Successive radii and Orlicz Minkowski addition
Fangwei Chen, Congli Yang, Miao Luo
本文讨论了Orlicz-Minkowski和的逐次内外半径。建立了两个凸体的Orlicz Minkowski和的半径的上、下界。
In this paper, we deal with the successive inner and outer radii with respect to Orlicz Minkowski sum. The upper and lower bounds for the radii of the Orlicz Minkowski sum of two convex bodies are established.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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The general dual-polar Orlicz-Minkowski problem
本文系统地研究了一般双极Orlicz-Minkowski问题（例如，问题\ref{general-dual-polar}）。这个问题涉及到最近在\cite{GHWXY, GHXY}中为了研究一般对偶Orlicz-Minkowski问题而提出的一般对偶体积$\widetilde{V}_G(\cdot)$。由于$\widetilde{V}_G(\cdot)$扩展了体积和$q$的对偶体积，一般双极Orlicz-Minkowski问题与最近提出的\cite{GHWXY, GHXY}中的一般对偶Orlicz-Minkowski问题是“极”的，与\cite{LuoYeZhu}中新提出的极Orlicz-Minkowski问题是“对偶”的.证明了一般双极Orlicz-Minkowski问题解的存在性、连续性和唯一性。多面体解决方案和/或反例一般双极Orlicz-Minkowski问题的离散措施也提供。一般双极Orlicz-Minkowski问题的几个变化进行了讨论，以及，特别是一个导致一般Orlicz-Petty机构。
Dual Orlicz-Brunn-Minkowski theory: Orlicz $φ$-radial addition, Orlicz $L_ϕ$-dual mixed volume and related inequalities
本文发展了星体对偶Orlicz-Brunn-Minkowski理论的基本背景。提出了两个或多个星体的Orlicz $φ$ -径向加法，建立了相应的对偶Orlicz-Brunn-Minkowski不等式.基于两个星体的线性Orlicz $φ$ -径向加和，我们导出了Orlicz $L_ϕ$ -对偶混合体积的公式.证明了Orlicz $L_ϕ$ -对偶混合体积的对偶Orlicz-Minkowski不等式、Orlicz $L_ϕ$ -对偶表面积的对偶Orlicz等周不等式和Orlicz $L_ϕ$ -调和平均半径的对偶Orlicz-Urysohn不等式.
The $p$-capacitary Orlicz-Hadamard variational formula and Orlicz-Minkowski problems
本文将$p\in (1, n)$的$p$ -容性与凸区域的Orlicz加法相结合，建立了$p$ -容性Orlicz-Brunn-Minkowski理论.特别地，引入了两个凸区域的Orlicz $L_ϕ$混合$p$ -容度，并利用$p$ -容度Orlicz-Hadamard变分公式得到了它的几何解释.建立了$p$ -容Orlicz-Brunn-Minkowski不等式和Orlicz-Minkowski不等式，并讨论了这两个不等式的等价性.提出了$p$ -容性Orlicz-Minkowski问题，并在涉及函数和测度的较弱条件下得到了求解.特别地，我们给出了离散和一般测度下的带$q>1$的规范化$p$ -容性$L_q$ Minkowski问题的解.
Affine isoperimetric inequalities in the functional Orlicz-Brunn-Minkowski theory
本文发展了凸函数和$s$ -凹函数的Orlicz仿射和几何最小曲面面积的基本理论。证明了这些新引入的泛函仿射不变量的一些基本性质，并建立了相关的泛函仿射等周不等式和泛函Santaló型不等式.
Dual Orlicz-Brunn-Minkowski theory: dual Orlicz $L_ϕ$ affine and geominimal surface areas
本文旨在发展对偶Orlicz $L_ϕ$仿射和天体几何表面积的基本理论，它属于最近的对偶Orlicz-Brunn-Minkowski天体理论。这些新的仿射不变量的基本属性将提供。建立了相关的Orlicz仿射等周不等式、循环不等式、Santaló型不等式和Alexander-Fenchel型不等式.
The Orlicz-Brunn-Minkowski theory: A general framework, additions, and inequalities
由Lutwak、Yang和Zhang提出的Orlicz-Brunn-Minkowski理论是经典Brunn-Minkowski理论的一个新的推广。它代表了$L_p$ -Brunn-Minkowski理论的推广，类似于Orlicz空间推广$L_p$空间的方式。对于适当的凸函数$φ:[0,\infty)^m\to [0,\infty)$，提出了一种组合$\R^n$中任意集合的新方法.这个运算称为Orlicz加法，用$+_φ$表示，它有几个理想的性质，但不是结合的，除非它简化为$L_p$加法。一个一般的框架介绍了Orlicz-Brunn-Minkowski理论，其中包括新的除了和以前介绍的概念，并首次明确的关系，Orlicz空间和规范。它也表明，Orlicz除了是密切相关的一个自然的和基本的推广Minkowski除了称为$M$ -加法。得到的结果表明，粗略地说，Orlicz-Brunn-Minkowski理论是最一般的可能的基础上，除了保留所有的基本几何性质所享有的$L_p$ -Brunn-Minkowski理论。得到了$M$ -加法和Orlicz加法的Brunn-Minkowski型不等式.新的Orlicz-Brunn-Minkowski不等式蕴涵了$L_p$ -Brunn-Minkowski不等式.得到了新的Orlicz-Minkowski不等式，推广了$L_p$ -Minkowsk…
Orlicz version of the mixed width integrals
本文的主要目的是将宽度积分推广到Orlicz空间。在Orlicz Brunn-Minkowski理论的框架下，通过计算宽度积分的Orlicz一阶变分，引入一个新的仿射几何量，称之为Orlicz混合宽度积分.将宽度积分及其Minkoswki不等式和Brunn-Minkowski不等式的基本概念和结论推广到Orlicz情形，并导出了凸体的Lp混合宽度积分的相关概念和不等式.
The dual Orlicz-Minkowski problem
本文提出了对偶Orlicz曲率测度，并给出了它的基本性质.建立了对偶Orlicz-quermass积分的变分公式，给出了对偶Orlicz曲率测度的几何解释.基于所建立的变分公式，给出了关于对偶Orlicz曲率测度的对偶Orlicz-Minkowski问题的一个解.
Orlicz Mixed Affine Quermassintegrals
Lutwak的概念仿射quermassintegrals的一个凸体迅速成为非常重要的凸和仿射几何和最近，也在渐近几何分析。本文在Orlicz-Brunn-Minkowski理论的框架下，引入了凸体的Orlicz混合仿射拟实积分的概念，作为仿射拟实积分的推广.在Orlicz空间中证明了Orlicz混合和仿射quermassintegral的Orlicz-Minkowski不等式，以及一个Orlicz-Brunn-Minkowski不等式，它是Lutwak的Brunn-Minkowski不等式的直接推广.
General volumes in the Orlicz-Brunn-Minkowski theory and a related Minkowski Problem I
引入了星形体的广义体积概念，它包括通常体积、$q$第二对偶体积以及许多先前类型的对偶混合体积。针对Lutwak，Yang和Zhang最近提出的$(p,q)$ -对偶曲率测度，定义了一个相应的新的广义对偶Orlicz曲率测度.建立了两类Orlicz线性组合的一般体积的一般变分公式。其中之一是适用于闵可夫斯基问题的新的一般对偶Orlicz曲率措施，特别是解决闵可夫斯基问题所提出的Lutwak，杨，张为$(p,q)$ -对偶曲率措施时，$p>0$和$q<0$。得到了一般体积的对偶Orlicz-Brunn-Minkowski不等式，以及星体的对偶Orlicz-Minkowski型不等式和唯一性结果.最后，一个非常普遍的Minkowski型不等式，涉及两个Orlicz功能，两个凸体，和一个星体，证明，其中包括作为特殊情况下，其他几个在文献中，特别是一个由于Lutwak，杨，张$(p,q)$ -混合体积。
The dual Orlicz curvature measures for log-concave functions and their related Minkowski problems
本文通过对数凹函数类中 Orlicz 矩关于 Asplund 和的变分，引入对偶 Orlicz 曲率测度，并证明函数对偶 Orlicz Minkowski 问题的部分存在性。
On the polar Orlicz-Minkowski problems and the $p$-capacitary Orlicz-Petty bodies
本文提出并研究了极Orlicz-Minkowski问题：在非零有限测度$μ$和连续函数$φ:(0,\infty)\rightarrow(0,\infty)$上，在什么条件下存在凸体$K\in\mathcal{K}_0$使得$K$是下列优化问题的优化器：\begin{equation*} \inf/\sup \bigg\{\int_{S^{n-1}}φ\big( h_L \big) \,d μ: L \in \mathcal{K}_{0} \ \text{and}\ |L^\circ|=ω_{n}\bigg\}. \end{equation*}在不同条件下讨论了极Orlicz-Minkowski问题的可解性.特别地，在$φ,$上的一定条件下，证明了$S^{n-1}$上的非零有限测度$μ$不集中在$S^{n-1}.$的任何半球上的解的存在性。本文的另一部分讨论了$p$ -容Orlicz-Petty体。特别地，建立了$p$ -容Orlicz-Petty体的存在性，并证明了$p$ -容Orlicz-Petty体的连续性.
The Dual Orlicz-Brunn-Minkowski Theory
本文介绍了星集的对偶Orlicz-Brunn-Minkowski理论。提出了两个或多个星集的径向Orlicz加法，并建立了相应的对偶Orlicz-Brunn-Minkowski不等式.基于两个星集的径向Orlicz线性组合，导出了对偶Orlicz混合体积公式，并证明了相应的对偶Orlicz-Minkowski不等式.这些不等式作为特殊情况证明了Böröczky、Lutwak、Yang和Zhang的严格对数Brunn-Minkowski不等式和对数Minkowski不等式的精确解。一个新的除了星集称为径向$M$ -此外还介绍和示出有关的径向Orlicz此外。
Orlicz-Minkowski flows
研究了一类各向异性非齐次Gauss曲率流的长时间存在性和性态，如果其定常解存在，则其解是正则Orlicz-Minkowski问题的解.作为应用，我们得到了正则偶Orlicz-Minkowski问题的新旧结果，相应的$L_p$版本是$p>-n-1$的偶$L_p$-Minkowski问题.此外，利用抛物近似方法，我们给出了一般Orlicz-Minkowski问题的一些存在性结果的新证明;对于$p>0$的$L_p$版本是偶$L_p$ -Minkowski问题，对于$p>1$的$L_p$ -Minkowski问题.最后，我们利用一个不带整体项的曲率流来求解一类$L_p$ -Christoffel-Minkowski型问题。
Orlicz-Legendre Ellipsoids
首次介绍了新兴的对偶Orlicz Brunn-Minkowski理论框架下的Orlicz-Legendre椭球。它们在某种意义上是最近发现的Orlicz-John椭球的对偶，并且在很大程度上推广了经典的勒让德惯性椭球。建立了几个新的仿射等周不等式。证明了Orlicz-Legendre椭球的特征与测度的各向同性之间的联系。
New Orlicz Affine Isoperimetric Inequalities
Orlicz-Brunn-Minkowski理论最近受到了相当大的关注，并且$L_p$ -Brunn-Minkowski理论中的许多结果已被推广到Orlicz理论中。本文的目的是推广$L_ϕ$-Brunn-Minkowski理论中的基本概念--$L_p$（混合）仿射表面积和几何表面积。我们的扩展不同于Ludwig（在Adv.Math.224（2010））的一般仿射表面积。此外，我们的定义Orlicz $L_ϕ$仿射和几何表面积揭示，这些仿射不变量本质上是下确界/上确界的$V_ϕ(K, L^\circ)$，Orlicz $ϕ$ -混合体积的$K$和极性体的$L$，其中$L$运行在所有的明星机构和所有的凸体，分别与体积的$L$等于体积的单位欧几里德球$B_2^n$。证明了Orlicz $L_ϕ$仿射曲面和几何曲面的仿射不变性和单调性等性质。建立了相关的Orlicz仿射等周不等式.
General volumes in the Orlicz-Brunn-Minkowski theory and a related Minkowski Problem II
最近，对于内部含有原点的函数$G: (0, \infty)\times \sphere\rightarrow (0, \infty)$和$\R^n$中的凸体$K$，引入了广义对偶体积$\dveV(K)$和广义对偶Orlicz曲率测度$\deV(K, \cdot)$.我们扩展$\dveV(K)$和$\deV(K, \cdot)$更一般的功能$G: [0, \infty)\times \sphere\rightarrow [0, \infty)$和紧凑的凸集$K$包含的起源（但不一定在其内部）。给出了一般对偶体积和对偶Orlicz曲率测度的一些基本性质，如对基础集的连续依赖性。这些都需要研究闵可夫斯基型问题的对偶Orlicz曲率措施。我们主要研究了当$G$和$ψ$都增加时的情形，从而补充了我们以前的工作。Minkowski问题要求刻画$\sphere$上的Borel测度$μ$，其中$\R^n$中有一个凸体$K$，包含原点，使得$μ$等于$\deV(K, \cdot)$，直到一个常数。分析中的一个主要步骤涉及离散措施$μ$，我们证明了凸多面体的存在性，包含在其内部解决闵可夫斯基问题的起源。对于一般（不一定是离散的）测量$μ$，我们使用近似参数。这种方法也适用于$G$减少和$ψ$增加的情况，因此增加了我们以前的工作。当测度$μ$为偶数时，在较弱的条件下，给出了$G$和$ψ$上的原点对称凸体…
On the general dual Orlicz-Minkowski problem
对于$K\subseteq \mathbb{R}^n$是一个凸体，其原点在$o$的内部，$ϕ:\mathbb{R}^n\setminus\{o\}\rightarrow(0, \infty)$是一个连续函数，定义了$K$的一般对偶（$L_ϕ)$ Orlicz）quermassintegral。在一定的条件下，我们证明了$K\subseteq \mathbb{R}^n$的一般对偶（$L_ϕ)$ Orlicz）quermassintegral的变分公式，从而给出了$K$的一般对偶（$L_ϕ)$ Orlicz）曲率测度$\widetilde{C}_{ϕ,\mathcal{V}}(K, \cdot)$的定义。我们提出以下一般对偶Orlicz-Minkowski问题：给定一个定义在$S^{n-1}$上的非零有限Borel测度$μ$和一个连续函数$ϕ: \mathbb{R}^n\setminus\{o\}\rightarrow (0, \infty)$，能否找到一个常数$τ>0$和一个凸体$K$（理想地，在其内部包含$o$），使得，} $$μ=τ\widetilde{C}_{ϕ,\mathcal{V}}(K,\cdot)? $$基于Lagrange乘子法和建立的一般对偶（$L_ϕ)$ Orlicz quermass积分的变分公式，提供了一般对偶Orlicz-Minkowski问题的解。在某些特…
On the Musielak-Orlicz-Gauss image problem
本文主要研究凸体的Musielak-Orlicz-Brunn-Minkowski理论。特别地，我们发展了Musielak-Orlicz-Gauss像问题，旨在刻画凸体的Musielak-Orlicz-Gauss像测度。对于凸体$K$，它的Musielak-Orlicz-Gauss像测度（记为$\widetilde{C}_Θ(K, \cdot)$）涉及一个三重$Θ=(G, Ψ, λ)$，其中$G$和$Ψ$是定义在$S^{n-1}\times (0, \infty)$上的两个Musielak-Orlicz函数，$λ$是单位球面$S^{n-1}$上的一个非零有限勒贝格测度.这样的测量可以通过$\widetilde{V}_{G, λ}(K)$的变分公式（$K$相对于$λ$的一般对偶体积）在$K$的扰动下通过经由函数$Ψ$定义的Musielak-Orlicz加法产生。Musielak-Orlicz-Gauss映象问题包含了许多已被深入研究的Minkowski型问题和最近的Gauss映象问题。在$G$在其第二个变元上递减的条件下，证明了该问题解的存在性.
Orlicz addition for measures and an optimization problem for the $f$-divergence
本文提出了测度的Orlicz加法，并基于两个测度的线性Orlicz加法给出了$f$ -发散的一个解释.建立了一些基本不等式，如对偶泛函Orlicz-Brunn-Minkowski不等式.我们还研究了$f$ -散度的一个最优化问题，并建立了关于对偶泛函Orlicz仿射和几何最小面积测度的泛函仿射等周不等式.
Log-Concavity Properties of Minkowski Valuations
对任意次刚体运动相容的Minkowski赋值，建立了新的Orlicz Brunn-Minkowski不等式.这些扩展了经典的log-logs性质的内在卷和推广的开创性的结果Lutwak和其他人。两种不同的方法，完善以前采用的技术进行了探讨。结果表明，两者都会导致这些不等式所适用的同一类Minkowski估值。Semyon Alesker的附录包含了广义平移不变赋值的一个新分类的证明。
Successive Minima and Lattice Points
本文的主要目的是证明中心对称凸体的格点个数的一个上界，它是由凸体的连续极小值表示的。这一界限提高了前界和缩小差距对一个晶格点模拟闵可夫斯基的第二定理连续极小。闵可夫斯基的证明，他的第二个定理是相当冗长，它也被批评为晦涩难懂。我们提出了一个简短的证明闵可夫斯基的第二定理连续极小值，这是基于闵可夫斯基的想法证明。
Successive Radii and Ball Operators in Generalized Minkowski Spaces
我们研究了广义Minkowski空间中连续半径的基本性质（即关于规范），即，我们测量有限维实向量空间中给定凸集相对于另一个凸集的“大小”。这是通过制定某种最小包含问题来完成的，其中包含后一个集合的交集或闵可夫斯基和和某个维度的仿射平坦。由于这与极大极小定位问题以及直径完备性和恒定宽度的概念密切相关，因此我们也要看看球相交和球壳。
Minkowski's successive minima in convex and discrete geometry
本文综述了Minkowski逐次极小在凸几何与离散几何中的影响，探讨了其与格点计数器、内蕴体积等泛函的关系及相关猜想，并讨论了其在Siegel引理中的应用。
On extensions of Minkowski's theorem on successive minima
Minkowski的第二定理在数的几何号码提供了最佳的上限和下界的体积$o$对称凸体在其连续的最小值。在本文中，我们研究了这个定理的扩展从两个不同的观点：要么放松对称性条件，假设的质心位于原点，或取代体积功能的表面积。
Minkowski bases, Korkin-Zolotarev bases and successive minima
令$λ_k$表示格$L$的第$k$个连续最小值。研究了$L$的某些基的长度的性质.如果$v_1, \dots v_n$是一个在Minkowski意义下约化的基，我们证明了$\lvert v_k \rvert^2 \leq \frac{k}{4} λ_{k}^2$对$k = 6, 7$，证实了Schürmann的一个猜想，并首次改进了Van der Waerden的一个经典界.我们构造了一个序列的格，其中$\lvert v_n \rvert$是显着长于最长的向量在一个Korkin-Zolotarev减少的基础上，回答了Schürmann的问题。在与Lior Hadassi的附录中，我们构造了一个格$L$，它具有令人惊讶的性质，即任何包含$L$的最短向量的基都不是最短基。
Notes on lattice points of zonotopes and lattice-face polytopes
闵可夫斯基关于连续极小值的第二定理给出了凸体在其连续极小值方面的体积的上界。研究了用凸体的格点计数器代替体积来推广Minkowski界的问题。在这种情况下，我们感兴趣的是通过连续的最小值的格多面体的Ehrhart多项式的系数的界限。我们的结果晶格zonotopes和格面多面体意味着，特别是，0-对称格面多面体和晶格平行六面体的体积可以取代的格点计数器。
New bounds in the discrete analogue of Minkowski's second theorem
本文通过改编Tao和Vu的论证，给出原点对称凸体所含格点数的改进上界，从而改进并在渐近意义下验证了Betke-Henk-Wills猜想，同时将结果推广到非对称情形。
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