A strong form of the quantitative Wulff inequality
Robin Neumayer
定量等周不等式的各向异性表面能示出的等周赤字控制的Fraenkel不对称性和测量的振荡的边界相对于相应的武尔夫形状的边界。
Quantitative isoperimetric inequalities for anisotropic surface energies are shown where the isoperimetric deficit controls both the Fraenkel asymmetry and a measure of the oscillation of the boundary with respect to the boundary of the corresponding Wulff shape.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A Strong Form of the Quantitative Wulff Inequality for Crystalline Norms
本文证明了晶体各向异性周长在 $n\geq 3$ 时相对于 Wulff 形状的定量稳定性，推广了二维情形下的已知结果。
Wulff shape characterizations in overdetermined anisotropic elliptic problems
研究了可能各向异性退化椭圆型偏微分方程的超定问题，包括著名的Serrin超定问题，并利用积分恒等式和一个点态不等式证明了相应的Wulff形特征.我们的技术提供了一种统一的方法来解决这些问题。
Strong stability for the Wulff inequality with a crystalline norm
设$K$为凸多面体，$\mathscr F$为Wulff能量，$\mathscr C(K)$表示靠近$K$的凸多面体的集合，其面与$K$的面平行.我们证明了，对于足够小的$ε$，所有的$ε$ -极小属于$\mathscr C(K)$。作为这个结果的结果，我们得到了以下关于结晶范数的尖锐的稳定性不等式：存在$γ=γ(K,n)>0$和$σ=σ(K,n)>0$，使得每当$|E|=|K|$和$|EΔK|\le σ$时，则$$ \mathscr F(E) - \mathscr F(K^a)\ge γ|E ΔK^a| \qquad \text{for some }K^a \in \mathscr C(K). $$换句话说，武尔夫能量$\mathscr F$增长非常快（具有功率$1$）远离集合$\mathscr C(K).$出现在上述公式中的集合$K^a \in \mathscr C(K)$可以被非正式地认为是一种“投影”我们的结果的另一个推论是晶体的非常强的刚性结果：对于晶体表面张力，具有小质量的$\mathscr C(K).$的极小元是多面体，其边平行于$K$的边。换句话说，对于小质量，势能不能破坏极小化物的晶体结构。这将文[9]中得到的二维结果推广到任意维。
Stability of the Wulff shape with respect to anisotropic curvature functionals
本文基于函数的无迹F-海森堡L^p范数给出了超曲面到Wulff形状的距离估计，并以此证明了多种各向异性问题的定量稳定性结果。
Quantitative stability for anisotropic nearly umbilical hypersurfaces
证明了如下刚性定理的定性和定量稳定性：各向异性全脐闭超曲面是Wulff形。考虑$n \geq 2$，$p\in (1, \, +\infty)$和$Σ$是$\mathbb{R}^{n+1}$中的$n$维闭超曲面，是凸开集的边界.我们表明，如果各向异性的第第二基本型的无迹部分的$L^p$范数是小的，那么$Σ$必须是$W^{2, \, p}$ -接近伍尔夫形状，与定量估计。
Isoperimetric, Sobolev, and eigenvalue inequalities via the Alexandroff-Bakelman-Pucci method: a survey
我们使用Alexandroff，Bakelman和Pucci介绍的技术来证明几个不等式，以建立他们的ABP估计。首先，我们给出了Berestycki，Nirenberg和Varadhan关于有界可测系数椭圆算子主特征值的一个下界的一个新的简单证明。本文的其余部分是一个调查的几个等周不等式和Sobolev不等式的证明使用ABP技术。其中包括经典的等周不等式、Wulff等周不等式和Lions-Pacella等周不等式在凸锥上的新证明.对于这最后一个不等式，新的证明是最近发现的作者，泽维尔罗斯-奥顿，和Joaquim塞拉在一项工作中，我们还证明了新的索伯列夫不等式的权重来研究一个开放的问题提出的Haim Brezis。
Sharp isoperimetric inequalities via the ABP method
本文将ABP方法应用于一个适当的线性Neumann问题，证明了一些新的和旧的具有最佳常数的等周不等式。更精确地说，我们在$\mathbb{R}^n$的开凸锥中得到了一类新的带权（也称为密度）的尖锐等周不等式。我们的结果适用于所有非负齐次权满足锥上的一个条件。值得注意的是，以原点为中心的欧几里得球（与圆锥相交）使加权等周商最小化，即使我们所有的权重都是非径向的-除了常数。我们还研究了具有相同权值的凸锥上的各向异性等周问题。我们证明了Wulff形状（与圆锥体）最小化加权体积约束下的各向异性加权周长。作为我们结果的一个特例，我们给出了Lions和Pacella的凸锥中的Wulff不等式和等周不等式的新证明.
On minimizers of an anisotropic liquid drop model
我们考虑一个变种的伽莫夫的液滴模型与各向异性的表面能。在适当的规则性和椭圆率假设的表面张力，武尔夫形状是极小在这个问题中，当且仅当表面能是各向同性的。我们表明，对于光滑的各向异性，在小的非局域性制度，极小收敛到武尔夫形状$C^1$规范和量化的收敛速率。我们还获得了一个定量的扩展的能量周围的能量产生的几何稳定性结果的武尔夫形状的任何极小。对于某些晶体表面张力，我们可以确定整体极小值，并获得其精确的能量展开的非局域性参数。
A quantitative Weinstock inequality
研究了凸集上Laplace算子第一非平凡Steklov特征值的高维Weinstock不等式。关键规则是一个定量的等周不等式，它涉及$\mathbb R^n$，$n \ge 2$的凸开集的边界动量，体积和周长。
Local Minimizers of the Anisotropic Isoperimetric Problem on Closed Manifolds
该研究针对闭黎曼流形小体积区域的各向异性等周问题，证明其局部极小值点为测地凸的切向Wulff形状小光滑扰动，且可由体积量化，丰富了几何测度论相关结论。
A quantitative dimension free isoperimetric inequality for the fractional Gaussian perimeter
利用推广的技巧证明了高斯分数周长的一个定量的等周不等式。虽然Fraenkel不对称性的指数并不尖锐，但出现在不等式中的常数不依赖于维数，而仅依赖于集合的高斯体积和分数参数。
The sharp quantitative isocapacitary inequality (the case of $p$-capacity)
在一般的$p$情形下，证明了等容不等式的一个精确的定量形式.这项工作是作者的文件与Guido De Philippis和Michele Marini，在那里我们处理的情况下，$2$ -能力的推广。
The quantitative Faber-Krahn inequality for the Robin Laplacian
本文证明了具有Robin边界条件的Laplace算子第一特征值的一个定量的Faber-Krahn不等式。不对称项涉及Fraenkel不对称的平方幂，乘以一个常数，该常数取决于Robin参数，空间的维数和集合的测度。
Anisotropic curvature measures and volume preserving flows
本文第一部分发展了欧几里得空间中凸体的各向异性曲率测度理论。证明了任何凸体，如果其边界各向异性曲率测度等于其它低阶各向异性曲率测度的非负系数线性组合，则该凸体是标度Wulff形.这推广了Schneider的经典结果。数学。海弗。\textbf{54}（1979），42- 60]和Kohlmann [Arch. Math.（Basel）\textbf{70}（1998），250- 256]对各向异性设置的研究。证明中的主要成分是广义各向异性Minkowski公式和Heintze-Karcher型不等式的凸体。第二部分考虑欧几里得空间中光滑闭凸超曲面的保体积流，其速度由$k$次平均曲率的正幂$α$加上一个全局项来保持超曲面的封闭体积。我们证明了，如果初始超曲面是严格凸的，那么流的解存在于所有时间，并收敛到Hausdorff意义下的Wulff形状。通过各向异性曲率措施的Wulff形状的特征定理将被用于证明的收敛结果至关重要。此外，在$k=1$，$n$或$α\geq k$的情形下，我们还可以进一步将Hausdorff收敛性改进为光滑收敛和指数收敛.
The sharp quantitative isocapacitary inequality
证明了经典等容不等式的一个精确的定量形式。也就是说，我们证明了一个集的容量和具有相同体积的球的容量之间的差异限制了该集的Fraenkel不对称性的平方。这为Hall、Hayman和Weitsman的一个猜想提供了一个肯定的答案（J. d' Analyse Math. '91）。
A quantitative stability inequality for fractional capacities
本文的目的是证明分数阶等容不等式的一个非尖锐的定量稳定性。特别是，我们提供了一个下界的Fraenkel不对称的等电容赤字。此外，我们提供的渐近行为的$s$ -分数容量时，$s$去$1$和我们的估计相对于参数$s$的稳定性。
Stability for a GNS inequality and the Log-HLS inequality, with application to the critical mass Keller-Segel equation
从Bianchi和Egnell关于2-Sobolev不等式的定量稳定性结果出发，得到了平面上Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式的几个不同的稳定性结果.然后，利用该不等式与快速扩散方程之间的联系，得到了Log-HLS不等式的定量稳定性.最后，利用这些估计，我们证明了临界质量Keller-Segel系统的一个定量收敛结果。
Discrete Quantitative Isocapacitary Inequality: Fluctuation Estimates
本文研究离散等容量问题在集合规模趋于无穷时的波动估计，通过将变分问题从离散扩展到连续域，并结合精确的连续等容量不等式，揭示了离散情况下的最小化器特性。
The quantitative isoperimetric inequality: A calibration argument
基于定量校准概念，给出定量等周不等式的简短证明，直接自证关键结果，无需近似极小正则理论。
Improved quantitative stability for the critical Hardy inequality
该研究改进了含原点有界域上临界Hardy不等式的定量稳定性估计，将距离指数从$N^2$降至$N$，替换了函数空间框架，无需截断虚拟极值函数，还推广至带对数权的情形，证明基于带余项不等式、尺度不变Sobolev不等式与精细二进求和。
Sharp Quantitative Stability for the Affine \(p\)-Sobolev Inequality, Part I: The Case \(2\le p<n\)
本文针对 Lutwak-Yang-Zhang 引入的仿射 \(L^p\)-Sobolev 不等式（\(p\ge 2\)）证明了尖锐的定量稳定性结果，并展示了稳定性指数最优且等于 \(p\)。
Sharp Quantitative Stability for the Affine $p$-Sobolev Inequality, Part II: The Case $1<p<2$
本文证明仿射 $p$-Sobolev 不等式在 $1<p<2$ 时的尖锐定量稳定性，并确认最优稳定性指数为 $2$。
Best constants for the isoperimetric inequality in quantitative form
证明了$R^n$中一类定义在Borel集上的泛函极小解的存在性和正则性。将这些结果与作者在arXiv：0911.0786中引入的选择原理的改进相结合，我们描述了一种适合于确定具有高阶项的定量等周不等式中最佳常数的方法.然后，应用Bonnesen的环形对称化在一个非常基本的方式，我们表明，对于$n=2$，上述常数可以明确地计算通过一个单参数家庭的凸集称为椭圆形。这证明了霍尔在J. Reine Angew中提出的一个猜想的进一步扩展。Math.428（1992）。
Anisotropic Moser-Trudinger inequality involving $L^n$ norm
研究了各向异性Moser-Trudinger不等式的一个包含$L^{n}$范数的精确形式.令\begin{equation*} λ_{1}(Ω) = \inf_{u\in W_0^{1,n}(Ω),u\not\equiv 0} ||F(\nabla u)||_{L^n(Ω)}^n / ||u||_{L^n(Ω)}^n \end{equation*}为与$n$-Finsler-Laplacian相关联的第一特征值。利用Blowing up分析，我们得到了对于任何$0\leq α<λ_{1}(Ω)$，\begin{equation*} \sup_{u\in W_{0}^{1,n}(Ω),||F(\nabla u)||_{L^n(Ω)} = 1} \int_Ωe^{λ_n (1+α||u||_{L^n (Ω)}^n)^{\frac{1}{n-1}} |u|^{\frac{n}{n-1}}}dx \end{equation*}是有限的，对于任何$α\geq λ_{1}(Ω)$，上确界是无限的，其中$λ_{n} = n^{\frac{n}{n-1}} κ_n^{\frac{1}{n-1}}$（$κ_{n}$是单位Wulff球的体积）和函数$F$是正凸齐次$1$，其极函数$F^o$表示$\mathbb{R}^n$上的Finsler度量.此外，上确界获得任何$0\leq α<λ_{1}(Ω)$。
Anisotropic Moser-Trudinger inequality involving $L^{n}$ norm in the entire space $\mathbb{R}^{n}$
设$F: \mathbb{R}^{n}\rightarrow [0,+\infty) $是$C^{2}( \mathbb{R}^{n}\backslash\{0\})$类的一个凸函数，它是一个1次正齐次偶函数，它的极函数$F^{0}$表示$\mathbb{R}^{n}$上的一个Finsler度量. $W^{1,n}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$中的各向异性Sobolev范数由\begin{equation*} ||u||_{F}=\left(\int_{\mathbb{R}^{n}}F^{n}(\nabla u)+|u|^{n}\right)^{\frac{1}{n}}. \end{equation*}定义本文对任意的$0\leqα<1$，在整个空间$\mathbb{R}^n$中建立了包含$L^{n}$范数\[ \underset{u\in W^{1,n}( \mathbb{R}^{n}),\left\Vert u\right\Vert _{F}\leq 1}{\sup}\int_{ \mathbb{R} ^{n}}Φ\left( λ_{n}\left\vert u\right\vert ^{\frac{n}{n-1}}\left( 1+α\left\Vert u\right\Vert _{n}^{n}\right) ^{\frac{1}{n-1}}\ri…
Poincaré inequality and quantitative De Giorgi method for hypoelliptic operators
该研究提出基于轨迹的系统方法，证明含任意多个Hörmander交换子的次椭圆方程弱非负下解的庞加莱不等式，进而推导弱哈纳克不等式与赫尔德正则性。
Sharp quantitative Talenti's inequality in particular cases
本文研究Talenti对称化不等式在特定情况下的应用，证明当函数定义在单位球内且为子集特征函数时，L^p-Talenti不等式在指数2时具有稳定性。
Extended Rearrangement inequalities and applications to some quantitative stability results
本文证明了一个新的广义函数重排的Hardy-Littlewood型不等式。然后，我们展示了如何这个不等式提供{ \em定量}稳定性结果的稳定状态的演化系统，基本上保持重排和一些合适的能量泛函，在最小的正则性假设的扰动。特别地，这个不等式给出了Vlasov-Poisson系统的一大类定态解的{ \em定量}稳定性结果，更精确地说，我们通过相对哈密顿量（能量泛函）和重排导出了扰动的$L^1$范数的定量控制.一个一般的非线性稳定性的结果已获得\cite{LMR}在引力的背景下，但证明依赖于在一个关键的方式上的紧凑性参数，通过建设提供没有定量控制的扰动。我们的函数不等式也适用于2D-Euler系统的背景下，也提供了定量的稳定性结果的一大类平衡态，该系统在一个自然的能量空间。
The Talenti comparison result in a quantitative form
本文针对带Dirichlet边界条件的椭圆问题，借助Pólya-Szegő不等式和Hardy-Littlewood不等式的定量形式，推导出经典Talenti比较结果的定量版本。
Sharp quantitative stability of Poincare-Sobolev inequality in the hyperbolic space and applications to fast diffusion flows
考虑双曲空间上的Poincaré-Sobolev不等式：对于每个$n \geq 3$和$1 < p \leq \frac{n+2}{n-2},$，存在最佳常数$S_{n,p, λ}(\mathbb{B}^{n})>0$，使得$$S_{n, p, λ}(\mathbb{B}^{n})\left(~\int \limits_{\mathbb{B}^{n}}|u|^{p+1} \, {\rm d}v_{\mathbb{B}^n} \right)^{\frac{2}{p+1}} \leq\int \limits_{\mathbb{B}^{n}}\left(|\nabla_{\mathbb{B}^{n}}u|^{2}-λu^{2}\right) \, {\rm d}v_{\mathbb{B}^n},$$对所有$u\in C_c^{\infty}(\mathbb{B}^n),$和$λ\leq \frac{(n-1)^2}{4},$成立，其中$\frac{(n-1)^2}{4}$是$-Δ_{\mathbb{B}^n}.$的$L^2$ -谱的底部。Super.比萨海峡Sci. 7（2008）]，在对$n,p$和$λ$的适当假设下，存在一个优化器，直到双曲等距线为止是唯一的，可以获得最佳常数$S_{n,p,λ}(\mathbb{B}^n).$。在这篇文章中，我们研究了上述不等式和相应的Euler-L…
A quantitative isoperimetric inequality for fractional perimeters
最近Frank和Seiringer证明了一个由分数阶Sobolev范数引起的非局部周界泛函的等周不等式。本文以定量的形式改进了这个等周不等式。
A reverse quantitative isoperimetric type inequality for the Dirichlet Laplacian
得到了拉普拉斯算子第一Dirichlet特征值关于周长的稳定性结果。特别是，我们证明，一旦我们固定的尺寸$n\geq2$，存在一个常数$c>0$，仅取决于$n$，这样，对于每一个$Ω\subset\mathbb{R}^n$开放，有界和凸集的体积等于一个球$B$半径$1$的体积，它持有\begin{equation*} λ_1(Ω)-λ_1(B)\geq c\left(P(Ω)-P(B) \right)^{2}, \end{equation*}，其中$λ_1(\cdot)$，我们表示第一狄利克雷特征值的集合和$P(\cdot)$其周长。本文的炉膛是一个尖锐的估计弗伦克尔不对称的周长。
Quantitative uniqueness for elliptic equations with singular lower order terms
利用Koch和Tataru的Carleman型不等式获得了具有奇异低阶项的二阶椭圆型方程解的唯一延拓的定量估计。首先证明了一个三球不等式，然后描述了正测度集的小性传播的两种方法。
A quantitative result for the $k$-Hessian equation
本文通过细化保持混合体积的对称化方法，获得 $k$-Hessian 积分 Pólya-Szegő 不等式及 Tso 比较结果的定量改进，并应用于证明 Faber-Krahn 和 Saint-Venant 不等式的定量版本。
An improved version of a spectral inequality by Payne
本文改进了 Payne 的谱不等式，提供了更精确的谱界，并为进一步研究经典不等式的定量增强提供了新方向。
Stability for the Sobolev inequality in cones
本文针对锥区域建立 Bianchi-Egnell 型定量 Sobolev 不等式，在极小元非退化条件下证明稳定性，并对经典气泡情形给出更精确结果，同时指出局部估计无法得到最优常数。
The Riemannian Quantitative Isoperimetric Inequality
研究了黎曼定量等周不等式.我们表明，直接模拟欧几里德定量等周不等式是-在一般情况下-假的封闭黎曼流形。尽管如此，我们表明，不等式是真的一般。此外，我们表明，修改后的（但尖锐的）版本的定量等周不等式持有一个真正的分析度量，使用Lojasiewicz-Simon不等式。我们的工作的一个主要的新颖性是，在我们所有的结果，我们不需要任何先验知识的结构/形状的极小。
A Selection Principle for the Sharp Quantitative Isoperimetric Inequality
引入一种新的变分方法来研究等周不等式的稳定性。该方法是相当普遍的，因为它依赖于惩罚技术结合正则性理论的周边quasimiminimulators。两个应用程序。首先给出了$R^n$中一个尖锐的定量等周不等式的新证明。第二，我们积极回答霍尔猜想有关的最佳常数的定量等周不等式$R^2$在小的不对称制度。
Sharp dimension free quantitative estimates for the Gaussian isoperimetric inequality
我们提供了一个完整的定量版本的高斯等周不等式。我们的估计是独立的尺寸，尖锐的衰减率相对于不对称性和最佳的依赖于质量。
The sharp Gagliardo--Nirenberg--Sobolev inequality in quantitative form
利用降维方法和Seuffert最近证明的半空间上的加权Sobolev不等式的稳定性形式，本文建立了一族由Del Pino和Dolbeault \cite{DelPino}引起的尖锐Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式的稳定性估计（或定量估计）.
Quantitative strong unique continuation for elliptic operators -- application to an inverse spectral problem
本文基于三球不等式和加倍不等式，定量化Koch-Tataru的强唯一延拓，并证明边界附近度量及边界谱数据一致时，两个Dirichlet-Laplace-Beltrami算子规范等价。
Quantitative stability of critical points for the nonlocal-Sobolev inequality in Heisenberg group
本文研究海森堡群中非局部索伯列夫不等式临界点的定量稳定性，证明当$u$接近欧拉方程解时，$u$与最优解集合的距离可被泛函导数项线性界定，且$Q=4$时弱相互作用泡泡解满足该稳定性结果。
A sharp quantitative Alexandrov inequality and applications to volume preserving geometric flows in 3D
本文研究三维保体积平均曲率流和 Mullins-Sekerka 流的渐近行为，并建立了带周长界的 $C^2$ 集合的尖锐定量 Alexandrov 不等式，为其应用提供理论基础。
A quantitative Talenti-type comparison result with Robin boundary conditions
本文针对带Robin边界条件的泊松方程，通过分析解水平集的不对称性传播，建立了定量Talenti比较原理，还得到相关不等式的新证明并完善了对应刚性结果框架。
Gradient stability for the Sobolev inequality: the case $p\geq 2$
本文证明了一个强形式的定量Sobolev不等式，其中函数$\mathbb{R}^n$的亏损控制了Sobolev不等式中极值函数$v$的$\| \nabla u -\nabla v\|_{L^p}$.
A Generalization of the Sphere Covering Inequality
本文将球面覆盖不等式推广至边界共形因子可相差非负常数的情形，证明其对边界扰动稳定并给出总面积界的定量变化，为椭圆方程和共形几何等提供新工具。
The Makai inequality in higher dimensions: qualitative and quantitative aspects
本文在高维空间中证明了涉及拉普拉斯算子扭矩刚度、周长和域测度的精确不等式，扩展了Makai在平面中的结果，并提供了关于优化序列几何结构和厚度的定量估计。
A quantitative stability estimate for the fractional Faber-Krahn inequality
证明了s阶分数阶Dirichlet-Laplacian第一特征值的Faber-Krahn不等式的一个定量形式。这是通过使用所谓的Caffarelli-Silvestre扩展和适应非局部设置Hansen和Nadirashvili的技巧来完成的。相关的稳定性估计带有一个显式常数，当可微性的分数阶达到1时，该常数是稳定的。
Quantitative stability of a nonlocal Sobolev inequality
本文研究了非局部Sobolev不等式的定量稳定性，证明了梯度水平下的稳定性及Euler-Lagrange方程轮廓分解的稳定性，并探讨了特定参数区域下该不等式的稳定性估计。
Quantitative Stability for the Heisenberg-Pauli-Weyl inequality
证明了Heisenberg-Pauli-Weyl不等式的一个定量稳定性结果。这产生了下一阶和下一阶的修正项，使所有维度的不等式更加尖锐。
Boundary weak Harnack estimates and quantitative strong maximum principles for uniformly elliptic PDE
对椭圆型偏微分方程理论中的两个基本估计，即弱Harnack不等式和定量强最大值原理，给出了非散度型一致椭圆型方程的完全边界推广.
A Quantitative Pólya--Szegő Theorem for Tangential Polygons
该研究证明给定面积的切向N边形中，正N边形的扭转刚度最大，分解切向多边形为混合狄利克雷-纽曼直角三角形单元，推导了相关映射的严格凹性与亏空分解，还应用其证明等面积正多边形扭转刚度随边数增大并得到相关准则。
Quantitative Borell-Brascamp-Lieb inequalities for compactly supported power concave functions (and some applications)
本文用两种不同的方法加强了幂凹函数类中的Borell-Brascamp- Lieb不等式.作为应用的例子，我们得到了Brunn-Minkowski不等式和Urysohn不等式的两个定量形式的扭转刚度。
Quantitative Resolvent and Eigenfunction Stability for the Faber-Krahn Inequality
本文证明 Faber–Krahn 亏损可定量控制区域与最近单位球的 Dirichlet Laplacian 预解算子距离平方，并由此得到各阶特征函数的 $L^2$ 稳定性，且二次幂最优。
A generalized Korn inequality and strong unique continuation for the Reissner-Mindlin plate system
我们证明建设性的估计弹性板Reissner-Mindlin理论建模和一般各向异性材料。也就是说，我们得到了一个广义的Korn不等式，它允许导出Neumann问题的定量稳定性和全局H^2正则性。此外，在各向同性材料的情况下，我们得到了一个具有最优指数的内三球不等式，由此得到了强唯一连续性。
Deficit Estimates for the Logarithmic Sobolev Inequality
我们确定尖锐的空间，并证明定量和非定量的稳定性结果的对数Sobolev不等式涉及Wasserstein和$L^p$度量。该技术是基于最优输运理论和傅里叶分析。我们还讨论了一个概率的方法。
Stability of the Gaussian Faber-Krahn inequality
本文证明了高斯Faber-Krahn型不等式的定量稳定性，用高斯Fraenkel不对称性估计Ornstein-Uhlenbeck算子第一Dirichlet特征值的亏量，且常数仅依赖于规定的高斯测度。
The sharp quantitative Euclidean concentration inequality
欧几里德浓度不等式指出，在具有固定体积的集合中，对于每个$r>0$，球具有体积最小的$r$ -邻域。在任意的集合上，示出了该体积增长与球的体积增长的偏差，以控制集合与球之间的对称差的体积的平方。这个尖锐的结果是严格相关的物理意义的问题，理解附近的极大化的Riesz重排不等式与严格减少径向减少核。此外，它还暗示了\cite{fuscomaggipratelli}的一个特殊情形的尖锐的定量欧几里得等周不等式。
A strong quantitative form of the fractional isoperimetric inequality
本文提出分数阶定量等周不等式的强版本，推广了已有局部结果，采用与原方法核心思路不同的正则化流程完成证明，并据此推导得到分数阶Cheeger不等式的稳定性估计。
On the sharp multi-bubble stability for fractional Hardy-Sobolev equations -- A quantitative approach in low dimensions
本文在低维情形下研究了分数 Hardy-Sobolev 方程的多气泡稳定性，通过定量方法证明了能量接近气泡叠加的函数的刚性，并构造反例证明线性速率最优。
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