The coloring problem for $\{P_5,\bar{P_5}\}$-free graphs and $\{P_5,K_p-e\}$-free graphs is polynomial
D. S. Malyshev, O. O. Lobanova
我们证明了确定无$\{P_5,\bar{P_5}\}$图和无$\{P_5,K_p-e\}$图的色数可以在多项式时间内完成
We show that determining the chromatic number of a $\{P_5,\bar{P_5}\}$-free graph or a $\{P_5,K_p-e\}$-free graph can be done in polynomial time
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Polynomial-time algorithms for minimum weighted colorings of ($P_5, \bar{P}_5$)-free graphs and related graph classes
我们设计了一个$O(n^3)$算法来寻找（$P_5, \bar{P}_5$）-free图的最小权染色。此外，同样的技术可以用来解决同样的问题，几类图，定义为禁止诱导子图，如（钻石，co-diamond）-free图。
Three-coloring graphs with no induced seven-vertex path II : using a triangle
本文给出了一个多项式时间算法，该算法判定一个含有三角形且无导出七点路的图是否是3-可着色的，如果存在，则给出一个显式染色。在以前的工作中，我们给出了无诱导七点路的无三角形图的三着色的多项式时间算法，结合我们的工作，我们证明了无诱导七点路的图的三着色可以在多项式时间内完成.
Edge-b-coloring Trees
一个图的顶点的b-染色是一个正常染色，其中每个颜色类包含一个顶点，该顶点与其他颜色类中的至少一个顶点相邻。$G$的b-色数是使$G$具有带$b(G)$颜色的b-染色的最大整数$b(G)$。这个问题是由Irving和Manlove在1999年提出的，他们证明了计算$b(G)$一般是$\mathcal{NP}$ -困难的，并且对于树是多项式时间可解的。从那时起，许多复杂性的结果，包括弦图的NP-硬度结果（Havet et.例如，2011）和线图（Campos et.例如，2015年）。在这篇文章中，我们提出了一个多项式时间的算法，解决了限制在无爪块图，弦图和线图的一个重要子类的问题。这等价于解决限制在树的问题的边着色版本。
Equitable Colorings of $l$-Corona Products of Cubic Graphs
一个图$G$是公平$k$ -可着色的，如果它的顶点可以被划分成$k$独立的集合，使得任意两个集合中的顶点数相差至多1。存在这种着色的最小整数$k$被称为$G$的\emph{equitable chromatic number}，并且它被表示为$χ_{=}(G)$。本文研究了三次图$G \circ^l H$的多子图的均匀色数的确定问题。三次图的多冠染色问题在多项式时间内是可解的。公平着色问题的复杂性是这类图的一个公开问题。我们提供了一些多项式可解的情况下，三次multicoronas和简单的线性时间算法，公平着色这样的图，最多使用$χ_=(G \circ ^l H) + 1$颜色在其余的情况下。
Polynomial Cases for the Vertex Coloring Problem
顶点着色问题的计算复杂性是已知的所有遗传类的图定义禁止两个连通的五顶点诱导子图，除了七种情况。我们证明了其中四个问题的多项式时间可解性：（$P_5$，飞镖）-免费的图形，（$P_5$，横幅）-免费的图形，（$P_5$，公牛）-免费的图形，（叉，公牛）-免费的图形。
List $3$-coloring $C_4$-free graphs of diameter-$2$ in polynomial-time
提出多项式时间算法解决直径2的无C4图的列表3-染色问题，基于结构刻画表明许多此类图不可3-染色。
Polynomial bounds for centered colorings on proper minor-closed graph classes
对于$p\in \mathbb{N}$，图$G$的顶点的着色$λ$是{ \em{$p$-centered} }，如果对于$G$的每个连通子图~ $H$，或者$H$在$λ$下接收多于$p$的颜色，或者存在在$H$中恰好出现一次的颜色。本文证明了对于某些函数$g$，每个$K_t$ -minor-free图都有一个具有$\mathcal{O}(p^{g(t)})$色的$p$ -中心染色.在图可嵌入固定曲面$Σ$的特殊情况下，我们证明了它允许一个具有$\mathcal{O}(p^{19})$颜色的$p$ -中心染色，且多项式的次数与$Σ$的亏格无关.这提供了第一个多项式上界的$p$为中心的着色所需的颜色的数量从适当的小闭类，这回答了一个开放的问题所提出的Dvozziness {á}k。作为算法的应用，我们利用我们的主要结果证明了：如果$\mathcal{C}$是一个固定的真小闭图类，那么给定$H$和$G$，分别在$p$和$n$的顶点上，其中$G\in \mathcal{C}$，可以判定$H$是否是$G$在时间$2^{\mathcal{O}(p\log p)}\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$和空间$n^{\mathcal{O}(1)}$上的子图.
Precoloring co-Meyniel graphs
给定一个图$G$和一个已经分配了一些颜色的节点子集，预着色扩展问题在于找到$G$的着色，该着色具有尊重预着色分配的最小颜色数。这可以归结为一般的收缩图的着色问题。证明了Meyniel图的补图的预着色扩张是多项式的。我们回答了Hujter和Tuza的一个问题，证明了“PrExt完美”图就是co-Meyniel图，这也推广了Hujter和Tuza以及Hertz的结果.此外，我们表明，给定一个co-Meyniel图，相应的收缩图属于一个限制类的完美图（“co-Artemis”图，这是“co-perfectly contractile”图），其完美性比强完美图定理更容易建立。然而，我们的算法的多项式性仍然依赖于椭球方法着色完美图。
On the Chromatic Polynomial and Counting DP-Colorings
图$G$的色多项式，记为$P(G,m)$，等于$G$的真$m$ -染色的个数.图$G$的列表色函数，记作$P_{\ell}(G,m)$，是自1992年以来一直在研究的色多项式的列表模拟，主要是通过与相应的色多项式的比较。DP-着色（也称为对应着色）是最近由Dvotelák和Postle引入的列表着色的推广。在本文中，我们介绍了一个DP-着色模拟的色多项式称为DP色函数，表示$P_{DP}(G,m)$，并提出了几个基本的开放问题，其中一些进展。出于已知的结果与列表颜色函数，我们表明，虽然DP颜色函数的行为类似于列表颜色函数的一些图，也有一些令人惊讶的差异。例如，Wang，Qian和Yan最近证明了，如果$G$是一个有$l$边的连通图，则$P_{\ell}(G,m)=P(G,m)$无论何时都是$m > \frac{l-1}{\ln(1+ \sqrt{2})}$，但我们将证明，对于任何$g \geq 3$，都存在一个图$G$，其围长$g$使得当$m$足够大时$P_{DP}(G,m) < P(G,m)$。我们还研究了固定图$G$的$P(G,m) - P_{DP}(G,m)$的渐近性。我们开发的技术来计算$P_{DP}(G,m)$准确，并将其应用到某些类的图，如弦图，单圈图，和周期的和弦。最后，我们取得了进展，表明任何图$G$，有一个$p$，使$P_{DP}(G \vee K_p, m) =…
A Polynomial-Time Algorithm for Coloring Perfect Graphs Based on Walk Counting
该研究提出基于图论操作的多项式时间算法，核心是通过迭代计算加权路径判定完美图是否含给定大小团，权重先统一初始化再依上次迭代路径计数更新，用于对完美图进行最优着色。
Fast Recoloring of Sparse Graphs
在本文中，我们证明了，对于每一个图的最大平均度有界远离$d$，任何$(d+1)$ -染色可以转化为任何其他一个内的一个多项式数量的顶点邻接，使在每一步，当前的着色是适当的。特别地，它意味着我们可以将可平面图的任何$8$ -染色变换为具有多项式个数的染色的任何其他$8$ -染色。这些结果证明了Cereceda，van den Heuvel和Johnson的一个猜想，即$d$ -退化图的任何$(d+2)$染色都可以用多项式个数的染色变换成其它任何染色.证明了$d$ -退化图的任何$(2d+2)$ -染色都可以用线性的染色数变换成其它的染色.
An efficient implementation and a strengthening of Alon-Tarsi list coloring method
作为多项式方法在组合学中的第一个应用，Alon和Tarsi给出了一种方法来证明一个图是可选择的（从任何指定大小的列表中可着色）。我们描述了一种有效的方法来实现这种方法，使其可行的测试选择的图形与周围70边。我们还表明，在情况下，阿隆-塔尔西方法未能表明，该图是可选的，图多项式的进一步系数提供限制的列表分配，从该图不能着色。这通常使我们能够从一个给定的列表赋值中确认可着色性，或者通过测试几个列表赋值来决定可选择性。该实现可以在https://gitlab.mff.cuni.cz/dvorz9am/alon-tarsi-method上找到。
The black-and-white coloring problem on circle graphs
给定图G和整数b和w。黑白着色问题询问是否存在不相交的顶点集B和W，其中|B| =b和|W| =w，使得B中的两个顶点x和W中的两个顶点y都不相邻。在本文中，我们表明，这个问题是多项式时，仅限于置换图，更一般地说，圈图。
A characterization of b-perfect graphs
b-染色是图的顶点的染色，使得每个颜色类包含一个顶点，该顶点具有所有其他颜色类中的邻居，并且图$G$的b-色数是最大整数$k$，使得$G$允许$k$颜色的b-染色。一个图是b-完美的，如果b-色数等于$G$的每个导出子图的色数.我们证明了一个图是b-完美的当且仅当它不包含一个特定的列表的22个图的成员作为一个诱导子图。这就需要存在一个多项式时间识别算法和一个多项式时间算法，用于精确地着色每个b-完美图的顶点。
The interval constrained 3-coloring problem
本文解决了具有固定颜色数的区间约束染色的开复杂性问题。我们证明了，如果不同颜色的数量是3，该问题已经是NP-完全的。以前，它只被认为是NP完全的，如果颜色的数量是输入的一部分，并且如果颜色的数量至多为2，则问题在多项式时间内可解。我们还表明，这是很难满足几乎所有的约束的可行的情况。
Equitable coloring of corona products of cubic graphs is harder than ordinary coloring
一个图是公平$k$ -可着色的，如果它的顶点可以被划分成$k$独立的集合，使得任意两个集合中的顶点数相差至多1。存在这种着色的最小$k$被称为$G$的\emph{equitable chromatic number}，并且它被表示为$χ_{=}(G)$。本文研究了三次图的冠的$χ_=$的确定问题。虽然三次图的冠的普通着色问题在多项式时间内是可解的，但对这类图的均匀着色问题则是NP-难的。我们提供了多项式可解的情况下，冠的三次图，并证明了在一般情况下的NP-硬度。作为一个副产品，我们得到了一个简单的线性时间算法的公平着色，使用$χ_=(G)$或$χ_=(G)+1$颜色的图。我们的算法是最好的，除非$P=NP$。因此，三次冠似乎是唯一已知的一类图的公平着色是困难的比普通着色。
Distance-Two Colorings of Barnette Graphs
巴内特确定了两个有趣的类立方多面体图，他证明存在一个汉密尔顿周期。古迪证明了两个类的交集的猜想。我们从距离二着色的角度来研究这些类。图$G$的距离2 $r$ -染色是指将$r$颜色分配给$G$的顶点，使得距离至多为2的任意两个顶点具有不同的颜色。请注意，一个三次图至少需要四种颜色。三次平面图的距离为2的四色问题是NP-完全的。我们声称这个问题仍然是NP-完全的三连通二部三次平面图，我们称之为第一类巴内特图，因为他们是第一类巴内特确定。相比之下，我们声称这个问题是多项式的三次平面图的面大小$3, 4, 5,$或$6$，我们称之为类型2巴内特图，因为他们的关系巴内特的第二个猜想。我们称古迪图为二型巴内特图，其所有面的大小都是$4$或$6$。我们充分描述了所有的Goodey图，承认一个距离2四着色，并根据他们的脸的大小来描述其余的类型2巴内特图，承认一个距离2四着色。对于四次平面图，第二类Barnette图的类似物是面大小为$3$或$4$的图。对于这个类，距离为2的四色问题也是多项式的;事实上，我们可以再次完全描述所有可着色的实例--正好有两个这样的图。
4-coloring $P_6$-free graphs with no induced 5-cycles
我们证明了4-着色问题可以在多项式时间内解决，没有诱导5-圈$C_5$和没有诱导6-顶点路$P_6$。
b-Coloring Parameterized by Clique-Width
本文给出了一个多项式时间算法来求解常宽度图的b-着色问题。这统一并扩展了几乎所有先前已知的关于图类的多项式时间结果，并回答了Campos和Silva [Elmica，2018]和Bonomo等人[Graphs Combin.，2009年]。这构成了这个问题的结构参数化的第一个结果。我们表明，这个问题是FPT时，参数化的顶点覆盖数一般图，和弦图时，参数化的颜色数。此外，我们观察到，我们的算法的有界candle宽度的图形可以适应解决秋季着色问题在相同的运行时间范围内。在指数时间假设下，b-着色和Fall着色的基于宽度的算法的运行时间是紧的。
Three-coloring graphs with no induced seven-vertex path I : the triangle-free case
本文给出了一个多项式时间算法，它判定一个给定的无三角形且无导出七点路的图是否是3-可着色的，如果存在，则给出一个显式染色。
Harary polynomials
给定图的一个性质$\mathcal{P}$，F. Harary在1985年引入了$\mathcal{P}$ -着色，图着色，其中每个颜色类在$\mathcal{P}$中导出一个图。令$χ_{\mathcal{P}}(G;k)$计算$G$的$\mathcal{P}$着色数，其中最多有$k$颜色。事实证明，对于每个图$G$，$χ_{\mathcal{P}}(G;k)$是$\mathbb{Z}[k]$中的多项式。这种形式的图多项式被称为Harary多项式。本文研究了Harary多项式的性质，并与经典色多项式$χ(G;k)$的性质进行了比较。证明了特征多项式、Laplacian多项式、匹配多项式、独立多项式和控制多项式都不是Harary多项式。我们表明，对于各种概念的稀疏，非平凡的属性$\mathcal{P}$，多项式$χ_{\mathcal{P}}(G;k)$是，相反，$χ(G;k)$，不是一个色，甚至不是一个边缘消除不变。最后，我们研究了Harary多项式在一元二阶逻辑中是否可定义。
Four-coloring $P_6$-free graphs. I. Extending an excellent precoloring
这是第一个文件中的一个系列，其目标是给一个多项式时间算法的$4$ -着色问题和$4$ -预着色扩展问题限制在类图没有诱导六顶点路，从而证明了一个猜想的黄。结合以前已知的结果，这完成了分类的复杂性的$4$ -着色问题的图与一个连接的禁止诱导子图。在本文中，我们给出了一个多项式时间算法，以确定是否有一个特殊的预着色的$P_6$ -free图的预着色扩展，并构造这样一个扩展，如果存在。结合本系列第二篇文章的主要结果，给出了问题的完整解答。
Four-coloring $P_6$-free graphs. II. Finding an excellent precoloring
这是一系列两篇论文中的第二篇。本文的目的是对不含导出六点路的图类给出$4$ -染色问题和$4$ -预染色扩张问题的多项式时间算法，从而证明了Huang的一个猜想.结合以前已知的结果，这完成了分类的复杂性的$4$ -着色问题的图与一个连接的禁止诱导子图。在本文中，我们给出了一个多项式时间算法，开始一个$4$ -预着色的图没有诱导六顶点路，并输出一个多项式大小的所谓的优秀预着色的集合。优秀的预着色比一般的预着色更容易处理，此外，为了确定初始预着色是否可以扩展到整个图，只需为集合中的每个优秀预着色回答相同的问题。该系列的第一篇论文涉及优秀的预着色，从而提供了一个完整的解决方案。
Coloring ($P_5$, bull)-free graphs
本文给出了一个多项式时间算法，该算法计算了任意五个顶点上不含路且不含公牛的诱导子图的色数（公牛是五个顶点$a,b,c,d,e$和边$ab,bc,cd,be,ce$的图）.
Improved Complexity Results on $k$-Coloring $P_t$-Free Graphs
一个图是$H$-free的，如果它不包含一个同构于$H$的导出子图.我们用$P_k$和$C_k$分别表示$k$顶点上的路和圈。本文证明了无$P_7$图的4-着色是NP-完全的，无$P_6$图的5-着色是NP-完全的.这两个结果改进了以往关于$k$-着色$P_t$-free图的所有结果，并且几乎完成了对$k\ge 4$和$t\ge 1$的$k$-着色$P_t$-free图的复杂性分类，只剩下4-着色$P_6$-free图.我们期望4-COLORING是多项式时间可解的$P_6$-free图;在支持这一点，我们描述了一个多项式时间算法4-COLORING $P_6$-free图也是$P$-free，其中$P$是从$C_4$通过添加一个新的顶点，并使其相邻于$C_4$上的一个顶点。
Counting hypergraph colorings in the local lemma regime
本文给出了一个计算最大度$Δ$的$k$ -一致超图的$q$ -染色数的完全多项式时间近似方案（FPTAS），如果$k\ge 28$和$q >357Δ^{\frac{14}{k-14}}$是相同的.当$q>931Δ^{\frac{16}{k-16/3}}$为零时，我们还得到了一个多项式时间的几乎均匀采样器.这些是$q\llΔ$体系中的第一近似计数和采样算法（对于大$Δ$和$k$），无需任何附加假设。我们的方法基于Moitra最近的工作（STOC，2017）。我们的一个重要贡献是消除了Moitra方法中对$k$和$Δ$的依赖性。
Curvature from Graph Colorings
设G=（V，E）为有限简单图，色数为c，色多项式为色多项式C（x）. G的每个点图着色f定义一个指数i_f（x），满足Poincare-Hopf定理sum_xi_f（x）=chi（G）.作为指数期望结果的一个变体，我们证明了E[i_f（x）]等于曲率K（x），满足Gauss-Bonnet sum_x K（x）= χ（G），其中期望是包含C（c）个c色可能着色的有限概率空间上的平均，且每个着色的概率相同.
Harmonious Coloring of Trees with Large Maximum Degree
$G$的调和着色是指$G$的一个真顶点着色，使得每对颜色至多出现在一对相邻的邻顶点上. $G$的调和色数，$h(G)$，是$G$的调和着色所需的最小颜色数。证明了如果$T$是一个阶为$n$的森林，其最大阶数为$Δ(T)\geq \frac{n+2}{3}$，则$$h(T)= Δ(T)+2, & if $T$ has non-adjacent vertices of degree $Δ(T)$; Δ(T)+1, & otherwise. $$.此外，还证明了一个求解这类森林的最优和谐着色的多项式时间算法.
Dichotomies properties on computational complexity of S-packing coloring problems
本文建立了S-填充着色问题的几个实例的复杂性类：对于图G，一个正整数k和一个非减整数列表S =（s_1，...，s_k），则G是S-可染的，如果G的顶点可划分为集合S_i，i = 1，.，k，其中每个Si是Si-填充（成对距离大于Si的顶点的集合）。对于三个整数的列表，确定了次三次图的NP完全问题和多项式时间可解问题之间的二分法。此外，对于一个不固定大小的列表，S-包装着色问题的复杂性，确定了几个例子的问题。这些性质是用来证明一个二分法之间的NP完全问题和多项式时间可解的问题，最多四个整数的列表。
Coloring k-colorable graphs using relatively small palettes
我们得到了以下新的着色结果：* 一个3-可着色的图在$n$顶点上的最大度~ $Δ$可以在多项式时间内用$O((Δ\logΔ)^{1/3} \cdot\log{n})$颜色着色.这稍微改进了Karger、Motwani和Sudan给出的$O((Δ^{{1}/{3}} \log^{1/2}Δ)\cdot\log{n})$界限。更一般地，具有最大度$Δ$的$k$可着色图可以在多项式时间内使用$O((Δ^{1-{2}/{k}}\log^{1/k}Δ) \cdot\log{n})$颜色着色。* $n$顶点上的4-可着色图可以使用$\Ot(n^{7/19})$颜色在多项式时间内着色。这改进了Karger、Motwani和Sudan再次给出的$\Ot(n^{2/5})$界。更一般地，$n$顶点上的$k$可着色图可以在多项式时间内使用$\Ot(n^{α_k})$颜色来着色，其中$α_5=97/207$、$α_6=43/79$、$α_7=1391/2315$、$α_8=175/271$、.第一个结果是通过一个稍微更精细的概率分析的半定规划着色算法的Karger，Motwani和苏丹。第二个结果是通过结合着色算法的Karger，Motwani和苏丹，组合着色算法的Blum和扩展的技术的阿隆和Kahale（这是基于Karger，Motwani和苏丹算法）找到相对较大的独立集的图，保证有非常大的独立集。A…
Small H-coloring problems for bounded degree digraphs
一个NP-完全染色或同态问题在限制于度被一个小的数所限制的图时可能成为多项式时间可解的，但如果界更大则保持NP-完全。例如，度为3的图的3-可染性可以由Brooks定理来判定，而度为4的图的3-可染性问题是NP-完全的。我们研究了有向图的一个类似的现象，重点是三个最小的有向图H的NP-完全H-可染性问题。结果表明，在所有三种情况下的H-染色问题是多项式时间可解的有向图的度界$Δ^{+} \leq 1$，$Δ^{-} \leq 2$（或$Δ^{+} \leq 2$，$Δ^{-} \leq 1$）。另一方面，对于度界$Δ^{+} \leq 2$，$Δ^{-} \leq 2$，这三个问题都是NP完全的。Feder，Hell和Huang对图H提出的一个猜想指出，如果度界足够高，那么任何不带度约束的$H$ -着色问题的变形都是NP-完全的.我们的研究是第一次证实，猜想也可能适用于有向图。
Rapid Mixing for Colorings via Spectral Independence
Anari等人（2020）的谱独立方法利用了Alev和Lau（2020）的高维扩展器的最新结果，并为定义在加权独立集上的硬核模型建立了Glauber动力学的快速混合。我们开发的频谱独立的着色方法，并获得相应的计数/采样问题的新的算法结果。令$α^*\approx 1.763$表示$\exp(1/x)=x$的解，令$α>α^*$。证明了对任意具有最大度$Δ$的无三角形图$G=(V,E)$，对所有的$q\geqαΔ+1$，$q$ -着色的Glauber动力学的混合时间是$n=|V|$中的多项式，多项式的指数与$Δ$和$q$无关.相比之下，先前的近似着色计数结果适用于类似的$q$范围（在$Δ$中渐近），但具有更大的围长要求或具有多项式指数取决于$Δ$和$q$（指数）的运行时间。使用谱独立方法来研究着色的另一个特征是，它避免了以前方法中由耦合参数或传递到复平面引起的许多技术复杂性;运行时间的关键改进是基于相对简单的组合参数，然后将其转换为谱边界。
A verified implementation of the Misra and Gries edge coloring algorithm
本文使用Lean定理证明器对Misra和Gries边着色算法进行验证实现，确保算法正确性并维护数学不变量。
Polynomial-time algorithm for vertex k-colorability of P_5-free graphs
本文给出了第一个用k种颜色对P_5-free图的顶点着色的多项式时间算法。这解决了一个开放的问题，并推广了几个以前已知的结果。
Weak coloring numbers of minor-closed graph classes
研究排除固定图作为次图的图的弱着色数增长率，在$\mathcal{O}(r \log r)$因子内确定多项式，将指数与$2$-treedepth联系，改进前人界并在有界treewidth平面图情形给出最优界。
Weighted and locally bounded list-colorings in split graphs, cographs, and partial k-trees
对于一个固定数量的颜色，我们表明，在节点加权分裂图，cographs，和有界树宽的图，可以确定在多项式时间是否一个适当的列表着色图的顶点，使每种颜色的顶点的总重量等于一个给定的值，在每个部分的一个固定的分区的顶点存在。我们还表明，这一结果在某种意义上是紧的，通过提供硬度的情况下，任何一个假设不成立的结果。还研究了边着色变体，以及上图和分裂图的特殊情况。
Linear colorings of graphs
本文研究了图的线性色数性质，并在多个图类中改进了相关界限，探讨了线性色数与树深度的关系。
A Markov chain on the solution space of edge-colorings of bipartite graphs
本文利用解空间的某些性质，证明了二部图的边$k$ -染色上的不可约马尔可夫链$M$。我们证明了这个马尔可夫链的直径与图中的边数线性增长。我们还证明了一个多项式上界的接受率的倒数的Metropolis-Hastings算法时，该算法应用于$M$与所有可能的边$k$均匀分布的$G$着色。我们的结果的一个特殊情况是拉丁矩形的可能完成的解空间。
Two lower bounds for $p$-centered colorings
本文针对$p$-中心染色问题，构造了浅次图平均度多项式有界的单调图类，证明其所需颜色数超多项式于$p$；并证明最大度$\Delta$的图存在下界$\Omega(\Delta^{2-1/p} p \ln^{-1/p}\Delta)$，匹配已知上界至对数因子。
Strong Conflict-Free Coloring of Intervals
我们考虑直线上的一组点关于一族区间的k-强无冲突着色：直线上的每个点必须被赋予一种颜色，使得着色必须是无冲突的，在这个意义上，在每个区间I中至少有k种颜色，每种颜色在I中只出现一次。在本文中，我们提出了一个多项式算法的一般问题，该算法有一个近似因子5-2/k时，k \geq 2和近似因子2，k=1。在特殊情况下，家庭包含所有可能的区间上的给定的一组点，我们表明，2近似算法存在，任何k \geq 1。
Polyhedral studies of vertex coloring problems: The asymmetric representatives formulation
尽管某些顶点着色问题在某些图类上是多项式可解的，但从多面体的角度来看，这些问题中的大多数并不“在控制之下”。\emph{optimization}和\emph{polyhedral separation}之间的等价性表明，对于这些问题，必须存在允许与它们相关联的多面体的一些优雅表征的公式。因此，有趣的是研究已知的顶点着色公式，以找到这样的特征。在这项工作中，我们研究了不对称的代表制定，我们表明，相应的着色多面体，对于一个给定的图$G$，可以被解释为另一个图的独立集多面体从$G$。这一结果使我们能够得到完整的特征，相应的着色多面体的某些家庭的图，根据已知的完整的独立集多面体的特征。
A Coloring Algorithm for $4K_1$-free line graphs
设$L$是一组图。$Free$（$L$）是在$L$中不包含任何图作为诱导子图的图的集合。已知如果$L$是一组四顶点图，则$Free$（$L$）的着色问题的复杂性已知，但有三个例外：$L $ = {claw，$4K_1$ }，$L$ = {claw，$4K_1$，co-diamond}，and $L$ = { $C_4$，$4K_1$ }。本文研究了$Free$（claw，$4K_1$）的着色问题.我们解决了$Free$（claw，$4K_1$）的一个子类的着色问题，这个子类包含了无$4K_1$线图类.我们的结果意味着一个图的色指数没有匹配的大小为4可以在多项式时间内计算。
The List Coloring Reconfiguration Problem for Bounded Pathwidth Graphs
我们研究的问题，一个列表（顶点）着色的一个图转换成另一个列表着色的时间只改变一个顶点的颜色分配，而在任何时候都保持列表着色，给定一个列表允许的颜色为每个顶点。这个问题是已知的PSPACE-完全的二部平面图。在本文中，我们首先表明，问题仍然是PSPACE-完全的，即使是二部系列平行图，形成一个适当的子类的二部平面图。我们注意到，我们的约简确实显示了路径宽度为2的图的PSPACE-完全性，并且它可以扩展到阈值图。相反，我们给出了一个多项式时间算法来解决这个问题的图的路径宽度为1。因此，本文给出了精确的分析问题的路径宽度。
The Visualization of the Road Coloring Algorithm in the package TESTAS
一个确定性自动机的同步字是其边缘颜色字母表中的一个字，它将自动机映射到单个状态。一个有向图的边的染色是同步的，如果染色使图成为一个具有同步字的确定性有限自动机。道路染色问题是指当有向有限强连通图的所有圈的长度的最大公约数为1时，图的所有顶点的出度均为常数的有向有限强连通图的同步染色问题。基于这一著名问题最近的正解，给出了道路着色的一个多项式时间算法。人们可以使用我们的新的可视化程序演示的算法，以及可视化的过渡图的任何有限自动机。视觉图像呈现了转移图的一些结构性质。此帮助工具在自动机的大小方面是线性的。
Approximating Maximum Edge 2-Coloring by Normalizing Graphs
本文研究最大边2-着色问题（ME2C），针对具有完美匹配、无爪图及次三次图等特殊图类，分别给出了1.625和1.5近似比的多项式时间算法，突破了此前1.5的UG困难界限。
Combinatorial coloring of 3-colorable graphs
本文研究了在多项式时间内用尽可能少的颜色对一个3-可着色图进行着色的问题。我们提出了一个组合算法得到的$\tO(n^{4/11})$颜色。这是Blum的$\tO(n^{3/8})$结合FOCS'90的第一个组合改进。像Blum的算法一样，我们的新算法与最近的半定方法很好地结合起来。当前最佳边界是来自FOCS'07的Chlamtac的$O(n^{0.2072})$颜色。我们现在将其降低到$O(n^{0.2038})$颜色。
List-three-coloring $ P_t $-free graphs with no induced 1-subdivision of $ K_{1,s} $
令$s$和$t$为正整数。我们用$P_t$表示具有$t$顶点的路径，用$K_{1,s}$表示具有$1$和$s$部分的完全二部图。通过将$K_{1,s}$的每条边$\{u,v\}$替换为两条边$\{u,w\}$和$\{v,w\}$，得到了$K_{1,s}$的一次剖分.本文给出了列表三色问题的一个多项式时间算法，该算法仅限于$K_{1,s}$的无诱导1-剖分的$P_t$ -free图类。
Complexity of Coloring Graphs without Paths and Cycles
令$P_t$和$C_\ell$分别表示$t$顶点上的路径和$\ell$顶点上的循环。本文研究了无$(P_t,C_\ell)$图的$k$ -染色问题. Maffray和Morel，Bruce，Hoang和Sawada证明了$P_5$ -free图的3-可染性具有有限禁止导出子图的特征，而Hoang，Moore，Riskie，Sawada和Vatshelle证明了$k \geq 4$的$P_5$ -free图的$k$ -可染性不具有有限禁止导出子图的特征.这些作者还表明，通过计算机搜索的帮助下，4-着色的$(P_5,C_5)$ -自由图确实有一个有限的禁止诱导子图的特征。证明了对任意$k$，无$(P_6,C_4)$图的$k$ -可染性具有有限禁止诱导子图的特征.我们提供了$k=3$和$k=4$的禁止导出子图的完整列表。作为应用，我们得到了3-着色和4-着色无$(P_6,C_4)$图的多项式时间证明算法。（多项式时间算法已获得Golovach，Paulusma和宋，但这些算法没有证明）;为了补充这些结果，我们表明，在大多数其他情况下的$k$ -着色问题的$(P_t,C_\ell)$ -自由图是NP-完全的。具体来说，对于$\ell=5$，我们证明了$k$ -着色是NP-完全的$(P_t,C_5)$ -自由图时，$k \ge 4$和$t \ge 7$ ;对于$\ell \ge 6$，我们证…
Coloring even-hole-free graphs with no star cutset
\emph{hole}是长度至少为$4$的无弦周期。一个图是\emph{even-hole-free}，如果它不包含任何偶数长度的洞作为导出子图。本文研究了一类不含星割集的偶无洞图。给出了用团数表示的图的色数的最优上界，并给出了着色这类图的多项式时间算法。事实上，后者是我们证明这个类有界秩宽的直接结果。
Efficiently list-edge coloring multigraphs asymptotically optimally
我们给出了多项式时间算法的开创性结果的卡恩，谁表明Goldberg-Seymour和列表着色的（列表-）边着色多重图渐近保持。卡恩的论点是基于概率的方法，是非建设性的。我们的主要见解是表明Achlioptas，Iliopoulos和Kolmogorov分析局部搜索算法的主要结果可以用来建设性地应用一个强大的版本的所谓的Lopsided Lovasz局部引理。特别是，我们用它来设计算法，利用卡恩使用的匹配的概率空间中的相关性随距离衰减的事实。
On List k-Coloring Convex Bipartite Graphs
列表k-着色（Li k-Col）是一个判定问题，它询问给定的图是否允许一个与给定的列表分配相容的适当着色，其顶点的颜色在{1，2，. k}。已知该问题是NP-困难的，即使对于k=3的3-正则平面二部图类和对于k=4的弦二部图类。2015年，Huang，Johnson和Paulusma在弦二部图类中要求Li 3-Col的复杂性。在本文中，我们给出了一个部分的答案，这个问题表明，李k-Col是多项式的凸二部图类。我们首先证明了双凸二部图允许多链序，扩展了Enright，Stewart和Tardos（2014）的多项式算法可以应用于该问题的图类。本文提出了一个求解凸二部图类中李k-圈的动态规划算法。最后，我们展示了如何修改我们的算法，以解决更一般的李H-Col问题的凸二部图。
3-Coloring $C_4$ or $C_3$-free Diameter Two Graphs
研究直径为2的图的3-着色问题，扩展了Martin等人的结果，证明对于任意常数s，该问题在$(C_4,C_s)$-free图和$(C_3,C_7)$-free图上均存在多项式时间算法，且适用于更广义的List 3-Colouring问题。
Approximately coloring graphs without long induced paths
对于固定的$t$，对于在$t$顶点上不含诱导路的图类，其3-着色问题能否在多项式时间内得到解决是一个公开问题.我们提出了一个算法，给定一个3-着色图没有诱导路径的$t$顶点，计算着色与$\max\{5,2\lceil{\frac{t-1}{2}}\rceil-2\}$许多颜色。如果输入图是无三角形的，我们只需要$\max\{4,\lceil{\frac{t-1}{2}}\rceil+1\}$许多颜色。如果输入图有$n$顶点和$m$边，则算法的运行时间为$O((3^{t-2}+t^2)m+n)$.
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