Partial theta function identities from Wang and Ma's conjecture
最近，Wang和Ma提出了一个与Andrews-Warnaar恒等式的可能推广相关的猜想。这在本文中得到了证实。作为这个猜想的应用，我们证明了一个级数族可以用部分θ函数表示，并构造了一些新的部分θ函数恒等式.
2019-09-25 math.CO
On Andrews--Warnaar's identities of partial theta functions
本文建立了部分θ函数的二元表示，它不仅统一了Andrews和Warnaar等人关于部分θ函数的一些著名恒等式，而且揭示了这类恒等式的一个新特征。作为进一步的应用，我们通过部分θ函数的幂级数展开建立了Warnaar恒等式的一般形式和与Bailey对相关的一般$q$ --级数变换.
2017-09-21 math.CO
Hankel determinants of backward shifts of the coefficients of a partial theta function
本文研究与部分theta函数系数后向移位的Hankel行列式相关的多项式，并在附录中给出该函数倒数的系数的简单公式。
2024-07-24 math.CO
A partial theta function Borwein conjecture
我们提出了一个无限族的Borwein型$+ - - $结构。猜想中的表达式与多重基本超几何级数有关，其自变量为Macdonald多项式.
2019-11-14 math.CO math.NT
The Combinatorics of the Leading Root of the Partial Theta Function
本文通过有根树与堆叠多联骨牌或Ferrers图的组合解释，给出了部分Theta函数首根系数的显式组合意义，并推导了其渐近公式。
2026-09-30 math-ph math.CO math.MP
Partial theta functions. I. Beyond the lost notebook
它表明有多少部分θ函数身份在拉马努金的笔记本电脑丢失可以推广到无限的家庭这样的身份。我们构造的关键是Bailey引理和Jacobi三重积恒等式的一个新推广。通过计算我们的身份的极点周围的残留物，我们发现了一个令人惊讶的连接之间的部分θ函数身份和Garret-Ismail-Stanton型扩展的多和罗杰斯-拉马努金身份。
2001-05-01 math.CO math.QA
Parameterized partial theta identities and a unified $q$-difference proof
College of Mathematical Science, Tianjin Normal University（天津师范大学数学科学学院）
本文通过 Andrews 变换的双参数特化，以 $q$-差分递推和边界估计统一证明了 Ramanujan 部分 theta 恒等式的五族整数参数扩展，并应用于 Lovejoy 残差恒等式，构造共轭 Bailey 对。
2026-09-09 math.CO math.NT
Demazure Flags, Chebyshev polynomials, Partial and Mock theta functions
我们研究了$\frak{sl}_2[t]$的一个级别$\ell$ --Demazure模块的级别$m$--Demazure标志。我们定义了生成序列$A_n^{\ell \rightarrow m}(x,q)$，它编码$q$ --权$n$的水平$m$ Demazure模块的多重性。我们建立了这些函数的两个递归公式。我们证明了$q=1$的特殊化是一个包含切比雪夫多项式的有理函数。我们给出了$A_n^{\ell \rightarrow \ell+1}(x,q)$的一个封闭形式，并证明了它是由一个有理函数给出的。在$m=\ell+1$和$\ell=1,2$的情况下，我们将生成级数与部分θ级数联系起来。我们还研究了$A_n^{1\rightarrow 3}(q^k,q)$的专门化，并将它们与Ramanujan的五阶模拟θ函数联系起来。
2015-02-18 math.CO math.RT
On the growth of Artin--Tits monoids and the partial theta function
本文给出了一个确定齐次Garside幺半群关于原子生成集的增长函数的新方法。特别是，我们提出了一个公式的增长函数的每个Artin-山雀幺半群的球形类型（因此，每个辫子幺半群）相对于标准的发电机，作为一个非常简单的矩阵的行列式的逆。使用这种方法，我们表明，指数增长率的Artin-山雀幺半群的类型$A_n$（积极的辫子幺半群）趋于$3.233636\ldots$作为$n$趋于无穷大。这个数字是众所周知的，因为它是唯一的解决方案$x_0(y)=-(1+y+2y^2+4y^3+9y^4+\cdots)$的经典部分θ函数的系数的增长率。我们还描述了序列$1,1,2,4,9,\ldots$形成的系数的$-x_0(y)$，通过显示，其$k$ th项（系数的$y^k$）是等于辫子的长度$k$的数量，在正辫幺半群$A_{\infty}$上的无限数量的股，其最大的字典的代表开始于第一个生成元$a_1$。这是部分θ函数和辫子理论之间的意外联系。
2018-08-09 math.CA math.CO math.CV
Jacobi's triple product, mock theta functions, unimodal sequences and the $q$-bracket
在拉马努金给哈代的最后一封信中，他列举了一种奇怪的新无穷级数的例子，他称之为“模拟θ函数“。事实证明，所有这些例子本质上都是戈登-麦金托什的所谓通用模拟θ函数$g_3(z,q)$的特殊化。在这里，我们表明，$g_3$自然产生的经典Jacobi三重积的倒数-并密切联系到单峰序列，这是连接到模拟模块化和量子模形式的秩生成函数-在一个操作相关的统计物理和分区理论，$q$ -括号布洛赫Okounkov的行动。其次，我们发现$g_3(z,q)$在$q$中推广到整个复平面减去单位圆，并给出了这个泛拟θ函数在单位根处的一个有限公式，与文献中的其他公式相比，它是简单的;我们还指出了其他$q$ -超几何级数的类似公式。最后，我们看看有趣的“量子”行为的模拟θ函数内，外，和单位圆。
2017-12-27 math-ph math.CO math.MP
Negative-index $u$-deformed homogeneous functions and Ramanujan partial theta functions
研究复阶 \(u\)-变形齐次函数，建立其解析和代数性质，证明负指数部分与拉马努金偏theta函数的关系及逆变换，推导 \(q\)-差分方程，还得出该理论在柯西和斯蒂尔杰斯 - 维格特型区域的特殊形式。
2026-07-23 math.CO
False and partial Eisenstein series related to unimodal sequences
University of Cologne（科隆大学）；University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学）
本文研究了与单峰序列相关的虚假和部分埃西森级数，证明了其张成空间在微分下封闭，并推导了单峰秩生成函数对数的递推公式。
2026-01-27 math.CO math.NT
On the Integrality of n-th Roots of Generating Functions
基于E_8格的θ级数的第8次根和Leech格的θ级数的第24次根都具有整数系数的发现，我们研究了R中任意元素f（其中R = 1 + xZ[[x]]）何时可以写成f = g^n，其中g在R中，n >= 2.设P_n：= {g^n：g in R}，设mu_n：= n Product_{p|n} p.我们证明了（i）对f in R，f in P_n <=> fmod mu_n in P_n，（ii）若f in P_n，则P_n中存在系数为mod mu_n/n的唯一g，使得f == g^n（mod mu_n）.特别地，如果f == 1（mod mu_n），则f在P_n中.后一个断言意味着R^n中的任何极值偶幺模格（例如R^8中的E_8）的θ级数在P_n中，如果n的形式为2^i3^j5^k（i ≥ 3）。虽然我们证明了长度为2^m的r阶Reed-Muller码的重量计数器在P_{2^r}中，但似乎没有任何精确的码的类似物。我们给出了一些其它的结果和定理，并建立了Paul D. Hanna证明了P_n（n！= 1）中存在唯一的元素f 2)其中系数被限制为集合{1，2，...，n}。
2006-04-08 math.CO math.NT
A Framework for Modular Properties of False Theta Functions
假θ函数与普通的θ函数非常相似，但是它们不具有θ函数所具有的模变换性质。在本文中，我们找到了假θ函数的模补，其中除其他事项外，它提供了一个有效的方法来计算其障碍的模块化。这对于出现错误和部分theta系列的各种情况具有潜在的应用。为了证明这种推导的实用性，我们讨论了它在两种情况下使用的细节。首先，我们通过圆方法得到了单峰序列个数的一个收敛的Rademacher型精确公式，并推广了以前关于单峰序列的渐近性质的工作。其次，我们证明了如何从本文提出的伪θ函数的模完备化直接重新导出伪θ函数极限的量子模性质。
2019-04-10 hep-th math.CO math.NT
Unimodal sequences and mixed false theta functions
本文研究单峰序列生成函数的Hecke-Appell型展开的两参数推广，确定其涉及混合假theta函数的显式表示，并恢复经典偏theta函数恒等式。
2025-04-14 math.CO math.NT
Generalizations of the Andrews-Yee identities associated with the mock theta functions $ω(q)$ and $ν(q)$
George Andrews和Ae Ja Yee最近建立了涉及三阶模拟θ函数$ω(q)$和$ν(q)$的二元推广的漂亮结果，从而扩展了他们与第二作者的早期结果。正如Li和Yang在他们最近的工作中指出的那样，将Andrews-Yee恒等式推广到这些模拟θ函数的三元推广仍然是一个谜。我们部分地解决了这个问题，推广了这些恒等式。几个新的，以及众所周知的结果。例如，我们的两个主要定理之一，作为一个推论，一个特殊的情况下，宋仪康的三变量互易定理。利用第二定理的一个特例，得到了一个新的限制过配分函数$p^{*}(n)$与加权配分函数$p_*(n)$之间的关系.
2021-01-28 math.CO math.NT
Valuative independence and cluster theta reciprocity
Hollins University（霍金斯大学）；University of Oklahoma（俄克拉荷马大学）
本文证明了从正散射图构造的theta函数满足估值独立性，即对于某些估值val_v，有val_v(∑c_uθ_u)=min_{c_u≠0}val_v(θ_u)。作为应用，我们证明了带有特定系数的theta函数的线性独立性，并刻画了当解冻一个索引时簇变种的theta函数保持不变的条件。这为标记表面局部系统模的theta函数提供了通用的粘合结果。我们还证明了簇变种的theta函数满足称为theta互易性的对称性性质：简而言之，val_v(θ_u)=val_u(θ_v)。为此，我们利用了名为“种子数据”的新框架来理解簇型变种。可以将估值独立性和theta互易性结合使用，以确定全局截面线包上簇变种的部分紧致化上的theta函数基。
2026-05-21 math.AC math.AG math.CO
