A certifying algorithm for 3-colorability of P5-free graphs
Daniel Bruce, Chinh T. Hoang, Joe Sawada
我们提供了一个证明算法的问题，决定是否P5- free图是3-colorable通过显示有恰好六个有限图是P5-free的，而不是3-colorable和最小的关于这个属性。
We provide a certifying algorithm for the problem of deciding whether a P5- free graph is 3-colorable by showing there are exactly six finite graphs that are P5-free and not 3-colorable and minimal with respect to this property.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Polynomial-time algorithm for vertex k-colorability of P_5-free graphs
本文给出了第一个用k种颜色对P_5-free图的顶点着色的多项式时间算法。这解决了一个开放的问题，并推广了几个以前已知的结果。
k-Colorability of P5-free graphs
本文给出了一个多项式时间算法，该算法在给定整数k的情况下判定一个P5-free图是否可以k-着色.如果存在这样的着色，则算法将产生有效的k-着色。
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces VI. 3-colorability of quadrangulations
我们给出了一个线性时间算法，以确定3-着色（并找到一个3-着色，如果它存在）的四边形的一个固定的表面。该算法还允许规定着色有限数量的顶点。
Complexity of Coloring Graphs without Paths and Cycles
令$P_t$和$C_\ell$分别表示$t$顶点上的路径和$\ell$顶点上的循环。本文研究了无$(P_t,C_\ell)$图的$k$ -染色问题. Maffray和Morel，Bruce，Hoang和Sawada证明了$P_5$ -free图的3-可染性具有有限禁止导出子图的特征，而Hoang，Moore，Riskie，Sawada和Vatshelle证明了$k \geq 4$的$P_5$ -free图的$k$ -可染性不具有有限禁止导出子图的特征.这些作者还表明，通过计算机搜索的帮助下，4-着色的$(P_5,C_5)$ -自由图确实有一个有限的禁止诱导子图的特征。证明了对任意$k$，无$(P_6,C_4)$图的$k$ -可染性具有有限禁止诱导子图的特征.我们提供了$k=3$和$k=4$的禁止导出子图的完整列表。作为应用，我们得到了3-着色和4-着色无$(P_6,C_4)$图的多项式时间证明算法。（多项式时间算法已获得Golovach，Paulusma和宋，但这些算法没有证明）;为了补充这些结果，我们表明，在大多数其他情况下的$k$ -着色问题的$(P_t,C_\ell)$ -自由图是NP-完全的。具体来说，对于$\ell=5$，我们证明了$k$ -着色是NP-完全的$(P_t,C_5)$ -自由图时，$k \ge 4$和$t \ge 7$ ;对于$\ell \ge 6$，我们证…
The parameterized complexity of Strong Conflict-Free Vertex-Connection Colorability
本文研究了强冲突自由顶点连接色数的参数复杂性，证明了其在顶点覆盖数参数下的固定参数可 tractable 性，但3-着色问题在二分图上不具有多项式核。
The complexity of strong conflict-free vertex-connection $k$-colorability
该研究分析强无冲突顶点连通k-着色问题的计算复杂度，证明受限图下3着色判定为NP完全且具ETH下的下界，同时给出分裂图等两类图的多项式时间求解算法。
Complexity of the conditional colorability of graphs
对于整数$r>0$，图$G$的条件$(k,r)$ -染色是$G$的顶点的真$k$ -染色，使得$G$中度为$d(v)$的每个顶点$v$与至少具有$min\{r, d(v)\}$不同颜色的顶点相邻.图$G$具有条件$(k,r)$ -染色的最小整数$k$称为$r$阶条件色数，记为$χ_r(G)$ .很容易看出，条件着色是传统顶点着色的推广，其中$r=1$。本文研究了图的条件着色的复杂性。主要结果是：对于最大度不超过3的无三角形图，条件$(3,2)$ -可染性是$NP$ -完全的，这不同于传统的3-可染性是多项式可解的.这也意味着确定最大度为3的图是$(3,2)$-可着色的还是$(4,2)$ -可着色的是$NP$ -完全的。我们还证明了传统着色的一些旧的复杂性结果仍然适用于条件着色。
Dichotomizing $k$-vertex-critical $H$-free graphs for $H$ of order four
对于$k \geq 3$，我们证明了（i）存在有限个$k$ -顶点临界$(P_2+\ell P_1)$ -free图和（ii）$k$ -顶点临界$(P_3+P_1)$ -free图至多有$2k-1$顶点.结合以前的研究，这些结果意味着以下特征，其中$H$是一个图的顺序四：有一个有限数量的$k$ -顶点临界$H$ -免费图固定$k \geq 5$当且仅当$H$是$\overline{K_4}, P_4, P_2 + 2P_1$，或$P_3 + P_1$之一。我们的结果意味着存在新的多项式时间证明算法，用于确定固定$k$的$(P_2+\ell P_1)$ -free图的$k$ -着色性。
Complexity and algorithms for proper conflict-free coloring in graphs
该研究证明完美消去二分图的PCF k着色问题为NP完全，PCF色数无法在O(n^(1-ε))内逼近，还为四类图的PCF k着色提供线性时间算法并确定其色数上界。
List-coloring apex-minor-free graphs
一个图H是t-顶点的，如果对于V（H）的某个大小为t的子集X，H-X是平面的.对于任意的整数t>=0和固定的t-顶点图H，我们给出了一个多项式时间算法来判定一个（t+3）-连通的无H-子图是否可着色.连通性要求是最好的，即对每个t>=1，存在一个t-顶点图H，使得检验（t+2）-连通无H-minor-free图的（t+4）-可染性是NP-完全的.类似地，列表的大小不能减少（除非P=NP），因为对于每个t>=1，测试（t +3）-连通K_{t+4} -minor-free图的（t+3）-列表可着色性是NP-完全的。
Algorithms and Almost Tight Results for 3-Colorability of Small Diameter Graphs
尽管关于几个基本参数的3-着色问题已经有了广泛的研究，但小直径图（即直径为2或3的图）上的3-着色问题的复杂性状态一直是一个长期存在且具有挑战性的公开问题。对于直径为2的图，我们提供了第一个次指数算法的复杂性$2^{O(\sqrt{n\log n})}$，这是渐近相同的，目前最好的已知的时间复杂度的图同构（GI）的问题。证明了直径为2的3-可着色图的图同构问题是GI-完全的。此外，我们提出了一个子类的图直径为2，承认多项式算法的3-着色。对于直径为3的图，我们证明了对于每一个$\varepsilon \in [0,1)$，直径为3，半径为2，顶点为$n$，最小度为$δ=Θ(n^{\varepsilon})$的无三角形图的3-染色是NP-完全的。此外，假设ETH，我们提供了三个不同的放大我们的硬度结果，以获得每个$\varepsilon \in [0,1)$次指数下界的复杂性，3-着色的三角形自由图直径为3和最小度$δ=Θ(n^{\varepsilon})$。最后，我们给出了一个直径为3的图的3-着色算法$2^{O(\min\{δΔ,\frac{n}δ\logδ\})}$，其中$δ$（resp. $Δ$）是最小值（分别为最大）度。据我们所知，该算法是第一个次指数算法的图与$δ=ω(1)$和图与$δ=O(1)$和$Δ=o(n)$。由于3-着色复杂度的上述下界，当输入图为$δ=Θ(n^{…
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces VII. A linear-time algorithm
本文给出了一个判定嵌入固定曲面的无三角形图的3-可着色性的线性时间算法，以及一个判定嵌入固定曲面的无三角形图的3-可着色性的二次时间算法。该算法还允许规定着色的有限数量的顶点。
Obstructions for three-coloring and list three-coloring $H$-free graphs
一个图是$H$ -free的，如果它没有同构于$H$的诱导子图.我们刻画了所有的图$H$，其中只有1000个极小的非三色的$H$ -free图。这样的特征以前仅在连接$H$的情况下才知道。这解决了Golovach等人提出的一个问题。作为第二个结果，我们描述了所有的图$H$，其中只有100多个$H$ -免费的最小障碍列表3-着色。
Exhaustive generation of $k$-critical $\mathcal H$-free graphs
我们描述了一种基于Hoàng等人的方法生成所有$k$ -临界$\mathcal H$ -free图的算法。使用该算法，我们证明了对于$k=4$和$k=5$，只有有限多个$4$ -临界$(P_7,C_k)$ -free图。我们还证明了只有1000个$4$ -临界图$(P_8,C_4)$ -free图.对于每一种情况，我们也给出了临界图和点临界图的完整列表。这些结果概括了以前的工作地狱和黄，并产生证明算法的$3$着色性问题在各自的类。此外，我们还证明了对每一个$t$，无4-临界平面$P_t$的图类是有限的.我们还确定了所有27个4-临界平面$(P_7,C_6)$ -free图。我们还证明了每一个围长至少为5的无$P_{10}$图都是3-可着色的，并确定了围长为5的最小无4-色$P_{12}$图.此外，我们还证明了每一个周长至少为6的无$P_{13}$图和每一个周长至少为7的无$P_{16}$图都是3-可着色的.这加强了Golovach等人的结果。
A refinement on the structure of vertex-critical ($P_5$, gem)-free graphs
我们给出了一个新的、更强的证明：对于所有的$k$，只有1000个$k$ -顶点临界（$P_5$，~gem）-自由图.我们的证明进一步细化了这些图的结构，并允许实现一个简单的穷举计算机搜索，以完全列出所有的$6$ -和$7$ -顶点关键的$(P_5$，gem）-自由图。我们的结果暗示存在多项式时间证明算法来决定$k$ -可着色性的$k$，gem）-free图的所有$k$，其中证书是一个$k$ -着色或一个$(k+1)$ -顶点临界诱导子图。我们的$k\le 7$完整列表允许在所有$k\le 6$中实现这些算法。
On the structure of (pan, even hole)-free graphs
一个洞是一个无弦的循环，至少有四个顶点。泛图是由一个洞和一个顶点组成的图，其中洞上只有一个邻居。偶数洞是具有偶数个顶点的洞。证明了无（泛，偶洞）图可以被团割集分解为基本单位圆弧图。这个结构定理是我们的$O(nm)$ -时间证明算法的基础，用于识别（泛，甚至孔）-免费的图形和我们的$O(n^{2.5}+nm)$ -时间算法，以最佳的颜色。利用这个结构定理，我们证明了无（泛，偶洞）图的树宽至多为团数减1的1.5倍，从而色数至多为团数的1.5倍.
A new characterization of $P_k$-free graphs
在$k$顶点上不包含导出路径的图的类，$P_k$ -free图，在算法图论中起着突出的作用。这激发了对$P_k$ -free图的特殊结构性质的研究，包括替代性的刻画。设$G$是一个连通的无$P_k$图，$k \ge 4$ .我们证明了$G$允许一个连通控制集，其导出子图要么是$P_{k-2}$ -free的，要么同构于$P_{k-2}$。令人惊讶的是，事实证明，$G$的每个最小连通支配集都具有这个性质。这就给出了$P_k$ -free图的一个新的刻画：图$G$是$P_k$ -free的当且仅当$G$的每个连通导出子图都有一个连通控制集，其导出子图要么是$P_{k-2}$ -free的，要么是与$C_k$同构的.这改进和推广了以前的几个结果; $k=7$的特殊情况解决了van 't Hof和Paulusma提出的问题[A new characterization of $P_6$ -free graphs，COCOON 2008]。本文的第二部分给出了一个有效的算法，即给定一个$G$的$n$顶点和$m$边的连通图，计算$G$的连通控制集$X$，该连通控制集具有以下性质：对于最小$k$，使得$G$是$P_k$ -free的，由$X$诱导的子图是$P_{k-2}$ -free的或同构于$P_{k-2}$ .作为应用，我们证明了对于顶点超边关联图是$P_7$ -free的超图，超图2-着色…
The four-in-a-tree problem in triangle-free graphs
Chudnovsky和Seymour的三分树算法在时间上决定图的三个给定顶点是否属于导出树$O(n^4)$。在这里，我们研究了无三角形图的四叉树。我们给出了一个结构性的回答以下问题：什么是一个三角形的自由图看起来像如果没有诱导树覆盖四个给定的顶点？我们的主要结果说，任何这样的图必须有“相同的结构”，在某种意义上被精确定义，作为一个正方形或立方体。我们提供了一个$O(nm)$ -时间算法，给定一个三角形自由图$G$连同四个顶点输出要么诱导树，包含它们或分区的$V(G)$证明没有这样的树存在。证明了判定是否存在一棵覆盖四个顶点的树$T$使得$T$中至多有一个顶点的度至少为3的问题是NP-完全的.
Coloring Drawings of Graphs
我们考虑平面图的图的胞腔着色。给定一个多重图$G$和一个平面上的图$Γ(G)$，图中只有100个交叉点，我们定义一个$Γ(G)$的单元$k$ -着色为图的最大连通区域的着色，这些单元具有$k$颜色，使得相邻单元具有不同的颜色。根据$4$ -着色定理，无桥图的每一幅图都有一个胞腔$4$ -着色.一个图的绘制是单元格$2$ -可着色的当且仅当底层图是欧拉图。我们证明了每一个不含1度顶点的图都有一个胞元$3$ -可着色图.这就引出了一个自然的问题，即抽象图的每个图形都有一个单元格$3$ -着色。我们说这样的图是普遍的细胞$3$着色。我们证明了任何$4$ -边连通图和任何允许无零$3$ -流的图都是泛胞$3$ -可着色的.我们还讨论了普遍的细胞$3$的可着色性的情况下，保证存在一个无处为零的$3$流。在消极的一面，我们提出了一个无限族的普遍细胞$3$ -可着色图没有无处零$3$ -流。在积极的一面，我们制定了一个猜想，它有一个令人惊讶的关系，著名的公开问题Tutte称为$3$流猜想。我们证明了我们的猜想为次立方和$K_{3,3}$ -minor自由图。
On the finiteness of $k$-vertex-critical $2P_2$-free graphs with forbidden induced squids or bulls
本文证明当禁用诱导子图 H 为 bull、chair、claw+P1、overline{diamond+P1} 或特定 squid 时，所有 k 的 k-顶点临界 (2P2,H)-自由图仅有有限多个，并据此给出多项式时间认证算法及小规模图的穷举生成结果。
Better 3-coloring algorithms: excluding a triangle and a seven vertex path
本文提出一种针对$\{P_7,C_3\}$-free图的列表3-着色算法，复杂度优于现有方法；并证明当$t \leq 7$时该类问题的极小障碍有限，从而推出多项式时间证书算法。
Vertex-critical graphs in co-gem-free graphs
该研究证明了当H为任意4阶图时，无(co-gem, H)图中k-顶点临界图的数量有限，还得到了若干更强结论，并由此推出判定这类图k可着色性的多项式时间认证算法的存在性。
Vertex-critical graphs in subfamilies of $(P_4+\ell P_1)$-free graphs
本文证明了在特定$(P_4+\ell P_1)$-free图子族中，k-顶点临界图是有限的，改进了关于k-顶点临界$(P_4+\ell P_1)$-free图有限性的开放问题。
Three-edge-coloring projective planar cubic graphs: A generalization of the Four Color Theorem
本文证明射影平面上除彼得森图外所有循环4边连通三次图均可3边着色，推广四色定理，并得出着色-流对偶及加强的Tutte 4流猜想结论。
Catching Rats in $H$-minor-free Graphs
本文证明排除 $H$-minor 和 $k$-网格 minor 的图的树宽/分支宽度在 $O(gk + t^{2304})$ 内，并给出相应的近似算法，其中 $g$ 为欧拉亏格，$t$ 为 $H$ 的顶点数。
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