The Derivative Nonlinear Schrödinger Equation: Global Well-Posedness and Soliton Resolution
本文综述了微分非线性薛定谔（DNLS）方程光滑解的整体适定性和长时间行为的最新结果。利用DNLS的可积性，我们证明了逆散射工具和周的谱奇异性处理方法如何在加权索伯列夫空间$H^{2,2}(\mathbb{R})$中得到一般初始条件的整体适定性.对于一般的初始数据，可以支持明亮的孤子，但不包括光谱奇异性，我们证明了孤子分辨率猜想：该解决方案是渐近的，在很大的时间，在一个本地化孤子和色散分量的总和，我们的结果还表明，孤子解DNLS是渐近稳定的。
2019-05-08 math.AP
On the transition of the Rayleigh-Taylor instability in 2d water waves
本文证明了具有变号泰勒符号系数的水波的存在性，即强泰勒符号在初始时成立，但在稍后的时间破裂，反之亦然。这种现象可以看作是水波瑞利-泰勒意义下的稳定区和不稳定区之间的过渡。作为一个副产品，我们证明了尖锐的适定性的二维水波Gevrey-2空间。
2020-07-27 math.AP
Coriolis effect on water waves
本文研究了重力和科里奥利力作用下的水波运动。在物理学文献中，用旋转浅水方程来研究这种水波是很常见的。我们证明了一个局部适定性定理的水波方程的涡量和科里奥利力，考虑到各种物理参数的依赖性，我们证明严格的浅水模型。我们还考虑了一个可能的非恒定压力的表面，可以用来描述气象干扰，如风暴或压力跳跃，例如。
2016-09-09 math.AP
Angled crested like water waves with surface tension II: Zero surface tension limit
这是第二个文件中的一系列文件分析的角度波峰型水波与表面张力。我们考虑二维毛细重力水波方程，假设流体是无粘、不可压缩、无旋的，空气密度为零。在第一篇论文\cite{Ag19}中，我们构造了一个加权能量，将Kinsey和Wu \cite{KiWu18}的能量推广到非零表面张力的情况，并证明了一个局部适定性结果。在本文中，我们证明了在一个适当的比例制度下，零表面张力极限的表面张力的解决方案，这些解决方案的表面张力是解决方案的重力水波方程，其中包括波与角波峰。
2020-12-24 math.AP
A Splitting Method for Deep Water with Bathymetry
在本文中，我们推导并证明了一个深水模型，推广的Saut-Xu系统的非平底的适定性。然后，我们提出了一个新的数值方法的基础上分裂方法来研究这个系统。这种方法的优点是它不需要任何低通滤波器来避免寄生振荡。我们证明了一个局部误差估计，我们表明，我们的计划代表了一个很好的近似阶时间。然后，我们进行了一些数值实验，证实了我们的理论结果，我们研究了三个物理现象：水波在粗糙的底部的演变; KdV孤子的演变时，浅度参数增加;均匀化效应的快速变化的地形上的水波。
2017-02-16 math.AP
Structural stability for the splash singularities of the water waves problem
本文给出了水波作用下的结构稳定性结果。这个结果的主要动机是，我们希望展示一个水波，其界面以图形开始，以飞溅结束。数值模拟导致一个近似解与所需的行为。稳定性结果表明，在水波的近似解附近存在一个精确解。
2014-01-24 math.AP
Finite time singularities for water waves with surface tension
本文考虑二维自由边界不可压欧拉方程。我们证明，表面张力并不能防止有限时间飞溅或飞溅奇点，即曲线接触本身无论是在一个点或沿弧。要做到这一点，证明的主要成分是去奇异化曲线的变换和先验能量估计。
2012-10-19 math.AP
Rigidity of singularities of 2D gravity water waves
考虑二维重力水波方程的Cauchy问题。最近，吴\cite{Wu15, Wu18}证明了局部适定性的方程在一个政权，允许接口与角波峰作为初始数据。本文研究了这些奇异解的性质，证明了这些解的奇异性是“刚性”的。更精确地说，我们证明了一个初始接口与角波峰保持角波峰，欧拉方程保持逐点甚至在边界上，在尖端的粒子停留在尖端，在尖端的加速度是一个由于重力和角度的波峰不改变，也不倾斜。我们还表明，吴\cite{Wu15}的存在性结果不仅适用于接口的角度波峰，但也允许某些类型的尖点。
2018-07-14 math.AP
Solutions to semilinear wave equations of very low regularity
本文研究了极低Sobolev正则性下半线性波动方程的异常奇性传播问题，利用新乘子定理获得了奇性支集沿光锥内外任意射线传播的解及相应函数空间中的适定性结果，并将其推广至高维。
2024-06-20 math.AP
Interaction between long internal waves and free surface waves in deep water
本文研究深水中长内波与调制表面波包的共振相互作用，建立高阶BO方程与线性薛定谔方程耦合的方程组，并证明约化系统的局部适定性。
2024-07-31 math.AP
Propagation of singularities for gravity-capillary water waves
本文研究了重力-毛细水波系统解的振荡与空间衰减传播及微局部平滑效应，通过推广Bony的仿微分演算至加权Sobolev空间并引入拟齐次波前集，证明了此类水波解的存在性。
2022-07-18 math.AP
On the existence of stationary splash singularities for the Euler equations
本文讨论了具有飞溅奇点的定常不可压缩流体的存在性。具体来说，我们表明，有固定的解决方案，欧拉方程与两种流体的接口是任意接近飞溅，并有固定的水波飞溅奇点。
2017-07-28 math.AP
Local well-posedness and wave breaking results for periodic solutions of a shallow water equation for waves of moderate amplitude
研究了浅水中中等振幅表面波周期非线性方程的局部适定性。我们使用的方法，由于加藤这是基于半群理论的准线性方程。我们还表明，模型方程的奇异性只能发生在波破碎的形式，特别是浪涌断路器。
2013-06-12 math.AP
On the absence of "splash" singularities in the case of two-fluid interfaces
我们表明，“飞溅”奇点不能发展的情况下，局部光滑的解决方案的两个流体界面在两个维度。更准确地说，我们表明，由Castro-Córdoba-Festhiman-Gancedo-Gómez-Serrano发现的形成奇点的情况下的水波系统，其中界面保持局部光滑，但在有限的时间内自交，是完全防止在两个流体界面的情况下，正密度。
2013-12-16 math.AP
Non-splat singularity for the one-phase Muskat problem
对于水波方程，splat奇点的存在性已在[3]中得到证明，即，界面在有限时间内沿弧自相交。本文的目的是证明在多孔介质中的不可压缩流体动力学不存在splat奇点。
2015-02-23 math.AP
Well-posedness and derivative blow-up for a dispersionless regularized shallow water system
我们研究了Clamond和Dutykh最近提出的正则化圣维南方程（正则化经典浅水方程）解的局部时间适定性和破裂。该系统是线性非色散的，光滑的解决方案保存一个$H^1$等效的能量。没有激波不连续性可以发生，但该系统是已知的承认弱奇异激波轮廓的解决方案，耗散能量。我们确定了一类小能量光滑的解决方案，开发在有限时间内的一阶导数奇点。
2019-05-07 math.AP
Existence of a highest wave in a fully dispersive two-way shallow water model
我们考虑双向Whitham方程中周期行波的存在性，结合不可压Euler方程的完全双向色散关系和典型的浅水非线性。特别感兴趣的是存在一个最高的，尖，行波解，我们得到的限制情况下，在年底的主要分支分支的$2π$ -周期行波解继续从零状态。不像单向Whitham方程，只包含一个分支的完整的欧拉色散关系，其中这样的最高波的行为类似于$|x|^{1/2}$在其波峰附近，尖波在这里获得的行为类似于$|x\log|x||$。虽然这个方程中的线性算子可以很容易地用积分算子来表示，但它通过引入对数奇点，将连续函数映射到函数空间的Hölder和Lipschitz尺度之外。由于非线性也是高阶的单向Whitham方程，我们的证明和结果的几个部分偏离相应的单向方程，对数奇异性的分析是最微妙的组件。本文是一个较长的研究计划的一部分，了解非线性和色散之间的相互作用，在形成大振幅波和他们的奇异性。
2018-04-12 math.AP
Local well-posedness of the capillary-gravity water waves with acute contact angles
本文考虑自由面$Γ_t$与底面$Γ_b$相交于两个接触点的二维毛细重力水波问题。在我们以前的工作\cite{MW2, MW3}中，当接触角小于$π/16$时，证明了该问题的局部适定性。在本文中，我们研究的情况下，接触角属于$(0, π/2)$。它涉及到由相应的椭圆方程组产生的更严重的奇性，这些奇性对自由表面和速度场的可解性有很大的影响。将椭圆问题的奇异性分解理论与水波系统的结构相结合，得到了能量的先验估计。基于这些估计，我们还证明了局部的适定性的几何公式的解决方案。
2021-12-28 math.AP
A Regularized Shallow Water System
University of Tromsø（特罗姆瑟大学）；University of Bergen（卑尔根大学）
针对经典浅水系统在有限时间内产生激波奇异性、违背长波假设的问题，提出通过有界算子修改非线性项的正则化系统，证明其局部和全局适定性，并数值模拟显示孤立波解。
2026-05-28 math.AP
Bifurcation analysis for axisymmetric capillary water waves with vorticity and swirl
该研究针对带一般涡量、旋度及表面张力的定常轴对称水波，通过变量替换克服坐标奇异性，将问题转化为适用于Rabinowitz全局分岔定理的形式，构造出从平坦层流分岔的局部与全局解曲线。
2022-03-08 math.AP
Global regularity for 2d water waves with surface tension
我们认为，充分无旋水波系统的表面张力和没有重力在二维（毛细波系统），并证明了全球的正则性和修改散射适当小和局部扰动的平坦界面。我们的分析的一个重要的一点是开发一个足够强大的方法，能量估计和色散分析的基础上，这使我们能够处理强奇异性所产生的正常形式的方法和非线性散射的应用程序中的时间共振。因此，我们能够考虑一个合适的一类具有有限能量的扰动，但没有其他的动量条件。我们的分析的一部分依赖于一个新的治疗的狄利克雷-诺依曼算子在二维这是独立的利益。因此，本文的结果是完备的。
2017-04-05 math.AP
Singularities of axisymmetric free surface flows with gravity
我们考虑一个稳定的轴对称解的欧拉方程的流体（不可压缩和零涡）的自由表面，仅由重力作用。我们分析驻点以及对称对称轴上的点。在对称对称轴上不是驻点的点处，等速运动是唯一与方程的不变标度一致的爆破轮廓。这表明在这些点上存在向下指向的尖点。在对称轴上的驻点处，与方程的不变标度一致的唯一的爆破剖面是空气上方有水的Garabedian的尖气泡解。因此，在对称轴上的驻点处，驻点上方没有水，方程的不变标度不可能是正确的标度。对爆破速度的精细分析得出，在表面由内射曲线描述的情况下，速度的尺度几乎类似于$\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}$，并且由具有非零常数$c$的速度场$$V(\sqrt{X^2+Y^2},Z)=c (-\sqrt{X^2+Y^2}, 2Z)$$渐近给出。最后一个结果依赖于频率公式和J. - M.德洛尔虽然浓度紧性的结果本身并不导致强收敛一般，我们证明了收敛性强，在我们的应用。
2012-10-13 math.AP
Recent advances on the global regularity for irrotational water waves
本文综述了二维和三维水波方程Cauchy问题解的长时间正则性的研究进展。我们首先引入自由边界Euler方程，并利用仿微分方法讨论解的局部存在性，如[7，1，2]。然后，我们在一个统一的框架中，使用欧拉公式，描述三维和二维重力波的全局存在性结果，参见[70，146，145，87，5，6，79，80，136]，以及我们与Deng和Pausader [60]关于三维重力毛细管模型全局正则性的联合结果。最后，我们对奇点的形成进行了简短的讨论，并对该理论中其他有趣的话题给出了一些额外的参考。
2017-10-29 math.AP
The shallow--water limit of linear water waves over a discontinuous bottom
Institut de Mathématiques de Bordeaux Université de Bordeaux et CNRS UMR 5251（波尔多数学研究所 波尔多大学 法国国家科学研究中心联合研究单位5251）
该论文严格证明不连续底床上线性水波的浅水极限，提出抽象函数框架和显式共形映射方法，识别并数值验证了台阶诱导的色散边界层，并推导了描述该边界层的色散模型。
2026-09-15 math.AP
Global Bifurcation and the Constructive Existence of Overhanging Periodic Steady Water Waves
CMAP, CNRS, Ecole polytechnique, Institut Polytechnique de Paris（巴黎综合理工学院）；Department of Mathematics, Fine Hall, Princeton University（普林斯顿大学）
研究具有恒定涡度的悬垂周期重力水波的存在性，通过共形映射公式和全局分岔框架，辅以计算机辅助证明，首次严格证明其存在，还证实了相关全局解分支及解决了特定猜想。
2026-07-16 math.AP
Finite time singularities for the free boundary incompressible Euler equations
本文证明了二维自由边界不可压Euler方程（也称为水波问题）的光滑初值的存在性，对于该方程，界面的光滑性在有限时间内分解为splat奇异性或splat奇异性.
2012-09-29 math-ph math.AP math.MP
A blow-up criteria and the existence of 2d gravity water waves with angled crests
我们考虑二维重力水波方程的制度，包括自由表面与角波峰。我们假设流体是无粘性的，不可压缩的和无旋的，空气密度为零，我们忽略表面张力。在\cite{kw}中，证明了在这个区域中，只有退化的泰勒不等式$-\frac{\partial P}{\partial\bold{n}}\ge 0$成立，在奇点处退化;构造了能量泛函$\frak E$，并证明了先验估计。在本文中，我们表明，一个（广义）的水波动方程的解决方案与光滑的数据将保持光滑，只要$\frak E(t)$保持有限的，并为任何数据满足$\frak E(0)<\infty$，方程是可解的局部时间，一个周期只取决于$\frak E(0)$。
2015-02-18 math.AP physics.flu-dyn
In search of local singularities in ideal potential flows with free surface
对于表面张力和重力均为零的理想流体流动，在具有光滑初始数据的适定初值问题中，自由表面上的局部奇异性是否能够发展仍然是未知的。尽管在过去的25年里，在水波的欧拉方程的数学分析方面取得了巨大的进步，但情况仍然如此。在这里，我们扩大我们的早期工作（中国。Ann. Math. Ser. B 40（2019）925），并回顾了数学文献和一些关于狄利克雷椭球和相关双曲面的历史，这些双曲面与射流形成和“翻转”、“飞溅奇点”以及最近构造的奇异自由曲面有关，但这些曲面违反了线性适定性的泰勒符号条件。我们用基于共形映射公式的二维流动的数值计算来说明其中的一些现象（其推导在附录中详细讨论）。额外的数值证据有力地表明，角落奇点可能形成在一个不稳定的自相似的方式从专门准备的初始数据。
2021-08-01 math.AP physics.flu-dyn
On the vorticity threshold for steady water waves
Lund University（隆德大学）；University of Bath（巴斯大学）
本文针对定常水波，证明了高于明确阈值的恒定反向涡量下第一个停滞点必在波峰正下方床面，还建立强反向涡量单向波的相关不等式与新振幅上界。
2026-08-18 math.AP physics.flu-dyn
Local well-posedness and global stability of one-dimensional shallow water equations with surface tension and constant contact angle
本文研究具有毛细表面和移动接触线的一维浅水问题，从二维水波方程导出能量模型，并针对自由边界处的退化与奇点建立了平衡态的全局稳定性及局部适定性理论。
2024-01-09 math-ph math.AP math.MP
Local Well-Posedness for Compressible Capillary-Gravity Water Waves with Acute Contact Angles
本文研究具有锐角接触角的可压缩毛细重力水波的局部适定性，通过建立几何结构、奇异性分析与先验能量估计，得到了首个含接触点的可压缩欧拉方程自由边值问题的局部适定性结果。
2026-08-18 math.AP
A Priori Estimates for Two-Dimensional Water Waves with Angled Crests
我们考虑二维水波问题的情况下，自由界面的流体遇到一个垂直的墙壁在一个可能的非直角，其中的自由界面可以是非$C^1$有角度的波峰。我们假设空气的密度为零，流体是无粘性的，不可压缩的，无旋的，并且受到重力的作用，表面张力为零。在这种情况下，只有退化的泰勒稳定性准则$-\frac{\partial P}{\partial \bf {n}} \ge 0$成立，在界面上的奇点处以及如果角度不正确则在与壁面相交的点处退化。我们构造了一个低正则能量泛函，并证明了一个先验估计。我们的估计不同于现有的工作，因为它不需要一个积极的下界为$-\frac{\partial P}{\partial \bf{n}}$。
2018-03-29 math.AP physics.flu-dyn
On linear water wave problem in the presence of a critically submerged body
我们研究的线性水波在深水中的传播问题，在存在一个临界淹没体（即身体接触水面）。假设能量空间中解的唯一性，我们证明了满足无穷远以及物体接触水面的尖点处辐射条件的解的存在性。该溶液通过限制吸收过程获得。接下来，我们介绍了一个相关的散射矩阵，并分析其性质。在一个几何条件下介绍的Maz'ya，见\cite{M1}，我们表明，乘子的方法适用于尖点奇点，从而证明了一个新的重要属性的散射矩阵，这可能被解释为缺乏一个版本的“全内反射”。这个属性也使我们能够证明的唯一性和存在性的功能空间$H^2_{loc}\cap L^\infty $和$H^2_{loc}\cap L^p $，$2<p<6$的解决方案，提供了一个光谱参数在水面上的边界条件是足够大。该解决方案的描述不依赖于辐射条件或限制吸收原理。这是第一个结果，这种类型的已知我们在理论中的线性波问题的无界区域。
2012-02-06 math.AP math.SP
Absence of splash singularities for SQG sharp fronts and the Muskat problem
本文对锐锋表面准地转方程或Muskat问题，排除了“飞溅奇点”的爆破情形，即证明了当自由边界保持光滑时，从这两个系统演化出来的等值线不可能相交于一点。飞溅奇异性已被证明为在水波轮廓演化问题\cite{ADCPJ}的形式的自由边界不可压缩欧拉方程。我们的结果证实了在\cite{CFMR}中的数值模拟，其中它表明，曲率吹起来，由于轮廓在一个点处塌陷。在这里，我们证明，保持控制的曲率将删除逐点相间崩溃的可能性。另一个结论，我们提供的是一个更好的理解工作\cite{DP3}中，喷射奇点被排除，在这里一个积极的体积之间的轮廓流体不能在有限的时间内喷射。
2013-09-16 math-ph math.AP math.MP
Global solutions to the shallow-water system
经典的浅水（圣维南）方程组描述了在一个可变深度的无粘不可压缩流体中的长表面波。虽然冲击波预计在这个拟线性双曲系统的广泛的初始数据，我们找到了一个充分条件的初始数据，保证存在一个全球经典解继续从局部解决方案。对于具有两个同号特征速度和两个单调递增的黎曼不变量的单向传播流体流动，可以容易地满足充分条件。我们证明了这些性质坚持在浅水方程的经典解的时间演化，并提供了在有限时间内形成的半线或无限线上的激波奇点。在技术方面，我们开发了一种新的方法的额外的参数，它允许获得局部和全局解的拟线性双曲系统的物理变量，而不是特征变量。
2016-03-15 math-ph math.AP math.MP
On propagation of regularities and evolution of radius of analyticity in the solution of the fifth order KdV-BBM model
该研究针对描述单向水波的五阶KdV-BBM模型初值问题，证明了解的正则性传播特性、Gevrey类中的局部适定性，并给出解析半径演化的显式上下界公式。
2023-07-14 math.AP
The 2D Muskat Problem II: Stable Regime Small Data Singularity on the Half-plane
研究半平面Muskat问题，证明有限时间稳定机制界面曲线奇异性可由任意小光滑初始数据产生，通过建立势能与斜率最大值原理并发展局部适定性理论取得结果。
2024-10-16 math.AP
Hamiltonian regularisation of the unidimensional barotropic Euler equations
本文将 Clamond–Dutykh 的 Hamiltonian 浅水正则化推广到一维正压 Euler 方程，保持 Galilean 不变性、无色散和类 $H^1$ 能量守恒，并证明相关系统局部适定及有限时间奇点必始于一阶导数。
2024-02-23 math.AP
Regularity of the free boundary for the supercooled Stefan problem in arbitrary dimensions
本文研究了超冷却Stefan问题中自由边界的正则性，证明了其结构的稳健性，并揭示了奇异点总是以无限速度发生。
2025-12-10 math.AP
Existence and regularity for global solutions including breaking waves from Camassa-Holm and Novikov equations to $λ$-family equations
针对包含 Camassa–Holm 与 Novikov 方程的 $\lambda$-族方程，本文构造碎波后仍全局存在的能量守恒 Hölder 连续解，并为唯一性与连续依赖性研究奠定基础。
2024-01-24 math.AP
Special solutions to a compact equation for deep-water gravity waves
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；Université de Savoie（萨瓦大学）
本文利用Petviashvili方法数值构造了深水重力波紧致方程的孤立波解，研究了其稳定性，发现了具有楔形奇点的奇异行波（peakons），并通过扰动方程解析得到了指数型peakons，最后利用高精度谱方法发现光滑孤立波呈弹性碰撞，暗示了Zakharov方程的可积性。
2012-09-11 cs.NA math.AP math.NA
Peaked Stokes waves as solutions of Babenko's equation
本文证明深水极限下尖峰 Stokes 波的性质可由 Babenko 方程恢复，并通过在最大高程附近将其改写为不动点问题开展奇点局部分析，排除了全纯坐标中的角点奇点。
2024-10-27 math-ph math.AP math.MP
The 2D Muskat Problem I: Local Regularity on the Half-plane, Plane, and Strips
本文证明了半平面上Muskat问题的局部适定性，允许界面接触底部且无需周期性或无穷远衰减条件，并将结果扩展至全平面与水平带状区域，为后续证明有限时间稳定机制奇异性奠定基础。
2024-10-16 math.AP
Weak-strong uniqueness for the Navier-Stokes equation for two fluids with surface tension
在目前的工作中，我们考虑的两种流体分离的尖锐的界面在表面张力的存在下，例如，在水中的油泡的演变。我们的主要结果是不可压Navier-Stokes方程斯托克斯方程相应自由边界问题的一个弱-强唯一性原理：只要存在一个强解，任何变倍解都必须与之重合。在没有物理奇点的情况下，变倍解的概念--其在时间上的整体存在性已由Abels [2]对一般的初始数据证明--不引入非唯一性机制。我们的方法的关键成分是一个相对熵功能的建设能够控制的接口错误。如果两种流体的粘度不一致，即使对于经典（强）解，速度场的梯度在界面处也会变得不连续，这就需要对相对熵进行仔细的额外调整。
2019-01-16 math-ph math.AP math.MP
Rectifiability, finite Hausdorff measure, and compactness for non-minimizing Bernoulli free boundaries
本文针对 Bernoulli 问题非极小化临界点的自由边界，利用频率公式与 Naber-Valtorta 程序证明了拓扑自由边界可数 $\mathcal{H}^{n-1}$-可整流且具有局部有限测度，并完全识别了测度 $Δu$，解决了 Weiss 提出的 20 余年未决问题。
2024-08-08 math.AP
