The $ζ$-regularized product over all primes
Vadim V. Smirnov
本文证明了所有素数上的$ζ$ -正则积是$πe^μ$，其中$μ$与$ζ(s)$的非平凡零点密切相关.
In this paper we prove that the $ζ$-regularized product over all primes is $πe^μ$, where $μ$ is closely related with the non-trivial zeros of the $ζ(s)$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Regularized products of Gauss and Eisenstein integers and primes
受Muñoz García和Pérez-Marco工作的启发，采用欧拉式启发式计算，得到了高斯整数和艾森斯坦整数及其素数的正则化无穷乘积的显式表达式。
Zeta Regularized Trigonometric Products Over Zeros Of The Riemann Zeta Function
本文证明黎曼 zeta 函数非平凡零点上三角乘积的 zeta 正则化公式，计算其偏差，并讨论其与弱黎曼假设的猜想性联系。
Regularized inner products of meromorphic modular forms and higher Green's functions
在本文中，我们研究推广的二次型庞加莱级数，这自然发生的输出θ电梯。对它们进行积分会产生更高的格林函数的评估。为此，我们需要一个新的正则化的内积，这是独立的利益。
The degenerate parts of spaces of meromorphic cusp forms under a regularized inner product
本文研究了亚纯模形式之间的内积。特别地，我们计算这些子空间的退化部分，并进一步计算剩余的商空间的内积。
A Baseline $T\log^2 T$ Upper Bound for KL-Regularized Prime--Zero Optimal Transport
本文通过带限检验方案和Fejér平均，无条件证明了KL正则化素数-零点最优传输距离的$T\log^2 T$上界。
Regularized inner products and weakly holomorphic Hecke eigenforms
证明了弱尖点形式上的重微分象恰是与弱全纯模形式空间正交的子空间。这给出了弱全纯Hecke特征形的一个新的解释。
Regularized inner products and errors of modularity
我们发展了任意弱全纯模形式的Petersson内积的正则化，推广了几个已知的正则化。作为一个应用程序，我们扩展杜克大学，Imamoglu，托特的正则化内积的弱全纯模形式的重量$0$和$3/2$。这些正则化的内积可以用对偶权的调和马斯形式的全纯部分的系数来计算。此外，我们还研究了这类调和Maass型的全纯部分的模性误差，并证明了它们在Bruggeman，Choie和第二作者所引入的第一抛物上同调群中诱导出上圆.这提供了明确的代表上同调类构造抽象和在一个非常一般的设置在他们的工作。
The zeta-regularized product of odious numbers
什么是所有{ \em odious}整数的乘积，即，二进制展开式中包含奇数个$1$的所有整数？或者更确切地说，如何定义这些整数的乘积不是无限的，但仍然有一个“合理”的定义？我们将通过证明这个乘积等于$π^{1/4} \sqrt{2 φe^{-γ}}$来回答这个问题，其中$γ$和$φ$分别是欧拉-马斯切罗尼常数和弗拉约莱-马丁常数。
Regularized Products over arithmetic Schemes
本文通过证明算术概形闭点剩余域基数乘积可正则化，得到新算术不变量，经多案例显式计算发现其为超越数，证明闭点集无限，所用工具推广了Muñoz和Pérez的zeta正则化方法。
Regularized product expressions of higher Riemann zeta functions
作为[KMW]的推广，我们引入了抽象序列的高阶黎曼ζ函数.然后我们明确地确定其正则化乘积表达式。
Zeta-regularization and natural boundaries: Sums and products of integers and primes
针对素数zeta函数自然边界导致经典zeta正则化失效的问题，本文通过超越自然边界的方法正则化所有素数的和，并在九类唯一因子分解的虚二次域中建立整数与素数正则化积的幂律关系。
An inequality involving primes and the product of primes
本文证明了一个涉及素数及连续素数乘积的不等式。
Superzeta functions, regularized products, and the Selberg zeta function on hyperbolic manifolds with cusps
令$Λ= \{λ_{k}\}$表示复数序列，并假设计数函数$#\{λ_{k} \in Λ: | λ_{k}| < T\} =O(T^{n})$对于某个整数$n$。从Hadamard定理，我们可以构造一个阶至多为$n$的整函数$f$，使得$Λ$是因子$f$。在本文中，我们证明了在合理的一般条件下，与$Λ$相关的超zeta函数$\Z_{f}(s,z)$允许亚纯延拓。此外，我们描述了序列$z-Λ$和函数$f$的正则化乘积之间的关系构造为Weierstrass产品。当$f$在某右半平面上存在Dirichlet级数展开时，我们得到了$\Z_{f}(s,z)$在$s$中的亚纯延拓是$f'/f$的积分变换.我们应用这些结果得到了与具有尖点的有限体积双曲流形相关的Selberg zeta函数的超zeta积估计。
A function to calculate all relative prime numbers up to the product of the first n primes
我们证明了从1到前n个素数的乘积的有限域与新定义的素数模数集之间的同构。这个定义提供了一些关于相对素数的见解。我们提供了一个反函数从素数模到这个有限域。使用这个函数，我们可以计算从1到前n个素数的乘积的所有数字，这些数字不能被前n个素数整除。该函数提供了一种非顺序的方式来计算素数。
Product of an integer free of small prime factors and prime in arithmetic progression
我们建立估计的方式来表示任何减少剩余类作为一个产品的素数和一个整数的小素因子的数量。我们的最佳结果是广义黎曼假设（GRH）的条件。作为一个推论，我们在Erdös，Odlyzko和Sárközy的一个猜想上取得了进展。
On the Sum and Product of Distinct Prime Factors of an Odd Perfect Number
我们提出了一个奇完满数的不同的素因子的和与积的下界，它提供了一个奇完满数的大小作为其不同的素因子的数量的函数的下界。
Series and Product Relations Made from Primes
已知整数的倒数之和$\sum_n (1/n)$与素数的倒数之和$\sum_n (1/p_n)$都是发散的。在这里，我们研究一个由素数组成的级数，其和正好为1。我们还证明了这个和仅仅与素数上的无穷乘积有关。然后，我们推广了级数（及其相关乘积）的形式，将这个想法扩展到其他数论集合，如孪生素数。计算一个由孪生素数组成的乘积会得到一个新的数学常数。
Two-variable zeta functions and regularized products
本文证明了van der Geer和Schoof引入的数域上二元zeta函数的正则化乘积展开式。证明是基于一个通用的标准zeta-regularizability由于伊利。对于非零单位秩的数域，我们的方法涉及到关于数的几何中某些振荡积分的渐近行为的独立兴趣的结果。我们还解释了共同调的动机的文件。
Automorphic products that are singular modulo primes
本文利用O(n, 2)上的Rankin--Cohen括号，证明了反射Borcherds乘积的傅里叶系数通常满足模某些素数的同余关系。
Asymmetric estimates and the sum-product problems
我们展示了两个不对称的估计，一个是关于共线三元组的数目，另一个是关于$(a_1+a_2)(a_1^{\prime\prime\prime}+a_2^{\prime\prime\prime})=(a_1^\prime+a_2^\prime)(a_1^{\prime\prime}+a_2^{\prime\prime})$的解。作为应用，我们改进了关于差积/除法估计和Balog-Wooley分解的结果：对$\mathbb{R}$的任意有限子集$A$，\[ \max\{|A-A|,|AA|\} \gtrsim |A|^{1+105/347},\quad \max\{|A-A|,|A/A|\} \gtrsim |A|^{1+15/49}. \]此外，还存在具有$A=B\sqcup C$的集合$B,C$，使得\[ \max\{E^+(B),\, E^\times (C)\} \lesssim |A|^{3-3/11}. \]
Bounded Gaps Between Products of Distinct Primes
令$r \ge 2$为整数。我们采用Maynard-Tao筛来产生$r$不同素数的乘积之间的渐进最著名的有界间隙。我们的结果适用于正密度子集的素数，满足一定的等分布条件。这改进了索恩和索诺的工作。
On products of primes and square-free integers in arithmetic progressions
我们得到了一个渐近公式的方式来表示每一个减少剩余类作为一个产品的素数和平方自由整数的数量。这可能被认为是一个宽松的版本猜想的埃尔德什，Odlyzko，和Sárközy。
Product of Two Consecutive Fibonacci or Lucas Numbers Divisible by their Prime Sum of Indices
我们证明了两个连续的Fibonacci数（分别为Lucas数）的乘积可被它们的指数之和整除，如果这个和是一个不同于5的素数，且形式为（4r+1）（分别为（4r+3））.
The Regularized Siegel-Weil Formula (The Second Term Identity) and the Rallis Inner Product Formula
本文建立了Siegel-Weil公式的第二项恒等式，并导出了任意对偶对的全局θ提升的Rallis内积公式.作为一个推论，我们解决了史蒂夫拉利斯发起的全球theta电梯的非零问题。
Diophantine Approximation with Products of Two Primes
证明了对任意无理数$α$和任意$τ<8/23$，都有无穷多个$n$是两个素数的乘积，其中$$\|nα\|\leq n^{-τ}.$$.我们还证明了对任意充分大的$b$，都存在三位回文在$b$基上，恰好有两个素数因子.
Maximal product of primes whose sum is bounded
设n是正整数，h（n）表示和不超过n的不同素数之积的最大值。我们给出了这个函数h的一些性质，并描述了一个算法，能够计算h（n）的大值n。
Small gaps between the set of products of at most two primes
本文将Maynard和Tao的方法应用于两个不同素数（E2-数）的乘积集。我们得到了关于E2-数和素数分布的几个结果。其中，Goldston，Pintz，Yildirim和Graham关于m个连续E2-数之间的小间隙的结果得到改进。
Big biases amongst products of two primes
我们表明，大大超过四分之一的奇数的形式$pq$到$x$，与$p,q$都素数，满足$p\equiv q\equiv 3 \pmod 4$。
On short products of primes in arithmetic progressions
我们给出了几个族的合理小整数$k, \ell \ge 1$和实正$α, β\le 1$，使得产品$p_1\ldots p_k s$，其中$p_1, \ldots, p_k \le m^α$是素数和$s \le m^β$是一个产品的最多$\ell$素数，代表所有约化剩余类模$m$。这是P.Erdos，A. M. Odlyzko和A. Sarkozy（1987），它对应于$k = \ell =1$（即两个素数的乘积）。特别地，我们改进了A. Walker（2016）.
Accurate Computations of Euler Products over Primes in Arithmetic Progressions
本文给出了计算有理分式的等差数列中素数上欧拉积的带显式误差项的截断公式。当$F$是系数在$\mathbb{C}$中且满足某些限制条件的二元多项式时，它进一步提供了用于形状为$F(1/p, 1/p^s)$的项的乘积的这样的公式。
A Lower Bound For Biases Amongst Products Of Two Primes
本文建立了Dummit，Granville和Kisilevsky关于P2族最大偏差的一个证明结果，比较了P2族的$\leq x$在给定的二次特征标上素因子取特定值的个数。
On the existence of products of primes in arithmetic progressions
在Ramaré和Walker的工作基础上，我们研究了等差数列中素数乘积的存在性。我们的主要结果之一是，如果$q$是一个大模，那么任何可逆剩余类模$q$包含三个素数的产品，其中每个素数是最多$q^{6/5+ε}$。我们的论点使用的结果从广泛的领域，如筛理论或添加剂组合，和我们的一个关键成分，这还没有被用于在此设置之前，是一个结果希思布朗的字符总和超过素数从他的论文林尼克定理。
On shifted primes with large prime factors and their products
我们从下面估计素数p的集合的较低密度，使得p-1有一个大小至少为p^c的素因子，其中c介于1/4和1/2之间。我们还建立了直到x的正整数n的集合的计数函数的上、下界，其中恰好有k个素因子，有重数或无重数计数，使得GCD（p-1：p）的最大素因子|n）超过n^{1/2k}。
On the regularized products of some Dirichlet series
本文证明了某些Dirichlet级数的正则化行列式具有乘性，并以此为应用推广了Lerch公式和Euler关于平方倒数和的公式，同时恢复了Kurokawa与Wakayama的结果。
An elemetary proof of an estimate for a number of primes less than the product of the first $n$ primes
设$α$是一个实数，使得$1< α<2$和$x_0=x_0(α)$是方程$$ x^{α-1} -\fracπ{e^2\sqrt{3}}x +1=0. $$的{ \rm（}唯一{ \rm）}正解.然后证明了对每个正整数$n>x_0$，在第$(n+1)$个素数和第一个$n+1$个素数的乘积之间至少存在$[n^α]$个素数.特别是，我们建立了一个最近库克的结果断言，对于每一个正整数$n$至少有$n$素数之间的$(n+1)$ th素数和产品的第一个$n+1$素数。我们的证明是基于一个基本的计数方法（枚举参数）和斯特林公式的应用，给出一些二项式系数的上限。
Prime and zero distributions for meromorphic Euler products
研究了用欧拉积表示的解析连续为有穷级的亚纯函数的广义zeta函数的素分布与零分布之间的关系.本文给出了素分布中zeta函数作为亚纯函数的阶与重数增长之间的一个不等式。
Integers for Radical Extensions of Odd Prime Degree as Product of Subrings
对于奇素数次的根扩张K，整数环O_K被构造为具有以下性质的子环的乘积：对O_K的判别式的所有素除子q，存在q-极大因子。O_K的判别式是所有因子判别式的最大公因数。结果被应用到给出一个标准的monogenality的K相反的是不正确的。
Iterated integrals on products of one variable multiple polylogarithms
本文证明了一元多重0到1多项式乘积上的迭代积分如果收敛，则实际上是多重zeta值。在发散的情况下，我们定义从0到1的正则化迭代积分。用同样的方法，我们证明了正则化迭代积分也是重zeta值。作为应用，我们给出了新的系列表示的多个zeta值和计算一些有趣的例子迭代积分。
Additive properties of product sets in fields of prime order
设$F_p$是素数阶$p$的域。然后，对于任何正整数$n>1$，对于任何$ε>0$，以及对于$F_p$的任何子集$A$，$F_p$的每个元素都可以表示为$N$元素的和，每个元素都是来自$A$的$n$元素的乘积，其中$N$取决于$n$和$\espilon$。
Hardy-Littlewood Constants Embedded into Infinite Products over All Positive Integers
一组在素数序列上求值的低阶有理多项式的无穷乘积被松散地称为Hardy-Littlewood常数。在这份手稿中，我们把它们看作是嵌入在一个超级产品的因素超过素数，半素数，3-几乎素数等数值表是由转化成一系列的K-几乎素zeta函数。另外还指出了与黎曼ζ函数的欧拉公式相关的k-几乎素乘积基中的乘积表示。
A sum-product estimate in fields of prime order
设q是素数，A是有限域$F=\Bbb Z/q\Bbb Z$，$|A|<\sqrt{|F|}$的子集.我们证明了对某些$ε>0$且c>0的估计$\max(|A+A|,|A\cdot A|)\ge c|A|^{1+ε}$.这推广了J. Bourgain，N. Katz和T.涛.
On Borcherds products associated with lattices of prime discriminant
我们证明了某些向量值模形式空间同构于其傅里叶系数支持在适当级数上的标量值模形式空间。作为应用，我们给出了Hilbert模曲面上Borcherds积的一个非常明确的描述.
Products of primes in arithmetic progressions: a footnote in parity breaking
我们证明了，如果$x$和$q\leqslant x^{1/16}$是两个参数，那么对于任何可逆剩余类$a$模$q$，存在正好三个素数的乘积，每个素数都低于$x^{1/3}$，即与$a$模$q$全等.
Chebyshev's bias for products of two primes
在两个假设下，我们确定两个函数之间的差的分布，每个函数计算给定的模q的等差数列中的数< x和两个素数的乘积。这两个假设是（i）模q的Dirichlet L-函数的扩展黎曼假设和（ii）这些L-函数的非平凡零点的虚部在有理数上是线性无关的。我们的结果类似于Rubinstein和Sarnak关于等差数列中素数的结果。特别是，我们表明，两个素数的产品的偏见总是从素数的偏见逆转。例如，Rubinstein和Sarnak在（i）和（ii）中表明，在99.6%的情况下，在x之前为3 mod 4的素数比为1 mod 4的素数多，而在89.4%的情况下，两个为1 mod 4的素数的乘积比3 mod 4的素数多。
A Congruence for Sums of Integer Powers Modulo Products of Distinct Primes
本文证明了在特定条件下，不同素数乘积模下的整数幂和满足一种同余关系。
On the Distribution of Products of Primes and Powers
我们证明了几个结果的分布数是一个素数和$k$次幂的产品。首先，我们证明了这类数的计数函数的一个渐近公式，推广了E.科恩然后，我们表明，在这个公式中的误差项可以锐化的假设的黎曼假设。最后，我们证明了这些计数函数在短区间内的一个渐近公式。
Product of three primes in large arithmetic progressions
对于任何$ε>0$，存在$q_0(ε)$，因此对于任何$q\ge q_0(ε)$和任何可逆剩余类$a$模$q$，存在与$a$模$q$全等的自然数，并且该自然数是恰好三个素数的乘积，所有素数都小于$q^{\frac{3}{2}+ε}$。如果我们把注意力限制在奇数模$q$上，这些模不具有全等于1 mod 4的素因子，我们可以在$q^{\frac{11}{8}+ε}$下面找到这样的素数。如果我们进一步将模的集合限制为使得$(q-1,4\cdot7\cdot11\cdot17\cdot23\cdot29)=2$的素数$q$，我们可以在$q^{\frac{6}{5}+ε}$以下找到这样的素数。最后，对于任何$ε>0$，存在$q_0(ε)$，使得当为$q\ge q_0(ε)$时，存在与$a$模$q$全等的自然数，并且是正好四个素数的乘积，所有素数都小于$q(\log q)^6$。
On elliptic curves whose conductor is a product of two prime powers
我们找到了所有定义在$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线，它们具有一个有理点$N$，$N\ge 4$，并且其导体是$p^aq^b$的形式，其中p，q是两个不同的素数，a，b是两个正整数。特别是，我们证明了Szpiro猜想持有这些椭圆曲线。
A Positive Lower Bound for the Sum of Log-Reciprocal Twin Prime Products via Weighted Sieve
本文通过改进加权筛法，证明了孪生素数乘积对数倒数之和的正下界，从而推导出孪生素数对的无限性。
Prime-Weighted Interference Patterns Inspired by the Euler Product
本文提出基于欧拉乘积的素数加权振荡模型，通过分析权重指数x=1/2的平衡区域，揭示了高能与过阻尼行为之间的过渡特性。
Bounded gaps between product of two primes in imaginary quadratic number fields
本文结合Goldston-Graham-Pintz-Yildirim \cite{GGPY}和Maynard \cite{MAY}的方法研究了虚二次数域中两个素数乘积之间的间隙.我们的主要定理的一个重要结果是存在无穷多对$α_1, α_2$，它们是虚二次域$K$中两个素数的乘积，使得如果$K$的类数为1，则对于$K$的所有嵌入$σ$都有$|σ(α_1-α_2)|\leq 2$，如果$K$的类数为2，则对于$K$的所有嵌入$σ$都有$|σ(α_1-α_2)|\leq 8$。
3-fold Massey products in Galois cohomology -- The non-prime case
对于$m\geq2$，设$F$是一个与$m$特征素的域，且包含$m$阶单位根，$G_F$是它的绝对伽罗瓦群.我们证明了3重Massey乘积$\langleχ_1,χ_2,χ_3\rangle$，与$χ_1,χ_2,χ_3\in H^1(G_F,\mathbb{Z}/m)$和$χ_1,χ_3$ $\mathbb{Z}/m$ -线性无关，是不必要的。这一点在以前的$m$素数中得到了证明。我们的证明是基于对$G_F$的单三角表示的研究。
Hybrid Euler-Hadamard Product for Dirichlet $L$-functions with Prime conductors over Function Fields
本文推广了函数域上二次Dirichlet $L$ -函数与不可约多项式的混合Euler-Hadamard乘积模型。我们还建立了这类L-函数的第一扭矩的一个渐近公式，并进一步证明了这类函数的矩的渐近公式。
Small gaps between products of two primes
令$q_n$表示恰好是两个不同素数的乘积的$n^{th}$数。我们证明，$$\liminf_{n\to \infty} (q_{n+1}-q_n) \le 6.$$这锐化了作者的早期结果（arXivMath NT/0506067），其中有26的地方6。更一般地，我们证明了，如果$ν$是任何正整数，那么$$ \liminf_{n\to \infty} (q_{n+ν}-q_n) \le C(ν) = νe^{ν-γ} (1+o(1)).$$。我们还证明了其他几个结果的表示数正好有两个素因子的线性型。
Representing an integer as the sum of a prime and the product of two small factors
令c > 0.55。每个大的n都可以写成p +ab的形式，其中p是素数，a和b明显小于x ^1/2，ab小于n^c。这加强了Heath-Brown的一个结果，它有c>3/4的要求。我们引入“相交两个筛子”的思想作为证明这一结果的工具。
Character sums over products of prime polynomials
本文研究了$\mathbb{F}_q[t]$中多项式上的Dirichlet特征标的和问题.我们的主要结果是明确的公式，这些总和的Dirichlet L-函数的零点。我们还展示了新的现象，切比雪夫型偏差的不可约因子的数量是非常大的。
The Eisenstein elements of modular symbols for level product of two distinct odd primes
对于p和q为不同奇素数的同余子群Γ 0（pq），我们在模符号空间中明确地写出了整系数Eisenstein级数的Eisenstein元，从而回答了Merel的一个问题.我们还计算绕组元素明确这些同余子群。我们的结果是Manin-Drinfeld定理的显式版本。
On some products taken over the prime numbers
本文研究了$\prod_{p} p^{\lfloor\frac{x}{f(p)}\rfloor}$型的一些表达式，其中$x$是非负实数，$f$是满足一定条件的算术函数，乘积是素数$p$上的乘积.我们首先证明，这样的表达式可以表示使用$\mathrm{lcm}$功能，没有任何参考素数，我们说明了这个结果与几个例子。本文的其余部分致力于研究与$f(m) = m$和$f(m) = m - 1$相关的两个特殊情况。在这两种情况下，我们发现算术属性和分析估计的基础表达式。对于$f(m) = m - 1$情形，我们也提出了一个重要的猜想，它依赖于一种特殊形式的素数的计数。
On the distribution of products of two primes
对于实参数$r$，RSA整数是可以写为两个素数$pq$与$p<q\leq rp$的乘积的整数，其根据RSA密码学中两个素数的乘积的重要性而命名。几位作者得到了RSA整数个数的渐近公式。然而，以前关于RSA整数个数的结果只在参数$r$的相当有限的范围内有效。Dummit、Granville和Kisilevsky发现了两个素数的乘积在全等条件下的分布存在一些偏差。Moree和第一作者研究了RSA整数中的一些类似的偏差，但他们证明了至少对于固定的$r$，不存在这样的偏差。本文通过对Dummit，Granville，Kisilevsky和Moree等人的结果进行插值，给出了在$r$的更大范围内RSA整数个数的渐近公式，并给出了RSA整数的偏差的一些观察.
A Bombieri--Vinogradov Theorem with products of Gaussian primes as moduli
我们证明了一个版本的Bjueri-维诺格拉多夫定理与某些产品的高斯素数作为模，利用其特殊形式的多项式表达式在几个变量。适应沃恩的证明经典的Bjueri-Vinogadov定理，以这种设置，我们应用多项式大筛不等式，最近已经证明，其中包括最近的进展，维诺格拉多夫的中值定理由于Parsell等人。从这些改进的好处，我们得到一个扩展的范围相比，从标准参数得到的范围内的变量。
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