The Dynamical Mordell-Lang Conjecture for polynomial endomorphisms of the affine plane
Junyi Xie
本文证明了仿射平面上多项式自同态的动力学Mordell-Lang猜想。
In this paper we prove the Dynamical Mordell-Lang Conjecture for polynomial endomorphisms of the affine plane.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Mordell-Lang and Skolem-Mahler-Lech theorems for endomorphisms of semiabelian varieties
利用Skolem-Mahler-Lech定理证明了半交换簇的一个动力学Mordell-Lang猜想。
Growth rate of ample heights and the dynamical Mordell-Lang type conjecture
给出了数域上光滑射影簇上自同态迭代下有理点的充分高增长率的一个显式公式。作为应用，我们给出了一个关于étale自同态对的动力学Mordell-Lang型问题的正解，它是Bell，Ghioca和Tucker在他们的专著中所述问题的一个变形.
Dynamical Mordell-Lang conjecture for totally inseparable liftings of Frobenius
证明了：若$K$是一个完备的代数闭的非阿基米德赋值域，且$f$是$\mathbb{P}_{K}^{N}$的自同态，且该自同态完全不可分，且表现为特殊纤维上的Frobenius，则$f$满足动力学Mordell-Lang（DML）性质.我们还讨论了一些推论和推广。
The Mordell-Lang Question for Endomorphisms of Semiabelian Varieties
莫德尔-朗猜想描述了一个半交换簇的闭子簇与一个半交换生成子群的交。等价地，这个猜想描述了闭子簇与原点的象的集合在一个由平移生成的半群下的交集。我们研究类似的问题，其中的翻译是由代数群自同态（和原点是由另一个点取代）。我们证明了Mordell-Lang猜想的结论在这种情况下仍然成立，如果（1）半阿贝尔簇是单的，（2）半阿贝尔簇是$A^2$，其中$A$是一个一维半阿贝尔簇，（3）子簇是一个连通的一维代数子群，或（4）每个自同态在原点有可对角化的雅可比矩阵。我们还给出了一些例子，表明如果我们对这些假设中的任何一个进行轻微的修改，结论就会失败。
Dynamical Mordell-Lang conjecture for split self-maps of affine curve times projective curve
本文证明了在仿射曲线与投影曲线乘积上，关于有理数闭包上内射映射的动力学Mordell-Lang猜想。
The Dynamical Mordell-Lang Conjecture for endomorphisms of semiabelian varieties defined over fields of positive characteristic
设K是素特征为p的代数闭域，X是定义在K的有限子域上的半交换簇，f是定义在K上的X上的正则自映射，V是定义在K上的X的子簇，X是X的K点.特征为p的动态莫德尔-朗猜想预言，由所有正整数n组成的集合S，f^n（x）位于V上，是一个由100个等差数列和100个p-集合组成的并集，p-集合是由所有形式为c_1 p^{k_1 n_1} +.的整数组成的集合。+ c_m p^{k_m n_m}（当我们改变n_1，.，n_m），对给定的正整数m，有理数c_i和非负整数k_i.我们证明了这个猜想与某些困难的特征为0的丢番图问题是等价的。在X是一个代数环面的情形下，我们可以在两种情况下证明这个猜想：当V的维数至多为2时，或者当f的幂不是一个群自同态，它导致Frobenius的幂在X的正维代数子群上的作用时.
Height arguments toward the dynamical Mordell-Lang problem in arbitrary characteristic
本文利用高度论证方法，证明了动力学Mordell-Lang问题中两个关键结果：关于投影变种中稠密轨道返回集的有限性及产品结构下的返回集形式一致性，揭示了动力系统中返回集的复杂性。
Remarks on algebraic dynamics in positive characteristic
本文研究了具有任意特征，特别是正特征的算术动力学。推广了正特征线中算术度和典范高度的一些基本事实。作为应用，我们证明了正熵射影曲面自同构的动力学Mordell-Lang猜想，射影曲面自同构的Zebraki稠密轨道猜想和第一动力学度较大的射影簇自同态的Zebraki稠密轨道猜想.我们还研究了可构造拓扑的遍历论。例如，我们证明了具有大拓扑度的有限平坦自同态的后向轨道的等分布性。作为应用，我们给出了弱动力学Mordell-Lang的一个简单证明，并证明了无重数的后向轨道的一个计数结果。这给出了伯科维奇空间上等分布的一些应用。
Around the dynamical Mordell-Lang conjecture
本文报告了动力学Mordell-Lang猜想的进展，将其已知结果推广至复数域及一致与部分轨道版本，并利用Berkovich空间语言改进了p-adic方法，同时提出了进一步问题。
The Dynamical Mordell-Lang Conjecture for skew-linear self-maps
设k是特征为0的代数闭域，X=P^1 \times A^N，f是X的有理自同态，由（x，y）->（g（x），A（x）y）给出，其中g是有理函数，A是元素在k（x）中的N × N矩阵.证明了若g具有x->ax+b的形式，则X的每一条与f的某个轨道相交于无穷多点的不可约曲线C在f的作用下必是周期的.如果g是一个大于1的自同态，则我们证明了X的每个与f的轨道相交的不可约子簇Y在一个Zebriki稠密点集中也必是周期的.我们的结果在一些新的例子中提供了动力学Mordell-Lang猜想中所期望的结论。此外，我们的结果有有趣的后果对Rubel的猜想和Wibmer提出的广义Skolem-Mahler-Lech问题的背景下的差分方程。在附录中，它表明，结果也可以用来构建Picard-Vessiot扩展环的序列。
Dynamical Mordell-Lang conjecture for birational polynomial morphisms on $\mathbb{A}^2$
证明了$\mathbb{A}^2$上双有理多项式态射的动力学Mordell-Lang猜想.
On the dynamical Mordell-Lang conjecture in positive characteristic
本文解决了正特征下有界度动力系统的动力Mordell-Lang猜想，并证明该结果推翻了pDML猜想的原始版本。
On the DML(1) property for regular endomorphisms of affine spaces: multiplicities of points at infinity
本文研究仿射空间正则自同态的动力学Mordell-Lang猜想，在无穷远点重数几何平均小于代数度的条件下，证明该猜想对曲线成立。
Ample canonical heights for endomorphisms on projective varieties
我们定义了一个“充足的典范高度”的自同态上的投射品种，这基本上是一个推广的典范高度极化自同态引入呼叫-西尔弗曼。我们制定了一个动力学模拟的Northcott有限性定理充分的典型高度作为一个猜想，并证明它的自同态品种的小皮卡德数，阿贝尔簇，和表面。作为应用，对于满足猜想的自同态，我们证明了定数域上预周期点集的非稠密性，并得到了关于公共簇上两个自同态的两个Zapriki稠密轨道相交的动力学Mordell-Lang型结果.
Local height arguments toward the dynamical Mordell-Lang conjecture
本文研究具有度数间隙k的正则内射映射，证明其满足动力学莫尔德兰-兰猜想，并展示周期曲线为垂直线的性质。
On a Dynamical Mordell-Lang Conjecture for Coherent Sheaves
我们介绍了一个动力学Mordell-Lang型猜想相干层。当层是闭子概形的结构层时，我们的猜想就变成了关于不可能相交的陈述。我们证明了一个类似的仿射空间，然后我们用它来证明我们的猜想的情况下，表面。这些结果依赖于我们在附录中证明的斯特拉斯曼定理的模理论变体。
Dynamical Mordell-Lang problem for automorphisms of surfaces in positive characteristic
本文在正特征下研究了曲面自同构的动力学Mordell-Lang问题，通过分析动力系统与代数几何的相互作用，揭示了有限映射下的轨道结构与代数簇性质之间的联系。
On the DML(1) property for regular endomorphisms of affine spaces: the $\mathbb{G}_m$-case
本文证明在仿射空间正则自同态下，若不可约曲线与某点的轨道有无限交集且其正规化为$\mathbb{G}_m$，则该曲线是周期的，验证了动力Mordell-Lang猜想在该情形下的预期结论。
Intersections of polynomial orbits, and a dynamical Mordell-Lang conjecture
证明了若同次非线性复多项式有无穷交轨道，则多项式有公共轨道。我们还证明了一个特殊的情况下，一个mordell-Lang猜想的动力学模拟。
Dynamical Mordell-Lang and Automorphisms of Blow-ups
我们表明，如果$ϕ: X \to X$是一个自同构的一个光滑的射影簇和$D \subset X$是一个不可约因子的集合$d$在$D$与$ϕ^n(d)$在$D$的一些非零$n$是不Zerkiki密集的，那么$(X, ϕ)$承认一个等变有理纤维化的曲线。因此，我们表明，某些爆破（例如，在高余维爆破）不改变有限性的$\textrm{Aut}(X)$，Bayraktar Cantat的扩展结果。我们还推广了Arnol'd关于一个簇的交集的重数增长的结果，该簇在一个自同构下与其他簇的迭代。这些结果遵循从一个非约化模拟的动态莫德尔-朗猜想。也就是说，设$ϕ: X \to X$是特征为零的域$k$上的光滑投射簇$X$的一个自同态。证明了若$Y$和$Z$是$X$的两个闭子概型，则集合$A_ϕ(Y,Z) = \{n : ϕ^n(Y) \subseteq Z\}$是一个有限集合和100个剩余类的并，其模依$Y$几何有界.
Around the Mordell-Lang and Manin-Mumford conjectures in positive characteristic
利用形式幂级数环上的半阿贝尔簇的积分模型和jet格式的机制，给出了Manin-Mumford猜想到Mordell-Lang猜想的正特征蕴涵的完整证明.
Mordell-Lang in positive characteristic
本文给出了Mordell-Lang猜想在正特征群下的一个新的证明。在正特征的完全Mordell-Lang猜想上也取得了一些进展。
Algebraic dynamics of the lifts of Frobenius
本文研究了系数在p-adic域中的射影空间的自同态的代数动力学，其正特征约化是Frobenius。特别是，我们证明了一个版本的动态Manin-Mumford猜想和动态Mordell-Lang猜想的相干后向轨道，这样的自同态。在这种情况下，我们也给出了一个新的动力学版本的Tate-Voloch猜想的证明。我们的方法是基于P. Scholze提出的完美空间理论。在附录中，我们证明了在定义域上的某些技术条件下，射影簇上Frobenius的一个极化提升的动力系统可以嵌入到射影空间的一个自同态的动力系统中。
Mordell-Lang plus Bogomolov
我们制定了一个猜想，半交换品种A在数域，其中包括Mordell-Lang猜想（现已证明）和Bogomolov猜想。我们证明了“Mordellic”（生成的）部分的猜想时，A是同构的产品的阿贝尔簇和环面。证明利用莫德尔-朗猜想，Bogomolov猜想，和等分布定理。
Ranks of abelian varieties and the full Mordell-Lang conjecture in dimension one
设$A$是域$F$上的非零阿贝尔簇，且该域在有限域上不是代数的。本文证明了当$F$在Pop意义下（也称之为充分）是大的时，阿贝尔群$A(F)$的有理秩是无限的.主要成分是一个推导的1维情况下的相对莫德尔-朗猜想的结果罗斯勒。
A dynamical version of the Mordell-Lang conjecture for the additive group
我们证明了动力学版本的Mordell-Lang猜想的背景下，德林费尔德模。我们使用类似的分析方法所采用的Skolem，Chabauty和科尔曼研究丢番图方程。
Mordell-Lang plus Bogomolov II: the division group
在“Mordell-Lang plus Bogomolov”中，我们将Mordell-Lang猜想（现已证明）和Bogomolov猜想结合起来，提出了一个猜想，并证明了A几乎分裂时的Mordellic部分（即，同构于阿贝尔簇和环面的乘积）。在这里，我们证明了充分的猜想将遵循Bogomolov猜想和均匀分布的结果一般semiabel品种。当A几乎可裂时，这些假设已被证明，因此在这种情况下猜想完全被证明。
Strongly semistable sheaves and the Mordell-Lang conjecture over function fields
在所研究的簇是阿贝尔簇的光滑子簇的情形下，给出了正特征的Mordell-Lang猜想的一个新证明.我们的证明是基于半稳定层的理论，在积极的特点，特别是在兰格定理的Harder-Narasimhan过滤层成为强半稳定后，有限数量的迭代Frobenius拉回。这个证明的有趣之处在于，它为等平凡有限覆盖的度提供了简单的有效界（取决于规范线丛的度），其存在性由Mordell-Lang猜想预测。我们还提出了一个关于正特征的一般型光滑射影簇的余切丛的Harder-Narasimhan滤子的猜想，并对正特征的Bjueri-Lang猜想作了一个几何上的改进.
Height Gap Conjectures, $D$-Finiteness, and Weak Dynamical Mordell-Lang
在以前的工作中，第一作者Ghioca和第三作者介绍了一个广泛的动力学框架，从数论和代数组合学中产生了许多经典序列。具体地说，它们是$f(Φ^n(x))$形式的序列，其中$Φ\colon X\to X$和$f\colon X\to\mathbb{P}^1$是在$\overline{\mathbb{Q}}$上定义的有理映射，而$x\in X(\overline{\mathbb{Q}})$是其前向轨道避开$Φ$和$f$的不确定性轨迹的点。他们证明，如果序列是无限的，那么$\limsup \frac{h(f(Φ^n(x)))}{\log n} > 0$。他们还对$\liminf$提出了一个相应的猜想，并证明了它蕴含着动力学Mordell-Lang猜想。本文证明了$\limsup$猜想和远离密度$0$的$\liminf$猜想。作为应用，我们证明了关于$D$ -有限幂级数系数增长率的结果以及关于密度$0$的动力学Mordell-Lang猜想。
Periodic points, linearizing maps, and the dynamical Mordell-Lang problem
我们证明了拟投射簇X的子簇的Mordell-Lang猜想的一个动力学版本，赋予态射f：X --> X的作用。我们使用的分析方法的基础上的技术Skolem，马勒和莱赫，以及赫尔曼和Yoccoz从nonarchimedean动力学的结果。
An afterthought on the generalized Mordell-Lang conjecture
广义Mordell-Lang猜想（GML）是关于半阿贝尔簇内有限秩群的子集的Zerkiki闭包的不可约分支是闭代数子群的平移的命题。M. McQuillan对这一说法给出了证明。我们重新审视他的证明，指出一些简化。本文对扭点群的（GML）（=广义Manin-Mumford猜想）和有限生成群的（GML）蕴涵完全广义Mordell-Lang猜想这一事实给出了一个完整的初等证明。
Mordell--Lang plus Geometric Bogomolov
本文证明了特征零半阿贝尔簇上 Poonen 定理的几何版本，推广了 Mordell--Lang 与几何 Bogomolov 猜想。
The Mordell-Lang Theorem for finitely generated subgroups of a semiabelian variety defined over a finite field
我们确定了定义在有限域上的半交换簇$G$与闭子簇$X\subset G$的一个非生成子群的交的结构。
The Dynamical Mordell-Lang Conjecture
我们证明了一个特殊的情况下，经典的莫德尔-朗猜想的动力学模拟。特别地，设$ϕ$是一个有理函数，除了例外点之外没有超吸引周期点。如果$ϕ$的系数是代数的，我们证明了在$(\bP^1)^g$的真预周期子簇的并之外的一点的轨道与包含在$(\bP^1)^g$中的任何曲线只有有限的相交.我们还证明了我们的结果适用于不可分解多项式$ϕ$的系数在$\bC$。我们的证明使用结果从$p$ -进动力学与完整性参数。推广到定义在$\bC$上的多项式，使用了特殊化方法，结合Medvedev和Scanlon的一些新结果，描述了在$(ϕ,ϕ)$作用于$\bA^2$上的周期平面曲线.
Arithmetic Degrees are Cohomological Lyapunov Multipliers
本文证明射影簇自同态中 Zariski 稠密轨道点的算术次数必为系统的上同调 Lyapunov 乘子，并据此得到动力 Mordell–Lang 猜想的推论。
Towards the full Mordell-Lang conjecture for Drinfeld modules
设$ϕ$是具有类属特征的Drinfeld模，$X$是$\mathbb{G}_a^g$的充分类属仿射子簇.证明了$X$与$\mathbb{G}_a^g$的有限秩$ϕ$ -子模的交是有限的.
Uniformity in the Mordell-Lang conjecture
我们注意到，皮莱的结果的稳定性的代数闭域与一个谓词的一组郎型意味着数量一致性遵循形式上的有限性结果类似于法尔茅斯定理。
On the Manin-Mumford and Mordell-Lang conjectures in positive characteristic
证明了在正特征意义下，Manin-Mumford猜想蕴涵Mordell-Lang猜想，其中环境簇是定义在有限域上平滑曲线的函数域上的阿贝尔簇，相关群是有限生成群.特别地，在最后一句的设置中，我们提供了Mordell-Lang猜想的证明，该证明不依赖于来自模型论的工具。
Finiteness theorems on elliptical billiards and a variant of the Dynamical Mordell-Lang Conjecture
我们提供了一些定理，主要是有限性，某些模式在椭圆台球，有关的周期性轨迹。例如，如果两个运动员在给定位置击球，并且方向在$(0,π)$中形成固定角度，则两个轨迹都是周期性的情况只有20%。另一个例子是台球杆的有限性，它把一个给定的球送入另一个球，使这个球最终落入一个洞。这些结果起源于马宁-芒福德猜想的“相对”情况，并构成算术内容如何影响混沌行为（台球）的实例。我们还将通过一个动态莫德尔-朗猜想的变体来解释这些陈述。反过来，这包括的情况下，有些令人惊讶的是，可以处理（只有）完全不同的方法相比，前者;在这里，我们将提供一个明确的例子有关的丢番图方程在代数环面。
The dynamical Mordell-Lang conjecture in positive characteristic
设K是素特征为p的代数闭域，N是正整数，f是定义在K上的代数环面T=G_m^N上的自映射，V是定义在K上的T中的曲线，x是T的K点.我们证明了由所有正整数n组成的集合S，其中f^n（x）包含在V中，是一个由100个等差数列，一个有限集和100个p-等差数列组成的并，这些等差数列是以下形式的集合{b + ap^{kn}：n是一个正整数}，其中a和b是给定的有理数，k是一个正整数。我们还证明了我们的结果是尖锐的意义下，S可能是无限的，而不包含一个等差数列。我们的结果解决了一个积极的特征版本的动力学Mordell-Lang猜想，它是第一个已知的情况下，结构定理证明的集合S，其中包括p-等差数列。
On function field Mordell-Lang: the semiabelian case and the socle theorem
在这里，我们的目标是完成我们的模型理论帐户的功能领域莫德尔-朗猜想，避免上诉二分法定理的Zurski几何，我们现在考虑的一般情况下，半交换品种。主要结果是减少，使用模型理论的工具，半阿贝尔的情况下，阿贝尔的情况下。
The Mordell-Lang conjecture for semiabelian varieties defined over fields of positive characteristic
本文研究正特征代数闭域上半阿贝尔簇的 Mordell-Lang 问题，刻画其子簇与有理点有限生成子群的交集。
Uniform Mordell-Lang Plus Bogomolov
本文证明了阿贝尔簇上 Poonen“Mordell-Lang 加 Bogomolov”定理的一致版本，主要推广 Rémond 的大点结果以纳入额外 $ε$-邻域，小点部分基于与 Gao 和 Kühne 的早期合作。
A variant of the Mordell-Lang conjecture
Mordell-Lang猜想（由Faltings，Vojta和McQuillan证明）指出定义在特征$0$的代数闭域$\mathbb{k}$上的半交换簇$G$的子簇$V$与有限秩子群$Γ\le G(\mathbb{k})$的交集是$Γ$的子群陪集的有限并。当$G$是定义在$\mathbb{k}$上的阿贝尔簇$A$与加性群$\mathbb{G}_a$的乘积时，我们探索这个猜想的一个变体。
The Dynamical Mordell-Lang problem
设X是Noether空间，f是X上的连续自映射，Y是X的闭子集，x是X上的点。我们证明了由所有非负整数n组成的集合S使得f^n（x）在Y中是至多100个等差数列与一个Banach密度为零的集合的并.特别地，我们得到：给定任意拟射影簇X，X上的任意有理自映射f，X的任意子簇Y，X中任意点x，其在f下的轨道在f的定义域中，集合S是一个等差数列的有限并加上一个Banach密度为零的集合.我们证明了一个点的向后轨道的类似结果。
Recent developments of the Uniform Mordell-Lang Conjecture
这个临时调查是基于我在ICCM 2020上的在线谈话。它的目的是勾勒最近证明的一致莫德尔-朗猜想嵌入到雅可比（马祖尔的问题）的曲线的关键步骤。这个猜想的完整版本是结合Dimitrov-Gao-Habegger（https：//annals.math.princeton.edu/articles/17715）和Kühne（arXiv：2101.10272）证明的。我们在这项调查中包括一个详细的证明，如何结合这两个结果，这是隐含在另一个简短的论文Dimitrov-Gao-Habegger（arXiv：2009.08505），但没有明确写在现有的文献。在调查的最后，我们陈述了一些未来的方面。
The isotrivial case in the Mordell-Lang conjecture for semiabelian varieties defined over fields of positive characteristic
本文研究了素特征代数闭域上定义的半阿贝尔簇在 Mordell-Lang 猜想中的同平凡情形，描述了其子簇与有限生成子群的交集。
Uniformity in Mordell-Lang for curves
考虑定义在次数为$d \ge 1$的数域上的亏格为$g \ge 2$的光滑、几何不可约的射影曲线。根据Mordell猜想，它至多有1000个有理点。我们证明了有理点的数目是有界的，只有在$g$，$d$，和Mordell-Weil秩曲线的雅可比矩阵，从而回答了肯定的问题马祖尔。此外，我们还得到了Abel-Jacobi映射象中Jacobian的几何扭点个数在$g$和$d$中的一致有界性.这两个估计推广了我们以前的工作$1$参数的家庭。我们的证明使用Vojta的方法来证明Mordell猜想，关键的新成分是由于第二和第三名作者的高度不等式的推广。
On function field Mordell-Lang and Manin-Mumford
本文利用模型论，在避免求助于（广义的）Zurski结构的二分法的前提下，将函数域Mordell-Lang猜想还原为函数域Manin-Mumford猜想.在第二版中，正特征的量词消去结果从简单的阿贝尔簇推广到所有的阿贝尔簇，完善了正特征情形下的主要定理。在第三版中，对正特征中量词消去的证明作了一些修正，对文章进行了实质性的重组。
A Buium--Coleman bound for the Mordell--Lang conjecture
本文针对亏格 $g$ 双曲曲线，在好约化条件下给出 Mordell--Lang 轨迹的显式上界，并证明其非分歧性，进而推出 Mordell 蕴含 Mordell--Lang 猜想的新证明。
The Uniform Mordell-Lang Conjecture
本文证明了关于阿贝尔簇的统一莫尔德尔-兰猜想，通过推广曲线嵌入其雅可比簇中的间隙原理，得出了不依赖于阿贝尔簇的余数结果。
Dynamical GCD Problems and a Variant of the Dynamical Mordell-Lang Conjecture
本文研究了动力学GCD问题，提出了自同构情况下的新方法，并证明了与高维动力学Mordell-兰猜想相关的结果。
Rank-two recurrence results for polynomials and questions of dynamical Mordell--Lang type
利用Presburger算术理论，证明多项式对(f,g)的秩二递归集是半线性的，推广了Yang和Zhong关于m=n情形的定理，并得到有理映射在m=n情形下的部分结果。
Adelic Mordell-Lang and the Brauer-Manin obstruction
本文研究整体函数域上阿贝尔簇闭子簇的有理点分布，证明满足条件的阿代尔点是子簇有理点的极限，结合Tate-Shafarevich群有限假设可得有理点在Brauer集中稠密，并将结果推广至全虚数数域情形。
Effective isotrivial Mordell-Lang in positive characteristic
本文利用有限自动机使正特征等平凡 Mordell-Lang 定理有效化并推广至一般交换代数群，进而给出点集增长二分定理及三类丢番图问题的判定程序。
Dynamical Uniform Bounds for Fibers and a Gap Conjecture
我们证明了一个统一版本的动力学Mordell-Lang猜想的étale映射，也，我们得到了一个缺口结果的增长率点的轨道沿任意自同态的拟投射品种定义在数域上。更确切地说，对于我们的第一个结果，我们假设$X$是一个定义在特征$0$的域$K$上的拟投射簇，赋予了一个自同态$Φ$的作用，并且$f\colon X\to Y$是一个态射，其中$Y$是一个定义在$K$上的拟投射簇。则对于任何$x\in X(K)$，如果对于每个$y\in Y(K)$，集合$S_y:=\{n\in \mathbb{N}\colon f(Φ^n(x))=y\}$是有限的，则存在正整数$N$，使得对于每个$y\in Y(K)$，$\#S_y\le N$。对于第二个结果，我们设$K$是数域，$f:X\dashrightarrow \mathbb{P}^1$是有理映射，$Φ$是$X$的任意自同态。如果$\mathcal{O}_Φ(x)$表示$x$在$Φ$作用下的前向轨道，则要么$f(\mathcal{O}_Φ(x))$是有限的，要么是$\limsup_{n\to\infty} h(f(Φ^n(x)))/\log(n)>0$，其中$h(\cdot)$表示代数点的通常对数Weil高度。
Hecke orbits and the Mordell-Lang conjecture in distinguished categories
本文在杰出范畴框架中引入$Σ$-轨道概念，统一了Shimura簇中的Hecke轨道与半阿贝尔簇中的有限秩子群，并借此证明Mordell-Lang型一般命题及Legendre族和$\mathcal{A}_g$中的无条件不太可能相交结果。
A consequence of the relative Bogomolov conjecture
我们提出了一个制定的相对Bogomolov猜想，并表明，它给出了一个肯定的答案Mazur的关于曲线的一致性的Mordell-Lang猜想的问题。特别是，我们表明，相对Bogomolov猜想意味着一致的Manin-Mumford猜想曲线。证明是建立在我们以前的工作“均匀性在莫德尔郎曲线”。
On the Arithmetic Dynamics of Monomial Maps
推广了单项映射算术动力学的几个结果，包括Silverman关于高度增长的猜想，动力学Mordell-Lang猜想和动力学Manin-Mumford猜想。这些结果最初是已知的代数环面上的单项映射。我们将结果推广到任意复曲面簇。
Arithmetic Quotients of the Complex Ball and a Conjecture of Lang
我们证明了$\mathbb{C}^n$中单位球的各种算术代数是Mordellic的，在这个意义上，它们在$\mathbb{Q}$的任意非线性生成的域扩张上只有1/2个有理点.在以前已知的情况下，紧凑的双曲复曲面，我们给出了一个新的证明，使用他们的Albanese结合一些关键结果的Faltings，但没有呼吁的Shafarevich猜想。在更高的维度上，我们的方法允许我们解决Ullmo和Yafaev的替代方案。我们最强的结果使用另外Rogawski的理论，并建立了与虚二次域的判别式相关的某些精确水平的Picard模曲面的Baily-Borel紧化的Mordellicity。
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