math.CA
Some analytic properties of the partial theta function
Université Côte d’Azur（蔚蓝海岸大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）
本文研究了拉马努金部分θ函数零点集的性质，证明了对于q∈(0,1)，存在实轴上Re x=-a(a≥5)使得所有实零点在其左侧，复零点在其右侧，且对于q∈(0,1)实零点不小于-6，q∈(-1,0)负零点不小于-2.4且正零点不大于2.4。
2026-04-07 math.CA
Stabilization of the asymptotic expansions of the zeros of a partial theta function
二元序列$θ(q,x):=\sum _{j=0}^{\infty}q^{j(j+1)/2}x^j$定义了一个{ \em部分θ函数}。对于固定的$q$（$|q|<1$），$θ(q,.)$是一个完整的函数。证明了$θ$零点的$q$中Laurent级数系数的稳定性。这些系列的形式为$-q^{-j}+(-1)^jq^{j(j-1)/2}(1+\sum _{k=1}^{\infty}g_{j,k}q^k)$。稳定级数的系数用正整数$r_k$表示，给出分成三种不同类型部分的分区数。它们满足递推关系$r_k=\sum _{ν=1}^{\infty}(-1)^{ν-1}(2ν+1)r_{k-ν(ν+1)/2}$。设置$(H_{m,j})~:~(\sum _{k=0}^{\infty}r_kq^k) (1-q^{j+1}+q^{2j+3}-\cdots +(-1)^{m-1}q^{(m-1)j+m(m-1)/2})= \sum _{k=0}^{\infty}\tilde{r}_{k;m,j}q^k$。然后，对于$k\leq (m+2j)(m+1)/2-1-j$和$j\geq (2m-1+\sqrt{8m^2+1})/2$，有$g_{j,k}=\tilde{r}_{k;m,j}$。
2015-10-09 math.CA
On the zero set of the partial theta function
我们考虑部分θ函数$θ(q,x):=\sum _{j=0}^{\infty}q^{j(j+1)/2}x^j$，其中$q\in (-1,0)\cup (0,1)$和$x\in \mathbb{R}$或$x\in \mathbb{C}$。我们证明，对于$x\in \mathbb{R}$，在每一个两种情况下$q\in (-1,0)$和$q\in (0,1)$，它的零集由可数许多光滑曲线在$(q,x)$平面，其中每一个（与一个曲线为$q\in (-1,0)$）有一个单一的点与平行于$x$轴的切线。这些点定义了函数$θ(q,.)$的双零点;它们的$x$ -坐标属于$q\in (0,1)$的区间$[-38.83\ldots ,-e^{1.4}=4.05\ldots )$和$q\in (-1,0)$的区间$(-13.29,23.65)$。对于$q\in (0,1)$，由双零点产生的无穷多个复共轭零点对穿过虚轴，然后保留在半圆盘$\{ |x|<18$，Re\，$x>0\}$中。对于$q\in (-1,0)$，复共轭对不与虚轴相交。
2018-07-04 math.CA
Hardy-Petrovitch-Hutchinson's problem and partial theta function
在1907年M.彼得罗维奇发起了研究一类整个职能所有的有限部分是真正的根源多项式。一个明确的描述这一类的一系列的系数是不可能的，因为它是由一个无限数量的判别不等式，每一个度。然而，有趣的必要或充分条件可以公式化。特别地，J. I. Hutchinson已经证明了整函数p（x）=a_0+a_1x+.+ a_nx^n+.具有严格正系数的有限线段a_ix^i+.+ a_jx^j有所有实根当且仅当对所有i= 1，2，.其中a_1 ^2/ a_{i-1} a_{i+1}大于或等于4。在本文中，我们给出了M. Petrovitch所考虑的类的比率a_i^2/ a_{i-1} a_{i+1}的精确下界。特别是，我们表明，这些最小值的限制，当i趋于无穷大等于反的最大正值的参数，其中经典的部分θ函数属于Laguerre-Polya类。
2011-06-30 math.CA
On a partial theta function and its spectrum
二元序列$θ(q,x):=\sum _{j=0}^{\infty}q^{j(j+1)/2}x^j$ %（其中$(q,x)\in {\bf C}^2$，$|q|<1$）定义了{ \em部分θ函数}。对于固定的$q$（$|q|<1$），$θ(q,.)$是一个完整的函数。对于$q\in (-1,0)$，函数$θ(q,.)$有无穷多个负实零点和无穷多个正实零点。存在趋向于$-1^+$的$q$的值的序列$\{ \bar{q}_j\}$，使得$θ(\bar{q}_k,.)$具有双实零$\bar{y}_k$（其实零的其余部分是简单的）。对于$k$奇数（分别为对于$k$偶数）$θ(\bar{q}_k,.)$在$\bar{y}_k$处具有局部最小值，并且$\bar{y}_k$是$θ(\bar{q}_k,.)$的最右边的实负零点（分别地，$θ(\bar{q}_k,.)$在$\bar{y}_k$处具有局部最大值，并且对于$k$，足够大的$\bar{y}_k$是从$θ(\bar{q}_k,.)$的实负零的左边起的第二个）。对于足够大的$k$，有$-1<\bar{q}_{k+1}<\bar{q}_k<0$。一种是$\bar{q}_k=1-(π/8k)+o(1/k)$和$|\bar{y}_k|\rightarrow e^{π/2}=4.810477382\ldots$。
2015-04-22 math.CA
A property of a partial theta function
The series $θ(q,x):=\sum _{j=0}^{\infty}q^{j(j+1)/2}x^j$ converges for $|q|<1$ and defines a { \em partial theta function }. For any fixed $q\in (0,1)$ it has infinitely many negative zeros. It is known that for $q$ taking one of the { \em spectral} values $\tilde{q}_1$ , $\tilde{q}_2$ , $\ldots$ (where $0.3092493386\ldots =\tilde{q}_1<\tilde{q}_2<\cdots <1$ , $\lim _{j\rightarrow \infty}\tilde{q}_j=1$ ) the function $θ(q,.)$ has a double zero which is the rightmost of its real zeros (the rest of them being simple). For $q\neq \tilde{q}_j$ the partial theta function has no multiple real zeros.…
2015-04-07 math.CA
On the location of the complex conjugate zeros of the partial theta function
Université Côte d’Azur, CNRS, LJAD（蔚蓝海岸大学，法国国家科学研究中心，拉格朗日分析几何实验室）
本文证明了对于任意$q\in(0,1)$，部分theta函数$\theta(q,x)$的所有非负实部的复共轭零点对位于半环$\{$Re$(x)\geq 0,~1<|x|<5\}$中，且外半径不能小于$e^{\pi/2}=4.810477382\ldots$；当$q\in(0,0.2^{1/4}=0.6687403050\ldots]$时，$\theta(q,\cdot)$没有非负实部的零点，而负实部的复共轭零点对位于以原点为中心、半径为49.8的左开半圆盘内。
2025-01-27 math.CA
Where not to find the spectrum of the partial theta function
Université de Carthage（迦太基大学）；Université Côte d’Azur（蔚蓝海岸大学）
本文研究了 Ramanujan 部分 theta 函数 $θ(q,x)$ 的谱，证明了在扇形区域 $\mathbb{S}$ 和圆盘 $\mathbb{D}_{c_0}$ 的并集中没有谱值，并确定了 $\mathbb{S}\cup \mathbb{D}_{0.31}$ 中唯一的谱值。
2026-05-28 math.CA
A separation in modulus property of the zeros of a partial theta function
我们考虑部分θ函数$θ(q,z):=\sum _{j=0}^{\infty}q^{j(j+1)/2}z^j$，其中$z\in \mathbb{C}$是变量，$q\in \mathbb{C}$，$0<|q|<1$是参数。设置$α_0~:=~\sqrt{3}/2π~=~0.2756644477\ldots$。我们表明，对于$n\geq 5$，$|q|\leq 1-1/(α_0n)$和$k\geq n$存在一个唯一的零$ξ_k$的$θ(q,.)$满足不等式$|q|^{-k+1/2}<|ξ_k|<|q|^{-k-1/2}$，所有这些零是简单的。其余$n-1$零的模数为$\leq |q|^{-n+1/2}$。$q$的{ \em谱值}是$θ(q,.)$具有多个零的值。证明了$θ$具有双零点$-5.963\ldots \pm i\, 6.104\ldots$的谱值$0.4353184958\ldots \pm i\, 0.1230440086\ldots$的存在性。
2017-04-06 math.CA math.CV
Two properties of the partial theta function
研究部分theta函数的零点集连通性及在不同参数范围下的实零点分布特性。
2019-11-20 math.CA
The leading root of the partial theta function
我研究了部分θ函数Θ_0（x，y）= \sum_{n=0}^\ infty x^n y^{n（n-1）/2}的主根x_0（y），将其视为形式的幂级数。证明了-x_0（y）的所有系数都是严格正的。实际上，我证明了更强的结果：常数项1之后的所有系数-1/x_0（y）都是严格负的，常数项1之后的所有系数1/x_0（y）^2都是严格负的，除了y^3的零系数。
2012-02-06 math-ph math.CA math.CO
On the vanishing of coefficients of the powers of a theta function
一个结果的伽罗瓦理论的$q$ -差分方程\cite{JSTALPAEN}导致以下问题：如果$q \in \Cs$，$\lmod q \rmod < 1$，如果一个集$\thq(z) := \sum\limits_{m \in \Z} q^{m(m-1)/2} z^m$，可以一些系数的洛朗级数展开的$θ_q^k(z)$，$k \in \N^*$，消失？我们给出了部分答案。
2020-07-31 math.CA math.DS
On the growth of Artin--Tits monoids and the partial theta function
本文给出了一个确定齐次Garside幺半群关于原子生成集的增长函数的新方法。特别是，我们提出了一个公式的增长函数的每个Artin-山雀幺半群的球形类型（因此，每个辫子幺半群）相对于标准的发电机，作为一个非常简单的矩阵的行列式的逆。使用这种方法，我们表明，指数增长率的Artin-山雀幺半群的类型$A_n$（积极的辫子幺半群）趋于$3.233636\ldots$作为$n$趋于无穷大。这个数字是众所周知的，因为它是唯一的解决方案$x_0(y)=-(1+y+2y^2+4y^3+9y^4+\cdots)$的经典部分θ函数的系数的增长率。我们还描述了序列$1,1,2,4,9,\ldots$形成的系数的$-x_0(y)$，通过显示，其$k$ th项（系数的$y^k$）是等于辫子的长度$k$的数量，在正辫幺半群$A_{\infty}$上的无限数量的股，其最大的字典的代表开始于第一个生成元$a_1$。这是部分θ函数和辫子理论之间的意外联系。
2018-08-09 math.CA math.CO math.CV
Theta functions and transformations of bilateral basic hypergeometric series
School of Mathematics and Statistics, The Center for Applied Mathematics of Guangxi, Guangxi Normal University（广西师范大学数学与统计学院，广西应用数学中心）
本文通过theta函数和双侧基本超几何级数建立新变换公式，构造伴生q级数，证明McIntosh关于q级数渐近变换的猜想，并扩展了Ramanujan和McIntosh的一些恒等式。
2026-05-14 math.CA math.CO math.NT
Complete Monotonicity of classical theta functions and applications
我们生成Jacobi θ函数\\ $θ_j(u,τ), j=1,2,3,4$ \的三角展开式，其中$θ_j(u,τ), j=1,2,3,4$。这使我们能够证明\ $\log \frac{θ_j(u, t)}{θ_j(0, t)}, j=2,3,4$和$\log \frac{θ_1(u, t)}{πθ'_1(0, t)}$以及作为$t$的函数的$\frac{\frac{δθ_j}{δu}}{θ_j}$是完全单调的。我们也有兴趣在代理$S_j(u,v,t) = \frac{θ_j(u/2,iπt)}{θ_j(u/2,iπt)}$。对于固定的$u,v$使得$0\leq u < v < 1$，我们证明了$j=1,4$的函数$\frac{(\fracδ{δt}S_j)}{S_j}$以及$j=2,3$的函数$-\frac{(\fracδ{δt}S_j)}{S_j}$对于$t \in ]0,\infty[$是完全单调的.θ函数，椭圆函数，完全单调性。
2014-09-04 math.CA math.CV
Non-canonical extension of theta-functions and modular integrability of theta-constants
这是arXiv：math/0601371和arXiv：0808.3486的扩展（因子2.5）版本。我们提出了新的结果，在理论上的经典$θ$ -功能的Jacobi：级数展开和定义常微分方程（\odes）。所提出的动力系统原来是哈密尔顿和定义的基本微分性质的θ函数，他们也产生一个指数二次扩展的规范$θ$系列。这些\odes \的可积性条件解释了模$\vartheta$常数的出现及其微分性质。给出了所有\odes \的通解。为了完整性，我们还解决了维尔斯特拉斯椭圆模反演问题，并考虑其后果。作为一个非平凡的应用，我们提出的技术适用于第六Painlevé方程的Hitchin情况。
2013-12-18 math-ph math.CA math.HO
Complex spectrum of the partial theta function
Stockholm University（斯德哥尔摩大学）
研究部分theta函数Θ(q,x)的复谱，证明单位圆上每点都是谱的聚点，并在固定子盘内通过截断-牛顿过程计算离散谱值，结合径向约定进行数值单值性实验。
2026-05-29 math.CA math.CV
Elliptic Hypergeometric Summations by Taylor Series Expansion and Interpolation
利用椭圆泰勒级数的展开和插值方法，导出了椭圆超几何级数的一些求和式。我们扩展到良好的平衡椭圆形的情况下，在$q$的情况下，以前已经获得了库珀和伊斯梅尔和斯坦顿的结果。我们还提供了涉及S的恒等式。Bhargava的三次θ函数。
2016-04-19 math.CA math.CO math.QA
On minima of difference of theta functions and application to hexagonal crystallization
令$z=x+iy \in \mathbb{H}:=\{z= x+ i y\in\mathbb{C}: y>0\}$和$ θ(α;z)=\sum_{(m,n)\in\mathbb{Z}^2 } e^{-α\frac{π}{y }|mz+n|^2}$是与晶格$L ={\mathbb Z}\oplus z{\mathbb Z}$相关联的θ函数。本文考虑两个θ函数\begin{equation}\aligned\nonumber \min_{ \mathbb{H} } \Big(θ(α; z)-βθ(2α; z)\Big) \endaligned\end{equation}之差的极小化问题，其中$α\geq 1$和$ β\in (-\infty, +\infty)$ .我们证明了存在一个临界值$β_c=\sqrt2$（独立于$α$），使得如果$β\leqβ_c$，极小是$\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2}$（直到平移和旋转）对应于六角晶格，如果$β>β_c$，极小不存在。我们的结果部分地回答了\cite{Bet2016, Bet2018, Bet2020, Bet2019AMP}中提出的一些问题，并在汤川势作用下的六方晶格晶化中给出了一个新的证明。
2022-03-01 math-ph math.CA math.MP
