On the connection between uniqueness from samples and stability in Gabor phase retrieval
本文证明Gabor相位恢复中离散样本唯一性与连续稳定性之间不存在必然联系，并证明破坏唯一恢复的反例在L^2(R)中稠密，同时探讨了不稳定方向与小特征值Laplacian特征函数的关系。
2023-11-29 math.FA
Stable Gabor Phase Retrieval and Spectral Clustering
我们考虑从其频谱图重建信号$f$的问题，即，其伽柏变换的幅值$|V_φf|$ $$V_φf (x,y):=\int_{\mathbb{R}}f(t)e^{-π(t-x)^2}e^{-2πıy t}dt, \quad x,y\in \mathbb{R}.$$这样的问题出现在从纳米级结构的光学成像到音频处理和分类的广泛应用中。虽然众所周知，上述Gabor相位恢复问题的解决方案对于自然识别是唯一的，但重建的稳定性仍然是开放的。本论文发现了一个深刻的和令人惊讶的相位检索，谱聚类和谱几何之间的联系。我们表明，稳定的Gabor相位重建是由$\mathbb{R}^2$上的平坦度量的Cheeger常数的倒数，共形乘以$|V_φf|$。Cheeger常数，反过来，在谱聚类领域中起着突出的作用，它精确地量化了测量$V_φf$的“不连通性”。人们早就知道，测量的不连续支持会导致不稳定性-我们的结果首次提供了一个相反的意义上，没有其他来源的不稳定性。由于Gabor相位恢复在相干衍射成像中的重要性，我们还对这些成像技术的稳定性特性提供了新的理解：与成像科学中的大多数经典问题（其正则化需要促进平滑性或稀疏性）相反，相位恢复问题的正确正则化促进了测量的“连通性”从下面界定Cheeger常数。因此，我们的工作第一次为开发有效的正则化策略打开了大门。
2017-06-14 math.FA
Injectivity of Gabor phase retrieval from lattice measurements
我们建立了新的独特性结果的Gabor相位恢复问题：如果$\mathcal{G} : L^2(\mathbb{R}) \to L^2(\mathbb{R}^2)$表示的Gabor变换，然后每个$f \in L^4[-\tfrac{c}{2},\tfrac{c}{2}]$确定到一个全球性的相位值$|\mathcal{G}f(x,ω)|$其中$(x,ω)$是点的晶格$b^{-1}\mathbb{Z} \times (2c)^{-1}\mathbb{Z}$和$b>0$是一个任意的正常数。这是第一次表明，紧支撑，复值函数可以唯一地重建从格样本的频谱图。此外，利用Gröchenig，Romero和Stöckler关于移位不变空间中采样的最新发展，我们证明了具有高斯生成元的移位不变空间中函数的类似唯一性结果.非均匀采样的推广。最后，我们比较我们的结果的情况下，所考虑的信号被假定为实值。
2022-09-15 math.FA
Uncovering the limits of uniqueness in sampled Gabor phase retrieval: A dense set of counterexamples in $L^2(\mathbb{R})$
本文研究采样Gabor相位恢复的唯一性问题，证明其反例集在$L^2(\mathbb{R})$中稠密但一般不等于全空间，从而揭示了该问题在信号恢复中的根本局限性。
2023-07-08 math.CV math.FA
Explicit Full-Spark Gabor Windows with Quantitative Phase Retrieval
Hefei University of Technology（合肥工业大学）
通过代数扰动构造显式有限Gabor窗，同时实现全火花与相位可恢复性，并给出最优模糊裕度及稳定性保证。
2026-10-01 math.FA
Phase retrieval of entire functions and its implications for Gabor phase retrieval
本文利用Hadamard因子分解定理刻画了在两条任意直线及无穷多条等距平行线上模相等的整函数对，并证明三条有理无关距离的平行线上的模可唯一确定整函数（至多相差全局相位），同时给出了一阶整函数在特定直线族上无法唯一确定的例子，为Gabor相位恢复提供了直接理论依据。
2024-03-15 math.CV math.FA
Injectivity of sampled Gabor phase retrieval in spaces with general integrability conditions
本研究将Gabor相位恢复的唯一恢复结论从$L^4$空间拓展到$p\u2208[1,\u221e]$的$L^p([-B,B])$空间，调整原有证明并结合Beurling采样定理，修正Müntz-Szász型结果，还探讨了其在更一般函数空间与非均匀采样集中的应用。
2023-08-28 math.FA
Stability estimates for phase retrieval from discrete Gabor measurements
相位恢复是指从无相位测量中恢复某些信号（通常被建模为希尔伯特空间的元素）的问题。已经表明，在确定性设置中，从帧系数的相位恢复在无限维希尔伯特空间[7]中总是不稳定的，并且在有限维希尔伯特空间[7]中可能是严重病态的。最近，也已经表明，在基于环礁函数的更宽松的半全局相位恢复机制下，由具有高斯窗函数的Gabor变换引起的测量的相位恢复是稳定的[1]。在有限的维度，我们提出的第一个证据表明，这种半全球性的重建制度允许一个做相位检索从测量的带限信号引起的离散Gabor变换的方式，相应的稳定常数只规模像一个低阶多项式在空间维度。为此，我们利用近年来已成为常用工具的重建公式[6，12，18，20]。
2021-01-06 cs.IT cs.NA eess.SP
Injectivity of Multi-window Gabor Phase Retrieval
本文研究有限维下多窗口 Gabor frame 的相位恢复单射性问题，提出显式构造无穷族可相位恢复的 frame，并证明所需相位无关测量数仅取决于信号空间维数且较以往结果大幅减少。
2023-07-03 cs.IT math.FA math.IT
Stable Gabor phase retrieval in Gaussian shift-invariant spaces via biorthogonality
研究复高斯平移不变空间中信号的Gabor相位恢复问题，提出基于Riesz基展开的显式重构公式，并证明了有限频谱图样本稳定逼近的采样结果，所得算法稳定收敛且适用于更广的函数空间。
2023-10-05 cs.NA math.FA math.NA
Robustness to noise and erasures of Gabor frames in finite dimensions
本文研究有限维Gabor框架在噪声与擦除下的鲁棒性，分析框架界对结构及基数的依赖，构造近紧Gabor框架，并证明Alltop窗生成的Gabor框架在擦除率高达50%时具有与最佳确定性构造相当的性能。
2025-09-01 math.FA math.PR
Stable STFT phase retrieval and Poincaré inequalities
本文将Gabor相位恢复不稳定性分类从高斯窗推广到单边指数窗等非高斯窗函数，并建立了适用于不可微函数的修正庞加莱不等式。
2024-06-29 math.CA math.FA
Stable phase retrieval from short-time linear canonical transforms of signals in Gaussian shift-invariant spaces
Guangdong Province Key Laboratory of Computational Science（广东省计算科学重点实验室）
本文研究了从相位less短时线性canonical变换测量中稳定恢复信号的问题，提出了一种显式重建公式和鲁棒算法，并在傅里叶情况下改进了稳定性常数。
2026-05-08 math.FA
On a dense set of functions determined by sampled Gabor magnitude
University of Maryland（马里兰大学）
研究通过采样离散集上的Gabor变换幅度恢复函数的唯一性，证明特定类信号可通过足够密集的采样集恢复，主要贡献是证明指数型整个函数在第二类整个函数中由模值唯一确定。
2026-04-17 math.CV math.FA
Robust Phase Retrieval Algorithm for Time-Frequency Structured Measurements
我们解决的问题，信号重建强度测量相对于测量帧。这种非凸逆问题被称为相位恢复。在本文中考虑的情况下，无相测量相对于一个伽柏框架。它在许多实际应用中自然出现，例如衍射成像和语音识别。我们提出了一种重建算法，使用一个接近最佳数量的无相位的时间-频率结构的测量，并讨论其鲁棒性的情况下，当测量被噪声破坏。我们展示了如何测量帧的几何特性与无相重建的鲁棒性有关。所提出的算法是基于极化的思想，提出了由Alexeev，Bandeira，Fickus，和Mixon。
2019-02-12 math.FA
Cheeger Bounds for Stable Phase Retrieval in Reproducing Kernel Hilbert Spaces
RWTH Aachen University（亚琛工业大学）
本文提出核Cheeger常数用于衡量再生核希尔伯特空间中相位恢复的稳定性，并给出了统一的稳定性界，适用于有限和无限维空间及不同测量域。
2025-12-30 math.FA
Arithmetic progressions and holomorphic phase retrieval
本文研究从绝对值确定全纯函数的问题，推导出基于集合刚性的唯一性刻画，并应用于 Gabor 相位恢复和 Pauli 型唯一性问题。
2024-08-13 math.CV math.FA
Stable Phase Retrieval in Infinite Dimensions
相位恢复的问题是从强度测量$|F(ω)|$确定信号$f\in \mathcal{H}$，其中$\mathcal{H}$是希尔伯特空间，其中$F(ω):=\langle f , φ_ω\rangle$是$f$相对于测量系统$(φ_ω)_{ω\in Ω}\subset \mathcal{H}$的测量。虽然相位恢复在有限维设置中总是稳定的，只要它是可能的（即内射性意味着反问题的稳定性），但如果$\mathcal{H}$是无限维的，情况就完全不同了：在这种情况下，相位恢复永远不会均匀稳定[8，4];此外，稳定性在问题的维度上严重恶化[8]。另一方面，所有凭经验观察到的不稳定性都是某种类型的：只要强度测量的函数$|F|$集中在不相交的集合$D_j\subset Ω$上，即，当$F= \sum_{j=1}^k F_j$时，其中每个$F_j$集中在$D_j$（和$k \geq 2$）上。出于这些考虑，我们提出了一种用于稳定相位恢复的新范例，其通过考虑将$F$重建到不是全局的相位因子的问题，但是该相位因子对于每个子集$D_j$可以是不同的，即，将$F$恢复到等价物$$ F \sim \sum_{j=1}^k e^{i α_j} F_j.$$我们提出了具体的应用（例如在音频处理中），其中这种新的稳定性概念是自然的和有意义的，并且表明在这种设置中实际上可以实现稳定的相位恢复，例如如果测量系统是Gabo…
2017-02-01 math.FA
Phase Retrieval from 4N-4 Measurements
本文用初等方法证明了用p和p '的4 N-4个无相位傅里叶测量值恢复小于N次复多项式p的相位是可能的。此外，我们提供了一个相关的算法，并证明它恢复p到全局相位。
2014-03-19 math.FA
Phase Retrieval By Projections
从一个向量的内积的绝对值恢复一个向量对一个测量向量族的问题在数学和工程中已经得到了很好的研究。这个相位恢复问题的推广也存在于工程中：从测量值中恢复向量，该测量值由向量到子空间族的正交投影的范数组成。存在半定规划算法来解决这个问题，但在这种更一般的情况下，仍有很多未知数。这样的测度是内射的子空间的族能被完全分类吗？有内射性所需的子空间的最小数目是多少？如何密切这个问题相比，通常的相位恢复问题与家庭的测量矢量？在本文中，我们回答这些问题，或为这些问题采取渐进的步骤。我们提供了几个特征的子空间，产生单射测量，并通过一个具体的建设，我们证明了令人惊讶的结果，相位恢复可以实现与任意秩的$2M-1$预测$\HH_M$。最后，我们提出了几个开放的问题，因为我们讨论的问题，独特的相位恢复问题的子空间。
2013-07-18 math.FA
Phase retrieval in Fock space and perturbation of Liouville sets
本文研究 Fock 空间中的相位恢复问题，通过构建 Liouville 集合的扰动作为不规则采样集，首次实现了具有有限密度的唯一性集合构造，并将结果推广至 Gabor 相位恢复问题。
2024-10-23 math.CA math.CV math.FA
Multi-window STFT phase retrieval: lattice uniqueness
本文提出多窗口STFT相位恢复方法，通过建立多窗口Gabor系统、Fock空间采样与有限框架相位恢复的联系，克服单窗口格点采样无法实现唯一重建的障碍，并给出了密度条件。
2024-10-23 math.CV math.FA
Phase retrieval from very few measurements
在许多应用中，根据线性过程测量信号，但这些测量的相位通常不可靠或不可用。为了重建信号，必须执行称为相位恢复的过程。本文着重于完全确定尽可能少的强度测量信号，并从这些测量有效的相位恢复算法。对于复杂的M维信号的情况下，我们构建了一个测量合奏的大小为4 M-4，产生单射强度测量，这被证明是最小的这样的合奏。对于真实信号的情况下，我们设计了一个理论的“几乎”内射强度测量，我们这样的合奏的特点。后来，我们表明，相位恢复从M+1几乎单射强度测量是NP难的，这表明计算效率高的相位恢复必须在测量冗余的代价。
2013-07-26 cs.CC cs.IT math.FA
Generalized phase retrieval : measurement number, matrix recovery and beyond
在本文中，我们开发了一个广义相位恢复的框架，其中一个目的是重建一个矢量${\mathbf x}$在${\mathbb R}^d$或${\mathbb C}^d$通过二次样本${\mathbf x}^*A_1{\mathbf x}, \dots, {\mathbf x}^*A_N{\mathbf x}$。广义相位恢复包括标准相位恢复和正交投影相位恢复。我们首先探讨广义相位恢复，低秩矩阵恢复和非奇异双线性形式之间的联系。出于连接，我们提出的结果恢复矩阵，位于一组$W\in {\mathbb C}^{d\times d}$所需的最小测量数。将结果应用于相位恢复，我们表明，通用$d \times d$矩阵$A_1,\ldots, A_N$具有相位恢复属性，如果$N\geq 2d-1$在真实的情况下，$N \geq 4d-4$在复杂的情况下，非常一般的类$A_1,\ldots,A_N$，例如矩阵与规定的秩或正交投影。我们的方法也导致了一个新的证明经典的Stiefel-Hopf条件的非奇异双线性形式。我们还给出了广义相位恢复所需的最小测量数的下界。对于几类尺寸$d$，我们得到的最小测量数的精确值。我们的工作统一和增强的结果，从标准的相位检索，相位检索的投影和低秩矩阵恢复。
2016-06-03 cs.IT math.FA math.IT
Phase retrieval with polarization
在成像科学的许多领域中，难以测量线性测量的相位。因此，人们通常希望从强度测量重构信号，即，执行相位恢复。在本文中，我们提供了一种新的测量设计，它的灵感来自干涉测量，并利用扩展图的某些属性。我们还给出了一个有效的相位恢复程序，并使用谱图理论中的最新结果来产生一个稳定的性能保证，该保证可与[Candes et al. 2011]中的PhaseLift保证相媲美。我们使用数值模拟来说明我们的相位恢复程序的性能，我们比较重建误差和运行时间与一个共同的交替投影型程序。
2013-09-12 cs.IT math.FA math.IT
An algebraic characterization of injectivity in phase retrieval
复帧是跨越$\mathbb{C}^M$并定义$\mathbb{C}^M$中向量的测量（称为强度测量）的向量集合。在纯数学术语中，相位恢复的问题是从其强度测量恢复复向量，即其与这些帧向量的内积的模。我们表明，任何矢量是唯一确定的（全球相位因子）从$4M-4$通用测量。为了证明这一点，我们确定了一组框架定义非内射测量与投影的一个真正的品种和约束其尺寸。
2013-11-30 cs.IT math.AG math.FA
Phase retrieval of complex and vector-valued functions
在经典设置中的相位恢复问题是从它们的傅立叶/帧测量的幅度重建实/复函数。在本文中，我们考虑了一个新的相位恢复范例中的复杂/四元数/矢量值设置，我们提供了几个特征，以确定复杂/四元数/矢量值函数$f$在一个线性空间$S$（在）有限维，直到一个平凡的模糊性，从幅度$\|ϕ(f)\|$的线性测量$ϕ(f), ϕ\in Φ$。在标量设置我们的表征意味着众所周知的线性测量$Φ$和相位检索的线性空间$S$的互补属性之间的等价性。本文还讨论了线性空间中向量值函数的仿射相位恢复和图上向量场的重构，直到正交矩阵，由向量场在顶点的绝对值和相邻顶点之间的相对值。
2019-09-04 cs.IT math.FA math.IT
Near-optimal phase retrieval of sparse vectors
在成像科学的许多领域中，难以测量线性测量的相位。因此，人们通常希望从强度测量重构信号，即，执行相位恢复。在一些应用中，所讨论的信号被认为是稀疏的。在本文中，我们使用的想法，从最近开发的极化相位恢复方法，并提供了一种算法，保证恢复稀疏的信号从一些无相线性测量，线性尺度与信号的稀疏性（对数因子）。这是特别值得注意的，因为它是已知的，某种流行的类凸方法是不能执行恢复，除非测量的数量与信号的稀疏性的平方成比例。这是一个更完整的出版物，将出现在其他地方的简短版本。
2013-08-01 cs.IT math.FA math.IT
Uniqueness of phase retrieval from three measurements
在本文中，我们考虑的问题，找到一个尽可能小的家庭运营商$(T_j)_{j\in J}$的$L^2(R)$的相位恢复：每一个$φ$是唯一确定的（一个恒定的相位因子）的无相数据$(|T_jφ|)_{j\in J}$。这个问题出现在应用科学的各个领域中，在这些领域中，操作员通常服从进一步的限制。这里特别感兴趣的是所谓的{ \em编码衍射谱}，其中算子的形式为$T_jφ=\mathcal{F}m_jφ$，$\mathcal{F}$为傅立叶变换，而$m_j\in L^\infty(R)$为“掩模”。在这里，我们显式地构建三个实值掩模$m_1,m_2,m_3\in L^\infty(R)$，使相关的编码衍射图案进行相位恢复。这意味着三个自伴算子$T_jφ=\mathcal{F}[m_j\mathcal{F}^{-1}φ]$也进行相位恢复。证明使用复分析。然后，我们表明，这些运营商在有限维设置的一些自然的类似物并不总是导致相同的唯一性结果，由于欠采样效应。
2022-05-18 math.CA math.CV math.FA
The Algebraic Approach to Phase Retrieval and Explicit Inversion at the Identifiability Threshold
University College London（伦敦大学学院）；University of Vienna（维也纳大学）
我们研究相位恢复从一个未知信号的幅度测量作为一个代数估计问题。实际上，从秩一和更一般的线性测量的相位恢复可以以代数方式处理。验证了一定数量的通用秩一或通用线性测量足以实现通用信号的信号重构，并且稍微更通用的测量产生所有信号的可重构性。我们的研究结果解决了一些开放的问题，在最近的文献中。此外，我们展示了如何代数估计问题可以解决的封闭形式的代数估计技术，称为理想回归，提供非渐近的成功保证。
2014-02-17 cs.CV cs.IT math.AG
Stable Signal Recovery from Phaseless Measurements
本文的目的是研究压缩相位恢复的$\ell_1$最小化的稳定性，并将压缩感知中的实例最优性扩展到实际相位恢复设置。我们首先表明，$m={\mathcal O}(k\log(N/k))$测量是足以保证$\ell_1$最小化恢复$k$稀疏信号稳定提供的测量矩阵$A$满足强RIP属性。我们第二次调查的无相位实例最优性提出了零空间的测量矩阵$A$的属性，存在一个解码器$Δ$，使无相位实例最优性保持。我们使用这个结果来研究$\ell_1$范数的无相位实例最优性。该结果与经典的压缩感知方法建立了一个平行的压缩相位恢复。
2015-04-09 cs.IT math.FA math.IT
FROG-measurement based phase retrieval for analytic signals
频率分辨光选通（FROG）在光学中被广泛应用于超快脉冲的表征，但在时频分析和信号处理中，特别是在提取事件的瞬时特征时，常常需要考虑解析信号。本文研究了$\Bbb{C}^N$中解析信号的相位恢复问题。在建立了解析信号的FROG-PR的模糊性之后，我们发现偶数长度的解析信号的FROG-PR不同于奇数长度的解析信号的FROG-PR，也不同于具有$B \leq N/2$的$B$ -带限信号的情况。现有的带限信号的方法可以应用于奇数长度的解析信号，但它不适用于偶数长度的情况。借助两个宽松的FROG-PR问题和一种翻译技术，我们开发了一种针对偶数长度解析信号的FROG-PR方法，并证明在这种情况下，通用解析信号可以由它们的$(3N/2+1)$ FROG测量唯一地（直到模糊性）确定。
2021-03-08 cs.IT eess.SP math.FA
Sparse phase retrieval via Phaseliftoff
稀疏相位恢复的目的是从二次测量值$|\langle \mathbf{a}_i,\mathbf{x}_0\rangle|^2$恢复$k$ -稀疏信号$\mathbf{x}_0\in \mathbb{C}^{d}$，其中$\mathbf{a}_i\in \mathbb{C}^d, i=1,\ldots,m$。注意到具有$A_i=\mathbf{a}_i\mathbf{a}_i^*\in \mathbb{C}^{d\times d}, X_0=\mathbf{x}_0\mathbf{x}_0^*\in \mathbb{C}^{d\times d}$的$|\langle \mathbf{a}_i,\mathbf{x}_0\rangle|^2={\text{Tr}}(A_iX_0)$，可以将稀疏相位恢复重铸为从线性测量恢复秩一稀疏矩阵的问题。Yin和Xin通过迹和Frobenius范数的差异引入了PhaseLiftOff，它代表了秩1条件的代理。通过在PhaseLiftOff中加入稀疏惩罚，本文提出了一种新的模型来从二次测量中恢复稀疏信号。理论分析表明，我们的模型的解决方案提供了几乎最佳的采样复杂度$m=O(k\log(d/k))$下$\mathbf{x}_0$的稳定恢复。模型的计算采用差分凸函数算法（DCA）。数值实验表明，我们的算法优于其他国家的最先进的算法用于解决稀疏相位检索。
2020-08-20 cs.IT math.FA math.IT
Phase Retrieval Meets Statistical Learning Theory: A Flexible Convex Relaxation
我们提出了一个灵活的凸松弛的相位恢复问题，在自然域的信号。因此，我们避免了禁止计算成本与“提升”和半定规划（SDP）的方法，如PhaseLift和最近开发的非凸相位检索技术的竞争。我们放松的二次方程的无相测量不等式约束，其中每个代表一个对称的“板”。通过一个简单的凸规划，我们提出的估计找到一个极值点的交叉点，这些板块是最好的对齐与给定的锚向量。我们表征几何条件，证明成功的建议估计。此外，使用统计学习理论中的经典结果，我们表明，随机测量的几何证书持有概率高，在最佳的样本复杂度。我们的估计器的相变是通过模拟评估。我们的数值实验还表明，所提出的方法可以解决相位恢复问题的编码衍射测量以及。
2017-03-16 cs.IT cs.LG math.FA
