The Smith normal form of a specialized Giambelli-type matrix
在Schur函数行列式公式的研究中，Hamel和Goulden引入了一类关于划分图外分解的Giambelli型矩阵，它统一了Jacobi-Trudi矩阵、Giambelli矩阵和Lascoux-Pragacz矩阵。斯坦利确定了一个专门的雅可比-特鲁迪矩阵的史密斯标准形。受Stanley工作的启发，我们得到了一个特殊Giambelli矩阵和一个特殊Lascoux-Pragacz矩阵的Smith标准形。此外，我们表明，对于一个给定的分区，任何专门的Giambelli型矩阵的史密斯标准形可以从相应的专门化的经典Giambelli矩阵的一系列的稳定化操作。
2017-03-05 math.CO
Orthogonal polynomials and Smith normal form
由Bessenrodt和Stanley发现的q-Catalan数的Hankel矩阵的Smith正规形估计用两种方法证明。一个参数概括了Bessenrodt-Stanley结果的史密斯规范形式的一个特定的多元矩阵，完善了一个研究Berlekamp，Carlitz，Roselle，和Scoville。第二个参数，它使用正交多项式，推广到其他一些汉克尔矩阵，Toeplitz矩阵和格拉姆矩阵。给出了q-Catalan数、q-Motzkin数、q-Schröder数、q-Stirling数、q-匹配数、q-因子数、q-双因子数的新结果，以及具有八个统计量的置换的生成函数.
2017-04-11 math.CO
On Smith normal forms of $q$-Varchenko matrices
本文研究了二维和三维对称超平面排列的$q$矩阵，证明了它们在$\mathbb Z[q]$上有Smith标准形.特别地，我们研究了平面上的正$n$ -边形和空间上的二面体模型以及柏拉图多面体的超平面排列。在每种情况下，我们证明了与超平面排列相关联的$q$矩阵在$\mathbb Z[q]$上具有Smith标准形，并实现了它们在$\mathbb Z[q]$上的全等变换矩阵.
2022-07-30 math.CO
Distinguishing graphs by their spectra, Smith normal forms and complements
本文研究利用谱和Smith标准形区分图，给出广义余谱图的新刻画，证明Smith标准形可唯一确定星图，并枚举了10个顶点以内图的相关数量结果。
2023-04-14 math.CO
Smith Normal Form of a Multivariate Matrix Associated with Partitions
审议E. R. Berlekamp领导Carlitz，Roselle和Scoville给出了行列式~1的某些矩阵的元素在格路方面的组合解释。在这里，我们推广了这一结果，通过细化的矩阵元素是多元多项式，并确定不仅是行列式，而且史密斯标准形的这些矩阵。先验的史密斯形式不需要存在，但它的存在遵循显式计算。用分划而不是格路来表述我们的结果会更方便。
2014-04-18 math.CO
The smith normal form of the walk matrix of the Dynkin graph $A_n$
研究 Dynkin 图 $A_n$ 游走矩阵的代数性质，确定其秩并证明 Smith 标准型中恰有 $\lceil n/2\rceil$ 个不变因子为 1。
2024-06-12 math.CO
Smith Normal Form and Acyclic Matrics
本文介绍了一种基于Smith规范形的方法，研究了具有给定图的对称矩阵的谱。该方法很好地解释了路径覆盖数（分别为）树的直径T）与其图为T的对称矩阵的特征值出现的最大重数有关（分别图为T的对称矩阵上不同特征值的最小数目q（T）。该方法也适用于更一般的一类连通图G，不一定是树，以建立一个下界的q（G）。
2005-08-15 math.CO
The Smith normal form of Laplacian matrices of simplicial annuli and high dimensional trees
Banco de México（墨西哥银行）；Facultad de Ciencias Universidad Nacional Autónoma de México（墨西哥国立自治大学理学院）；Cinvestav（墨西哥国立理工学院先进研究中心）；Facultad de Economía, Universidad Autónoma de San Luis Potosí（圣路易斯波托西自治大学经济学院）；Worcester Polytechnic Institute（伍斯特理工学院）
研究单纯复形拉普拉斯矩阵的史密斯标准型，通过建立邻接图沙堆群与该标准型的关系，计算单纯环面和\(k -\)树的相关标准型，经数值实验可视化其区分\(k -\)树的效果，并指出相关矩阵在拉普拉斯矩阵中的应用。
2026-07-28 math.CO
The Smith Normal Form of a Specialized Jacobi-Trudi Matrix
令$\mathrm{JT}_λ$是对应于分区$λ$的雅可比-特鲁迪矩阵，因此$\det\mathrm{JT}_λ$是变量$x_1,x_2,\dots$中的舒尔函数$s_λ$。设置$x_1=\cdots=x_n=1$和所有其他$x_i=0$。然后，$\mathrm{JT}_λ$的条目变成形式为${n+j-1\choose j}$的$n$中的多项式。我们确定了环$\mathbb{Q}[n]$上的史密斯规范形的特殊化$\mathrm{JT}_λ$。证明继续到$1\leq i\leq n$的$x_i=q^{i-1}$和$i>n$的$x_i=0$的专门化，在那里我们设置$q^n=y$并在环$\mathbb{Q}(q)[y]$上工作。
2015-08-26 math.CO
The Smith Normal Form Distribution of a Random Integer Matrix
证明了随机整数矩阵的Smith标准形（SNF）的密度$μ$的存在性，它等于$\mathbb{Z}/p^s\mathbb{Z}$上SNF的密度$μ_{p^s}$的乘积，其中$p$是素数，$s$是某个正整数.我们的方法是将矩阵的SNF与矩阵元素的某些多项式的最大公因数（gcd）联系起来，并发展了多项式值在随机整数向量上的多重gcd分布理论。我们还推导出一个公式为$μ_{p^s}$和计算密度$μ$几个有趣的类型的集。最后，我们确定了$μ_{p^s}$的最大值和最小值，并建立了它的单调性和极限行为。
2015-09-08 math.CO
Smith Normal Forms of Graphical Hermite Simplices
University of Kentucky（肯塔基大学）
引入图形埃尔米特单纯形族，研究其顶点向量矩阵的史密斯标准型，等价于研究这些矩阵的余核群结构，动机是研究顶点受小扰动后格单纯形的行为。
2026-06-24 math.CO
Jordan and Smith forms of Pascal-related matrices
给出了矩阵恒等式，分别给出了Pascal矩阵P_n =（i-1 choose j-1）_{1 <= i，j <= n}模一个素数的若尔当典范形，（i choose j）_{1 <= i，j <= n}的特征向量，以及P_n-I_n的幂的Smith标准形.
2002-09-25 math.CO
Smith Normal Form and the Generalized Spectral Characterization of Graphs
图的谱刻画是谱图论中的一个重要课题，近年来受到了研究者的广泛关注。一般来说，很难用一个给定的图来表示它的谱。最近，Wang [10]给出了图由广义谱决定的一个简单的算术条件.设$G$是一个图，其邻接矩阵$A$在$n$的顶点上，$W=[e,Ae,\ldots,A^{n-1}e]$（$e$是全一向量）是$G$的行走矩阵. Wang [10]的一个定理指出，如果$2^{-\lfloor n/2\rfloor}\det W$（它总是一个整数）是奇数且无平方，则$G$由广义谱确定。在本文中，我们找到了一个新的和短的路线，导致上述定理的一个更强的版本。利用$G$的行走矩阵的Smith标准形，得到了该结果。所提出的方法提供了一个新的见解，在处理问题的广义谱特征的图。
2021-08-02 math.CO
Smith normal forms for coalescences at cospectral vertices
Anhui University（安徽大学）；Xi’an Jiaotong University（西安交通大学）
本文证明：若图H的两个顶点u和v关于L_μ(H)共谱，则对任意带根图R，将R的根分别与u、v并合所得图的广义μ-邻接矩阵的Smith标准型相同，推广了Fan等人的猜想。
2026-06-07 math.CO
The Smith normal form of the walk matrix of the Dynkin graph $D_n$ for $n\equiv 0\pmod{4}$
本文针对 $n\equiv 0\pmod{4}$ 的 Dynkin 图 $D_n$，确定其游走矩阵 $W(D_n)$ 的 Smith 标准型，并据此肯定回答已有文献提出的问题。
2022-12-11 math.CO
Enumeration of cospectral and coinvariant graphs
我们目前的计数结果的数量连通图多达10个顶点，其中至少有一个其他的图具有相同的频谱（一个cospectral队友），或至少有一个其他的图具有相同的史密斯标准形（coinvariant队友）相对于几个矩阵相关联的一个图。目前的数据给出了一些迹象表明，可能的史密斯正规形式的距离拉普拉斯和无符号距离拉普拉斯矩阵可能是一个更精细的不变量，以区分图形的情况下，其他代数不变式，如那些来自频谱，失败。最后，我们展示了一个新的图形特征使用的Smith标准形的无符号距离拉普拉斯矩阵。
2020-08-13 math.CO
The Smith normal form of the Q-walk matrix of the Dynkin graph $A_n$
School of Mathematics and Statistics, Beijing Jiaotong University（北京交通大学数学与统计学院）
本文研究了Dynkin图$A_n$的Q-walk矩阵的Smith正则形，给出了其显式表达式及秩的计算方法。
2026-03-07 math.CO math.RA
The Smith and critical groups of Paley graphs
每个素数幂$q$都有一个Paley图，使得$q\equiv 1\pmod 4$ .顶点集是域$\mathbb Fq$，当且仅当$x-y$是$\mathbb Fq$的非零平方时，两个顶点$x$和$y$由边连接。计算了Paley图的邻接矩阵和Laplacian矩阵的Smith标准形。
2014-09-30 math.CO
Eigenvalues, Smith normal form and determinantal ideals
图的行列式理想推广了与图相关的整数矩阵的谱和Smith标准形（SNF）等。在这项工作中，我们调查的关系，频谱和SNF与行列式理想。我们表明，一个特征值除了$k$ -th不变因子的SNF，如果该特征值属于各种的$k$ -th单变量整数行列式理想的矩阵。这一结果作为一个推论Rushanan定理。我们还研究了具有相同的行列式理想，最多一个不确定的图;所谓的余行列式图，它推广了余谱和余不变图的概念。本文建立了$\mathbb{R}[x]$上图是余决定图的一个充要条件，并给出了顶点数不超过9的余决定图的一些计算结果.最后，我们证明了完全图和星图是由其距离拉普拉斯矩阵的SNF决定的。
2019-10-28 math.AC math.CO
The critical groups of the Peisert graphs $P^*(q)$
有限图的临界群是由Laplacian的Smith标准形定义的阿贝尔群。我们确定了一类强正则图--Peisert图的临界群，这类图与Paley图相似但又不同.进一步证明了对于每个素数$\ell$，定义在具有$p\equiv 3\pmod 4$的$p^2$阶域上的两个图的邻接矩阵在$\ell$ -局部整数上是相似的.因此，每一对这样的图提供了一个例子，其中所有相应的广义邻接矩阵都是共谱的，并且在史密斯范式的意义上是等价的。
2016-06-02 math.CO
Properties of some character tables related to the symmetric groups
我们从对称群S_n及其双覆盖的特征标表中确定了某些整矩阵的Smith标准形和行列式等不变量。特别地，我们基于Hall-Littlewood对称函数理论，给出了S_n关于r>1的正则特征标表的行列式的一个简单计算。这一结果早先已由奥尔森以更长和更间接的方式加以证明。由此得到了关于Iwahori-Hecke代数的Cartan矩阵的行列式的Mathas猜想的一个新证明。当r是素数时，我们确定正则字符表的史密斯范式。取大r，得到S_n的全特征标表的Smith标准形.类似的结果，然后给出自旋字符。
2004-03-05 math.CO math.RT
The Smith normal form of distance matrices of high dimensional trees
该研究将普通树距离矩阵的Smith标准形结论推广到高维k-树，证明固定k和n时任意n顶点k-树的k-距离矩阵SNF一致，给出具体形式并拓展了已有经典结果。
2025-10-06 math.CO
Integer invariants of an incidence matrix related to Rota's basis conjecture
我们计算不相交断面的关联矩阵的谱和Smith规范形，这是一个与Rota基猜想的n维情况密切相关的组合对象。
2013-05-01 math.CO
Kasteleyn cokernels
我们认为Kasteleyn和Kasteleyn-Percus矩阵，这是在列举匹配的可平面图，矩阵运算的行和列。如果这样的矩阵定义在主理想整环上，这等价于考虑它的Smith标准形或它的上核。枚举方法的许多变化导致等价矩阵。特别地，Gessel-Viennot矩阵等价于Kasteleyn-Percus矩阵。我们将这些想法应用到平面划分和相关的平铺平面。我们列出了一些apturtures，支持实验在枫树，有关形式的矩阵相关联的枚举的平面分区和其他菱形平铺的平面区域及其对称类。我们专注于枚举轮或$q$轮的情况下，我们推测，cokernels保持轮或$q$轮相关的"不可能的枚举“，其中没有平铺。我们的结果为平面分拆的对称类的计数及其推广提供了一个新的视角。特别地，我们猜想，一个$q$ -特殊化的Jacobi-Trudi矩阵有一个史密斯标准形。如果是这样的话，它可能是一个有趣的结构，与$\SL(n,\C)$的相应不可约表示相关联。最后，我们发现，与证明，正规形式的矩阵，出现在列举多米诺骨牌平铺的阿兹特克钻石。
2002-06-25 math.CO
Trivariate monomial complete intersections and plane partitions
我们考虑R = k [x，y，z]/（x ^A，y ^B，z ^C）上映射的齐次分量U_r乘以x + y + z。本文利用Schur多项式证明了任意Toeplitz矩阵的子矩阵的Smith规范形之间的关系，并利用这一关系给出了U_r的Smith规范形元素之间的关系。我们还给出了李志和F. Zanello将（A，B，C）=（a + b，a + c，b + c）时中齐次分支U_r的行列式与a × b × c盒中的平面划分数相等.最后，我们证明了，对于某些向量子空间的R，类似的身份举行有关决定因素的对称类的平面分区，特别是类3，6，和8。
2011-06-16 math.AC math.CO
A remark about 6j symbols and young semi-normal form
我们计算了$GL(\infty)$的多项式表示范畴中的一些6j个符号。
2016-10-17 math.CO math.QA math.RT
On graphs with 2 trivial distance ideals
距离理想推广了图的距离矩阵的Smith标准形。具有2个平凡距离理想的图族包含距离矩阵至多有2个不变因子等于1的图族。本文给出了具有2个平凡距离理想的图的禁止诱导子图的无限族。这些也与其他众所周知的图形类有关。
2018-07-24 math.AC math.CO
The invariant factors of the incidence matrices of points and subspaces in PG(n,q) and AG(n,q)
对所有n，r和任意素幂q，我们确定了PG（n，q）的点与射影（r-1）维子空间的关联矩阵和AG（n，q）的点与r维仿射子空间的关联矩阵的Smith正规形.
2003-12-30 math.CO math.RT
Stanley character polynomials
斯坦利认为适当正规化字符的对称群的杨氏图具有特殊的几何形式，即多矩形杨氏图。他证明，字符是一个多项式的长度的双方的矩形形成的杨图和他extretured一个明确的形式，这一多项式。这斯坦利字符多项式和这种方式的参数化的一组杨图原来是一个强大的工具，几个问题的对偶组合的字符的对称群和渐近表示论，特别是Kerov多项式。
2014-09-26 math.CO
Lattices in $\mathbb F_q[[T]]^d$ and spiral shifting operators
我们调查的代数和组合学的一个类似的厄米规范形式，分类有限指数子模块的$\mathbb F_q[[T]]^d$。我们将这两种规范形式都看作是不同单项式阶下的Gröbner基理论的实例，其中Hermite规范形式对应于lex阶，而新的规范形式对应于hlex阶。我们注意到，hlex规范形式恢复了Smith规范形式，这是Hermite规范形式所不具有的特征。我们还确定了组合结构的胞腔剖分诱导的hlex正常形式，这似乎是独立的利益。值得注意的是，在某种程度上，跟踪单元尺寸的统计数据与$\mathbb N^d$上的$d$ "螺旋移位运算符“的集合是兼容的，$d$”螺旋移位运算符“的集合成对交换并且集体地自由和传递地起作用。利用这些算子，我们给出了一些新的组合恒等式的直接证明，这些恒等式是将Solomon和Petrogradsky的结果转化为hlex标准形而得到的。
2025-08-09 math.AG math.CO
On the walk matrix of the Dynkin graph $D_n$
令$W(D_n)$表示Dynkin图$D_n$的行走矩阵，Dynkin图是通过在第二个顶点处添加悬垂边而从$n-1$阶的路获得的树。我们证明了$\text{rank}\,W(D_n)=n-2$如果$4\mid n$和$\text{rank}\,W(D_n)=n-1$否则。进一步证明了当$4\nmid n$时，$W(D_n)$的Smith规范型是$$\text{diag}[\underbrace{1,1,\ldots,1}_{\lceil\frac{n}{2}\rceil},\underbrace{2,2,\ldots,2}_{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor-1},0]$$.这证实了[W.Wang，F.Liu，W.Wang，几乎可控图的广义谱特征，欧洲J.Combin.，96（2021）：103348]。
2022-02-27 math.CO
Tropical decomposition of Young's partition lattice
杨氏分划格$L(m,n)$由具有$m$部分的无序分拆组成，其中每个部分至多是$n$。利用复代数几何的方法，R。Stanley证明了$L(m,n)$是秩对称的、单峰的和强Sperner的。此外，他还指出，$L(m,n)$有一个更强的性质，称为对称链分解。尽管做了很多努力，这个猜想只在$\min(m,n)\leq 4$中得到了证明。本文将$L(m,n)$分解为由射影空间中有理正态曲线的割线簇导出的热带多项式的水平集，并发现所得到的子集具有初等的升降算法.作为推论，我们得到了一个对称链分解的子集$L(m,n)$组成的“充分通用”的分区。
2012-12-19 math.AC math.CO math.RT
