Some singular minimizers in low dimensions in the calculus of variations
Connor Mooney, Ovidiu Savin
本文构造了一个从$\mathbb{R}^3$到$\mathbb{R}^2$的奇异极小化映射${\bf u}$，该映射是$\int_{B_1} F(D{\bf u})\,dx$形式的光滑一致凸泛函的极小化映射.
We construct a singular minimizing map ${\bf u}$ from $\mathbb{R}^3$ to $\mathbb{R}^2$ of a smooth uniformly convex functional of the form $\int_{B_1} F(D{\bf u})\,dx$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A property of Absolute Minimizers in $L^\infty$ Calculus of Variations and of solutions of the Aronsson-Euler equation
我们发现了一个新的极小性质的绝对极小的上泛函（也称为$L^\infty$变分问题）。
Some monotonicity results for minimizers in the calculus of variations
我们得到了$$ \int F(\nabla u, u, x) dx $$型一般能量泛函的极小值和稳定解的单调性性质的假设下，一定的积分最多二次增长在无穷远。作为结果，我们得到了几个刚性的整体解的低维结果。
On problems in the calculus of variations in increasingly elongated domains
我们考虑最小化问题的变分法设置在一个序列的域的大小趋于无穷大，在某些方向上，使数据只依赖于坐标的方向保持不变。我们研究了极小在各种情况下的渐近行为，并表明它们在适当的意义上收敛于一个相关的能量泛函的极小在恒定的方向。
Partial regularity for minimizers of singular energy functionals, with application to liquid crystal models
我们研究了变分法中某些奇异泛函极小化的部分正则性，其动机是球和马宗达最近对朗道-德热内能量泛函的修改。
Scalar minimizers with maximal singular sets and lack of Meyers property
本文提出一种通用构造方法，构建凸标量变分问题，其极小元具有最大维数的奇异集且缺乏更高可积性，即Meyers性质失效。
Almost minimizers for a singular system with free boundary
本文研究了能量泛函$$ \int_D\left(|\nabla\mathbf{u}|^2+2|\mathbf{u}|\right)\,dx . $$的向量值几乎极小元，建立了极小元和自由边界的正则部分的正则性。自由边界的分析是基于Weiss型单调性公式和能量极小的上围不等式。
Nonexistence of variational minimizers related to a quasilinear singular problem in metric measure spaces
本文考虑了一个与拟线性奇异问题相关的变分问题，得到了一个在度量测度空间中具有加倍测度和Poincaré不等式的不存在性结果.我们的方法是纯粹的变分和尽我们所知，这是第一个工作奇异问题在一般度量设置。
A singular minimizer of a smooth strongly polyconvex functional in two dimensions
本文构造了一个二维光滑强多凸泛函的Lipschitz非$C^1$唯一全局极小元，并指出该例子必然非齐次。
On the singular set of $\operatorname{BV}$ minimizers for non-autonomous functionals
本文研究非自治凸变分泛函的BV极小化子的正则性，在椭圆性和Hölder连续条件下，证明了梯度更高可积性并给出了奇异集的Hausdorff维数上界。
A note on the hausdorff dimension of the singular set for minimizers of the mumford-shah energy
本文给出了Ambrosio，Fusco和Hutchinson关于Mumford-Shah能量的奇异极小集的豪斯多夫维数估计的一个结果（见[2，定理5.6]）的一个更初等的证明.一方面，我们遵循上述论文的策略;但另一方面，我们的分析大大简化了论证，因为它依赖于前两位作者在[4，定理13]中证明的关于梯度能量为零的局部极小序列的紧性结果，以及最小Caccioppoli划分的正则性理论，而不是Almgren面积极小集的相应结果。
Hausdorff dimension of the singular set for Griffith almost-minimizers in the plane
本文证明平面中Griffith断裂能极小化子及几乎极小化子的裂纹集一致可修正，进而得出奇异集维数严格小于1，并证明梯度更高可积性，肯定回答De Giorgi猜想类似物。
A singular local minimizer for the volume constrained minimal surface problem in a nonconvex domain
最近由Wang和Xia [WX]建立了受体积约束的球内周长的局部极小元必须是球冠或通过原点的平面。这验证了作者的一个猜想，并与具有指定边界的面积最小化曲面的情况形成对比，其中在高维中可以存在奇点。这一结果支持更一般的猜想，体积约束极小在任意凸集可能享有更好的正则性比他们的边界规定的堂兄弟。在这里，我们展示了一个简单的例子，由西蒙斯锥，一个奇异的体积约束的局部面积最小化表面内的非凸域，是任意接近的单位球的凸性条件的重要性。
Regularity for Minimizers of non Autonomous Singular Functionals with Anisotropic Growth
研究非自治凸积分泛函在次二次各向异性增长条件下局部最小值的更高可微性，通过指数间隙和能量密度振荡的Sobolev假设得到结果。
Higher Integrability for Constrained Minimizers of Integral Functionals with (p,q)-Growth in low dimension
证明了在低维情况下，变分法在（p，q）-增长条件下强凸积分泛函极小值梯度的可和性。我们的程序是设置在分数索伯列夫空间的框架，并呈现所需的规律性作为一个近似技术的结果，依赖于通过仔细使用差分导数获得的估计。
Singular Limits for Three-Dimensional Global Minimizers of Ginzburg--Landau-Type Functionals: Uniform Estimates and Singular Sets
研究三维有界域上Ginzburg-Landau型泛函全局极小元在对数能量增长下的渐近行为，证明归一化能量测度收敛到连接边界指定奇点的有限直线段并集，极限映射在奇异集外局部取极小值，并建立一致W^{1,q}估计和势估计，最后证明极限测度的奇异集解决余维2的同伦Plateau问题。
Regularity of the singular set for Mumford-Shah minimizers in R^3 near a minimal cone
我们证明了如果（u; K）是R^3的开集中Mumford-Shah泛函的极小元，如果x，K和r > 0使得K足够接近于P型极小锥（平面），则Y（三个以120度角相交的半平面）或T（以原点为中心的正四面体上的锥），则K是C^1，α等价于B（x; r）中的最小锥;其中c < 1是通用常数。
Singular Abreu equations and minimizers of convex functionals with a convexity constraint
研究了在凸性约束下，由凸泛函逼近引起的四阶Abreu型方程第二边值问题的可解性，其Lagrange函数依赖于梯度变量.这些泛函出现在不同的科学学科中，如物理学中的牛顿最小阻力问题和经济学中的垄断者问题。我们的Abreu型方程的右手边是二阶的拟线性表达式，它们是高度奇异的和先验的公正措施。然而，我们的分析特别表明，由严格凸低阶项扰动的2D Rochet-Choné模型的极小值，在凸性约束下，可以近似的奇异Abreu方程的第二边值问题的解决方案的一致范数。
Partial Regularity of a minimizer of the relaxed energy for biharmonic maps
本文研究了从$m$维区域到球面的双调和映射的弛豫能。利用一种近似方法，证明了Hessian能量的松弛能量的极小元的存在性，并且证明了该极小元在有限$(m-4)$维Hausdorff测度的奇异集$Σ$外是双调和光滑的.此外，当$m=5$，我们证明了奇异集$Σ$是1-可求长的。
Singular perturbation of an elastic energy with a singular weight
研究了具有奇异权的弹性能的奇异扰动。该能量的最小化导致多尺度图案形成。我们推导出一个能量标度律的扰动参数，并证明，虽然不能期望周期性的极小，极小的能量均匀分布在整个样本。最后，根据Alberti和Müller在2001年提出的方法，我们证明了扰动能量的极小元序列收敛到一个Young测度，该测度由斜率函数$\pm 1$和周期函数支持，依赖于域中的位置和能量中的权重。
Regularity of local minimizers of the interaction energy via obstacle problems
排斥/吸引势在原点的排斥强度决定了相互作用能局部极小的规律性。在本文中，我们表明，如果这个排斥是牛顿或更奇异比牛顿（但仍然是局部可积的），那么局部极小必须是局部有界密度（甚至连续的奇异比牛顿排斥）。我们证明了这一点（和其他一些规律性的结果），首先表明，相关的势函数的局部极小解决了障碍问题，然后通过使用经典的规律性结果，这样的问题。
New regularity and uniqueness results in the multidimensional Calculus of Variations
在这篇博士论文的第一部分中，我们发展了可压缩弹性力学中多凸泛函的正则性理论。在第二部分中，我们将集中讨论有限弹性力学各种情形下的唯一性问题。在这里，我们的主要目标是建立唯一性准则，当存在时，保证相应的全局极小值的唯一性。然后讨论了各种应用和推广，其中之一是正则性的一个反例的建设。
Core-radius approximation of singular minimizers in nonlinear elasticity
本文研究非线性弹性中同时惩罚空腔体积和周长的空化变分模型，通过Γ收敛意义下穿孔域上的泛函逼近奇异极小化元，其中穿孔位置由变分原理自动选取，从而推广了仅含弹性能的既有模型并服务于空化数值模拟。
Minimizers of 3D anisotropic interaction energies
本文研究了一类三维各向异性的轴对称Riesz型奇异相互作用势。我们推广我们最近的工作在两个维度的一些结果，目前的设置。对于具有线性插值凸性的势函数，其相应的整体能量极小解由支撑为椭球的显式公式给出。我们发现，对于较低的奇异各向异性里斯位势潜力，全球极小可能崩溃到一维或二维集中措施，最大限度地减少限制各向同性的Riesz相互作用能。这些问题的一些部分方面也解决了在中间范围内的奇异性，其中一维垂直崩溃是不允许的。坍塌到低维结构被证明在临界值的凸性，但不一定垂直或水平集中的措施，导致有趣的开放问题。
On approximating minimizers of convex functionals with a convexity constraint by singular Abreu equations without uniform convexity
我们重新讨论了用Abreu型四阶方程的解逼近某些受凸性约束的凸泛函的极小值问题。Carlier-Radice之前的著作（Abreu型偏微分方程对具有凸性约束的变分问题的逼近）中研究了这个逼近问题。计算值变种偏微分方程。58（2019），no. 5，Art. 170）和作者（Singular Abreu equations and minimizers of凸泛函with a convexity constraint，arXiv：1811.02355v3，Comm. Pure Appl. Math.，出现），下的拉格朗日和约束障碍的一致凸性。通过引入一种新的逼近格式，我们完全消除了拉格朗日量和约束障碍的一致凸性。我们的分析适用于经济学中垄断者问题中由原始的二维Rochet-Choné模型所激发的变分问题，以及弹性力学中浮动弹性壳的摆动模式分析中所产生的变分问题。
Minimizers of nonlocal interaction functional with exogenous potential
本文的目的是考虑如下非局部相互作用泛函\begin{equation*} E[ρ]=\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^N} \int_{\mathbb{R}^N}K(x-y)ρ(x)ρ(y)dxdy+\int_{\mathbb{R}^N}F(x)ρ(x)dx. \end{equation*}的极小化问题：核$K(x)=\frac{1}{q}|x|^q-\frac{1}{p}|x|^p$是一个内生势，其中$q>p>-N$ .外源势$F$是一个非负连续函数，满足$F(x)\to +\infty$为$|x|\to +\infty$。基于集中紧性原理证明了极小解的存在性。特别地，对于$F(x)=β|x|^2(β>0)$和$K(x)=\frac{1}{2}|x|^2-\frac{1}{2-N}|x|^{2-N}$（$N>2$），利用变分法给出了全局极小元的显式解.
Maximum Principles for Vectorial Approximate Minimizers of Nonconvex Functionals
建立了变分学中一般积分泛函的向量逼近极小值的最大值原理。我们的主要结果是一个版本的凸包性质。与文献中已有的结果相比，主要的进步是我们放弃了梯度项中被积函数的拟凸性假设。弱下半连续性的缺乏是通过引入一种非线性收敛技术来补偿的，该技术基于反射到凸集上的投影的近似和被积函数在正交群下的梯度项中的不变性。对于不存在极小元的松弛解和Euler-Lagrange方程组的极小解，我们得到了最大值原理。
Borderline regularity in singular free boundary problems
本文研究势项$σ$满足最小假设时能量泛函局部极小值的临界正则性，得出不同$σ$正则性下极小值的正则性结果，包括Log-Lipschitz连续及$C^1$类等，确定了可微性的严格阈值。
Regularity improvement for the minimizers of the two-dimensional Griffith energy
本文证明二维Griffith能量连通极小化子的奇异集维数小于1，并提高对称梯度的可积性。
Minimizers for the thin one-phase free boundary problem
我们考虑“薄单相”的自由边界问题，与最小化加权Dirichlet能量的功能在$\mathbb R^{n+1}_+$加上该功能的正性集的面积在$\mathbb R^n$。建立了$n \leq 2$维自由边界的完全正则性，证明了任意维自由边界的几乎处处正则性，并给出了当自由边界存在时其奇异集的内容和结构估计.所有这些结果适用于相关权重的整个范围。虽然我们的结果是典型的变分法，我们的方法并不遵循标准的第一次介绍了\cite{AltCaffarelli}。相反，与极小化相关的分布测度的非局部性质需要较少依赖于潜在PDE的参数。
An isoperimetric problem with a competing nonlocal singular term
在本文中，我们调查的最小化的功能，其中通常的周长是竞争的非局部奇异项可比（但不一定等于）的分数周长。这个问题的动机是一个细胞运动模型介绍了一些以前的工作由第一作者。我们建立了几个事实的整体极小体积约束。特别是，我们证明了极小存在，是径向对称的小质量，而极小不能径向对称的大质量。对于大质量，我们证明，最小化序列分裂成更小的集合，漂移到无穷大或开发指定宽度的手指。最后，我们将这两个替代品连接到一个经典插值不等式（分数周长的Gagliardo-Nirenberg型不等式）中的最佳常数的相关最小化问题。
Singular orthotropic functionals with nonstandard growth conditions
我们继续研究具有正交各向异性结构和非标准增长条件的模型凸泛函，这一次主要研究次二次情形。我们证明了有界局部极小是局部Lipschitz的。不需要对最高和最低增长率之间的比率加以限制。在锐可积性假设下，当存在非自治低阶项时，结果也成立。最后，我们还证明了有界局部极小的高阶可微性。
Regularity of Minimizers for a General Class of Constrained Energies in Two-Dimensional Domains with Applications to Liquid Crystals
我们调查极小定义在一个有界域$Ω$在$\mathbb{R}^2$奇异约束能量泛函，包括球和Majumdar的修改的Landau-de Gennes Q-张量模型的液晶。我们证明了有限能量极小的正则性，并证明了它们在$Ω$的紧子域上的值域不与约束集的边界相交。
Singular pseudodifferential calculus for wavetrains and pulses
我们开发了一个奇异的伪微分。我们考虑的符号不满足关于频率变量的标准衰减。因此，我们采用基于Calderon-Vaillancourt定理的策略。符号演算中的算子是$L^2$上的有界算子，其范数是关于某个小参数测量的。相对于Williams的早期工作，我们的主要改进在于显示了对非线性算子的正则化效应。由于频率变量的非标准衰减，正则化发生在各向异性和奇异的索伯列夫空间的尺度上。我们的分析可以扩展以前的结果的存在性高振荡的非线性双曲型问题的解决方案。结果也被用于同伴的工作，以证明非线性几何光学与边界放大，这对应于一个更奇异的制度比任何其他考虑之前。分析进行了一个额外的实或周期变量，以涵盖几何光学中的脉冲或波列的问题。
On the One-dimensional Singular Abreu Equations
本文研究一维奇异四阶 Abreu 方程，证明其在变分问题中的可解性结果，并通过逼近方案刻画了一维变分问题的极限极小子。
Partial Regularity Results for Asymptotic Quasiconvex Functionals with General Growth
我们证明了变分法向量积分极小值的部分正则性，具有一般的增长条件，仅在渐近意义上施加拟凸性假设。
Fine regularity results for Mumford-Shah minimizers: porosity, higher integrability and the Mumford-Shah conjecture
我们回顾了一些经典的结果和最近的见解的正则性理论的局部极小的Mumford和Shah能量和他们的连接与Mumford和Shah猜想。我们详细讨论了后者之间的联系，跳跃集的孔隙度和近似梯度的更高的可积性。特别是，更高的可积性原来是与一个明确的估计豪斯多夫维数的奇异集和一个充满活力的特征的猜想本身。
Finite number of traces for Mumford-Shah minimizers in dimension 2
本文利用 David、Bonnet 与 Léger 的早期工具，回答 De Giorgi 的问题，证明二维 Mumford-Shah 极小元趋近奇异集时至多有三个最大极限迹值。
The Singular Set of Minima of Multiple Integrals
研究拟凸积分局部极小值的奇异集，证明其豪斯多夫维数严格小于环境维数。
$\mathcal{D}$-solutions to the system of vectorial Calculus of Variations in $L^\infty$ via the singular value problem
对于$\mathrm{H} \in C^2(\mathbb{R}^{N \times n})$和$u : Ω\subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^N$，考虑系统\[ \label{1}\mathrm{A}\_\infty u\, :=\,\Big(\mathrm{H}\_P \otimes \mathrm{H}\_P + \mathrm{H}[\mathrm{H}\_P]^\bot \mathrm{H}\_{PP}\Big)(\mathrm{D} u): \mathrm{D}^2 u\, =\,0. \tag{1}\].我们构造了（1）的Dirichlet问题的$\mathcal{D}$ -解.我们的$\mathcal{D}$ -解决方案是$W^{1,\infty}$ -淹没，并获得没有任何凸性假设的$\mathrm{H}$，通过独立的利益，涉及存在强解的奇异值问题的一般尺寸$n\neq N$的结果。
Minimizers of higher order gauge invariant functionals
我们引入高阶变量的杨米尔斯功能，涉及$(n-2)$阶导数的曲率。本文证明了$\mathrm{dim}M\le 2n$维Uhlenbeck规范临界点的光滑性和非光滑性。这些结果然后被用来建立一个给定的主丛$P\to M$亚临界尺寸$\mathrm{dim}M<2n$光滑极小的存在性。在临界维数$\mathrm{dim}M=2n$的情况下，我们构造了一个可能不同于规定的束，但具有相同的陈类$c_1,\ldots,c_{n-1}$的极小。一个关键的结果是一个可去奇点定理的丛进行$W^{n-1,2}$ -连接。这推广了Petrache和Rivière最近的一个结果。
Analysis of local minima for constrained minimization problems
我们考虑向量问题的变分法与一个额外的逐点约束。我们的容许映射${\bf n}:\mathbb{R}^k\rightarrow \mathbb{R}^d$满足${\bf n}(x)\in M$，其中$M$是嵌入欧几里得空间的流形.本文的主要结果都给出了一个映射${\bf n}$是弱或强局部极小的充充分条件。我们的方法涉及使用投影映射，以建立在现有的，无约束的，局部极小的结果。我们将我们的结果应用到液晶变分问题来量化解绕的非线性态在阻挫边界条件下的稳定性。
Local estimates for vectorial Rudin-Osher-Fatemi type problems in one dimension
我们考虑了一维向量值环境中具有一般正则化项的Rudin-Osher-Fatemi变分去噪模型。我们得到的局部估计的奇异部分的变化测度的极小数据的奇异部分。在齐次正则化的情况下，我们证明了局部估计的整体变化措施的最小化和推导出一个类似的结果的梯度流的正则化。
Sobolev spaces and calculus of variations on fractals
本说明包含一个审查$p$ -能源和索伯列夫空间的度量测度空间进行强当地正规狄利克雷形式。这些索伯列夫空间然后被用来推广变分学的一些基本结果，如凸泛函的极小的存在性和某些约束极小化问题。这适用于一些非经典的情况下，如退化扩散，叠加的扩散和扩散的分形或产品的分形。
On the convergence of minimizers of singular perturbation functionals
对狄利克雷能的奇异扰动的研究是软凝聚态唯象描述范式的核心。能够传递到极限在理解基态的几何驱动轮廓中起着至关重要的作用。在这项工作中，我们研究，在非常一般的假设下，收敛极小调和映射。我们证明了收敛是局部一致的边界，远离低维奇异集。我们的结果概括了相关的发现，最显着的液晶理论，所有尺寸$n\geq 3$，一般的非线性。我们的证明遵循一个众所周知的计划，依赖于小能量估计和单调性公式。由于我们不依赖于势的具体形式，因此它与以前在处理边界处的小能量估计方面的研究有很大的不同。特别是，这扩展了现有的结果在三维设置。在更高的维度，我们还处理有关边界单调性公式的额外困难。
Minimizers and Weak Solutions for Singular Born--Infeld Type Functionals
研究 Born-Infeld 型奇异泛函极小值点与弱解关系，提出单调逼近法处理奇异性，证明梯度不触奇异边界，在特定条件下建立正则性并给出估计，扩展经典理论提供统一框架。
$μ$-ellipticity and nonautonomous integrals
本文围绕变分法中出现的$μ$-椭圆性这一非一致椭圆性形式，指出非自治情形下极小化子正则性的研究是挑战性课题，可推动相关技巧发展与新现象发现。
Direct approach to the problem of strong local minima in Calculus of Variations
本文介绍了一种判别变分泛函强局部极小的一般策略。它是基于这样的想法，即任何变化的积分功能可以直接评估在适当的参数化措施。我们证明了我们的方法上的问题W^{1，无穷}弱 * 局部极小-强局部极小的经典概念的轻微削弱。我们得到了W^{1，infinity}弱-* 局部极小的第一个基于拟凸性的充分条件集。
Uniaxial versus Biaxial Character of Nematic Equilibria in Three Dimensions
我们研究的Landau-de Gennes（LdG）能量泛函的全局极小值的液晶，任意三维简单连接的几何拓扑非平凡和物理相关的Dirichlet边界条件。我们的结果是特定的低温极限。我们证明（i）（重新缩放）全局LdG极小化器一致收敛到（ii）在极限调和映射的每个奇点附近存在一个最大双轴点和一个单轴点的非空Lebesgue-零集（这提高了最近的结果\cite{contreraslamy}）;（iii）估计的大小“强双轴”区域的减少温度$t$。我们进一步表明，全球LdG极小单轴$\Qvec$ -张量的限制类不能稳定的临界点的LdG能量为低温。
Paracontrolled calculus for quasilinear singular PDEs
在这项工作中，我们进一步发展的高阶paracontrolled微积分设置处理的分析部分的研究拟线性奇异偏微分方程。为此目的，一些运营商的连续性结果证明。与Gerencser和Hairer，Otto，Sauer，Smith和Weber，或Furlan和Gubinelli对二维拟线性抛物型Anderson模型方程的研究的正则结构方法不同，我们不使用参数化的模型族或paraproducts来设置场景。相反，我们使用我们在这里介绍的无限维次控制结构。
Singular Green Operators of Finite Regularity in the Edge Algebra Formalism
我们引入了半空间$\mathbb{R}^n_+$上的参数依赖奇异格林算子的微积分，它结合了有限正则性边值问题的Grubb微积分的两个元素和带边流形上伪微分算子的Schulze微积分的技术。
Regularity of Minimizers of a Tensor-valued Variational Obstacle Problem in Three Dimensions
受Ball和Majumdar对Landau-de Gennes模型的修正的启发，我们研究了三维有界区域中具有给定边界条件的张量值变分障碍问题的能量极小元$Q$.能量函数的设计目的是在$Q$接近障碍物时爆炸。在一定的假设条件下，特别是在奇异体势的爆破剖面条件下，证明了$Q$的高正则性，并证明了$Q$的接触集是空的或小的，同时刻画了它的豪斯多夫维数.我们还证明了边界部分正则的能量极小。
Existence and Uniqueness for P-Area Minimizers in the Heisenberg Group
在\cite{CHMY04}中，我们从偏微分方程和微分几何的角度研究了Heisenberg群中的$p$ -中曲率和相应的$p$ -极小曲面.在本文中，我们通过变分公式来研究这个问题。本文研究了一般维数下的广义$p$ -面积和相关的（$p$ -）极小元.我们证明了极小解的存在性，并研究了极小解的唯一性。由于这归结为求解退化的椭圆型方程，我们需要考虑奇异集的影响，这需要仔细研究。定义了弱解的概念，证明了在一定的索伯列夫空间中，弱解是极小元，反之亦然.我们也给出了二维中许多有趣的例子。一个有趣的观点是，在2维，从PDE的观点来看，一个$C^2$光滑的解决方案可能不是一个极小。然而，由于奇异集的大小相对较小，这种说法对于更高的维度是正确的。
Weighted Hardy inequality with higher dimensional singularity on the boundary
设$Ω$是$\mahbb R^N$中具有$N\ge 3$的光滑有界区域，$Σ_k$是$δΩ$中维数为$1\le k\le N-2$的闭光滑子流形.本文研究了$Σ_k$上权函数奇异的加权Hardy不等式.特别地，我们给出了极小元存在的充分和必要条件.
Minimizers of anisotropic perimeters with cylindrical norms
我们研究了$Φ$ -周长的极小元的各种正则性质，其中$Φ$是一个范数。在适当的关于$Φ$和周围空间维数的假设下，证明了Carnival极小元的边界是小豪斯多夫维数的闭奇异集上的局部Lipschitz图.此外，我们还证明了如下各向异性Bernstein型结果：任何整carnival极小是一个只依赖于一个变量的单调函数的子图。
A rigidity result for global Mumford-Shah minimizers in dimension three
本文研究了$\R^N$中的全局Mumford-Shah极小元，该极小元是Bonnet作为Mumford-Shah极小元的爆破极限引入的.当奇异集$K$包含在一个足够光滑的锥中时，我们证明了一个新的关于$u$能量的单调性公式.然后，我们使用这种单调性证明，对于任何减少全球极小$(u,K)$在$\R^3$，如果$K$包含在一个半平面和接触它的边缘，那么它是半平面本身。这部分回答了盖伊·大卫的一个问题。
Fine properties of branch point singularities: Dirichlet energy minimizing multi-valued functions
在20世纪80年代初的Almgren制定了一个理论的狄利克雷能源最小化多值函数，证明豪斯多夫维数的奇异集（包括分支点），这样的功能是最多$(n-2),$其中$n$是维数的域。Almgren使用这一结果在一个重要的方式表明，同样的上界持有的维度奇异集的面积最小化$n$维整流电流的任意余维。在这两种情况下，维数边界都是尖锐的。本文研究了多值Dirichlet能量极小元逼近其奇异集的渐近行为。我们的估计意味着在${\mathcal H}^{n-2}$ a. e.其奇异集的点具有一组唯一的齐次多值圆柱正切函数（爆破），对于该函数，最小化元以一组单值调和函数为模，在重新缩放时以指数方式快速衰减。一个推论是奇异集是可数$(n-2)$ -可求长的。我们的工作受到L. Simon对多重性1类中的极小子流形的奇异性进行了分析，并使用了一些新的估计和策略，以及Wickramasekera先前工作中的技术，以克服因分支点的存在而产生的较高多重性和较低正则性的极小化所带来的额外困难。这里所描述的结果宣布在早期的工作中的作者在特殊情况下的两个值狄利克雷极小化函数的治疗。
Partial regularity for the crack set minimizing the two-dimensional Griffith energy
在本文中，我们证明了一个$\mathcal C^{1,α}$正则性的最小值的平面格里菲斯功能所产生的变分模型的脆性断裂。我们证明了裂纹的任何孤立的连通分量，一个极小的奇异集，是局部的$\mathcal C^{1,α}$曲线以外的一组零Hausdorff措施。
Dirichlet energy-minimizers with analytic boundary
在本文中，我们考虑具有一个指定的实解析界面，最小化Dirichlet能量的多值图。这样的对象出现作为一个线性化模型的面积最小化电流与真正的分析边界，我们的主要结果是，他们的奇异集是离散的2维。这证实了B的一个猜想（并提供了第一步）。当\cite{White97}的面积最小化具有实解析边界的$2$维电流时，有有限个奇点。我们还表明，在任何维度上，具有$C^1$边界界面的Dirichlet能量极小元在界面处是Hölder连续的。
Linearized equation and generic regularity in the Alt-Caffarelli problem
本文研究 Alt-Caffarelli 问题中能量极小元的自由边界正则性，通过分析齐次极小元周围线性化方程的正解、证明 Harnack 不等式及主特征值维数下界，得到六维下一般边界数据的解析性并改进奇异集维数。
Rectifiability of free boundaries in singular diffusion problems
针对带有奇异反应项的退化扩散泛函的极小元，证明自由边界是(n-1)-可求长的，方法基于由逐点梯度估计导出的可积性及零点集的部分Hausdorff维数估计。
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