Polynomial-time algorithm for vertex k-colorability of P_5-free graphs
Marcin Kaminski, Vadim Lozin
本文给出了第一个用k种颜色对P_5-free图的顶点着色的多项式时间算法。这解决了一个开放的问题，并推广了几个以前已知的结果。
We give the first polynomial-time algorithm for coloring vertices of P_5-free graphs with k colors. This settles an open problem and generalizes several previously known results.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A polynomial 3-colorability algorithm with automatic generation of NO 3-colorability (i.e. Co-NP) short proofs
本文给出了平面图3-可染性的判定算法，即判定问题（YES/NO）。该算法虽然不精确（可能产生误报），但有两个非常重要的特征：（i）它具有多项式复杂度;（ii）对于每个“否”答案，都会生成一个“简短”证明，这是非常有趣的，因为3-着色性是NP完全问题，因此其互补问题是Co-NP。因此，该算法是准确的，当它确定一个给定的平面图是不是3-着色，因为这是通过自动生成的简短的正式证明（也是人类可读的）验证。
k-Colorability of P5-free graphs
本文给出了一个多项式时间算法，该算法在给定整数k的情况下判定一个P5-free图是否可以k-着色.如果存在这样的着色，则算法将产生有效的k-着色。
The parameterized complexity of Strong Conflict-Free Vertex-Connection Colorability
本文研究了强冲突自由顶点连接色数的参数复杂性，证明了其在顶点覆盖数参数下的固定参数可 tractable 性，但3-着色问题在二分图上不具有多项式核。
The complexity of strong conflict-free vertex-connection $k$-colorability
该研究分析强无冲突顶点连通k-着色问题的计算复杂度，证明受限图下3着色判定为NP完全且具ETH下的下界，同时给出分裂图等两类图的多项式时间求解算法。
Complexity of the conditional colorability of graphs
对于整数$r>0$，图$G$的条件$(k,r)$ -染色是$G$的顶点的真$k$ -染色，使得$G$中度为$d(v)$的每个顶点$v$与至少具有$min\{r, d(v)\}$不同颜色的顶点相邻.图$G$具有条件$(k,r)$ -染色的最小整数$k$称为$r$阶条件色数，记为$χ_r(G)$ .很容易看出，条件着色是传统顶点着色的推广，其中$r=1$。本文研究了图的条件着色的复杂性。主要结果是：对于最大度不超过3的无三角形图，条件$(3,2)$ -可染性是$NP$ -完全的，这不同于传统的3-可染性是多项式可解的.这也意味着确定最大度为3的图是$(3,2)$-可着色的还是$(4,2)$ -可着色的是$NP$ -完全的。我们还证明了传统着色的一些旧的复杂性结果仍然适用于条件着色。
On the Classical and Parameterized Complexity of Strong Odd Coloring
本文研究强奇$k$-染色问题的复杂度，证明其在完美消去二分图上NP完全且不可近似，同时给出块图的线性时间算法和树宽参数的FPT算法，并证明若干参数化下界与W[1]-难结果。
Small H-coloring problems for bounded degree digraphs
一个NP-完全染色或同态问题在限制于度被一个小的数所限制的图时可能成为多项式时间可解的，但如果界更大则保持NP-完全。例如，度为3的图的3-可染性可以由Brooks定理来判定，而度为4的图的3-可染性问题是NP-完全的。我们研究了有向图的一个类似的现象，重点是三个最小的有向图H的NP-完全H-可染性问题。结果表明，在所有三种情况下的H-染色问题是多项式时间可解的有向图的度界$Δ^{+} \leq 1$，$Δ^{-} \leq 2$（或$Δ^{+} \leq 2$，$Δ^{-} \leq 1$）。另一方面，对于度界$Δ^{+} \leq 2$，$Δ^{-} \leq 2$，这三个问题都是NP完全的。Feder，Hell和Huang对图H提出的一个猜想指出，如果度界足够高，那么任何不带度约束的$H$ -着色问题的变形都是NP-完全的.我们的研究是第一次证实，猜想也可能适用于有向图。
Dichotomizing $k$-vertex-critical $H$-free graphs for $H$ of order four
对于$k \geq 3$，我们证明了（i）存在有限个$k$ -顶点临界$(P_2+\ell P_1)$ -free图和（ii）$k$ -顶点临界$(P_3+P_1)$ -free图至多有$2k-1$顶点.结合以前的研究，这些结果意味着以下特征，其中$H$是一个图的顺序四：有一个有限数量的$k$ -顶点临界$H$ -免费图固定$k \geq 5$当且仅当$H$是$\overline{K_4}, P_4, P_2 + 2P_1$，或$P_3 + P_1$之一。我们的结果意味着存在新的多项式时间证明算法，用于确定固定$k$的$(P_2+\ell P_1)$ -free图的$k$ -着色性。
Multi-Clique-Width
通过对团宽定义的简单修改，得到了多团宽。它具有提供树宽度的自然延伸的优点。与candle-width不同，它与tree-width相比不会呈指数级增长。基于多团宽度的高效算法仍然可以用于有趣的任务，如计算独立集多项式或测试$c$可着色性。特别地，$c$可着色性可以在时间上在$n$中线性地测试，并且在时间上在$c$中单指数地测试，并且测试给定的多$k$表达的宽度$k$。对于这些任务，作为多团宽度的函数的运行时间与作为团宽度的函数的已知最快算法的运行时间相同。如果给出相应的图生成表达式，这将导致某些图的指数加速。这是因为对于许多图，多团宽度永远不会比团宽度大，而是指数地小于团宽度。当树的宽度基本上等于多团的宽度时，以及当树的宽度不受团宽度的任何函数的限制时，这个间隙出现。
Recycling Solutions for Vertex Coloring Heuristics
顶点着色问题是一个著名的NP难问题，在运筹学和调度中有着广泛的应用。一个传统的方法来解决问题的k-着色问题迭代，减少k一个接一个。启发式算法能否快速找到合法的k-着色在很大程度上受初始解的影响。我们强调了一个简单的初始解生成器，我们称之为回收方法，它利用了合法的（k+1）-着色，已被发现。由该方法生成的初始解，预计将引导启发式算法找到一个合法的k-着色比传统的方法更快，实验研究表明。结果表明，循环方法应作为标准的初始解生成器的局部搜索算法和现代混合方法。
Complexity and algorithms for proper conflict-free coloring in graphs
该研究证明完美消去二分图的PCF k着色问题为NP完全，PCF色数无法在O(n^(1-ε))内逼近，还为四类图的PCF k着色提供线性时间算法并确定其色数上界。
Algorithms and Almost Tight Results for 3-Colorability of Small Diameter Graphs
尽管关于几个基本参数的3-着色问题已经有了广泛的研究，但小直径图（即直径为2或3的图）上的3-着色问题的复杂性状态一直是一个长期存在且具有挑战性的公开问题。对于直径为2的图，我们提供了第一个次指数算法的复杂性$2^{O(\sqrt{n\log n})}$，这是渐近相同的，目前最好的已知的时间复杂度的图同构（GI）的问题。证明了直径为2的3-可着色图的图同构问题是GI-完全的。此外，我们提出了一个子类的图直径为2，承认多项式算法的3-着色。对于直径为3的图，我们证明了对于每一个$\varepsilon \in [0,1)$，直径为3，半径为2，顶点为$n$，最小度为$δ=Θ(n^{\varepsilon})$的无三角形图的3-染色是NP-完全的。此外，假设ETH，我们提供了三个不同的放大我们的硬度结果，以获得每个$\varepsilon \in [0,1)$次指数下界的复杂性，3-着色的三角形自由图直径为3和最小度$δ=Θ(n^{\varepsilon})$。最后，我们给出了一个直径为3的图的3-着色算法$2^{O(\min\{δΔ,\frac{n}δ\logδ\})}$，其中$δ$（resp. $Δ$）是最小值（分别为最大）度。据我们所知，该算法是第一个次指数算法的图与$δ=ω(1)$和图与$δ=O(1)$和$Δ=o(n)$。由于3-着色复杂度的上述下界，当输入图为$δ=Θ(n^{…
Complexity of Coloring Graphs without Paths and Cycles
令$P_t$和$C_\ell$分别表示$t$顶点上的路径和$\ell$顶点上的循环。本文研究了无$(P_t,C_\ell)$图的$k$ -染色问题. Maffray和Morel，Bruce，Hoang和Sawada证明了$P_5$ -free图的3-可染性具有有限禁止导出子图的特征，而Hoang，Moore，Riskie，Sawada和Vatshelle证明了$k \geq 4$的$P_5$ -free图的$k$ -可染性不具有有限禁止导出子图的特征.这些作者还表明，通过计算机搜索的帮助下，4-着色的$(P_5,C_5)$ -自由图确实有一个有限的禁止诱导子图的特征。证明了对任意$k$，无$(P_6,C_4)$图的$k$ -可染性具有有限禁止诱导子图的特征.我们提供了$k=3$和$k=4$的禁止导出子图的完整列表。作为应用，我们得到了3-着色和4-着色无$(P_6,C_4)$图的多项式时间证明算法。（多项式时间算法已获得Golovach，Paulusma和宋，但这些算法没有证明）;为了补充这些结果，我们表明，在大多数其他情况下的$k$ -着色问题的$(P_t,C_\ell)$ -自由图是NP-完全的。具体来说，对于$\ell=5$，我们证明了$k$ -着色是NP-完全的$(P_t,C_5)$ -自由图时，$k \ge 4$和$t \ge 7$ ;对于$\ell \ge 6$，我们证…
List-coloring apex-minor-free graphs
一个图H是t-顶点的，如果对于V（H）的某个大小为t的子集X，H-X是平面的.对于任意的整数t>=0和固定的t-顶点图H，我们给出了一个多项式时间算法来判定一个（t+3）-连通的无H-子图是否可着色.连通性要求是最好的，即对每个t>=1，存在一个t-顶点图H，使得检验（t+2）-连通无H-minor-free图的（t+4）-可染性是NP-完全的.类似地，列表的大小不能减少（除非P=NP），因为对于每个t>=1，测试（t +3）-连通K_{t+4} -minor-free图的（t+3）-列表可着色性是NP-完全的。
A polynomial time $\frac 3 2$ -approximation algorithm for the vertex cover problem on a class of graphs
本文提出了一个多项式时间的3/2-近似算法来求解一类满足"活动边假设“的图的顶点覆盖问题。该算法还保证了一个特殊结构的图的最优解。进一步，我们给出了一个扩展的算法，它保证任意图上的顶点覆盖$S_1$使得$|S_1|\leq {3/2} |S^*|+ξ$，其中$S^*$是最优顶点覆盖，$ξ$是该算法确定的误差界.我们获得了$ξ= 0$的所有测试问题，我们已经考虑，其中包括特别构造的实例，预计是困难的。到目前为止，我们还不能构造一个给出$ξ\not= 0$的图。
A polynomial kernel for vertex deletion into bipartite permutation graphs
本文研究了二分排列顶点删除问题的核化，证明该NP完全问题存在具有$O(k^{62})$个顶点的多项式核。
A Polynomial Kernel for Vertex Deletion to the Scattered Class of Proper Interval Graph and Trees
该研究针对（真区间图，树）-顶点删除问题，在其已被证明固定参数可处理的基础上，首次提出顶点规模为O(k^33)的非平凡多项式核。
Polynomial Cases for the Vertex Coloring Problem
顶点着色问题的计算复杂性是已知的所有遗传类的图定义禁止两个连通的五顶点诱导子图，除了七种情况。我们证明了其中四个问题的多项式时间可解性：（$P_5$，飞镖）-免费的图形，（$P_5$，横幅）-免费的图形，（$P_5$，公牛）-免费的图形，（叉，公牛）-免费的图形。
An efficient implementation and a strengthening of Alon-Tarsi list coloring method
作为多项式方法在组合学中的第一个应用，Alon和Tarsi给出了一种方法来证明一个图是可选择的（从任何指定大小的列表中可着色）。我们描述了一种有效的方法来实现这种方法，使其可行的测试选择的图形与周围70边。我们还表明，在情况下，阿隆-塔尔西方法未能表明，该图是可选的，图多项式的进一步系数提供限制的列表分配，从该图不能着色。这通常使我们能够从一个给定的列表赋值中确认可着色性，或者通过测试几个列表赋值来决定可选择性。该实现可以在https://gitlab.mff.cuni.cz/dvorz9am/alon-tarsi-method上找到。
Vertex Cover Structural Parameterization Revisited
一个伪森林是一个图，它的连通分支最多有一个圈。设X是图G的伪森林调制器，i. e. G的一个顶点子集，使得G-X是一个伪森林。我们表明，顶点覆盖承认一个多项式核参数化的大小的pseudoforest调制器。换句话说，我们提供了一个多项式时间算法，对于输入图G和整数k，输出图G'和整数k'，使得G'具有O（|X| 12）个顶点，并且G具有大小为k的顶点覆盖当且仅当G'具有大小为k '的顶点覆盖。我们补充我们的研究结果证明，有没有多项式内核的顶点覆盖参数化的大小调制器到一个模拟森林（图中没有周期共享一个顶点），除非NP是一个子集的coNP/聚。特别是，这也排除了多项式内核时，参数化的调制器的大小外平面和仙人掌图。
Chromatic and flow polynomials of generalized vertex join graphs and outerplanar graphs
图的广义点并是通过将图的任意多个顶点连接到一个新的顶点而得到的。给出了一个求树的广义点并的色多项式的低阶多项式时间算法，并利用对偶性求出了任意外平面图的流多项式。我们还提出了封闭式的色和流多项式的顶点连接的集团和周期，也被称为“广义轮”图。
Conditional and Unique Coloring of Graphs
对于整数$k, r > 0$，图$G$的条件$(k,r)$ -染色是$G$的顶点的真$k$ -染色，使得$G$中度为$d(v)$的每个顶点$v$至少与$\min\{r, d(v)\}$不同着色的顶点相邻.给定$r$，$G$有条件$(k,r)$ -着色的最小整数$k$称为$G$的$r$阶条件色数$χ_r(G)$.我们给出了一些图的条件着色的结果（精确值或界为$χ_r(G)$，取决于$r$）。我们引入了\emph{unique conditional colorability}并给出了一些相关的结果。（关键词。图的卡氏积;条件色数;齿轮图;图的并。
Classes of graphs with no long cycle as a vertex-minor are polynomially $χ$-bounded
一个图类$\mathcal G$是$χ$ -有界的，如果存在一个函数$f$使得对于每个图$G\in \mathcal G$和$G$的每个导出子图$H$，有$χ(H)\le f(ω(H))$ .另外，如果$f$可作为多项式函数，则称$\mathcal G$是多项式$χ$ -有界的.证明了对任意整数$n\ge3$，存在一个多项式$f$，使得对所有没有顶点子图的图，$χ(G)\le f(ω(G))$同构于圈图$C_n$ .为了证明这一点，我们证明了如果$\mathcal G$是多项式$χ$有界的，那么$\mathcal G$的闭包也是多项式$\mathcal G$有界的.
Three-coloring graphs with no induced seven-vertex path II : using a triangle
本文给出了一个多项式时间算法，该算法判定一个含有三角形且无导出七点路的图是否是3-可着色的，如果存在，则给出一个显式染色。在以前的工作中，我们给出了无诱导七点路的无三角形图的三着色的多项式时间算法，结合我们的工作，我们证明了无诱导七点路的图的三着色可以在多项式时间内完成.
Finding Optimal Solutions With Neighborly Help
我们能否有效地从最优解到邻近的最优解计算出困难问题实例的最优解（即，本地修改）实例？例如，我们是否可以从所有单边删除子图的最优着色中有效地计算出一个图的最优着色？研究这些问题不仅可以详细了解问题本身的结构，还可以了解相关问题的复杂性;最值得注意的是图论的关键图的核心概念（例如，其色数在任意边的删除下减小的图）和最小问题的复杂性理论概念（也称为临界问题，例如，识别当任意边被删除时变为3-可着色的图）。我们专注于两个典型的图的问题，着色性和顶点覆盖。例如，我们表明，它是NP-难计算的最佳着色图的最佳着色，其所有的一个顶点删除的子图，这仍然是真实的，即使当所有的一个边删除的子图的最佳解决方案。相比之下，从所有（甚至只有两个）一个边缘添加的超图计算最佳着色是在P.我们观察到，顶点覆盖表现出显着不同的行为，展示了我们的模型的力量，更精确地描绘彼此的问题在结构层面上。此外，我们提供了一些新的复杂性结果的极小性和临界性问题。例如，我们证明了最小-3-UnColorability是完整的DP（NP集的差异），这是以前只知道更顺从的情况下删除顶点，而不是边缘。对于顶点覆盖，我们证明了对于Theta_2^p（并行访问NP），识别β-顶点临界图是完全的，获得了该类临界问题的第一个完全性结果。
Twin-width and polynomial kernels
我们研究多项式核的存在性，参数化问题没有一个多项式核一般图，当限制到有界的双宽度的图。我们的主要结果是，一个多项式核的$k$ -支配集的图的孪生宽度至多为4将矛盾的标准复杂性理论的假设。减少是相当复杂的，特别是为了使双宽度上界降至4，并且可以调整以适用于连接$k$ -支配集和总$k$ -支配集（尽管双宽度上界更差）。$k$ -独立集问题通过一个更简单的论证承认相同的下限，先前观察到[ICALP '21]，其扩展到$k$ -独立支配集，$k$ -路径，$k$ -诱导路径，$k$ -诱导匹配等。我们得到了有界孪生宽度图上连通$k$ -顶点覆盖和有容量限制的$k$ -顶点覆盖的一个简单的二次点核.有趣的是，内核适用于Vapnik-Chervonenkis密度为1的图，并且不需要见证序列。我们还提出了一个更复杂的$O(k^{1.5})$顶点核连接$k$ -顶点覆盖。最后，我们表明，如果一个图的双宽度最多为1，可以在多项式时间内完成，并观察到，大多数优化/决策图的问题可以解决在多项式时间上的双宽度最多为1。
Finding Efficient Domination for $S_{1,3,3}$-Free Bipartite Graphs in Polynomial Time
有限无向图$G$中的顶点集$D$是$G$的{ \em有效控制集}（简称\emph{e.d.s.} \），如果$G$的每个顶点都被$D$的一个顶点控制. \emph{Efficient Domination}（ED）问题，它要求存在一个ED。在$G$中，对于各种无$H$的二部图，例如，Lu和Tang证明了ED对弦二部图和平面二部图都是\NP -完全的;实际上，即使对于顶点度至多为3且围长至少为$g$的平面二部图，ED也是\NP -完全的。因此，对于无$K_{1,4}$的二部图和无$C_4$的二部图，ED是\NP -完全的.本文证明了对于无$S_{1,3,3}$的二部图，ED可以在多项式时间内求解。
New Polynomial Cases of the Weighted Efficient Domination Problem
设G是一个有限无向图。G中的一个顶点支配它自己和它的所有邻居。一个顶点集D是一个有效的支配集（e.d.如果G的每一个顶点都恰好被D的一个顶点支配。有效支配问题（Efficient Domination，ED）是一个要求存在有效支配的问题。在G中，即使对于非常有限的图类，也是NP完全的。特别地，ED问题对于2 P3-free图和P7-free图仍然是NP-完全的。我们证明了该问题的加权版本（简称WED）是可解的多项式时间的各种子类的2 P3-free和P7-free的图，包括（P2+P4）-free的图，P5-free的图和其他类。此外，我们表明，最小重量e. d。仅由次数最多为2的顶点组成（如果存在）可以在多项式时间内找到。这与我们的NP-完全性结果的ED问题的平面二部图与最大程度3。
On r-equitable chromatic threshold of Kronecker products of complete graphs
一个图$G$是$r$-公平$k$-可着色的，如果它的顶点集可以被划分成$k$独立集，其中任何两个在大小上最多相差$r$。图$G$的$r$-公平色阈值，由$χ_{r=}^*(G)$表示，是最小$k$，使得$G$对于所有$k'\ge k$都是$r$-公平地$k'$-可着色的。设$G\times H$表示图$G$和$H$的Kronecker积.本文完全确定了一般$m,n$和$r$的$χ_{r=}^*(K_m\times K_n)$的精确值。因此，我们证明了，对于$r\ge 2$，如果$n\ge \frac{1}{r-1}(m+r)(m+2r-1)$，那么$K_m\times K_n$和它的生成超图$K_{m(n)}$具有相同的$r$-公平可着色性，特别是$χ_{r=}^*(K_m\times K_n)=χ_{r=}^*(K_{m(n)})$，其中$K_{m(n)}$是在每个部分中具有$n$顶点的完全$m$-部图。
A Polynomial Kernel for Proper Helly Circular-arc Vertex Deletion
针对 Proper Helly Circular-arc Vertex Deletion 问题，本文在已有 FPT 算法的基础上，提出了一个多项式核。
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