k-Colorability of P5-free graphs
C. T. Hoang, J. Sawada, X. Shu
本文给出了一个多项式时间算法，该算法在给定整数k的情况下判定一个P5-free图是否可以k-着色.如果存在这样的着色，则算法将产生有效的k-着色。
A polynomial time algorithm that determines for a fixed integer k whether or not a P5-free graph can be k-colored is presented in this paper. If such a coloring exists, the algorithm will produce a valid k-coloring.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Polynomial-time algorithm for vertex k-colorability of P_5-free graphs
本文给出了第一个用k种颜色对P_5-free图的顶点着色的多项式时间算法。这解决了一个开放的问题，并推广了几个以前已知的结果。
A certifying algorithm for 3-colorability of P5-free graphs
我们提供了一个证明算法的问题，决定是否P5- free图是3-colorable通过显示有恰好六个有限图是P5-free的，而不是3-colorable和最小的关于这个属性。
A polynomial 3-colorability algorithm with automatic generation of NO 3-colorability (i.e. Co-NP) short proofs
本文给出了平面图3-可染性的判定算法，即判定问题（YES/NO）。该算法虽然不精确（可能产生误报），但有两个非常重要的特征：（i）它具有多项式复杂度;（ii）对于每个“否”答案，都会生成一个“简短”证明，这是非常有趣的，因为3-着色性是NP完全问题，因此其互补问题是Co-NP。因此，该算法是准确的，当它确定一个给定的平面图是不是3-着色，因为这是通过自动生成的简短的正式证明（也是人类可读的）验证。
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces VI. 3-colorability of quadrangulations
我们给出了一个线性时间算法，以确定3-着色（并找到一个3-着色，如果它存在）的四边形的一个固定的表面。该算法还允许规定着色有限数量的顶点。
k-Colorability is Graph Automaton Recognizable
本文提出一种图自动机，用于识别k-色图，结合图oids理论，探讨图自动机在图着色问题中的应用。
Complexity of the conditional colorability of graphs
对于整数$r>0$，图$G$的条件$(k,r)$ -染色是$G$的顶点的真$k$ -染色，使得$G$中度为$d(v)$的每个顶点$v$与至少具有$min\{r, d(v)\}$不同颜色的顶点相邻.图$G$具有条件$(k,r)$ -染色的最小整数$k$称为$r$阶条件色数，记为$χ_r(G)$ .很容易看出，条件着色是传统顶点着色的推广，其中$r=1$。本文研究了图的条件着色的复杂性。主要结果是：对于最大度不超过3的无三角形图，条件$(3,2)$ -可染性是$NP$ -完全的，这不同于传统的3-可染性是多项式可解的.这也意味着确定最大度为3的图是$(3,2)$-可着色的还是$(4,2)$ -可着色的是$NP$ -完全的。我们还证明了传统着色的一些旧的复杂性结果仍然适用于条件着色。
Towards Characterization of 5-List-Colorability of Toroidal Graphs
本文通过计算机辅助枚举列出了满足特定性质的环面图5-可选性极小障碍，验证了不存在额外障碍，支持了环面图5-可选性与5-可着色性等价的猜想。
Colorability Saturation Games
我们考虑以下两个玩家的游戏：Maxi和Mini开始与$n$顶点上的空图，轮流，总是增加一个额外的边缘的图，使色数是最多$k$，其中$k \in \mathbb{N}$是一个给定的参数。当图饱和并且不能再插入边时，游戏结束。Maxi想要最大化博弈的长度，而Mini想要最小化博弈的长度。分数$s(n,χ_{>k})$表示最终图中的边的数量，给定两个参与者都遵循最优策略。这个可着色性游戏属于\emph{saturation games}家族，尽管通过简单的组合规则定义，但已知该家族提供美丽且具有挑战性的问题。可着色性饱和度游戏的分析最近由Hefetz，Krivelevich，Naor和Stojaković（2016）发起。在本文中，我们改进了他们的结果，提供几乎匹配的下限和上限的分数的游戏，持有任意选择的$k$和$n>k$。此外，我们还用$k=4$对具体的博弈进行了更详细的研究，证明了它的得分是$n^2/3+O(n)$。
Algorithms and Almost Tight Results for 3-Colorability of Small Diameter Graphs
尽管关于几个基本参数的3-着色问题已经有了广泛的研究，但小直径图（即直径为2或3的图）上的3-着色问题的复杂性状态一直是一个长期存在且具有挑战性的公开问题。对于直径为2的图，我们提供了第一个次指数算法的复杂性$2^{O(\sqrt{n\log n})}$，这是渐近相同的，目前最好的已知的时间复杂度的图同构（GI）的问题。证明了直径为2的3-可着色图的图同构问题是GI-完全的。此外，我们提出了一个子类的图直径为2，承认多项式算法的3-着色。对于直径为3的图，我们证明了对于每一个$\varepsilon \in [0,1)$，直径为3，半径为2，顶点为$n$，最小度为$δ=Θ(n^{\varepsilon})$的无三角形图的3-染色是NP-完全的。此外，假设ETH，我们提供了三个不同的放大我们的硬度结果，以获得每个$\varepsilon \in [0,1)$次指数下界的复杂性，3-着色的三角形自由图直径为3和最小度$δ=Θ(n^{\varepsilon})$。最后，我们给出了一个直径为3的图的3-着色算法$2^{O(\min\{δΔ,\frac{n}δ\logδ\})}$，其中$δ$（resp. $Δ$）是最小值（分别为最大）度。据我们所知，该算法是第一个次指数算法的图与$δ=ω(1)$和图与$δ=O(1)$和$Δ=o(n)$。由于3-着色复杂度的上述下界，当输入图为$δ=Θ(n^{…
The complexity of strong conflict-free vertex-connection $k$-colorability
该研究分析强无冲突顶点连通k-着色问题的计算复杂度，证明受限图下3着色判定为NP完全且具ETH下的下界，同时给出分裂图等两类图的多项式时间求解算法。
The parameterized complexity of Strong Conflict-Free Vertex-Connection Colorability
本文研究了强冲突自由顶点连接色数的参数复杂性，证明了其在顶点覆盖数参数下的固定参数可 tractable 性，但3-着色问题在二分图上不具有多项式核。
On the Critical Window for Adaptable 2-Colorability
本文确定了随机图可适应2-着色的尖锐阈值，刻画了决定性子的子图族，证明阈值之上存在交替长路径，给出与巨分量及2-SAT匹配的临界窗口界，并证明临界窗口下解空间连通。
Complexity and algorithms for proper conflict-free coloring in graphs
该研究证明完美消去二分图的PCF k着色问题为NP完全，PCF色数无法在O(n^(1-ε))内逼近，还为四类图的PCF k着色提供线性时间算法并确定其色数上界。
Multi-Clique-Width
通过对团宽定义的简单修改，得到了多团宽。它具有提供树宽度的自然延伸的优点。与candle-width不同，它与tree-width相比不会呈指数级增长。基于多团宽度的高效算法仍然可以用于有趣的任务，如计算独立集多项式或测试$c$可着色性。特别地，$c$可着色性可以在时间上在$n$中线性地测试，并且在时间上在$c$中单指数地测试，并且测试给定的多$k$表达的宽度$k$。对于这些任务，作为多团宽度的函数的运行时间与作为团宽度的函数的已知最快算法的运行时间相同。如果给出相应的图生成表达式，这将导致某些图的指数加速。这是因为对于许多图，多团宽度永远不会比团宽度大，而是指数地小于团宽度。当树的宽度基本上等于多团的宽度时，以及当树的宽度不受团宽度的任何函数的限制时，这个间隙出现。
Complexity of Coloring Graphs without Paths and Cycles
令$P_t$和$C_\ell$分别表示$t$顶点上的路径和$\ell$顶点上的循环。本文研究了无$(P_t,C_\ell)$图的$k$ -染色问题. Maffray和Morel，Bruce，Hoang和Sawada证明了$P_5$ -free图的3-可染性具有有限禁止导出子图的特征，而Hoang，Moore，Riskie，Sawada和Vatshelle证明了$k \geq 4$的$P_5$ -free图的$k$ -可染性不具有有限禁止导出子图的特征.这些作者还表明，通过计算机搜索的帮助下，4-着色的$(P_5,C_5)$ -自由图确实有一个有限的禁止诱导子图的特征。证明了对任意$k$，无$(P_6,C_4)$图的$k$ -可染性具有有限禁止诱导子图的特征.我们提供了$k=3$和$k=4$的禁止导出子图的完整列表。作为应用，我们得到了3-着色和4-着色无$(P_6,C_4)$图的多项式时间证明算法。（多项式时间算法已获得Golovach，Paulusma和宋，但这些算法没有证明）;为了补充这些结果，我们表明，在大多数其他情况下的$k$ -着色问题的$(P_t,C_\ell)$ -自由图是NP-完全的。具体来说，对于$\ell=5$，我们证明了$k$ -着色是NP-完全的$(P_t,C_5)$ -自由图时，$k \ge 4$和$t \ge 7$ ;对于$\ell \ge 6$，我们证…
Small H-coloring problems for bounded degree digraphs
一个NP-完全染色或同态问题在限制于度被一个小的数所限制的图时可能成为多项式时间可解的，但如果界更大则保持NP-完全。例如，度为3的图的3-可染性可以由Brooks定理来判定，而度为4的图的3-可染性问题是NP-完全的。我们研究了有向图的一个类似的现象，重点是三个最小的有向图H的NP-完全H-可染性问题。结果表明，在所有三种情况下的H-染色问题是多项式时间可解的有向图的度界$Δ^{+} \leq 1$，$Δ^{-} \leq 2$（或$Δ^{+} \leq 2$，$Δ^{-} \leq 1$）。另一方面，对于度界$Δ^{+} \leq 2$，$Δ^{-} \leq 2$，这三个问题都是NP完全的。Feder，Hell和Huang对图H提出的一个猜想指出，如果度界足够高，那么任何不带度约束的$H$ -着色问题的变形都是NP-完全的.我们的研究是第一次证实，猜想也可能适用于有向图。
List-coloring apex-minor-free graphs
一个图H是t-顶点的，如果对于V（H）的某个大小为t的子集X，H-X是平面的.对于任意的整数t>=0和固定的t-顶点图H，我们给出了一个多项式时间算法来判定一个（t+3）-连通的无H-子图是否可着色.连通性要求是最好的，即对每个t>=1，存在一个t-顶点图H，使得检验（t+2）-连通无H-minor-free图的（t+4）-可染性是NP-完全的.类似地，列表的大小不能减少（除非P=NP），因为对于每个t>=1，测试（t +3）-连通K_{t+4} -minor-free图的（t+3）-列表可着色性是NP-完全的。
On the Classical and Parameterized Complexity of Strong Odd Coloring
本文研究强奇$k$-染色问题的复杂度，证明其在完美消去二分图上NP完全且不可近似，同时给出块图的线性时间算法和树宽参数的FPT算法，并证明若干参数化下界与W[1]-难结果。
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces VII. A linear-time algorithm
本文给出了一个判定嵌入固定曲面的无三角形图的3-可着色性的线性时间算法，以及一个判定嵌入固定曲面的无三角形图的3-可着色性的二次时间算法。该算法还允许规定着色的有限数量的顶点。
Embedded graph 3-coloring and flows
若曲面上的非四面体的边长之和为一固定常数，则该曲面上的图是近四边形图。利用着色和流之间的对偶性，设计了一个有效的可定向曲面的近四边形3-预着色扩张算法。此外，我们使用这种对偶性，以加强以前已知的充分条件3-着色的三角形自由图绘制在可定向曲面。
Obstructions for three-coloring and list three-coloring $H$-free graphs
一个图是$H$ -free的，如果它没有同构于$H$的诱导子图.我们刻画了所有的图$H$，其中只有1000个极小的非三色的$H$ -free图。这样的特征以前仅在连接$H$的情况下才知道。这解决了Golovach等人提出的一个问题。作为第二个结果，我们描述了所有的图$H$，其中只有100多个$H$ -免费的最小障碍列表3-着色。
An efficient implementation and a strengthening of Alon-Tarsi list coloring method
作为多项式方法在组合学中的第一个应用，Alon和Tarsi给出了一种方法来证明一个图是可选择的（从任何指定大小的列表中可着色）。我们描述了一种有效的方法来实现这种方法，使其可行的测试选择的图形与周围70边。我们还表明，在情况下，阿隆-塔尔西方法未能表明，该图是可选的，图多项式的进一步系数提供限制的列表分配，从该图不能着色。这通常使我们能够从一个给定的列表赋值中确认可着色性，或者通过测试几个列表赋值来决定可选择性。该实现可以在https://gitlab.mff.cuni.cz/dvorz9am/alon-tarsi-method上找到。
Dichotomizing $k$-vertex-critical $H$-free graphs for $H$ of order four
对于$k \geq 3$，我们证明了（i）存在有限个$k$ -顶点临界$(P_2+\ell P_1)$ -free图和（ii）$k$ -顶点临界$(P_3+P_1)$ -free图至多有$2k-1$顶点.结合以前的研究，这些结果意味着以下特征，其中$H$是一个图的顺序四：有一个有限数量的$k$ -顶点临界$H$ -免费图固定$k \geq 5$当且仅当$H$是$\overline{K_4}, P_4, P_2 + 2P_1$，或$P_3 + P_1$之一。我们的结果意味着存在新的多项式时间证明算法，用于确定固定$k$的$(P_2+\ell P_1)$ -free图的$k$ -着色性。
Conditional and Unique Coloring of Graphs
对于整数$k, r > 0$，图$G$的条件$(k,r)$ -染色是$G$的顶点的真$k$ -染色，使得$G$中度为$d(v)$的每个顶点$v$至少与$\min\{r, d(v)\}$不同着色的顶点相邻.给定$r$，$G$有条件$(k,r)$ -着色的最小整数$k$称为$G$的$r$阶条件色数$χ_r(G)$.我们给出了一些图的条件着色的结果（精确值或界为$χ_r(G)$，取决于$r$）。我们引入了\emph{unique conditional colorability}并给出了一些相关的结果。（关键词。图的卡氏积;条件色数;齿轮图;图的并。
Conditional and Unique Coloring of Graphs (revised resubmission)
对于整数$k>0$和$0<r \leq Δ$（其中$r \leq k$），图$G$的条件$(k,r)$ -着色是$G$的顶点的真$k$ -着色，使得$G$中度为$d(v)$的每个顶点$v$与至少具有$\min\{r, d(v)\}$不同着色邻居的顶点相邻。图$G$具有条件$(k,r)$ -染色的最小整数$k$称为$r$阶条件色数，记为$χ_r(G)$ .对于不同的$r$的值，我们首先给出的结果（确切的值或界的$χ_r(G)$依赖于$r$）有关的图的条件着色。然后我们得到了某些参数化图的$χ_r(G)$，风车图、风车图的线图、友谊图的中图、圈的中图、友谊图的线图、完全$k$ -部图的中图、二部图的中图和齿轮图。最后介绍了\emph{unique conditional colorability}并给出了相关结果。
Local convergence of random graph colorings
设$G=G(n,m)$是一个随机图，其平均度$d=2m/n$低于$k$ -可着色性阈值.如果我们对$G$的$k$ -着色$σ$进行均匀随机采样，那么我们可以对分配给相距很远的顶点的颜色之间的相关性说些什么呢？根据统计物理学的预测，对于低于所谓的{ \em凝聚阈值} $d_c(k)$的平均度，分配给远处顶点的颜色是渐近独立的[Krzakala等人：美国国家科学院院刊2007]。我们证明了这个猜想$k$超过一定的常数$k_0$。更一般地说，我们调查的联合分布的$k$ -着色，$σ$诱导局部上的有界深度的任何固定数量的顶点的邻域。此外，我们指出了重建问题的影响。
On r-equitable chromatic threshold of Kronecker products of complete graphs
一个图$G$是$r$-公平$k$-可着色的，如果它的顶点集可以被划分成$k$独立集，其中任何两个在大小上最多相差$r$。图$G$的$r$-公平色阈值，由$χ_{r=}^*(G)$表示，是最小$k$，使得$G$对于所有$k'\ge k$都是$r$-公平地$k'$-可着色的。设$G\times H$表示图$G$和$H$的Kronecker积.本文完全确定了一般$m,n$和$r$的$χ_{r=}^*(K_m\times K_n)$的精确值。因此，我们证明了，对于$r\ge 2$，如果$n\ge \frac{1}{r-1}(m+r)(m+2r-1)$，那么$K_m\times K_n$和它的生成超图$K_{m(n)}$具有相同的$r$-公平可着色性，特别是$χ_{r=}^*(K_m\times K_n)=χ_{r=}^*(K_{m(n)})$，其中$K_{m(n)}$是在每个部分中具有$n$顶点的完全$m$-部图。
The condensation phase transition in random graph coloring
基于一种称为“腔方法”的非严格形式主义，物理学家对离散结构中的相变提出了有趣的预测。其中最显著的是，在诸如随机$k$ -SAT或随机图$k$ -着色的问题中，在解存在的阈值之前不久，发生了另一种称为“凝聚”的相变[Krzakala等人，PNAS 2007]。这种相变的存在似乎与证明精确结果的困难密切相关，例如，$k$可着色性阈值以及消息传递算法的性能。在随机图的$k$ -着色中，凝聚相变的位置是一个精确的猜想，它是一个分布不动点问题。本文证明了当$k$超过某个常数$k_0$时的猜想。
A Simple Algorithm for Coloring m-Clique Holes
m团洞是$m$不同团的序列$ϕ=(Φ_1,Φ_2,\dots,Φ_m)$，使得所有$i=1,2,\ldots,m$的$|Φ_i| \leq m$，并且其团图是$m$顶点上的洞。也就是说，$ϕ$是m团洞，如果对于所有$i\neq j$，$i,j=1,2,\ldots,m$，$Φ_i \cap Φ_{j} \neq \emptyset$当且仅当$(j-1)~\mbox{mod}~m = (j+1)~\mbox{mod}~m = i~\mbox{mod}~m$。本文给出了m团洞的m可着色性的一个充要条件，并提出了一个用m种颜色对m团洞着色的算法。
Complexity of acyclic colorings of graphs and digraphs with degree and girth constraints
我们考虑图和有向图中的无圈r-着色：它们用r种颜色着色顶点，每一种颜色诱导一个无圈图或有向图。(This包括有向图的二色数和图的荫度。）对于任何围长和足够高的程度，我们证明了NP-完全的非循环r-着色，我们的方法也意味着已知的类似经典着色。证明使用高围长图与高荫度和二色数。高围长图和具有高色数和二色数的有向图已经得到了很好的研究，我们从关系系统的一个一般性结果重新推导了结果，这也暗示了在证明中使用的关于高围长和高荫度的类似事实。这些事实涉及图和有向图的高围长和低程度，我们通过考虑非循环染色的比赛（具有低围长和高程度）来对比它们。我们证明了，即使非循环的两个着色比赛是NP-完全的，随机的非循环r-着色比赛允许恢复一个非循环r-着色在确定性的线性时间，具有高概率。
Exhaustive generation of $k$-critical $\mathcal H$-free graphs
我们描述了一种基于Hoàng等人的方法生成所有$k$ -临界$\mathcal H$ -free图的算法。使用该算法，我们证明了对于$k=4$和$k=5$，只有有限多个$4$ -临界$(P_7,C_k)$ -free图。我们还证明了只有1000个$4$ -临界图$(P_8,C_4)$ -free图.对于每一种情况，我们也给出了临界图和点临界图的完整列表。这些结果概括了以前的工作地狱和黄，并产生证明算法的$3$着色性问题在各自的类。此外，我们还证明了对每一个$t$，无4-临界平面$P_t$的图类是有限的.我们还确定了所有27个4-临界平面$(P_7,C_6)$ -free图。我们还证明了每一个围长至少为5的无$P_{10}$图都是3-可着色的，并确定了围长为5的最小无4-色$P_{12}$图.此外，我们还证明了每一个周长至少为6的无$P_{13}$图和每一个周长至少为7的无$P_{16}$图都是3-可着色的.这加强了Golovach等人的结果。
Coloring Drawings of Graphs
我们考虑平面图的图的胞腔着色。给定一个多重图$G$和一个平面上的图$Γ(G)$，图中只有100个交叉点，我们定义一个$Γ(G)$的单元$k$ -着色为图的最大连通区域的着色，这些单元具有$k$颜色，使得相邻单元具有不同的颜色。根据$4$ -着色定理，无桥图的每一幅图都有一个胞腔$4$ -着色.一个图的绘制是单元格$2$ -可着色的当且仅当底层图是欧拉图。我们证明了每一个不含1度顶点的图都有一个胞元$3$ -可着色图.这就引出了一个自然的问题，即抽象图的每个图形都有一个单元格$3$ -着色。我们说这样的图是普遍的细胞$3$着色。我们证明了任何$4$ -边连通图和任何允许无零$3$ -流的图都是泛胞$3$ -可着色的.我们还讨论了普遍的细胞$3$的可着色性的情况下，保证存在一个无处为零的$3$流。在消极的一面，我们提出了一个无限族的普遍细胞$3$ -可着色图没有无处零$3$ -流。在积极的一面，我们制定了一个猜想，它有一个令人惊讶的关系，著名的公开问题Tutte称为$3$流猜想。我们证明了我们的猜想为次立方和$K_{3,3}$ -minor自由图。
A new characterization of $P_k$-free graphs
在$k$顶点上不包含导出路径的图的类，$P_k$ -free图，在算法图论中起着突出的作用。这激发了对$P_k$ -free图的特殊结构性质的研究，包括替代性的刻画。设$G$是一个连通的无$P_k$图，$k \ge 4$ .我们证明了$G$允许一个连通控制集，其导出子图要么是$P_{k-2}$ -free的，要么同构于$P_{k-2}$。令人惊讶的是，事实证明，$G$的每个最小连通支配集都具有这个性质。这就给出了$P_k$ -free图的一个新的刻画：图$G$是$P_k$ -free的当且仅当$G$的每个连通导出子图都有一个连通控制集，其导出子图要么是$P_{k-2}$ -free的，要么是与$C_k$同构的.这改进和推广了以前的几个结果; $k=7$的特殊情况解决了van 't Hof和Paulusma提出的问题[A new characterization of $P_6$ -free graphs，COCOON 2008]。本文的第二部分给出了一个有效的算法，即给定一个$G$的$n$顶点和$m$边的连通图，计算$G$的连通控制集$X$，该连通控制集具有以下性质：对于最小$k$，使得$G$是$P_k$ -free的，由$X$诱导的子图是$P_{k-2}$ -free的或同构于$P_{k-2}$ .作为应用，我们证明了对于顶点超边关联图是$P_7$ -free的超图，超图2-着色…
New reducible configurations for graph multicoloring with application to the experimental resolution of McDiarmid-Reed's Conjecture (extended version)
本文提出图 $(a,b)$-着色的通用可约构型，并通过对数百万个三角格无三角形诱导子图的计算验证，为 McDiarmid-Reed 的 $(9,4)$-着色猜想提供证据。
Coloring circle arrangements: New $4$-chromatic planar graphs
Felsner，Hurtado，Noy和Streinu（2000）证明了简单大圆排列图的色数至多为$3$。基于这一猜想，我们研究了不同类别的（伪）圈排列图的可着色性。本文对$\triangle$ -饱和伪圆排列证明了这个猜想，即，对于其中面的2-着色的一个色类仅由三角形组成的布置，以及对于（伪）圆布置的其它类。这些结果是补充建设映射$\triangle$饱和安排与五边形面安排4-色4-定期安排图。这种“冠状”结构与Koester（1985）提出的冠状结构相似。基于详尽的实验与小的安排，我们提出了三个加强原来的猜想。我们还研究了分数着色。证明了两两相交伪圆的每一种排列$\mathcal{A}$的排列图都“接近”于$3$ -可着色.更准确地说，排列图的分数色数$χ_f(\mathcal{A})$由$χ_f(\mathcal{A}) \le 3+O(\frac{1}{n})$从上界定，其中$n$是$\mathcal{A}$的伪圈的数目。进一步，我们构造了一类分数$3$ -可着色的$4$ -边临界$4$ -正则可平面图.这证明了Gimbel，Kündgen，Li和Jumassen（2019）的一个猜想是错误的。
Streaming Hypergraph Coloring via Palette Sparsification
该研究证明了通用r-均匀超图的调色板稀疏化定理，确定了其着色所需列表大小的渐近紧界，为超图着色问题提供了关键的理论结果。
Finding Optimal Solutions With Neighborly Help
我们能否有效地从最优解到邻近的最优解计算出困难问题实例的最优解（即，本地修改）实例？例如，我们是否可以从所有单边删除子图的最优着色中有效地计算出一个图的最优着色？研究这些问题不仅可以详细了解问题本身的结构，还可以了解相关问题的复杂性;最值得注意的是图论的关键图的核心概念（例如，其色数在任意边的删除下减小的图）和最小问题的复杂性理论概念（也称为临界问题，例如，识别当任意边被删除时变为3-可着色的图）。我们专注于两个典型的图的问题，着色性和顶点覆盖。例如，我们表明，它是NP-难计算的最佳着色图的最佳着色，其所有的一个顶点删除的子图，这仍然是真实的，即使当所有的一个边删除的子图的最佳解决方案。相比之下，从所有（甚至只有两个）一个边缘添加的超图计算最佳着色是在P.我们观察到，顶点覆盖表现出显着不同的行为，展示了我们的模型的力量，更精确地描绘彼此的问题在结构层面上。此外，我们提供了一些新的复杂性结果的极小性和临界性问题。例如，我们证明了最小-3-UnColorability是完整的DP（NP集的差异），这是以前只知道更顺从的情况下删除顶点，而不是边缘。对于顶点覆盖，我们证明了对于Theta_2^p（并行访问NP），识别β-顶点临界图是完全的，获得了该类临界问题的第一个完全性结果。
Three-edge-coloring projective planar cubic graphs: A generalization of the Four Color Theorem
本文证明射影平面上除彼得森图外所有循环4边连通三次图均可3边着色，推广四色定理，并得出着色-流对偶及加强的Tutte 4流猜想结论。
The coloring problem for $\{P_5,\bar{P_5}\}$-free graphs and $\{P_5,K_p-e\}$-free graphs is polynomial
我们证明了确定无$\{P_5,\bar{P_5}\}$图和无$\{P_5,K_p-e\}$图的色数可以在多项式时间内完成
Finding a sun in building-free graphs
最近证明了判定任意图是否包含太阳是NP完全的。我们证明了一个无建筑图是否包含一个太阳可以在O（min $\{m{n^3}, m^{1.5}n^2\}$）的时间内决定，如果一个太阳存在，它可以被发现在相同的时间范围内。无建筑图类包含许多有趣的完美图类，例如Meyniel图，而Meyniel图又包含hhd-free图，i-三角图和奇偶图。此外，还有一些不完美的图是无建筑的。类的建筑免费图推广了几类图，其中一个有效的测试存在的太阳是已知的。我们还提出了一个顶点消除计划的类（建筑，宝石）-免费图。无（建筑，宝石）图类是距离遗传图类的推广，是无（建筑，太阳）图类的一个限制。
Chromatic number of ISK4-free graphs
如果图$G$不包含$K_4$的任何细分作为导出子图，则称图$G$是ISK 4-free的。本文给出了ISK 4-free图和$\{$ ISK 4，三角$\}$ -free图的色数的新的上界.
Feedback Vertex Set and Even Cycle Transversal for H-Free Graphs: Finding Large Block Graphs
证明了$H$ -free图（即不包含固定图$H$作为导出子图的图）的反馈顶点集和偶圈变换的新的复杂性结果.特别是，我们证明了，对于每一个$s\geq 1$，这两个问题是多项式时间可解的$sP_3$ -免费的图形和$(sP_1+P_5)$ -免费的图形，在这里，图形$sP_3$表示$s$路径的不相交的联盟上的三个顶点和图形$sP_1+P_5$表示$s$孤立的顶点和路径上的五个顶点的不相交的联盟。我们关于反馈顶点集的新结果扩展了$H$ -free图上反馈顶点集的所有已知多项式时间结果，即对于$sP_2$ -free图[Chiarelli et al.，TCS 2018]，无$(sP_1+P_3)$图[Dabrowski等人，图2020]和无$P_5$的图[Abrishami等人，SODA 2021]。总之，新的结果还表明，这两个问题表现出相同的行为$H$ -免费的图形（受一些开放的情况下）。这在一定程度上是由于我们设计了一个新的通用算法，用于在一个无（$sP_3)$）或无$(sP_1+P_5)$的图$G$中找到一个最大的导出子图，该子图的块属于某个有限类${\cal C}$.我们还比较了我们的结果与最先进的奇循环transmittance问题的结果，这是已知的表现不同的$H$ -免费的图形。
Improper coloring of toroidal graphs
本文研究环面图在缺陷值不全相等条件下的不当染色问题，证明了环面图满足若干新的缺陷染色结果，并将 $(0,0,0,14)$-可染改进为 $(0,0,0,4)$-可染，同时刻画了 $6$-正则环面图及可嵌入 $N_1$ 的图的可染性。
Maximum Weight Stable Set in ($P_7$, bull)-free graphs and ($S_{1,2,3}$, bull)-free graphs
本文给出了一个多项式时间算法，该算法在一个图中寻找最大权独立集，该图不包含在七个顶点上的诱导路或公牛（顶点为$a$，$b$，$c$，$d$，$e$，边为$ab$，$bc$，$cd$，$be$，$ce$）.用同样的论证，也给出了不含$S_{1,2,3}$或牛的任何图的多项式算法。
On Algorithms Based on Finitely Many Homomorphism Counts
本文研究仅依赖有限同态计数判定图查询的算法，界定 FO 前缀类及平面性、3-可着色性等性质，并证明自适应情形下三个同态计数足以且一般必要地确定图同构类型。
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