Revstack sort, zigzag patterns, descent polynomials of $t$-revstack sortable permutations, and Steingrímsson's sorting conjecture
在本文中，我们研究的排序操作$T(LnR)=T(R)T(L)n$。将此运算符应用于置换等效于将置换反向通过堆栈。我们证明了定理，$t$-revstack排序的模式方面的置换，我们称之为$zigzag$模式。利用这些定理，我们证明了那些由$T$的$t$应用程序为$t=0,1,2,n-3,n-2,n-1$排序的长度为$n$的排列。我们推导出这六类排列的下降多项式的表达式，并利用这些信息来证明Steingrímsson对$t$的六个值的排序猜想。证明了一般$t$-revstack可排序置换的下降多项式的对称性和单峰性，并给出了三个证明.
2014-04-05 math.CO
Permutation sorting and a game on graphs
我们介绍一个关于图的游戏。根据Zermelo定理，有限图上的博弈的每个实例都是确定的。虽然一般的判定问题上，玩家有一个获胜的策略，在一个给定的游戏实例是未解决的，我们解决了判定问题的有限图的特定类。这个结果，然后应用到一个置换排序游戏，以证明最优的比例界限下，两个有一个获胜的战略。
2014-11-20 math.CO
Lower bound on the running time of Pop-Stack Sorting on a random permutation
Pop-Stack Sorting是一种将置换作为输入并对其元素进行排序的算法。它由几个步骤组成。在一个步骤中，该算法从左到右读取它必须处理的置换，并反转其连续元素的每个最大递减顺序。它在输出单位置换的第一步终止。本文回答了Defant关于均匀随机排列$σ_n$上Pop-Stack排序的运行时间的问题。更准确地说，我们表明，有一个常数$c > 0.5$，使渐近几乎肯定，该算法至少需要$cn$步骤终止于$σ_n$。
2022-12-19 cs.DS math.CO math.PR
Short Proofs for Cut-and-Paste Sorting of Permutations
我们考虑的问题，确定所需的最大数量的移动排序置换的$[n]$使用剪切和粘贴操作，其中一个片段被剪切出来，然后粘贴到剩余的字符串，可能会逆转。我们给出了简短的证明，$[n]$的每一个置换可以被转换为身份在最多$\flr{2n/3}$这样的举动，一些置换需要至少$\flr{n/2}$移动。
2006-05-03 math.CO
Restricted Patience Sorting and Barred Pattern Avoidance
耐心排序是一种组合算法，可以被视为Schensted插入算法的迭代，非递归形式。在最近的工作中，作者已经表明，耐心排序提供了一个算法描述的排列，避免了禁止（广义）的排列模式$3-\bar{1}-42$。出于这一点和最近制定的几何形式的耐心排序在某些交叉格路径，我们研究了相关的主题限制输入和避免类似的禁止排列模式。一个这样的结果是将患者排序是可逆算法的那些排列表征为同时避免禁止模式$3-\bar{1}-42$和$3-\bar{1}-24$的排列集合。然后，我们列举这个回避集，其中涉及卷积的斐波那契数。
2006-03-06 math.CO
Sorting permutations with pattern-avoiding machines
在这篇论文中，我们介绍和研究了一类新的排序设备，我们称之为模式回避机。它们由串联的两个堆栈组成，配备了贪婪程序。在这两个堆栈上，我们在模式包含方面施加了一个静态约束：从上到下读取内容，第一个堆栈不允许包含给定模式$σ$的出现，而第二个堆栈不允许包含$21$的出现。通过分析模式避免机器的行为，我们的目标是更好地理解两个连续堆栈的排列排序问题，这是目前组合数学中最具挑战性的开放问题之一。
2022-10-07 math.CO
Quantifying CDS Sortability of Permutations by Strategic Pile Size
特殊用途的排序操作，上下文定向交换（CDS），是在先前的置换排序工作中研究的块交换排序操作的一个例子。CDS已被假定为某些分子分类事件发生在某些种类的纤毛虫的基因组维护程序的模型。我们调查的数学结构排列不能排序的CDS排序操作。特别是，我们提出了一个给定的战略堆大小，这可以被理解为CDS不可排序的措施量化排列的实质性进展。我们的主要结果包括在$\textsf{S}_n$的最大规模的战略堆的排列数的公式。更一般地说，我们推导出一个公式的排列数在$\textsf{S}_n$与战略桩大小$k$，除了一个算法，用于计算该公式的某些系数，我们称之为合并数。
2018-11-29 math.CO
Two-stack-sorting with pop stacks
我们考虑两次通过弹出堆栈后排序的排列集。我们这些排列的特征禁止模式（经典和禁止），并列举他们根据上升统计。然后我们证明了这些置换与一个特殊的多项式族是双射的。结果表明，该机器可排序的置换具有与三个经典置换类相同的枚举。
2019-02-01 math.CO
Stack-Sorting Preimages of Permutation Classes
我们扩展和推广了许多计数结果有关西方的堆栈排序映射$s$。首先，我们证明了一个有用的定理，允许一个有效地计算$|s^{-1}(π)|$的任何置换$π$，回答一个问题的Bousquet-Mélou。然后，我们枚举形式为$s^{-1}(\text{Av}(τ^{(1)},\ldots,τ^{(r)}))$的各种集合中的排列，其中$\text{Av}(τ^{(1)},\ldots,τ^{(r)})$是避免模式$τ^{(1)},\ldots,τ^{(r)}$的排列集合。这些原像集往往变成置换类本身，所以目前的论文提出了一种新的方法，有效的钩子配置理论的基础上，解决经典的枚举问题。在一种情况下，我们解决了一个问题，以前提出的布鲁纳。我们经常能够通过根据它们的下降或峰值的数量来枚举这些排列来细化我们的计数。我们的研究不仅提供了几个新的组合解释和身份涉及已知的序列，但也铺平了道路，为几个新的计数问题。
2019-02-11 math.CO
Sorting and preimages of pattern classes
我们引入了一个算法来确定排序操作（如堆栈排序或冒泡排序）何时输出给定的模式。该算法提供了一个新的证明的描述西-2-栈可排序的排列，即完全排序的排列时，通过两次通过堆栈，在模式。我们还解决了长期存在的问题，描述西-3-堆栈可排序排列。这需要一种新的广义置换模式，我们称之为装饰模式。
2012-03-12 cs.DS math.CO
Operators of equivalent sorting power and related Wilf-equivalences
我们研究排序算子$\mathbf{A}$的排列，得到组成Knuth的堆栈排序算子$\mathbf{S}$和反转算子$\mathbf{R}$，多次所需的。对于任何这样的运营商$\mathbf{A}$，我们提供了一个大小保持双射之间的一组排列排序的$\mathbf{S} \circ \mathbf{A}$和一组排序的$\mathbf{S} \circ \mathbf{R} \circ \mathbf{A}$，证明这些集合是由相同的序列枚举，而且许多经典的排列统计量均匀分布在这两个集。这个双射族的描述是基于避免模式$231$的置换集和避免$132$的置换集之间的双射，这保留了许多置换统计。我们还提出了这种双射的其他性质，特别是寻找对威尔夫等价置换类。
2014-02-10 cs.DM math.CO
Average-case analysis of perfect sorting by reversals
一个取一个有符号置换为恒等式的反转序列是完美的，如果在任何一步上都没有一个公共区间被破坏。确定一个简约完美的反转序列来排序一个有符号置换是NP难的。在这里，我们表明，尽管这种最坏情况下的分析，概率为1，排序可以在多项式时间内完成。此外，我们发现的平均长度和数量的可逆交换置换，一个有趣的子类有符号置换的渐近表达式。
2009-01-19 cs.DS math.CO q-bio.QM
Comparing algorithms for sorting with t stacks in series
我们证明了当t>1时，左贪婪算法是一个比右贪婪算法更好的排序算法。我们还提供了一种方法来构造一些排列，可以排序的t栈在系列中，并由此得到一个下界的数量的长度为n的排列，可以排序的t栈在系列中。最后，我们证明了左贪婪算法既不是最优的，也没有定义一个封闭的类的排列t>2。
2004-06-18 math.CO
2-Stack Sorting is polynomial
本文给出了判定给定置换$σ$在两个堆栈串联时是否可排序的多项式算法。这确实是一个长期存在的开放性问题，它首先由Knuth提出。他介绍了堆栈排序问题，以及自然出现的置换模式时，表征排列，可以排序与一个堆栈。当考虑串联的几个堆栈时，已知的结果很少。主要有两个不同的问题。第一个是决定一个排列是否可排序的复杂性，第二个是那些可排序排列的特征和枚举。我们在此证明了第一个问题在于P，并给出了一个多项式算法来解决它。这篇文章强烈依赖于前一篇文章，其中定义和研究了2-stack pushall排序。
2013-04-10 cs.DM math.CO
Sorting by shuffling methods and a queue
我们研究排序的队列，可以重新排列它们的内容，通过应用排列从一个预定义的集合。这些新的排序设备被称为洗牌队列，我们调查他们对应的定义一些著名的洗牌方法的排列集。如果$\mathbb{Q}_Σ$是对应于洗牌方法$Σ$的洗牌队列，那么我们发现了一些令人惊讶的结果，这些结果与由$\mathbb{Q}_Σ^{\prime}$和$\mathbb{Q}_Σ^{\textsf{pop}}$表示的洗牌队列的两个自然变化有关。这些分别要求在通过每个弹出操作应用或卸载置换之后卸载设备的全部内容。首先，我们证明了通过双端队列进行排序相当于通过可以反转其内容的shuffle队列进行排序。接下来，我们将重点放在按切口排序上。我们证明了可以用$\mathbb{Q}_{\text{cuts}}^{\prime}$排序的排列集合是$321$ -避免可分排列的集合。我们给下限和上限的最大次数的设备必须用于排序排列。此外，我们给出了一个公式的$n$ -排列，$p_{n}(\mathbb{Q}_Σ^{\prime})$，一个可以排序的使用$\mathbb{Q}_Σ^{\prime}$，任何洗牌方法$Σ$，对应于一组不可约排列。我们还表明，$p_{n}(\mathbb{Q}_Σ^{\textsf{pop}})$是由奇数索引斐波那契数$F_{2n-1}$，任何洗牌方法$Σ$具有特定的“后前”属性。剩下的工作是致力于一个令人惊…
2022-07-01 math.CO
Preimages under the Stack-Sorting Algorithm
我们使用一种方法来确定在堆栈排序映射下的任何排列的原像数，以获得$t$-堆栈长度为$n$的可排序排列和$t$-堆栈长度为$n$的可排序排列的数$W_t(n)$和$W_t(n,k)$的递归上界，其中$k$具有精确的$k$下降。从这些界限，我们能够显着提高最知名的上界为$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{W_t(n)}}$时，$t=3$和$t=4$。
2018-06-02 math.CO
On the geometry of stack-sorting simplices
该研究证明栈排序多面体是单纯形，给出$Ln1$排列对应多面体的相对体积为1，建立格点数量上界，并指出$2Ln1$排列生成的多面体无内点，推进了栈排序多面体的几何性质研究。
2025-07-31 math.CO
Sorting permutations using a pop stack with a bypass
本文提出一种带旁路操作的弹出栈排序装置，通过禁止模式刻画可排序排列，并用受限Motzkin路径分析计数序列，同时给出原像计算算法及主类原像的完整描述。
2025-03-11 cs.DM math.CO
Peaks are preserved under run-sorting
我们研究排序程序（运行排序）排列，其中运行重新排列的字典顺序。我们描述了一个相当令人惊讶的双射置换长度$n$，与属性，它发送的峰值集的峰值后运行排序。我们还证明了期望的下降数在排列$σ\in S_{n}$运行排序后等于$(n-2)/3$。此外，我们提供了Nabawanda，Rakotondrajao和Bamunoba在2020年引入的指数母函数的封闭形式，用于$[n]$的游程排序排列的数量，（$RSP(n)$）具有$k$游程，这给出了一个新的解释序列在线百科全书中的序列A124324。我们表明，下降生成多项式，$A_{n}(t)$为$RSP(n)$是真正的根源，并满足类似的欧拉多项式所满足的交错属性。最后，我们研究了游程排序的二进制字，并计算了游程排序后的期望下降数的长度为$n$的二进制字。
2021-05-20 math.CO
Stack-sorting simplices: geometry and lattice-point enumeration
本文研究由置换栈排序产生的多面体，重点分析 $Ln1$ 置换，证明其对应多面体为单纯形，并证明特定置换 $23\cdots n1$ 的栈排序凸包与单位立方体和 lecture-hall 单纯形具有相同格点计数函数，进而证明相关单纯形是指标为 2 的 Gorenstein 单纯形。
2025-02-08 math.CO
On a lower bound for sorting signed permutations by reversals
计算有符号排列的反转距离是生物信息学中的一个重要课题。最近，一个新的下界的反转距离得到了通过平面置换框架。这个下界似乎与Bafna和Pevzner通过断点图获得的现有下界不同。本文证明了这两个下界相等。此外，我们还证实了关于反对称平面置换的一个相关猜想，它可以重述如下：设$p=(0,-1,-2,\ldots -n,n,n-1,\ldots 1)$和$$ \tilde{s}=(0,a_1,a_2,\ldots a_n,-a_n,-a_{n-1},\ldots -a_1) $$是集合$\{-n,-n+1,\ldots 0,1,\ldots n\}$上的任意长圈。然后，$n$和$a_n$始终处于产品$p\tilde{s}$的同一周期中。此外，我们还证明了平面排列的新下界可以解释为与符号排列相关的可定向曲面的拓扑属。
2017-06-22 math.CO
The sorting index on colored permutations and even-signed permutations
在着色置换集$\mathsf{G}_{r,n}$上定义了一个新的统计量$\mathsf{sor}$，并证明了它与长度函数具有相同的分布.对于固定Ferrers形上$n$非攻击车的排列所对应的限制色置换集，证明了以下两个集值统计量序列是联合等分布的：$(\ell,\mathsf{Rmil}^0,\mathsf{Rmil}^1,...,\mathsf{Rmil}^{r-1}$，$\mathsf{Lmil}^0,\mathsf{Lmil}^1,...,\mathsf{Lmil}^{r-1}$，$\mathsf{Lmal}^0,\mathsf{Lmal}^1,...,\mathsf{Lmal}^{r-1}$，$\mathsf{Lmap}^0,\mathsf{Lmap}^1,...,\mathsf{Lmap}^{r-1})$和$(\mathsf{sor},\mathsf{Cyc}^0,\mathsf{Cyc}^{r-1},...,\mathsf{Cyc}^{1}$，$\mathsf{Lmic}^0,\mathsf{Lmic}^{r-1},...,\mathsf{Lmic}^{1}$，$\mathsf{Lmal}^0,\mathsf{Lmal}^1,...,\mathsf{Lmal}^{r-1}$，$\mathsf{Lmap}^0,\mathsf{Lmap}^1,...,\mathsf{Lma…
2014-10-07 math.CO
The Hierarchy of Hereditary Sorting Operators
本文研究遗传置换类排序模型的最坏情况步数渐近行为，证明任何遗传置换类分为五类，步数分别为Θ(n²)、O(n)至Ω(√n)、O(log²n)至Ω(log n)或1，并给出结构表征。
2023-11-15 cs.DM math.CO
Geometry of Permutation Limits
本文在最近的置换子理论的基础上，提出了置换值过程的极限理论。我们应用这一点来研究随机排序网络的渐近行为。我们证明了随机排序网络的极限阿基米德路径是从单位元到逆置换子的唯一路径，在适当的度量下具有最小能量。结合最近的大偏差结果（Kotowski，2016），它暗示了松弛随机排序网络模型的阿基米德极限。
2018-11-01 math.CO math.PR
Sorting Permutations with Fixed Pinnacle Set
我们对Davis等人提出的一个问题给出了肯定的回答。（{ \em Discrete Mathematics } 341，2018），关于具有相同顶点集的排列。给定$π\in S_n$，$π$的{ \em pinctum}是元素$π_i$（$i\neq 1,n$），使得$π_{i-1}<π_i>π_{i+1}$。问题是：给定$π,π'\in S_n$具有相同的尖峰集合$S$，是否存在将$π$转换为$π'$的操作序列，使得所有中间排列具有尖峰集合$S$？我们介绍{ \em平衡反转}，定义为反转，不修改的尖峰集的排列，它们被应用。然后，我们表明，$π$可以排序的平衡逆转（即转换成一个标准的置换$\Id_S$），这意味着$π$可以转换成$π'$使用最多$4n-2\min\{p,3\}$平衡逆转，其中$p=|S|\geq 1$。在$p=0$情况下，最多需要$2n-1$平衡逆转。
2020-01-23 cs.DS math.CO
Periodic Points of Consecutive-Pattern-Avoiding Stack-Sorting Maps
本文研究了连续模式规避栈排序映射 SC_σ 的动力学性质，证明了其周期点恰为连续规避 σ 及其逆序排列的排列，从而解决了 Defant 和 Zheng 提出的主要猜想。
2023-08-10 math.CO math.DS
Average-case analysis of perfect sorting by reversals (Journal Version)
逆向完全排序（英语：Perfect sorting by reversals）是一个计算基因组学中的问题，是将一个有符号的置换排序为同一个或相反的同一个置换的过程，通过一系列不破坏任何公共区间的逆向排序。Bérard et al.（2007）利用强区间树描述了一个通过反转排序有符号置换的算法。这类树的组合性质对算法分析是必不可少的。在这里，我们使用的期望值的某些树参数证明，该算法的平均运行时间是在最坏的情况下，多项式，此外，对于足够长的排列，排序算法运行在多项式时间的概率为1。此外，我们对通勤情景的子类的分析产生了关于反转的平均长度和反转的平均次数的精确结果。
2012-01-04 cs.DM cs.DS math.CO
Combinatorics of patience sorting piles
尽管在1962年由C.L. Malows，组合算法耐心排序现在才开始受到重视，由于最近的深刻结果，如Baik-Deift-Johansson定理，将其与概率组合学和随机矩阵理论等领域联系起来。这项工作的目的是开发一些更基本的组合学的耐心排序算法。特别是，我们利用耐心排序和Schensted插入算法之间的相似之处，以便做的事情，包括定义一个模拟的Knuth关系和扩展耐心排序的双射排列和某些对集分区之间。作为这些构造的一个应用，我们刻画并列举了避开广义置换模式2-31的置换集S_n（3- \bar{1} -42），除非它是广义置换模式3-1-42的一部分。
2006-03-30 math.CO
Conjugating full cycles by adjacent transpositions: diameter and sorting time
Bar-Ilan University（巴伊兰大学）；Jerusalem College of Technology and Michlala College（耶路撒冷理工学院和米赫拉拉学院）
研究通过相邻交换 conjugate 循环排列的步骤数上限和 Schreier 图直径，探讨排序时间与直径的关系。
2026-09-04 math.CO
The Sorting Index and Permutation Codes
在对二元多项式系数的组合研究中，Petersen引入了一个新的Mahonian统计量$sor$，称为排序指数。Petersen证明了统计量对$(sor,cyc)$和$(inv,rl\textrm{-}min)$在对称群上具有相同的联合分布，并要求对这一事实进行组合证明。在回答彼得森的问题，我们观察到之间的连接的排序指数和B-码的排列定义的Foata和韩，我们表明，双射的Foata和韩服务的目的，映射$(inv,rl\textrm{-}min)$ $(sor,cyc)$。给出了Foata-Han双射的$B$型模拟，并导出了符号置换上$(inv_B,{\rm Lmap_B},{\rm Rmil_B})$和$(sor_B,{\rm Lmap_B},{\rm Cyc_B})$的等分布.从而得到了$(inv_B,nmin_B)$和$(sor_B,l_B')$的Petersen等分布的组合解释。此外，我们证明了六对集值统计量$\rm (Cyc_B,Rmil_B)$，$\rm(Cyc_B,Lmap_B)$，$\rm(Rmil_B,Lmap_B)$，$\rm(Lmap_B,Rmil_B)$，$\rm(Lmap_B,Cyc_B)$和$\rm(Rmil_B,Cyc_B)$在符号置换上是等分布的.对于$D$型的Coxeter群，Petersen证明了两个统计量$inv_D$和$sor_D$是等分布的。我…
2012-06-04 math.CO
Flip-sort and combinatorial aspects of pop-stack sorting
本文研究自然排序过程 flip-sort 的组合性质，刻画单次迭代后的置换形状及最佳/最差情形相关族，并建立与 pop-stack 排序、自动机、格路径的联系，提出若干双射证明技巧。
2021-04-26 cs.DM cs.DS cs.FL
Stack sorting with restricted stacks
（经典）问题的特点和枚举排列，可以排序使用两个堆栈串联连接仍然是开放的。在本文中，我们解决一个相关的问题，在其中，我们施加限制的程序和堆栈。更准确地说，我们考虑一个贪心算法，我们执行最右边的合法操作（这里的“最右边”是指堆栈排序问题的通常表示）。此外，对于某个置换$σ$，第一堆栈需要是$σ$避免的，这意味着，在每一步，当从顶部到底部读取时，堆栈中维护的元素避免模式$σ$。由于可以被这样一个设备（我们称之为$σ$ -machine）排序的排列集合并不总是一个类，所以理解它何时发生是很有趣的。我们将证明，一组$σ$ -机器，其相关的可排序排列是不是一个类是由加泰罗尼亚数计数。此外，我们将分析两个特定的$σ$ -机器的全部细节（即当$σ=321$和$σ=123$），为他们每个人提供一个完整的表征和枚举的排序排列。
2019-07-18 cs.DM cs.DS math.CO
Fertility Monotonicity and Average Complexity of the Stack-Sorting Map
令$\mathcal D_n$表示将$S_n$中的置换排序为恒等置换$123\cdots n$所需的West堆栈排序映射$s$的平均迭代次数。我们证明了\[0.62433\approxλ\leq\liminf_{n\to\infty}\frac{\mathcal D_n}{n}\leq\limsup_{n\to\infty}\frac{\mathcal D_n}{n}\leq \frac{3}{5}(7-8\log 2)\approx 0.87289,\]，其中$λ$是Golomb-Dickman常数。我们的下界改进了West的$0.23$的下界，我们的上界是$1$的平凡上界的第一个改进。然后，我们表明，受精率的排列单调增加后，迭代的$s$。更准确地说，我们证明了，$|s^{-1}(σ)|\leq|s^{-1}(s(σ))|$的所有$σ\in S_n$，其中平等保持当且仅当$σ=123\cdots n$。这是第一个定理，体现了博纳提出的堆栈排序映射的收益递减律哲学。在此过程中，我们注意到堆栈排序映射与$S_n$上的左右弱序之间的一些联系。
2020-09-27 math.CO
Stack-sorting with Stacks Avoiding Vincular Patterns
本文提出一种通过避免Vincular模式的栈进行右贪心排序的新映射，统一了已有经典与连续避免模式的栈排序框架，并对多个长度3模式刻画了排序类、原像最大规模和周期点。
2024-10-19 math.CO
Circular sorting in the alternating group
William & Mary（威廉与玛丽学院）；SUNY at Old Westbury（纽约州立大学老韦斯特伯里分校）
该研究探讨交错群中用3-循环排序偶置换的最大步数，针对不同模4余值的$n$确定或分析了排序次数，证明较大值会无限次出现。
2026-08-07 math.CO
Sorting permutations with pile shuffle on queue-like and stack-like piles
本文形式化了堆洗牌的三种变体（队列式、栈式及混合类型），刻画了多轮洗牌的可排序排列并给出最少堆数的高效排序公式，证明了多轮洗牌能力呈指数级增长，并指出发牌者选择使可行性判定成为 NP-Hard 问题。
2025-05-30 math.CO
Stack Sorting with Increasing and Decreasing Stacks
我们介绍了一个排序机组成的$k+1$堆栈串联：第一个$k$堆栈只能包含元素从上到下的降序，而最后一个有相反的限制。该器械推广了研究病例$k=1$的\cite{SM}。在这里，我们证明了，对于$k=2$，可排序排列的集合是一个类的无限基，通过显式地找到一个反链的最小不可排序排列。这种结构可以很容易地适用于每个$k \ge 3$。接下来，我们描述一个最优排序算法，同样是针对$k=2$的情况。然后，我们分析了两种类型的左贪婪排序程序，在一种情况下，获得完整的结果，只有一些部分的结果在另一个。我们以讨论几个未决问题来结束这篇论文。
2019-10-08 cs.DM cs.DS math.CO
Sorting Pattern-Avoiding Permutations via 0-1 Matrices Forbidding Product Patterns
本文通过禁止乘积模式的0-1矩阵理论，给出了避免排列模式排序问题中极值函数的几乎紧上下界，并证明无π序列排序可在O(n2^{(1+o(1))α(n)})时间内完成。
2023-07-08 cs.DM cs.DS math.CO
A new 1.375-approximation algorithm for Sorting By Transpositions
在基因组重排中，突变事件转座交换了一条染色体中两个相邻的基因块。转置距离问题（TDP）的目的是找到将一个染色体转换为另一个染色体所需的最小转置次数，两者都表示为排列。TDP可以归结为换位排序（SBT）问题。SBT是$\mathcal{NP}$-难的，Elias和Hartman提出了具有$1.375$比的最佳近似算法.他们的算法采用了简化，一种用于将输入置换$π$转换为简单置换$\hatπ$的技术，可能更容易处理。置换$\hatπ$是通过以在$\hatπ$上保持$π$的转置距离的下界的方式将新符号插入到$π$中而获得的。简化保证保持下界，而不是换位距离。在本文中，我们首先表明，算法的埃利亚斯和哈特曼（EH算法）可能需要一个额外的转置以上的近似比$1.375$，这取决于如何输入置换被简化。其次，利用代数方法，提出了一个新的换位距离上界和一个新的$1.375$-近似算法，解决了SBT跳跃简化问题，并保证了$1.375$对所有$S_n$的近似比.我们实现了我们的算法和EH。关于EH算法的实现，需要解决两个问题。我们针对大小为$n$、$2\leq n \leq 12$的所有排列测试了这两种算法。结果表明，对于大于$7$的置换，EH算法的逼近比超过了$1.375$.最后，我们研究了这两种实现的最大长度$500$较长的排列的性能。
2021-11-04 cs.DS math.CO
Stack-sorting preimages and 0-1-trees
Uninversity of Florida（佛罗里达大学）
本文通过定义部分标记的树类，为Colin Defant关于排列类栈排序前像的两个最新计数结果提供简单证明。
2026-06-26 math.CO
Sorting with pattern-avoiding stacks: the $132$-machine
本文继续分析Cerbai、Claesson和Ferrari [CCF]最近提出的模式回避分类机。这些设备由两个堆栈组成，通过它们传递排列以便对其进行排序，其中每个堆栈的内容必须始终避免某种模式。在这里，我们的特点和列举的一组排列，可以排序时，第一个堆栈是$132$ -避免，解决了一个公开的问题[CCF]。为此，我们提出了几个连接与其他知名的组合对象，如格路径和限制增长函数（编码集分区）。我们还提供了新的证明，枚举的一些集的模式，避免限制增长的功能，我们希望介绍的工具可以卓有成效地得到进一步类似的结果。
2020-06-10 math.CO
Eulerian-type polynomials over Stirling permutations and box sorting algorithm
本文研究了 Stirling 排列上的 Euler 型多项式，给出了二阶 Eulerian 多项式的卷积公式与行列式表达式，通过引入新统计量揭示了其与符号排列多项式的等价性，并提出盒子排序算法建立了与有序弱集合划分的双射。
2025-06-26 math.CO
Polynomial Time Enumeration of t-Stack-Sortable Permutations Ending in Their Least Entry
South Pasadena High School（南帕萨迪纳高中）
研究West栈排序映射s在以最小元素结尾的排列上的行为，引入栈排序表格T_π作为多项式时间算法的关键，用于计数t-栈排序排列。
2026-06-24 math.CO
Permutree sorting
本文提出 permutree 排序，将栈排序与 $c$-排序推广到由不相交集合 $U,D$ 参数化的排列排序，并用自动机刻画可排序性和约化表达式。
2023-03-06 cs.DS math.CO
The Archimedean limit of random sorting networks
排序网络（也称为逆置换的约化分解）是由相邻置换生成的对称群$S_n$的凯莱图中从$12 \cdots n$到$n \cdots 21$的最短路径。我们证明了在均匀随机$n$ -元素排序网络$σ^n$中，所有粒子轨迹都以高概率接近正弦曲线。我们还找到了$σ^n$的时间- $t$置换矩阵测度的弱极限.作为这些结果的推论，我们表明，如果$S_n$是嵌入到$\mathbb{R}^n$通过地图$τ\mapsto (τ(1), τ(2), \dots τ(n))$，然后以很高的概率，路径$σ^n$是接近一个伟大的圆上的一个特定的$(n-2)$ -维领域在$\mathbb{R}^n$。这些结果证明了Angel、Holroyd、Romik和Virag的猜想。
2021-10-28 math.CO math.PR
On the effective and automatic enumeration of polynomial permutation classes
我们描述了一个用Python实现的算法，它可以从类的结构描述中枚举任何具有多项式枚举的置换类。特别地，这允许我们找到长度为n的排列的数量的公式，其可以通过有限数量的块排序操作（例如，反转、块换位、剪切和粘贴移动）。
2015-11-14 math.CO
Factorization of permutations
我们考虑的问题的因式分解置换的产品的特殊类型的换位，即，那些换位涉及两个位置有界距离。特别是，我们调查的最小数量，$δ$，使每一个置换可以分解成不超过$δ$特殊的换位。这项研究涉及排序算法，凯莱图和基因组学。
2015-06-05 math.CO
A new lower bound for deterministic pop-stack-sorting
本文研究了确定性 pop-stack-sorting 过程，通过一个有用的引理，为完全排序均匀随机选择的排列所需的排序次数提供了 $\ rac{3}{5}n$ 的新下界。
2024-08-23 math.CO math.PR
Polynomial-time sortable stacks of burnt pancakes
煎饼翻转是计算机科学中一个著名的公开问题，可以形式化为使用尽可能少的前缀反转对正整数的排列进行排序的问题。在该上下文中，长度为k的前缀反转反转置换的前k个元素的顺序。煎饼翻转的烧焦变体涉及有符号整数的排列，在这种情况下，反转不仅反转元素的顺序，而且反转它们的符号。虽然从第一个关于这些问题的工作到现在已经过去了三十年，但是它们的计算复杂性和对置换进行排序所需的前缀反转的最大数目都还不知道。在这项工作中，我们证明了对烧焦的煎饼进行排序的新下界，并表明一类重要的排列（称为“简单排列”）可以在多项式时间内进行最佳排序。
2010-10-01 cs.DS math.CO
Poset Associahedra and Stack-sorting
本研究针对一类介于经典排列多面体与结合多面体之间的偏序集结合多面体，给出其$h$-向量的组合解释，关联栈排序理论并证明部分$h$-多项式的实根性。
2023-10-04 math.CO
Prefix reversals on binary and ternary strings
给定一个置换pi，前缀反转f^（i）对pi的应用颠倒了pi的前i个元素的顺序。由Gates和Papadimitriou（英语：Papadimitriou）提出的前缀反转排序（也称为煎饼翻转）问题（Bounds for sorting by prefix Reversals），离散数学27，pp. 47-57），要求对给定排列的元素进行排序所需的前缀反转的最小数量。在本文中，我们研究了这个问题的一个变种，前缀反转不作用于排列，但字符串在一个固定大小的字母表。我们确定了二进制和三进制字符串排序所需的最小前缀反转数，并给出了这些排序问题的多项式时间算法;证明了计算两个二进制字符串之间的最小前缀反转距离是NP-难的;给出了二进制字符串前缀反转直径的精确表达式，并给出了三进制字符串前缀反转直径的界.我们还考虑了一种较弱的排序形式称为分组（相同的符号），并给出了多项式时间算法的最佳分组二进制和三进制字符串。一些有趣的开放问题也进行了讨论。
2006-07-04 math.CO math.OC
Sorting with a forklift
fork栈是一个通用的栈，它允许一次推送和弹出几个项目。我们考虑的问题，确定哪些输入流可以使用一个forkstack排序，或双重，一个固定的输入流的排列可以使用一个forkstack。给出了排序问题的一个算法，找到了最小不可排序序列，并将结果推广到fork栈中，在fork栈中，一次可以推入和弹出的项目数是有限制的。在这种情况下，我们还建立了如何枚举的可排序序列的集合。
2002-09-10 cs.DM cs.DS math.CO
Circular sorting, strong complete mappings and wreath product constructions
Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）；Delft Institute of Applied Mathematics, TU Delft（代尔夫特理工大学应用数学研究所）
研究在圆上通过交换标签排序标记点的最少交换次数，证明当n不是素数时最多需要n-3次交换，并构造需要n-2次交换的循环排列（n为素数），反驳了第二个猜想。
2026-06-18 math.CO
Highly Sorted Permutations and Bell Numbers
让$s$表示West的堆栈排序映射。对于所有正整数$m$和$n\geq 2m-2$，我们给出了集合$s^{n-m}(S_n)$的一个简单的特征，由此我们发现$|s^{n-m}(S_n)|$是$m^\text{th}$ Bell数$B_m$ .我们还证明了限制$n\geq 2m-2$是紧的，通过显示$|s^{m-3}(S_{2m-3})|=B_m+m-2$的所有$m\geq 3$。
2020-12-07 math.CO
