Branched immersions and braids
4-流形M中实2-曲面S的分支点推广了复曲面中复曲线的分支点：例如，它们可以作为极小曲面的奇点出现。当S拓扑嵌入M时，我们研究了这样一个分支点p.它定义了一个链接L（p），其组件是具有相同轴的闭合编织物。若S是无界闭的，则p对S在M中的法丛度的贡献可以在链L（p）上根据其分支的代数交叉数和它们彼此之间的环绕数来计算。
2007-01-28 math.DG math.GT
On branched minimal immersions of surfaces by first eigenfunctions
Montiel和Ros证明了对于紧致曲面上的每一个共形结构，至多存在一个度量，该度量允许第一特征函数最小浸入到某个单位球面中。我们将这个定理推广到具有圆锥奇点的度量的设置，这些圆锥奇点是由分支极小浸入第一本征函数到球面中引起的。我们的主要动机是这样一个事实，即度量实现最大值的第一个非零拉普拉斯特征值是由最小分支浸入到球体。特别是，我们表明，从$\mathbb{S}^2$诱导的这些指标的属性显着不同的属性从$\mathbb{S}^m$与$m>2$诱导。这一功能似乎是新颖的，需要考虑到现有的证明的第一个非零特征值的拉普拉斯算子的$2$ -环面和克莱因瓶的尖锐的上界。在本论文中，我们解决这个问题，并给出了详细的概述，这些上界的完整证明的工作Nadirashvili，雅各布森Nadirashvili-Polterovich，萨尔瓦多苏菲Giacomini-Jazar，Nadirashvili，陛下和Petrides。
2018-09-21 math.DG math.SP
Refined asymptotics of the Teichmüller harmonic map flow into general targets
Teichmüller调和映射流是从一个闭曲面到一个任意维的一般闭黎曼目标流形的映射的调和映射能量的梯度流，其中映射和域度量都允许演化.给定一个弱解，存在的所有时间$t\geq 0$的流量，我们发现一个序列的时间$t_i\to\infty$在不同尺度的流量收敛到一个收集的分支最小浸入没有损失的能量。我们这样做，通过发展一个紧凑的理论，建立没有损失的能源，序列的几乎最小的地图。此外，我们构造了一个例子的光滑流的图像的极限分支极小浸入是不连通的。在一般情况下，我们表明，连接分支的最小浸入的图像的颈部成为任意薄的$i\to\infty$。
2015-10-16 math.AP math.DG
Quantitative rigidity results for conformal immersions
本文证明了具有有界全曲率的$\mathbb{R}^n$中曲面共形浸入的几个定量刚性结果。我们表明，（分支）的共形浸入的能量接近一个圆球，一个共形Clifford环面，一个倒置悬链线，倒置Enneper的极小曲面或倒置陈的最小图必须接近这些表面的$W^{2,2}$ -范数。此外，我们应用这些结果证明了一个相应的刚性结果完全，连通和非紧曲面。
2014-05-28 math.AP math.DG
Free boundary Hamiltonian stationary Lagrangian discs in $\mathbb{C}^2$
本文研究C^2中圆盘的Ω-自由边界哈密顿稳定拉格朗日浸入，证明了在弱共形、分支条件下其必为Ω-自由边界极小浸入，并进一步得出具有勒让德边界数据时u(D^2)必为拉格朗日赤道平面圆盘，同时通过例子说明假设的最优性。
2024-08-01 math.AP math.DG
Laplace eigenvalues and non-planar minimal spheres into 3-dimensional ellipsoids
本文利用临界度量上的第一、第二 Laplace 特征函数刻画球面到椭球的分支极小浸入，并构造三维椭球中满足对称或非对称条件的非平面极小球面。
2023-04-24 math.AP math.DG
Willmore Spheres in Compact Riemannian Manifolds
本文致力于将二维曲面浸入紧致黎曼m-流形（M^m，h）（m>2）中的Willmore和其他L^2曲率泛函的变分分析。本文的目标是双重的，一方面，我们给正确的设置做微积分的变化（包括最小最大的方法），这些泛函浸入到流形，另一方面，我们证明存在的结果可能分支Willmore领域的各种限制（规定的同伦类，规定的区域）或曲率假设M^m。为此，利用补偿可积性，我们首先发展了这类泛函的临界点的正则性理论。然后，我们证明了一个刚性定理CMC和Willmore球之间的关系。然后证明了对于每个非空的2-同伦类，存在一个由从2-球面到M^m的Lipschitz映射给出的表示，（可能分支）面积受限Willmore球（如引言中所解释的，这是Sacks和Uhlembeck在\cite{SaU}中构造的同伦类中的最小浸入球的自然扩张，在它们不存在的情况下）。此外，对于每一个A>0，我们最小化的Willmore功能之间的连接家庭的弱，可能分支，浸入的2球具有规定的总面积等于A，我们证明充分的正则性的最小。最后，在（M^m，h）上的一个弱曲率条件下，我们在两个球面的弱可能分支浸入中极小化了面积与第二基本型的L^2范数的平方之和，并证明了极小化的正则性.
2012-03-25 math.AP math.DG
Conformal immersions of prescribed mean curvature in R^3
本文证明了在三维仿射不确定性下任意给定中曲率H > 0的（分支）共形浸入F：S^2 -> R^3的存在性.对空间型S^3，H^3证明了类似的结果，并对高亏格曲面证明了部分结果.
2012-04-23 math.DG
On the connected components of the moduli space of equivariant minimal surfaces in $\mathbb{CH}^2$
$\mathbb{CH}^n$中的等变极小曲面是庞加莱圆盘到$\mathbb{CH}^n$的极小映射，它交织了闭曲面$\mathbb{CH}^n$的基本群的两个作用：圆盘上的Fuchsian表示和$\mathbb{CH}^n$上的等距不可约作用。这些的模空间可以通过将其与对应于映射的共形曲面上的$PU(n,1)$ -Higgs丛的每个模空间中的幂零锥联系起来来研究。通过给出幂零锥上点光滑的必要条件，证明了远离分支极小浸入或$\pm$ -全纯浸入的模空间是光滑的。这个论点很容易被修改，以表明对于$\mathbb{RH}^n$，（无分支的）浸入的整个空间是平滑的。对于$\mathbb{CH}^2$，我们证明了极小浸入的模空间的连通分量是由浸入的法丛的Toledo不变量和Euler数所索引的.这是通过研究幂零锥上的$\mathbb{C}^\times$ -作用的极限点来实现的。证明了极限点$t\to 0$只导致分支极小浸入或$\pm$ -全纯浸入.特别地，法丛的欧拉数只能通过分支极小映射跳跃。
2021-07-08 math.DG
Classification of branched Willmore spheres
本文通过证明分支威尔莫浸入中布赖恩特四次形式的全纯性及其在球面情形下的消失，结合共形高斯映射在分支点的渐近展开性质，完成了分支威尔莫球面的完整分类。
2024-06-29 math.DG
Flowing maps to minimal surfaces: Existence and uniqueness of solutions
我们研究了在[11]中引入的新的几何流，该几何流以这样一种方式演化一对映射和（域）度量，即它将适当的初始数据改变为分支最小浸入。在本文中，我们集中在解的存在性理论以及唯一性问题。我们建立了一个（弱）的解决方案存在，只要度量保持在一个有界区域的模空间，即只要流不崩溃的闭测地线在域流形的一个点。进一步证明了该解在所有能量不增的弱解类中是唯一的。本文的工作补充了Topping和作者的论文[11]，在论文中引入了流，并讨论了流到分支极小浸入的渐近收敛。
2012-05-31 math.AP math.DG
Rigidity of minimal Lagrangian diffeomorphisms between spherical cone surfaces
本文证明具有锥奇点的闭球面之间的极小拉格朗日微分同胚必为等距映射，并将Liebmann刚性定理推广到常正高斯曲率闭曲面的分支浸入情形。
2022-03-07 math.DG math.GT
On symmetric Willmore surfaces in spheres II: the orientation reversing case
在本文中，我们提供了一个系统的处理Willmore表面与方向反转对称性，并说明了理论（旧的和新的）的例子。我们应用我们的理论，各向同性Willmore两个领域的$S^4$和推导出一个必要条件，这样的（可能分支）各向同性表面下降到（可能分支）的地图从$\mathbb{R} P^2$到$S^4$。Veronese球和其他几个例子的非分支Willmore浸入从$\mathbb{R} P^2$到$S^4$推导出的一般理论的说明。$\mathbb{R} P^2$的Willmore沉浸，刚才提到的，与Veronese球体不同，对作者的最佳知识来说是新的。
2020-02-15 math.DG
Teichmüller harmonic map flow into nonpositively curved targets
Teichmüller调和映射流将一个从有向闭曲面$M$到任意闭黎曼流形的映射和$M$上的常曲率度量变形，以尽可能快地降低映射的能量[16]。然后，流试图收敛到一个分支的最小浸入时，它可以[16，18]。唯一可以阻止流的是$M$上的度量的有限时间退化，其中一个或多个领被挤压。在本文中，我们表明，有限时间退化不能发生的情况下，目标具有非正截面曲率，实际上更一般的情况下，目标支持没有气泡。特别是，当与[16，18，9]结合时，这表明该流程将任意此类映射分解为分支最小浸入的集合。
2016-03-06 math.AP math.DG
Regularity of branched stable minimal immersed hypersurfaces
Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（北京国际数学研究中心）；Mathematisches Institut Universität Freiburg（弗赖堡大学数学研究所）
该研究建立了分支稳定极小浸入超曲面非分支奇异集的Hausdorff维数精确界，构造了达到该界的例子，并以广义Schoen不等式和分支分层定理为核心证明工具，推进了极小曲面正则性理论的研究。
2026-09-02 math.AP math.DG
Regularity theory for $2$-dimensional almost minimal currents II: branched center manifold
我们在$2$维积分流的奇点附近构造了一个分支中心流形，该积分流在适当的意义下几乎是极小的。我们的建设是上半年的一个参数，它显示了以下三类$2$维电流的奇异集的离散性：面积最小化黎曼流形，半校准和球形截面的$3$维面积最小化锥。
2017-09-04 math.AP math.DG
Immersed Spheres of Finite Total Curvature into Manifolds
我们证明了一个序列的可能分支，弱浸入的两球$S^2$到一个任意紧黎曼流形$(M^m,h)$具有一致有界的面积和一致有界的$L^2-$范数的第第二基本型要么崩溃到一个点或弱收敛作为电流，模提取的子序列，一个Lipschitz映射的$S^2$和其图像是由一个连通的并，可能是$S^2$的分支、弱浸入，具有有限的全曲率。证明了如果序列属于$π_2(M^m)$的一类$γ$，则$S^2$的极限Lipschitz映射也实现了该类.
2013-05-27 math.AP math.DG math.GT
High-Dimensional Families of Minimal Surfaces of Arbitrary Genus in Round Spheres
Mathematics Institute, University of Warwick（华威大学数学研究所）
本文在偶数维球面中构造任意亏格与共形结构的极小曲面的任意高维参数族，其维数随次数趋于无穷。
2026-09-24 math.AP math.CV math.DG
Branch points of area-minimizing projective planes
黎曼流形$M^n$中的极小曲面是面积稳定的曲面：面积的第一变分为零。本文主要研究实射影平面$\R P^2$的拓扑型曲面。我们证明了一个极小曲面$f:\R P^2\to M^3$，它具有最小的面积，在这些映射是不同伦的常数映射，是一个浸入。即，$f$没有分支点。作为处理极小曲面的类型的射影平面的一个主要步骤，我们扩展的基本定理的分支浸入到不可定向的情况下。我们还解决了柯朗在1950年提出的一个关于分支线方向的问题。
2013-08-27 math.AP math.DG
Branched Willmore Spheres
本文对分支点（包括重数）至多为3的分支Willmore球面进行了分类，证明了它们可以由重数端点至多为3的$\R ^ 3$中的完备极小曲面得到.这推广了Bryant的分类结果。然后，我们表明，这可能是适用于分析的奇异性的Willmore流的非Willmore领域的Willmore能源$ \mc {W} (f) \leq 16π$。
2011-12-13 math.AP math.DG
Minimal immersions of compact bordered Riemann surfaces with free boundary
设N是维数大于2的完备齐次正则黎曼流形，M是N的紧致子流形。设$Σ$是一个带边界的紧致可定向曲面。我们证明了对于任何连续的$f: (Σ, \partial Σ) \rightarrow (N, M)$，如果它在某些基本群上的诱导同态是内射的，则存在$Σ$的分支极小浸入解自由边界问题$(Σ, \partial Σ) \rightarrow (N, M)$，并使在基本群上诱导与f相同作用的所有映射的面积最小化.进一步，在关于3-流形N的曲率的非负性假设和关于N的边界M的凸性假设下，得到了求解低指标自由边界问题的任一紧致双边极小曲面的亏格、边界分支数和面积的界.
2012-09-06 math.DG
A Viscosity Method in the Min-max Theory of Minimal Surfaces
我们提出的最小-最大建设的临界点的面积使用惩罚参数。准确地说，对于一个闭曲面$Σ$到一个给定的闭流形的任何浸入，我们添加到面积拉格朗日项等于$L^q$范数的第二基本型的浸入倍的“粘度”参数。这种面积泛函的松弛满足$q>2$的Palais-Smale条件。这允许使用经典的最小-最大参数，如山路引理来构造松弛拉格朗日的临界点。这项工作的目标是描述当“粘度”参数趋于零时的极限通道。在一定的自然熵条件下，我们建立了这些临界点的变倍收敛到一个参数化的整数平稳变倍，实现最小-最大值。在最近与A.Pigati合作的工作中证明了参数化整定变分唯一地由光滑映射给出。因此，我们得出结论，每一个表面积极小极大实现了一个光滑的可能分支的最小浸入。
2017-10-27 math.AP math.DG
Generic singularities of symplectic and quasi-symplectic immersions
对于任意k<2n，我们构造了2n辛流形的浸入k维子流形在一般二重点的奇点分类问题的一个完备不变量系.
2012-11-06 math.DG math.SG
On isometric minimal immersion of a singular non-CSC extremal K$\ddot{a}$hler metric into 3-dimensional space forms
在任何紧致Riemann曲面上，都存在一个奇异的非CSC（常数数量曲率）极值K $\ddot{a}$ hler度量，称之为非CSC HCMU（度量曲率的Hessian是Umnums）度量.本文通过活动标架证明了任何非CSC HCMU度量不能等距极小地浸入三维实空间型中，即使是局部的。一般情况下，任何非CSC HCMU度量都不能等距浸入具有常中曲率（CMC）的三维实空间型中。
2021-12-31 math.DG
A proof of the multiplicity one conjecture for min-max minimal surfaces in arbitrary codimension
给定任意闭黎曼流形上的闭定向曲面的可容许的$k$维浸入族，证明了该区域的极大极小宽度是由重数为1且Morse指数以$k$为界的光滑（可能分支）浸入极小曲面得到的.
2019-07-12 math.AP math.DG
Existence of constant mean curvature surfaces with controlled topology in 3-manifolds
Stanford（斯坦福大学）；Cornell University（康奈尔大学）
本文证明对于几乎所有预设常平均曲率H，任何闭可定向三维流形中都存在一个闭黎曼曲面的非平凡分支浸入，其亏格受流形的Heegaard亏格控制，通过扰动能量的极小极大构造和收敛分析得到。
2026-06-18 math.DG
Critical weak immersed Surfaces within Sub-manifolds of the Teichmüller Space
证明了环面的面积、Willmore能量、框架能量等各种能量的临界点都是环面的。在Teichmüller空间的光滑子流形内演化的可能分支浸入等满足相应的约束Euler Lagrange方程。在亏格至多为2或子流形不与超椭圆点的子空间相交的条件下，我们导出环面的Willmore能量或框架能量的临界点是光滑解析曲面，可能远离孤立的分支点.利用作者以前工作中的一个紧性结果，我们可以得出结论：Teichmüller空间的每个闭子流形，包括点，在前面的假设下，都是满足共形约束Willmore方程的可能分支光滑Willmore极小元.
2013-07-20 math.DG
Extendability of conformal structures on punctured surfaces
对于一个光滑的浸泡$f$从穿孔盘$D\backslash\{0\}$到$\mathbb{R}^n$连续可扩展的穿刺，如果它的平均曲率是平方可积的和$f(D)\cap B_{r_k}=o(r_k)$的措施，序列$r_k\to 0$，我们证明了黎曼曲面$(D_r\backslash\{0\},g)$，其中$g$是诱导度量是共形等价于单位欧几里德穿孔盘，对任何$r\in(0,1)$。对于局部$W^{2,2}$ Lipschitz浸入$f$从穿孔盘$D_2\backslash\{0\}$到$\mathbb{R}^n$，如果$\|\nabla f\|_{L^\infty}$是有限的，并且$f$的第二基本形式在$L^2$中，我们证明了存在同胚$ϕ:D\to D$，使得$f\circϕ$是从欧几里得单位盘$D$到$\mathbb{R}^n$的分支$W^{2,2}$ -共形浸入.
2015-09-27 math.DG
Existence of classical minimal surfaces in $4$ and $5$-manifolds
University of Miami（迈阿密大学）；Cornell University（康奈尔大学）
本文证明每个闭黎曼4或5维流形包含一个分支浸入的闭极小曲面，通过多截面的存在性生成非平凡扫除类，并应用调和替换方法得到极小浸入的泡泡树。
2026-06-24 math.AP math.DG
Flowing to free boundary minimal surfaces
本文提出了一种新的流，用于将映射从一般领域表面Σ的边界映射到给定子 manifold N 的流，最终达到自由边界 (分支) 极小浸入。当 Σ 是单位圆盘 D 时，可以使用 Plateau 流实现，但当 Σ ≠ D 时，需要结合 Plateau 流和 Teichmüller 谐流来处理域度量的 conformal 类型问题。
2026-05-19 math.AP math.DG
On constant mean curvature 1-immersions of surfaces into hyperbolic 3-manifolds
本文研究闭曲面到双曲3维流形的 CMC 1-浸入模空间，通过分析 c→1 时的爆破与极限度量，改进亏格2条件并推进高亏格渐近分析。
2025-09-29 math.AP math.DG
The viscosity method for min-max free boundary minimal surfaces
我们采用Rivière引入的粘性方法来处理自由边界的情况。即，给定一个紧的定向曲面$Σ$，可能有边界，一个封闭的周围黎曼流形$(\mathcal{M}^m,g)$和一个封闭的嵌入子流形$\mathcal{N}^n\subset\mathcal{M}$，我们研究了浸入$Φ:Σ\to\mathcal{M}$上的泛函\begin{align*} &E_σ(Φ):=\operatorname{area}(Φ)+σ\operatorname{length}(Φ|_{\partialΣ})+σ^4\int_Σ|{\mathrm {I\!I}}^Φ|^4\,\operatorname{vol}_Φ\end{align*}的（几乎）临界映射$Φ$的渐近行为，其中约束为$Φ(\partialΣ)\subseteq\mathcal{N}$，作为$σ\to 0$，假设面积的上界和适当的熵条件。因此，给定光滑浸入空间$(Σ,\partialΣ)\to(\mathcal{M},\mathcal{N})$的紧致子集的任何集合$\mathcal{F}$，假设$\mathcal{F}$在这个空间的同位素下是稳定的，我们证明了最小-最大值\begin{align*} &β:=\inf_{A\in\mathcal{F}}\max_{Φ\in A}\operatorname{area}(Φ) \end{align*}是…
2020-07-12 math.AP math.DG
The nonlocal Liouville-type equation in $\mathbb{R}$ and conformal immersions of the disk with boundary singularities
本文对分数阶Liouville方程在$1$维上进行了爆破和量子化分析。更准确地说，给定一个序列$u_k :\mathbb{R} \to \mathbb{R}$的解决方案，以\begin{equation} (-Δ)^\frac{1}{2} u_k =K_ke^{u_k}\quad \text{in }\mathbb{R}, \end{equation}与$K_k$有界的$L^\infty$和$e^{u_k}$有界的$L^1$一致关于$k$，我们表明，直到提取一个子序列$u_k$可以爆破在（最多）许多点$B=\{a_1,\dots, a_N\}$和（i）$u_k\to u_\infty$在$W^{1,p}_{loc}(\mathbb{R}\setminus B)$和$K_ke^{u_k} \stackrel{*}{\rightharpoondown} K_\infty e^{u_\infty}+ \sum_{j=1}^N πδ_{a_j}$，或（ii）$u_k\to-\infty$在$\mathbb{R}\setminus B$和$K_k e^{u_k}\stackrel{*}{\rightharpoondown} \sum_{j=1}^N α_j δ_{a_j}$中局部一致，对于每个$j$具有$α_j\ge π$。这一结果是基于作者与T。里维耶尔和一个经典的工作空白约沉浸的磁盘到飞…
2016-07-12 math.AP math.CV math.DG
(CMC) 1-immersions of surfaces into hyperbolic 3-manifolds
该研究针对任意亏格闭可定向曲面到双曲3-流形的CMC 1-浸入问题，通过正交性条件刻画极限过程中的爆发现象，在通有条件下证明了这类临界浸入的存在性与唯一性，拓展了低亏格情形下的相关结果。
2025-06-13 math.AP math.DG
Stationary and stable varifolds with singularities
Institute for Advanced Study（高等研究院）；Mathematisches Institut, Universität Leipzig（莱比锡大学数学研究所）；Department of Mathematics, UC San Diego（加州大学圣地亚哥分校数学系）
本文研究了在R^{m+1}中具有C^{1,α}度量的最小m维浸入结构，通过一系列猫眼颈或漂浮盘收敛到孤立的多重2平坦奇点。
2026-04-12 math.AP math.DG
Area Variations under Legendrian Constraint
本文证明了 5 维闭 Sasakian 流形中 Legendrian 曲面面积 min-max 操作由具整数重数的连续共形 Legendrian 映射实现且满足弱 Hamiltonian 极小方程，并猜想其解为具特定锥奇点的光滑分支浸入。
2024-06-04 math.AP math.DG
Desingularization of branch points of minimal surfaces in $\mathbb{R}^4$ (II)
我们通过浸入$F_t$ 's来对$\mathbb{R}^4$中极小圆盘$F_0(\mathbb{D})$的分支点$p$进行去奇异化，其中$F_t$ 's是在$p$处与$F_0(\mathbb{D})$相切的平面的分支覆盖，并且只有横向二重点。如果$F_0$是一个拓扑嵌入，因此在分支点周围的球体/圆柱体中定义了一个结，则$F_t$的二重点数据将该结表示为带的乘积。
2015-03-24 math.DG
On singularities of the Gauss map components of surfaces in ${\mathbb R}^4$
本文研究$\mathbb R}^4$中一般浸入曲面的 Gauss 映射两球面分量的奇点，证明其一般稳定性，并联系曲面接触类型、$\mathcal J$-全纯曲线及 Gauss-Bonnet 型拓扑几何公式。
2023-06-06 math.DG
Behavior of corank one singular points on wave fronts
设$M^2$是定向2-流形，$f:M^2\to R^3$是$C^\infty$ -映射.如果$f$在$p$处不是浸入，则点$p\in M^2$称为奇点。如果存在单位$C^\infty$ -矢量场$ν$，使得每个切矢量$df(X)$ $(X\in TM^2)$的图像垂直于$ν$，并且对$(f,ν)$给出浸入到$R^3\times S^2$中，则映射$f$被称为波前（或波前）。在我们以前的文章中，我们给出了一个内在的公式波前在$R^3$。本文研究了尖点边在锥一奇点附近的性质，并建立了Gauss-Bonnet型公式。
2007-05-18 math.DG
Rigidity of CR-immersions into spheres
考虑了严格伪凸实超曲面$M\subset\bC^{n+1}$在点$p\in M$附近到单位球面$\mathbb S\subset\bC^{n+d+1}$中的局部CR-浸入，其中$d>0$ .我们的主要结果是，如果有这样一个浸入$f\colon (M,p)\to \mathbb S$和$d < n/2$，那么$f$是{ \em rigid}，在这个意义上，任何其他的$(M,p)$浸入$\mathbb S$的形式是$ϕ\circ f$，其中$ϕ$是单位球$\mathbb B\subset\bC^{n+d+1}$的双全纯自同构。作为这一结果的一个应用，我们表明，一个孤立的奇异性的不可约解析品种的余维$d$在$\bC^{n+d+1}$是唯一确定的仿射线性变换的局部CR几何在一个点的Milnor链接。
2002-06-15 math.CV math.DG
Infinitesimal deformations and stabilities of singular Legendre submanifolds
本文给出了稳定奇异Legendre浸入的Arnol 'd-Mather型的特征。该理论最重要的组成部分是通过微分系统的自然提升和接触哈密顿向量场的概念在无穷小积分变形空间上提供一个模块结构。
2003-11-12 math.DG math.SG
Shape selection in non-Euclidean plates
研究了具有常负曲率的圆盘到$\mathbb{R}^3$的等距浸入，以及弯曲能的极小化，即主曲率在$W^{2,2}$等距浸入类上的$L^2$范数.证明了$\mathbb{H}^2$中任意大的测地球到$\mathbb{R}^3$中的光滑浸入的存在性.在阐明这些浸入和Hilbert和Amsler的不存在/奇异性结果之间的联系，我们得到了这样的光滑等距浸入的主曲率的$L^\infty$范数的下界。我们还构造分段光滑等距浸入，具有周期性的配置文件，是全球$W^{2,2}$，并具有较低的弯曲能量比他们的光滑同行。在这些配置中的周期数是由表面的主曲率保持有限的条件，并与光盘的半径近似指数增长。我们讨论了我们的结果对最近的实验上的非欧几里德板力学的影响。
2011-07-15 cond-mat.soft math.DG
Approximations of Lipschitz maps via immersions and differentiable exotic sphere theorems
作为我们的主要定理，我们证明了从紧致黎曼流形$M$到黎曼流形$N$的Lipschitz映射允许通过浸入的光滑逼近，如果该映射在F.H.意义下在$M$上没有奇点.克拉克，$\dim M \leq \dim N$在哪。作为其推论，我们得到：如果紧流形与其逆映射之间的双Lipschitz同胚在相同意义下没有奇点，则它们是双同胚的。主要定理有三个应用：前两个是两个可微球面定理，适用于一对拓扑球面，包括奇异拓扑球面。第三类是紧致$n$ -流形$M$是扭球，且当$M$在Clarke意义下关于其距离函数的临界点满足一定的两个条件时，$M$与单位$n$ -球面$S^n(1)$之间存在双Lipschitz同胚，该双Lipschitz同胚除一个点外是一个单点同胚.此外，我们有三个推论从第三个定理：第一个是，任何扭曲的球$Σ^n$的一般维数$n$，存在一个双Lipschitz同胚之间的$Σ^n$和$S^n(1)$，这是一个同构除了一个单一的点。特别地，在维度为$n>4$的奇异$n$ -球$Σ^n$和$S^n(1)$之间存在这样的映射;第二个是如果奇异$4$ -球$Σ^4$存在，则$Σ^4$不满足上述两个条件之一;第三个是对于任何Grove-Shiohama型$n$ -球$N$，在$N$和$S^n(1)$之间存在双Lipschitz同胚，除了达到它们的直径的点之一之外，该同胚是一个双同胚。
2017-02-28 math.DG
Affine focal sets of codimension $2$ submanifolds contained in hyper surfaces
本文研究了$(n+2)$ -空间中超曲面$M^{n+1}$所含子流形$N^n$的仿射距离的分支集-仿射焦点集。给出了仿射焦点集是正则超曲面的条件，并对$3$ -空间中的曲线给出了其稳定奇点的描述。对于浸入$N\subset M$的给定达布向量场$ξ$，可以定义仿射度量$g$和仿射法平面丛$\mathcal{A}$。我们证明了位置向量的$g$ -Laplacian属于$\mathcal{A}$当且仅当$ξ$是平行的。对于脐状和通常平坦的浸没，仿射焦点集减少到单条线。包含在超平面或超二次曲面中的子流形通常是平坦的。对于包含在超平面$L$中的$N$，我们证明了$N\subset M$是脐点的当且仅当$N\subset L$是仿射球面且切空间的包络是锥.对于$M$超二次曲面，证明了$N\subset M$是脐的当且仅当$N$包含在超平面中.本文的主要结果是一个一般性的描述脐和正常平坦的浸入：给定一个超曲面$f$和一个点$O$的$(n+1)$ -空间，浸入$(ν,ν\cdot(f-O))$，其中$ν$是共同正常的$f$，是脐和正常平坦的，相反，任何脐和正常平坦的浸入是这种类型。
2016-08-26 math.DG
