Stable Gabor phase retrieval for multivariate functions
在最近的工作[P. Grohs和M.拉斯梅尔稳定Gabor相位恢复和谱聚类。纯粹与应用数学通信（2018）] Gabor相位恢复问题的不稳定性，即，从其谱图$|\mathcal{G}f|$重建函数$f$的问题，其中$$ \mathcal{G}f(x,y)=\int_{\mathbb{R}^d} f(t) e^{-π|t-x|^2} e^{-2πi t\cdot y} dt, \quad x,y\in \mathbb{R}^d, $$已根据谱图的不连通性完全分类。然而，这些发现主要限于一维情况（$d=1$），因此与许多实际应用无关。在本文中，我们不仅推广了上述结果的多元情况下，但也显着改进。我们的新结果在各种应用中有着广泛的影响，如重叠关联，一种非常流行的相干衍射成像方法。
2019-03-04 math.FA
Gabor Tight Fusion Frames: Construction and Applications in Signal Retrieval Modulo Phase
希尔伯特空间融合框架是希尔伯特空间框架的自然扩张，将概念从希尔伯特空间中的向量集合扩展到具有类似的过完备性和有界性概念的希尔伯特空间的子空间集合。由于紧框架是标准框架理论中的一个非常重要的主题，紧融合框架也同样重要;然而，迄今为止只知道紧融合框架的平凡例子。在本文中，我们从Gabor分析的思想，证明了一个非平凡的建设紧密融合框架。然后，我们使用这种结构，以进一步显示其适用性，在某些情况下的信号模相位的检索。
2017-06-22 math.FA
$L^2$-stability analysis for Gabor phase retrieval
我们考虑的问题，重建丢失的相位信息从频谱数据$|\mathcal{G} f|,$与$$ \mathcal{G}f(x,y)=\int_\mathbb{R} f(t) e^{-π(t-x)^2}e^{-2πi t y}dt, $$的Gabor变换的信号$f\in L^2(\mathbb{R})$。更具体地说，我们感兴趣的域$Ω\subseteq \mathbb{R}^2$，它允许稳定的局部重建，即$$ |\mathcal{G}g| \approx |\mathcal{G}f| \quad \text{in} ~Ω\quad\Longrightarrow \quad \exists τ\in\mathbb{T}:\quad \mathcal{G}g \approx τ\mathcal{G}f \quad \text{in} ~Ω. $$。拉斯梅尔稳定Gabor相位恢复和谱聚类。（2019）]和[P. Grohs和M.拉斯梅尔多元函数的稳定Gabor相位恢复。J. Eur. [Math. Soc.（2021）]我们根据观测测量的连通性建立了该相位恢复问题的稳定性的表征。上述结果的主要缺点是两个频谱图的相似性是通过w.r.t.一阶加权Sobolev范数。在这篇文章中，我们消除了这个缺陷，并从本质上表明，Sobolev规范可以取代的$L^2-$规范。使用这一结果使我们能够表明，它足以在适当的…
2021-08-13 math.FA
On the connection between uniqueness from samples and stability in Gabor phase retrieval
本文证明Gabor相位恢复中离散样本唯一性与连续稳定性之间不存在必然联系，并证明破坏唯一恢复的反例在L^2(R)中稠密，同时探讨了不稳定方向与小特征值Laplacian特征函数的关系。
2023-11-29 math.FA
Stable Gabor Phase Retrieval and Spectral Clustering
我们考虑从其频谱图重建信号$f$的问题，即，其伽柏变换的幅值$|V_φf|$ $$V_φf (x,y):=\int_{\mathbb{R}}f(t)e^{-π(t-x)^2}e^{-2πıy t}dt, \quad x,y\in \mathbb{R}.$$这样的问题出现在从纳米级结构的光学成像到音频处理和分类的广泛应用中。虽然众所周知，上述Gabor相位恢复问题的解决方案对于自然识别是唯一的，但重建的稳定性仍然是开放的。本论文发现了一个深刻的和令人惊讶的相位检索，谱聚类和谱几何之间的联系。我们表明，稳定的Gabor相位重建是由$\mathbb{R}^2$上的平坦度量的Cheeger常数的倒数，共形乘以$|V_φf|$。Cheeger常数，反过来，在谱聚类领域中起着突出的作用，它精确地量化了测量$V_φf$的“不连通性”。人们早就知道，测量的不连续支持会导致不稳定性-我们的结果首次提供了一个相反的意义上，没有其他来源的不稳定性。由于Gabor相位恢复在相干衍射成像中的重要性，我们还对这些成像技术的稳定性特性提供了新的理解：与成像科学中的大多数经典问题（其正则化需要促进平滑性或稀疏性）相反，相位恢复问题的正确正则化促进了测量的“连通性”从下面界定Cheeger常数。因此，我们的工作第一次为开发有效的正则化策略打开了大门。
2017-06-14 math.FA
Injectivity conditions for STFT phase retrieval on $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}_d$ and $\mathbb{R}^d$
研究了$\mathbb{Z}$、$\mathbb{Z}_d$和$\mathbb{R}^d$群上短时傅里叶变换的相位恢复问题。众所周知，一旦窗口的模糊度函数在任何地方消失，相位恢复是可能的。然而，对于不满足此条件的窗口，只有很少的结果。本文的目标是建立新的和完整的表征相位检索更一般的窗口，并将它们与现有的结果进行比较。对于一个固定的窗口，我们的唯一性条件通常只取决于信号的支持，因此很容易理解。此外，我们还讨论了新的和现有的结果的锐度，通过查看沿途的各种例子。
2022-06-14 math.FA
Uncovering the limits of uniqueness in sampled Gabor phase retrieval: A dense set of counterexamples in $L^2(\mathbb{R})$
本文研究采样Gabor相位恢复的唯一性问题，证明其反例集在$L^2(\mathbb{R})$中稠密但一般不等于全空间，从而揭示了该问题在信号恢复中的根本局限性。
2023-07-08 math.CV math.FA
Explicit Full-Spark Gabor Windows with Quantitative Phase Retrieval
Hefei University of Technology（合肥工业大学）
通过代数扰动构造显式有限Gabor窗，同时实现全火花与相位可恢复性，并给出最优模糊裕度及稳定性保证。
2026-10-01 math.FA
Saving phase: Injectivity and stability for phase retrieval
凸优化的最新进展使有限维向量空间上的相位恢复问题取得了新的进展。然而，某些基本问题仍然存在：什么样的测量向量唯一地确定每个信号的全局相位因子，需要多少个？此外，哪些测量组合提供稳定性？本文提出了解决这些问题的几个结果。我们开始由特征的内射性，我们确定的补充性质确实是一个必要条件在复杂的情况下。然后，我们提出了一个猜想，4 M-4通用测量向量是必要的和充分的内射在M维，我们证明了这一猜想的特殊情况下，M= 2，3。接下来，我们将注意力转移到稳定性，无论是在最坏的情况下还是在一般情况下。在这里，我们通过引入一个数值版本的补充属性，在实际情况下的最坏情况下的稳定性。这个新的属性与压缩感知的受限等距属性有一些相似之处，并且可以用于导出强度测量映射上的陡峭的Lipschitz下界。本地化的帧缺乏这种属性（建议不稳定），而高斯随机测量显示，以满足此属性的高概率。最后，我们提出的结果，使用随机噪声模型在真实和复杂的情况下，我们利用Cramer-Rao下界，以确定稳定性与更强的版本的注入特性。
2013-10-14 math.FA
Phase retrieval of entire functions and its implications for Gabor phase retrieval
本文利用Hadamard因子分解定理刻画了在两条任意直线及无穷多条等距平行线上模相等的整函数对，并证明三条有理无关距离的平行线上的模可唯一确定整函数（至多相差全局相位），同时给出了一阶整函数在特定直线族上无法唯一确定的例子，为Gabor相位恢复提供了直接理论依据。
2024-03-15 math.CV math.FA
On the Injectivity of STFT Phase Retrieval with super-exponential decaying window function
Department of Mathematics, Tufts University（塔夫茨大学数学系）
研究\(L^2(\mathbb{R})\)中短时傅里叶变换相位恢复问题，针对傅里叶变换超指数衰减窗函数，推导离散采样集充分条件以实现唯一相位恢复，推广了高斯窗相关结果。
2026-07-24 math.CA math.CV math.FA
Stability estimates for phase retrieval from discrete Gabor measurements
相位恢复是指从无相位测量中恢复某些信号（通常被建模为希尔伯特空间的元素）的问题。已经表明，在确定性设置中，从帧系数的相位恢复在无限维希尔伯特空间[7]中总是不稳定的，并且在有限维希尔伯特空间[7]中可能是严重病态的。最近，也已经表明，在基于环礁函数的更宽松的半全局相位恢复机制下，由具有高斯窗函数的Gabor变换引起的测量的相位恢复是稳定的[1]。在有限的维度，我们提出的第一个证据表明，这种半全球性的重建制度允许一个做相位检索从测量的带限信号引起的离散Gabor变换的方式，相应的稳定常数只规模像一个低阶多项式在空间维度。为此，我们利用近年来已成为常用工具的重建公式[6，12，18，20]。
2021-01-06 cs.IT cs.NA eess.SP
Stable Gabor phase retrieval in Gaussian shift-invariant spaces via biorthogonality
研究复高斯平移不变空间中信号的Gabor相位恢复问题，提出基于Riesz基展开的显式重构公式，并证明了有限频谱图样本稳定逼近的采样结果，所得算法稳定收敛且适用于更广的函数空间。
2023-10-05 cs.NA math.FA math.NA
An algebraic characterization of injectivity in phase retrieval
复帧是跨越$\mathbb{C}^M$并定义$\mathbb{C}^M$中向量的测量（称为强度测量）的向量集合。在纯数学术语中，相位恢复的问题是从其强度测量恢复复向量，即其与这些帧向量的内积的模。我们表明，任何矢量是唯一确定的（全球相位因子）从$4M-4$通用测量。为了证明这一点，我们确定了一组框架定义非内射测量与投影的一个真正的品种和约束其尺寸。
2013-11-30 cs.IT math.AG math.FA
On Injectivity of Phase Retrieval
School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院）
本文证明当测量矩阵A为独立同分布标准复高斯矩阵且N=4M-5时，相位恢复映射非单射的概率为正，从而证实了Cynthia Vinzant猜想的第一部分。
2026-06-17 cs.IT math.FA math.IT
Robustness to noise and erasures of Gabor frames in finite dimensions
本文研究有限维Gabor框架在噪声与擦除下的鲁棒性，分析框架界对结构及基数的依赖，构造近紧Gabor框架，并证明Alltop窗生成的Gabor框架在擦除率高达50%时具有与最佳确定性构造相当的性能。
2025-09-01 math.FA math.PR
Stable phase retrieval from short-time linear canonical transforms of signals in Gaussian shift-invariant spaces
Guangdong Province Key Laboratory of Computational Science（广东省计算科学重点实验室）
本文研究了从相位less短时线性canonical变换测量中稳定恢复信号的问题，提出了一种显式重建公式和鲁棒算法，并在傅里叶情况下改进了稳定性常数。
2026-05-08 math.FA
Robust Phase Retrieval Algorithm for Time-Frequency Structured Measurements
我们解决的问题，信号重建强度测量相对于测量帧。这种非凸逆问题被称为相位恢复。在本文中考虑的情况下，无相测量相对于一个伽柏框架。它在许多实际应用中自然出现，例如衍射成像和语音识别。我们提出了一种重建算法，使用一个接近最佳数量的无相位的时间-频率结构的测量，并讨论其鲁棒性的情况下，当测量被噪声破坏。我们展示了如何测量帧的几何特性与无相重建的鲁棒性有关。所提出的算法是基于极化的思想，提出了由Alexeev，Bandeira，Fickus，和Mixon。
2019-02-12 math.FA
Stable STFT phase retrieval and Poincaré inequalities
本文将Gabor相位恢复不稳定性分类从高斯窗推广到单边指数窗等非高斯窗函数，并建立了适用于不可微函数的修正庞加莱不等式。
2024-06-29 math.CA math.FA
On a dense set of functions determined by sampled Gabor magnitude
University of Maryland（马里兰大学）
研究通过采样离散集上的Gabor变换幅度恢复函数的唯一性，证明特定类信号可通过足够密集的采样集恢复，主要贡献是证明指数型整个函数在第二类整个函数中由模值唯一确定。
2026-04-17 math.CV math.FA
Cheeger Bounds for Stable Phase Retrieval in Reproducing Kernel Hilbert Spaces
RWTH Aachen University（亚琛工业大学）
本文提出核Cheeger常数用于衡量再生核希尔伯特空间中相位恢复的稳定性，并给出了统一的稳定性界，适用于有限和无限维空间及不同测量域。
2025-12-30 math.FA
Phase Retrieval By Projections
从一个向量的内积的绝对值恢复一个向量对一个测量向量族的问题在数学和工程中已经得到了很好的研究。这个相位恢复问题的推广也存在于工程中：从测量值中恢复向量，该测量值由向量到子空间族的正交投影的范数组成。存在半定规划算法来解决这个问题，但在这种更一般的情况下，仍有很多未知数。这样的测度是内射的子空间的族能被完全分类吗？有内射性所需的子空间的最小数目是多少？如何密切这个问题相比，通常的相位恢复问题与家庭的测量矢量？在本文中，我们回答这些问题，或为这些问题采取渐进的步骤。我们提供了几个特征的子空间，产生单射测量，并通过一个具体的建设，我们证明了令人惊讶的结果，相位恢复可以实现与任意秩的$2M-1$预测$\HH_M$。最后，我们提出了几个开放的问题，因为我们讨论的问题，独特的相位恢复问题的子空间。
2013-07-18 math.FA
Arithmetic progressions and holomorphic phase retrieval
本文研究从绝对值确定全纯函数的问题，推导出基于集合刚性的唯一性刻画，并应用于 Gabor 相位恢复和 Pauli 型唯一性问题。
2024-08-13 math.CV math.FA
Stable Phase Retrieval in Infinite Dimensions
相位恢复的问题是从强度测量$|F(ω)|$确定信号$f\in \mathcal{H}$，其中$\mathcal{H}$是希尔伯特空间，其中$F(ω):=\langle f , φ_ω\rangle$是$f$相对于测量系统$(φ_ω)_{ω\in Ω}\subset \mathcal{H}$的测量。虽然相位恢复在有限维设置中总是稳定的，只要它是可能的（即内射性意味着反问题的稳定性），但如果$\mathcal{H}$是无限维的，情况就完全不同了：在这种情况下，相位恢复永远不会均匀稳定[8，4];此外，稳定性在问题的维度上严重恶化[8]。另一方面，所有凭经验观察到的不稳定性都是某种类型的：只要强度测量的函数$|F|$集中在不相交的集合$D_j\subset Ω$上，即，当$F= \sum_{j=1}^k F_j$时，其中每个$F_j$集中在$D_j$（和$k \geq 2$）上。出于这些考虑，我们提出了一种用于稳定相位恢复的新范例，其通过考虑将$F$重建到不是全局的相位因子的问题，但是该相位因子对于每个子集$D_j$可以是不同的，即，将$F$恢复到等价物$$ F \sim \sum_{j=1}^k e^{i α_j} F_j.$$我们提出了具体的应用（例如在音频处理中），其中这种新的稳定性概念是自然的和有意义的，并且表明在这种设置中实际上可以实现稳定的相位恢复，例如如果测量系统是Gabo…
2017-02-01 math.FA
Optimal lower Lipschitz bounds for ReLU layers, saturation, and phase retrieval
St. Louis University（圣路易斯大学）；Acoustics Research Institute, Austrian Academy of Sciences（奥地利科学院声学研究所）
该研究利用框架理论统一分析 ReLU 层单射性、饱和测量恢复和实相位恢复，并给出 ReLU 层与截断操作在常数因子内最优的 Lipschitz 下界。
2025-02-14 cs.LG cs.NA math.FA
Phase retrieval in Fock space and perturbation of Liouville sets
本文研究 Fock 空间中的相位恢复问题，通过构建 Liouville 集合的扰动作为不规则采样集，首次实现了具有有限密度的唯一性集合构造，并将结果推广至 Gabor 相位恢复问题。
2024-10-23 math.CA math.CV math.FA
Multi-window STFT phase retrieval: lattice uniqueness
本文提出多窗口STFT相位恢复方法，通过建立多窗口Gabor系统、Fock空间采样与有限框架相位恢复的联系，克服单窗口格点采样无法实现唯一重建的障碍，并给出了密度条件。
2024-10-23 math.CV math.FA
