Free Boundary Minimal surfaces in the Euclidean Three-Ball close to the boundary
在欧氏空间中，构造了嵌入单位球的自由边界极小曲面（FBMS），这些曲面是紧的，任意靠近边界单位球，亏格为零，且它们的边界具有任意多个连通边界分支.该结构采用PDE胶合方法，表面是多个悬链环和两个平板的联合体的去奇异化。悬链环和圆盘的边界的并集是包含在单位球面中的大量有限数量的平行圆的并集，每个平行圆包含在恰好两个悬链环和圆盘的边界中。
2021-11-22 math.DG
Minimal surfaces with the area growth of two planes; the case of infinite symmetry
本文证明了具有无穷对称群的欧氏空间中与半径为R的球的交小于2 \piR^2的连通真浸入极小曲面是平面、悬链面或Scherk单周期极小曲面。特别地，我们证明了一对相交平面的唯一周期极小去奇异化是Scherk的单周期极小曲面。
2005-01-08 math.CV math.DG
Equivariant min-max theory
我们发展了一个等变极大极小理论，并证明了它可以产生$\mathbb{S}^3$中的许多已知极小曲面，直到亏格和对称群.我们还产生了几个新的无穷族极小曲面的$\mathbb{S}^3$提出的S-R-Rubinstein。这些例子是$\mathbb{S}^3$中的定常积分变分的doubleization和desingularizations。
2016-12-27 math.AP math.DG
Scherk Saddle Towers of Genus Two in $\R^3$
1996年M. Traizet获得了单周期的极小曲面与Scherk结束任意属desingularizing一组垂直平面在其交叉点。然而，在Traizet的工作中，不允许三个或更多个平面在同一条线上相交。在本文中，我们称之为通过{ \it鞍塔}将这种“禁止”平面去奇异化为嵌入的单周期极小曲面。我们给出了明确的例子亏格2，并讨论了一些进展，关于这个问题。此外，我们的例子是第一个包含{ \it高斯测地线}，并为第一次，我们证明了嵌入的表面CSSCFF和CSSCCC从卡拉汉-霍夫曼-米克斯-Wohlgemuth。
2009-06-08 math.DG
Geometry of branched minimal surfaces of finite index
在给定$I,B\in\mathbb{N}\cup \{0\}$的条件下，研究了Morse指数至多为$I$，全分支阶至多为$B$的$\mathbb{R}^3$中完全分枝极小曲面$M$的存在性和几何. Fischer-Colbrie和Ros在以前的工作中解释了这类曲面是$\mathbb{R}^3$中具有有限全曲率和有限全分支阶的完全极小曲面。除其他事项外，我们得出这样的$M$的尺度不变的弱弦弧型的结果与估计，在$I$和$B$。为了得到这些特殊曲面的一些主要结果，我们得到了$n$维黎曼流形$X$的$m$维子流形$Σ$的面积公式的一般内禀单调性，其中这些面积估计依赖于$X$的几何和$Σ$的平均曲率向量长度的上界.我们还描述了一个完整的家庭，分支极小曲面在$\mathbb{R}^3$是稳定的和不可定向的，这些例子推广了经典的Henneberg极小曲面。
2022-11-08 math.DG
Min-max free boundary minimal surface with genus at least one
本文利用亏格为$g\geq 1$和$m\geq 1$理想边界分支的曲面的扫掠，建立了极小曲面的极大极小理论.我们表明，可以实现的面积泛函的宽度由分支属$g$自由边界极小曲面与节点组成的气泡树极限，并可能有许多分支极小球和自由边界极小磁盘。
2022-03-12 math.DG
On The Existence of Min-Max Minimal Surface of Genus $g\geq 2$
本文利用亏格$g\geq 2$的曲面的扫掠，建立了极小曲面的极小极大理论。我们发展了一种直接的变分方法，类似于著名的Plateau问题的证明。雷达其结果是，我们表明，面积泛函的最小-最大值可以实现由分支属- $g$极小曲面与节点组成的气泡树极限，并可能是许多分支极小球。我们还证明了一个类似于经典山路引理的Colding-Minicozzi型强收敛定理。我们的结果扩展了由Colding-Minicozzi和作者开发的极小极大理论到所有的属。
2015-10-08 math.DG
On the connected components of the moduli space of equivariant minimal surfaces in $\mathbb{CH}^2$
$\mathbb{CH}^n$中的等变极小曲面是庞加莱圆盘到$\mathbb{CH}^n$的极小映射，它交织了闭曲面$\mathbb{CH}^n$的基本群的两个作用：圆盘上的Fuchsian表示和$\mathbb{CH}^n$上的等距不可约作用。这些的模空间可以通过将其与对应于映射的共形曲面上的$PU(n,1)$ -Higgs丛的每个模空间中的幂零锥联系起来来研究。通过给出幂零锥上点光滑的必要条件，证明了远离分支极小浸入或$\pm$ -全纯浸入的模空间是光滑的。这个论点很容易被修改，以表明对于$\mathbb{RH}^n$，（无分支的）浸入的整个空间是平滑的。对于$\mathbb{CH}^2$，我们证明了极小浸入的模空间的连通分量是由浸入的法丛的Toledo不变量和Euler数所索引的.这是通过研究幂零锥上的$\mathbb{C}^\times$ -作用的极限点来实现的。证明了极限点$t\to 0$只导致分支极小浸入或$\pm$ -全纯浸入.特别地，法丛的欧拉数只能通过分支极小映射跳跃。
2021-07-08 math.DG
The Adjunction Inequality for Weyl-Harmonic Maps
本文研究了具有Weyl联络$(M^4,c,D)$的共形流形中极小曲面的一种类似形式-Weyl极小曲面。我们证明了无重扭量空间中的非垂直$\mathcal{J}$ -全纯曲线与分支Weyl-极小曲面之间存在Eells-Salamon型对应.当$(M,c,J)$是共形几乎厄米特的时，存在一个典型的Weyl联络。证明了对于规范Weyl联络，分支Weyl-极小曲面满足附加不等式\begin{equation}\label{adj} χ(T_fΣ)+χ(N_fΣ) \le \pm c_1(f^*T^{(1,0)}M). \end{equation}. $\pm J$ -全纯曲线自动是Weyl-极小的，并满足相应的等式.
2020-02-21 math.DG
Regularity of branched stable minimal immersed hypersurfaces
Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（北京国际数学研究中心）；Mathematisches Institut Universität Freiburg（弗赖堡大学数学研究所）
该研究建立了分支稳定极小浸入超曲面非分支奇异集的Hausdorff维数精确界，构造了达到该界的例子，并以广义Schoen不等式和分支分层定理为核心证明工具，推进了极小曲面正则性理论的研究。
2026-09-02 math.AP math.DG
A parabolic minimal surface in R3 intersects every nonflat properly embedded minimal surface of bounded curvature
我们证明了一个非常数的共形调和映射$\mathbb C\to \mathbb R^3$的像不一定是真的，也可能有分支点，它与$\mathbb R^3$中每一个适当嵌入的有界曲率的非平坦极小曲面相交。如果$\mathbb C$被任意不含非常数有界下调和函数的开共形曲面所取代，则同样成立.
2022-07-05 math.DG
Minimal Surfaces with Stratified Branching Sets
Stanford University（斯坦福大学）；University of Cambridge（剑桥大学）
本文基于Taubes-Wu构造，利用对称性构建具有分层分支集的极小曲面，通过三种方法产生极小子流形，其分支集具有非平凡更深的层结构，且在不同空间中应用不同的函数空间和正则性理论。
2026-03-28 math.AP math.DG
Generalized Henneberg stable minimal surfaces
在$\mathbb{R}^3$中，我们推广了经典的Henneberg极小曲面，给出了一个完备的、无分支的、不可定向的、稳定的极小曲面的无限族.这些曲面可以根据一个正整数（称为复杂度）分为子族，它本质上是衡量分支点的数量。经典的Henneberg曲面$H_1$被刻画为最简单复杂度$m=1$的子族中的唯一例子，而对于$m\geq 2$给出了多参数族.具有给定复杂度$m\in \mathbb{N}$的最对称示例$H_m$的等距群要么同构于二面角等距群$D_{2m+2}$（如果$m$是奇数），要么同构于$D_{m+1}\times \mathbb{Z}_2$（如果$m$是偶数）。此外，对于$m$，偶数$H_m$是$m+1$尖点内摆线的Björling问题的唯一解（如果$m$是偶数），而对于$m$奇数，$H_m$的共轭极小曲面$H_m^*$是$2m+2$尖点内摆线的Björling问题的唯一解。
2022-07-27 math.DG
Biharmonic rotational surfaces in the four-dimensional Euclidean space are minimal
Chiba University（千叶大学）
本文证明四维欧氏空间中任何双调和简单旋转曲面都是极小曲面，通过将双调和方程转化为普通微分方程组并排除非极小分支，部分验证了陈猜想。
2026-05-15 math.DG
On bifurcation and local rigidity of triply periodic minimal surfaces in $\mathbb R^3$
我们使用分歧理论，以确定在$\mathbb R^3$的三重周期极小曲面的无限多个新的例子的存在性。这些新的例子形成从H-族、rPD-族、TP-族和TD-族发出的分支，这些分支收敛到族的一些退化嵌入。对于非退化三重周期极小曲面，利用等变隐函数定理证明了一个扰动结果。
2014-11-24 math.DG
A frequency function and singular set bounds for branched minimal immersions
We show that any 2-valued C^{1, α} (α \in (0, 1)) function u = { u_{1} , u_{2} } on an open ball B in { \mathbb R}^{n} with values u_{1} , u_{2} \in { \mathbb R}^{k} whose graph, viewed as a varifold with multiplicity 2 at points where u_{1} = u_{2} and with multiplicity 1 at points where u_{1} , u_{2} are distinct, is stationary in the cylinder B \times { \mathbb R}^{k} must be a C^{1, 1/2} function, and the set of its branch points, if non-empty, must have Hausdorff dimension (n-2) and locally positive (n-2)-dimensional Hausdorff measure. The C^{1, 1/2} regularity is optimal.
2010-12-22 math.AP math.DG
Branch points of area-minimizing projective planes
黎曼流形$M^n$中的极小曲面是面积稳定的曲面：面积的第一变分为零。本文主要研究实射影平面$\R P^2$的拓扑型曲面。我们证明了一个极小曲面$f:\R P^2\to M^3$，它具有最小的面积，在这些映射是不同伦的常数映射，是一个浸入。即，$f$没有分支点。作为处理极小曲面的类型的射影平面的一个主要步骤，我们扩展的基本定理的分支浸入到不可定向的情况下。我们还解决了柯朗在1950年提出的一个关于分支线方向的问题。
2013-08-27 math.AP math.DG
Rigidity of minimal Lagrangian diffeomorphisms between spherical cone surfaces
本文证明具有锥奇点的闭球面之间的极小拉格朗日微分同胚必为等距映射，并将Liebmann刚性定理推广到常正高斯曲率闭曲面的分支浸入情形。
2022-03-07 math.DG math.GT
On branched minimal immersions of surfaces by first eigenfunctions
Montiel和Ros证明了对于紧致曲面上的每一个共形结构，至多存在一个度量，该度量允许第一特征函数最小浸入到某个单位球面中。我们将这个定理推广到具有圆锥奇点的度量的设置，这些圆锥奇点是由分支极小浸入第一本征函数到球面中引起的。我们的主要动机是这样一个事实，即度量实现最大值的第一个非零拉普拉斯特征值是由最小分支浸入到球体。特别是，我们表明，从$\mathbb{S}^2$诱导的这些指标的属性显着不同的属性从$\mathbb{S}^m$与$m>2$诱导。这一功能似乎是新颖的，需要考虑到现有的证明的第一个非零特征值的拉普拉斯算子的$2$ -环面和克莱因瓶的尖锐的上界。在本论文中，我们解决这个问题，并给出了详细的概述，这些上界的完整证明的工作Nadirashvili，雅各布森Nadirashvili-Polterovich，萨尔瓦多苏菲Giacomini-Jazar，Nadirashvili，陛下和Petrides。
2018-09-21 math.DG math.SP
The branch set of minimal disks in metric spaces
研究了满足二次等周不等式的度量空间中Plateau问题解的支集结构。在我们的第一个结果中，我们给出了等周常数任意接近欧几里得等周常数$(4π)^{-1}$的空间的例子，其解具有大的分支集。这补充了最近的结果Lytchak-温格和Stadler指出，分别，任何空间与欧几里德等周常数是一个猫（$0$）空间和解决方案高原的问题在猫（$0$）空间只有孤立的分支点。我们还表明，任何平面细胞样集可以出现作为一个解决方案的高原问题的分支集。这些结果回答了Lytchak和Wenger提出的两个问题。此外，我们还研究了度量圆盘的能量最小化参数化的几个相关问题：当这样的映射是拟对称的，当它的分支集是空的，当它是唯一的共形仿射。
2021-12-17 math.CV math.DG math.MG
The Deformation of Lagrangian Minimal Surfaces in Kahler-Einstein Surfaces
设$(N,g_{0})$是第一Chern类为负的Kahler-Einstein曲面，并假设存在关于度量$g_{0}$的分支Lagrangian极小曲面.我们证明了当Kahler-Einstein度规在同一分量中发生变化时（即复结构发生变化），拉格朗日极小曲面会发生相应的变形.为了得到这个结果，我们首先得到了完备黎曼$n$ -流形中分支极小曲面的变形定理，推广了J. Chen和G.关于附加数的极限。
1998-12-14 math.DG math.SG
Flowing maps to minimal surfaces
我们引入了一个流的映射从一个紧凑的曲面的任意亏格的任意黎曼流形的调和映射流和中曲率流的共同元素，但更有效地找到极小曲面。在亏格为0的情况下，我们的流就是调和映射流，它试图寻找Sacks-Uhlenbeck和Struwe等中的分支极小2-球面。在亏格为1的情况下，我们证明了我们的流与Ding-Li-Lui所考虑的流是完全等价的。在一般情况下，我们恢复了Schoen-Yau和Sacks-Uhlenbeck的结果，即一个不可压缩映射可以通过对$π_1$的相同作用调整到一个分支极小浸入，并且这个极小浸入在$π_2=0$的情况下与原映射同伦.
2016-05-17 math.AP math.DG
Flowing maps to minimal surfaces: Existence and uniqueness of solutions
我们研究了在[11]中引入的新的几何流，该几何流以这样一种方式演化一对映射和（域）度量，即它将适当的初始数据改变为分支最小浸入。在本文中，我们集中在解的存在性理论以及唯一性问题。我们建立了一个（弱）的解决方案存在，只要度量保持在一个有界区域的模空间，即只要流不崩溃的闭测地线在域流形的一个点。进一步证明了该解在所有能量不增的弱解类中是唯一的。本文的工作补充了Topping和作者的论文[11]，在论文中引入了流，并讨论了流到分支极小浸入的渐近收敛。
2012-05-31 math.AP math.DG
Some properties of simple minimal knots
最小纽结是$\mathbb{R}^4$ $\mathbb{C}^2 $中拓扑嵌入的分支最小圆盘与以分支点为中心的小球体的交点。当在$\mathbb{C}^2$中嵌入圆盘的每个坐标分量中的最低阶项足以确定纽结类型时，我们讨论一个简单的极小纽结。这样一个结由三个整数$N < p,q$给出;用$K(N,p,q)$表示，它可以在圆柱体中参数化为$e^{iθ}\mapsto (e^{Niθ},\sin qθ,\cos pθ)$。从这个表达式中可以得到$K(N,p,q)$作为$N$辫子的自然表示。本文给出了它的扭数即交叉点的符号数的计算公式，并导出了它的拓扑推论。我们还表明，如果$q$和$p$不是互质的，$K(N,p,q)$是周期的。简单极小纽结是环面纽结的推广。
2012-12-11 math.DG math.GT
The structure of minimal surfaces in CAT(0) spaces
我们证明了CAT（0）空间中的极小圆盘是远离“分支点”的有限集的局部嵌入。在此基础上，我们建立了极小曲面的几个基本性质：面积密度的单调性、密度界、极限定理和切映射的存在性。作为应用，我们证明了Fary-Milnor定理在CAT（0）情形下的存在性.
2018-08-20 math.DG math.MG
Index Estimates for CMC and Minimal Surfaces with Capillary Boundary
本文研究具有毛细边界的CMC曲面的指数，证明其受亏格、边界组件数和分支阶数及Willmore型能量的线性限制。主要辅助定理比较了分支共形映射边界的面积和能量二阶变分。
2026-03-19 math.AP math.DG
Fine properties of branch point singularities: Two-valued harmonic functions
在20世纪80年代，Almgren发展了一个理论的多值Dirichlet能量极小化功能$n$维域和使用它，在一个重要的方式，以约束的豪斯多夫维数的奇异集面积极小化整流电流的尺寸$n$和余维$\geq 2$。第二作者最近的工作表明，$n$维域上的二值$C^{1, μ}$调和函数是Dirichlet能量的典型非极小化驻点，在研究$n$维稳定余维1可整流电流的重2分支点中起着重要作用.在所有这些情况下（多值调和函数和最小电流），它是已知的分支集的豪斯多夫维数$\leq n-2.$在本文中，我们开始研究的局部结构的分支集。证明了二值Dirichlet能量极小化函数或二值$C^{1, μ}$调和函数在其定义域的每个闭球上的分支集要么为空，要么具有正的$(n-2)$ -维Hausdorff测度，并且等于有限个局部紧的局部$(n-2)$ -可求长集的并.我们的方法受到L.西蒙关于紧的重数为1的类中的极小子流形的奇点的结构。
2013-11-04 math.AP math.DG
Branched immersions and braids
4-流形M中实2-曲面S的分支点推广了复曲面中复曲线的分支点：例如，它们可以作为极小曲面的奇点出现。当S拓扑嵌入M时，我们研究了这样一个分支点p.它定义了一个链接L（p），其组件是具有相同轴的闭合编织物。若S是无界闭的，则p对S在M中的法丛度的贡献可以在链L（p）上根据其分支的代数交叉数和它们彼此之间的环绕数来计算。
2007-01-28 math.DG math.GT
Existence of classical minimal surfaces in $4$ and $5$-manifolds
University of Miami（迈阿密大学）；Cornell University（康奈尔大学）
本文证明每个闭黎曼4或5维流形包含一个分支浸入的闭极小曲面，通过多截面的存在性生成非平凡扫除类，并应用调和替换方法得到极小浸入的泡泡树。
2026-06-24 math.AP math.DG
Singularity Knots of Minimal Surfaces in $\mathbb{R}^4$
我们研究了$\mathbb{S}^3$中的节点，该节点是由$\mathbb{R}^4$中的极小曲面与以分支点为中心的小3-球面相交而得到的。我们构造新的最小结的例子。特别是，我们证明了非纤维最小结的存在。我们表明，简单的最小的结是可逆的或完全的amphicheiral的，这会产生一个障碍，一个给定的结是一个迭代结的极小曲面。这些结的性质和不变量，如代数交叉数的辫子代表和亚历山大多项式进行了研究。
2007-02-09 math.DG math.GT
Removing singularities of minimal surfaces by isotopies
针对开黎曼曲面到高维欧氏空间的共形极小曲面，证明其分支点与有限全曲率完备端可通过同痕移除，该结论对到复空间的零全纯曲线同样成立。
2025-11-18 math.CV math.DG
A proof of the multiplicity one conjecture for min-max minimal surfaces in arbitrary codimension
给定任意闭黎曼流形上的闭定向曲面的可容许的$k$维浸入族，证明了该区域的极大极小宽度是由重数为1且Morse指数以$k$为界的光滑（可能分支）浸入极小曲面得到的.
2019-07-12 math.AP math.DG
High-Dimensional Families of Minimal Surfaces of Arbitrary Genus in Round Spheres
Mathematics Institute, University of Warwick（华威大学数学研究所）
本文在偶数维球面中构造任意亏格与共形结构的极小曲面的任意高维参数族，其维数随次数趋于无穷。
2026-09-24 math.AP math.CV math.DG
