Schauder theory in variable Hölder spaces
Piotr Michał Bies, Przemysław Górka
在变Hölder空间中研究了欧几里得空间有界区域上的椭圆型方程.内部先验Schauder估计以及全球的。证明了Dirichlet边值问题解的存在唯一性.
We study elliptic equations on bounded domain of Euclidean spaces in the variable Hölder spaces. Interior a priori Schauder estimates are given as well as global ones. Moreover, the existence and the uniqueness of solutions to the Dirichlet boundary value problem is proved.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Sharp Schauder Estimates for some Degenerate Kolmogorov Equations
当系数位于适当的各向异性H{<$}lder空间中且一阶项为非线性无界项时，本文给出了退化Kolmogorov型偏微分方程的精确Schauder估计.我们继续通过微扰方法的基础上向前参数展开。由于退化变量的低正则化性质，为了使程序工作，我们大量利用适当的Besov空间之间的对偶结果。我们的方法可以被看作是建设性的，并提供，即使在非退化的情况下，Schauder估计的另一种方法。
On Fourier multipliers in function spaces with partial Hölder condition and their application to the linearized Cahn-Hilliard equation with dynamic boundary conditions
我们给出了傅立叶乘法器的一个比较简单的充分条件，使得它将关于部分变量具有H $\ddot{o}$ lder性质的函数映射为关于所有变量具有H $o$ lder性质的函数.利用这些充分条件，我们证明了线性化Cahn-Hilliard方程两类动力边界条件的初边值问题在H $\ddot{o}$ lder类中的可解性.对于这些问题的解，得到了Schauder估计.本文的最终扩展版本可在AIMS期刊，发展方程和控制理论（EECT）上获得，网址为http://www.aimsciences.org/journals/displayArticlesnew.jsp? paperID=11870
Schauder estimates for degenerate stable Kolmogorov equations
本文给出了一类由退化稳定Ornstein-Uhlenbeck算子驱动的积分-偏微分方程（IPDE）的全局Schauder型估计，当系数位于适当的各向异性H{}lder空间中时.我们的方法主要依赖于基于前向参数展开的微扰方法，并且由于退化变量的低正则化性质和与稳定性指标相关的一些可积性约束，它还利用了适当的Besov空间之间的对偶结果。特别是，我们的方法也适用于一些超临界情况。由于这些估计，我们显示另外的适定性考虑IPDE在一个合适的功能空间。
Global Schauder estimates for kinetic Kolmogorov-Fokker-Planck equations
本文给出了动力学Kolmogorov-Fokker-Planck（KFP）方程在动力学Hölder空间中所有变量的全局Schauder型估计和唯一的可解性结果。首项系数在$x, v$变量中是Hölder连续的，并且仅在时间变量中是可测量的。我们的证明的灵感来自Campanato的方法Schauder估计，并不依赖于KFP算子的基本解的估计。
The Schauder estimates for higher-order parabolic systems with time irregular coefficients
我们证明了在全空间和半空间中，发散型和非发散型高阶抛物方程组解的Schauder估计。我们还提供了一个存在性结果的发散型系统在一个圆柱形区域。所有的系数都被假设为仅在时间变量中是可测量的，在空间变量中是Hölder连续的。
Partial Schauder estimates for second-order elliptic and parabolic equations: a revisit
在各种条件下，我们建立了包含Hölder半范数的二阶椭圆型和抛物型方程的发散和非散度型的Schauder估计，该估计不是关于所有的，而是关于某些自变量.我们的结果的一个新颖之处是，系数被允许仅仅是可测量的其他自变量。
On Schauder estimates for a class of nonlocal fully nonlinear parabolic equations
得到了一类具有粗糙核和非对称核的$σ\in (0,2)$阶凹全非线性非局部抛物型方程的Schauder估计.作为应用，我们证明了仅具有有界数据的平移不变方程的解在$x$变量下是$C^σ$，在$t$变量下是$Λ^1$，其中$Λ^1$是Zygmund空间.
Generalized Evans--Krylov and Schauder type estimates for nonlocal fully nonlinear equations with rough kernels of variable orders
该研究针对带变阶粗糙核的非局部完全非线性椭圆方程，引入描述可变可微阶数的函数与广义Hölder空间，建立了推广标准结果的广义Evans--Krylov型与Schauder型$C^{\phi\psi}$估计。
Schauder estimates for solutions of linear parabolic integro-differential equations
证明了线性抛物型积分微分方程解的空间变量的最优逐点Schauder估计。最佳的Hölder估计在时空中的空间衍生物也得到了。
Partial Schauder estimates for second-order elliptic and parabolic equations
我们建立了包含Hölder半范数的二阶椭圆型和抛物型方程的发散和非散度型的Schauder估计，该估计不是关于全部，而是仅关于某些自变量.
Dini and Schauder estimates for nonlocal fully nonlinear parabolic equations with drifts
我们得到了具有粗糙核和非对称核及漂移项的$σ\in (0,2)$阶凹全非线性非局部抛物型方程的Dini和Schauder型估计.我们还研究了时间变量中只有可测系数的线性方程，得到了空间变量中的Dini型估计.这是第一个和最后一个作者的工作[10，11]的延续。
The Schauder estimate in kinetic theory with application to a toy nonlinear model
本文讨论了具有Hölder连续系数的线性动力学Fokker-Planck方程的Schauder估计。该方程具有亚椭圆结构。作为Schauder估计的应用，我们证明了动力学理论中一个玩具非线性模型的整体适定性.该非线性模型包括非线性动力学Fokker-Planck方程，其定态为Maxwell方程，其速度变量的扩散与溶液的质量成比例。
Regularity theory for the dissipative solutions of the MHD equations
本文研究了Caffarelli，Kohn和Nirenberg关于MHD方程弱解的部分正则性理论的一个新的推广。事实上，在这个框架中，通常会对压力P提出一些假设（例如P $\in$ L q t L 1 x，q > 1），然后在小邻域内获得弱解在时间和空间变量中的局部H{<$}lder正则性。通过引入耗散解的概念，我们弱化了关于压力的假设（我们只假设P $\in$ D），得到了弱解在空间变量上的H{<$}lder正则性.
Kinetic Schauder estimates with time-irregular coefficients and uniqueness for the Landau equation
我们证明了动力学Fokker-Planck方程的Schauder估计，它只需要在空间和速度上的Hölder正则性，而不需要在时间上。作为应用，我们从$x$中具有Hölder正则性且$v$中只有对数连续模的初值出发，得到了空间非齐次Landau方程经典解的弱-强唯一性结果.这取代了先前的结果，要求两个变量都具有霍德尔连续性。
Poisson stochastic process and basic Schauder and Sobolev estimates in the theory of parabolic equations
除其他事项外，我们如何知道Schauder或Sobolev空间估计的一维热方程允许一个导出其多维类似物的方程系数仅取决于时间变量与{ \em相同的\/}常数的情况下的一维热方程。该方法是基于使用泊松随机过程。看起来没有其他方法可以在这个时候，这是一个非常具有挑战性的问题，找到一个纯粹的分析方法来证明这些结果。
The Schauder estimate for kinetic integral equations
建立了具有积分-微分扩散的动力学方程的内部Schauder估计。我们研究方程的形式$f_t + v \cdot \nabla_x f = \mathcal L_v f + c$，其中$\mathcal L_v$是一个积分微分扩散算子的顺序$2s$作用在$v$ -变量。在适当的椭圆性和$\mathcal L_v$核的Hölder连续性条件下，我们得到了$f$在适当尺度的Hölder空间中的先验估计.
Spatial $C^1$, $C^2$, and Schauder estimates for nonstationary Stokes equations with Dini mean oscillation coefficients
本文研究了非稳 Stokes 方程在不同形式下，利用 Dini 平均振荡系数的弱解和强解的空间可导性及 Schauder 估计。
Schauder and Cordes-Nirenberg estimates for nonlocal elliptic equations with singular kernels
该研究针对带奇异核的变系数非局部椭圆方程，证明了散度与非散度形式下的一般性Schauder型估计，还建立了系数小振荡条件下无$x$正则性假设的椭圆方程Hölder估计，首次涵盖一类新型算子。
Conormal problem of higher-order parabolic systems
本文在半空间和柱域上，对具有余法向导数边界条件的高阶散度型抛物方程组的$L_p$和Schauder估计进行了全面的研究.对于$L_p$估计，我们假设首项系数仅在$t$变量和关于$x$的$VMO$中有界可测。我们还证明了Schauder估计在两种情况下：系数是Hölder连续的只有在$x$变量，系数是Hölder连续的两个变量。
Singular quasilinear convective systems involving variable exponents
研究了一类具有变指数奇异项和对流项的拟线性椭圆型方程组解的存在性。我们的方法结合了上下解方法和Schauder的不动点定理。
Multiple solutions for quasilinear elliptic systems involving variable exponents
研究了一类含$p(x)$ -Laplacian算子的非变分椭圆型方程组多解的存在性.该方法结合了Leray-Schauder拓扑度和上下解方法。
Schauder estimates for Poisson equations associated with non-local Feller generators
我们展示了如何Hölder估计Feller半群可以用来获得正则性结果的解决方案的泊松方程$Af=g$与（扩展）无穷小生成元$A$的Feller过程。利用变阶Hölder-Zygmund空间描述了$f$的正则性，并建立了Schauder估计.由于Feller半群的Hölder估计在过去几年中得到了深入的研究，我们的结果适用于广泛的Feller过程，例如Lévy过程的随机时变和Lévy驱动的随机微分方程的解。最突出的是，我们建立Schauder估计的泊松方程与分数拉普拉斯变量的顺序。作为一个副产品，我们得到了新的正则性估计半群与稳定的过程。
Elliptic and parabolic second-order PDEs with growing coefficients
考虑$\bR^{d+1}$中的一个二阶抛物型方程，其低阶系数可能是无界的.所有的系数被假定为仅在时间变量中可测量，在空间变量中局部Hölder连续。我们表明，全球Schauder估计举行，即使在这种情况下。证明引入了一个新的本地化过程。我们的结果表明，经典Schauder估计中的常数实际上与低阶系数的$L_{\infty}$ -范数无关.我们还给出了证明的唯一性，这是独立的利益，即使在有界系数的情况下。
Existence and a priori estimates of solutions for quasilinear singular elliptic systems with variable exponents
本文给出了一类变指数奇异拟线性椭圆型方程组正解的存在性、先验估计和有界性的结果。该方法是基于Schauder的不动点定理。对于具有变指数的广义合作系统，给出了一个Moser迭代过程，建立了解的先验估计和有界性.
Schauder-type Estimates and Well-posedness for Nonlocal Quasilinear Evolution Equations in Fluid Dynamics
本文通过Schauder型估计研究非局部拟线性演化方程的适定性，提出核适应冻结系数法，建立临界空间中的适定性框架，应用于Muskat方程和Peskin问题。
Schauder estimates for parabolic $p$-Laplace systems
本文针对系数关于空间变量 Hölder 连续的抛物型 $p$-Laplace 方程组，建立了有界弱解空间梯度的局部 Hölder 正则性，并将其应用于超临界快速扩散区域中双重非线性抛物型方程的梯度估计。
A Topological Approach to Singular Double-Phase Equations with Variable Exponents
本文通过拓扑方法研究奇异双相可变指数Dirichlet问题，利用Leray-Schauder度和同伦映射证明至少存在一个非平凡解。
Dirichlet-to-Neumann and elliptic operators on C 1+$κ$ -domains: Poisson and Gaussian bounds
证明了变H{<$}lder系数Dirichlet-to-Neumann算子的热核的Poisson上界，当区域有界且有C1 + $κ$ -边界时，$κ$ > 0.我们还证明了一些其他的结果，如梯度估计的热核和格林函数G的椭圆算子可能复值系数。我们建立了$\nabla$ x $\nabla$ y G到边界的H{<$}lder连续性.这些结果被用来证明Dirichlet-to-Neumann算子的算子在C1 + $κ$ -域边界上的Lp-估计.这样的估计是我们的方法的泊松界限的基石。
Optimal Schauder estimates for kinetic Kolmogorov equations with time measurable coefficients
针对系数仅在时间可测、空间 Hölder 连续的动理学 Kolmogorov 方程，利用基本解及正则性估计，在抛物 Hörmander 条件下引入内在几何 Hölder 范数，建立最优全局 Schauder 估计，为随机 Langevin 等动理学扩散的倒向方程提供关键工具。
A crypto-regularity result for the micropolar fluids equations
在偏微分方程的分析中，正则性通常用Sobolev、H{<$}lder、Besov或Lipschitz空间等来度量，然而，有时正则性的增益也可以用勒贝格空间来表示，通过从奇异设置传递到较不奇异的设置。在本文中，我们将获得微极流体方程的弱解的可积性的一般框架Morrey空间，这是一个非常有用的语言来研究的正则性偏微分方程。有趣的是，微极流体方程的两个变量可以分开研究。
Boundary regularity estimates in Hölder spaces with variable exponent
给出了变指数Hölder空间中散度型二阶椭圆型方程解及其导数的局部正则性估计的一般Blow-up方法.该程序允许扩展的估计到边界的一部分，其中Dirichlet或Neumann边界条件是规定的，并产生Schauder理论的偏导数的解决方案的任何顺序$k\in\mathbb{N}$。该策略依赖于一类合适的正则化问题和近似参数的建设。在变指数的Hölder空间和Lebesgue空间中，我们分别得到了关于变系数、边界、边界数据和右端的正则性或可积性条件的精确估计
C^\infty smoothing for weak solutions of the inhomogeneous Landau equation
我们考虑空间非齐次Landau方程的初始数据是有界的高斯在速度变量。在中等软势的情况下，我们表明，弱解立即变得光滑，并保持光滑，只要质量，能量和熵密度保持控制。对于非常软的潜力，我们得到了同样的结论，与额外的假设，足够高的时刻的解决方案的速度变量保持有界。我们的证明依赖于局部Schauder型估计的迭代。
On a PDE involving the ${\cal A}_{p(\cdot)}$-Laplace operator
本文建立了一类具有变指数增长条件的微分算子的偏微分方程解的存在性。该算子表示$p(\cdot)$ -拉普拉斯算子的推广，即$Δ_{p(\cdot)}u={\rm div}(|\nabla u|^{p(\cdot)-2}\nabla u)$，其中$p(\cdot)$是连续函数。主要结果的证明是基于Schauder的不动点定理结合适当的变分论点。这里使用的函数空间设置对变指数勒贝格空间和索伯列夫空间有吸引力。
A Schauder approach to degenerate-parabolic partial differential equations with unbounded coefficients
受概率论和金融数学应用的启发，我们考虑了半空间上的抛物型偏微分方程，其系数是适当的Holder连续的，允许在空间变量上线性增长，并且沿着半空间的边界退化.我们建立了加权Holder空间中的解的存在性和唯一性，其中包含边界处的退化性和系数的无界性。在我们的同伴文章[arXiv：1211.4636]中，我们应用这篇文章的主要结果来证明与退化椭圆型偏微分算子相关的鞅问题在Stroock和Varadhan意义下是适定性的。
Weighted $W^{1,p}$- estimates for weak solutions of degenerate elliptic equations with coefficients degenerate in one variable
研究了一类散度型退化椭圆型方程弱解的Sobolev正则性，其中$X = (x,y) \in \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}$为$\text{div}[\mathbf{A}(X) \nabla u] = \text{div}[\mathbf{F}(X)]$.系数矩阵$\mathbf{A}(X)$是对称的、可测量的$(n+1) \times (n+1)$矩阵，并且它可以在一维$y$ -变量中退化或奇异，作为权重的Muckenhoupt类$A_2$中的权重函数。我们的结果给出了这类奇异退化方程的弱解的Calderón-Zygmund型加权Sobolev正则性估计.作为这些估计的应用，我们建立了具有可测系数的谱分数阶椭圆型方程解的整体Sobolev正则性估计。这个结果可以看作是最近建立的分数阶椭圆型方程的Schauder正则性理论的Sobolev对应。
Travelling waves for the cane toads equation with bounded traits
在本文中，我们研究了在一个非局部反应扩散突变模型描述甘蔗蟾蜍在澳大利亚的入侵传播。蟾蜍种群由空间变量和表型特征构成，空间扩散率取决于表型特征。我们使用Schauder拓扑度参数的模型的一些行波解的建设。通过求解特征变量的适当的谱问题，得到了波的速度$c^*$。由这个本征值问题产生的本征向量给出了在前边缘处的轮廓的特征。主要的困难是获得统一的$L^\infty$边界，尽管非本地条款和异质扩散的组合。
The $C^{1,α}$ boundary Harnack principle in a slit domain and its application to the Signorini problem
本文研究了具有变系数的Signorini问题自由边界$C^{2,α}$正则性，利用裂隙域中的$C^{1,α}$边界Harnack不等式，通过非标准退化椭圆方程的研究获得$C^{1,α}$Schauder估计。
Schauder's estimate for nonlocal kinetic equations and its applications
本文基于Littlewood-Paley分解和积分形式的热核估计，建立了$\mathbb R^{2d}$中具有Hölder系数的退化非局部方程的Schauder估计：$$ \partial_tu=\mathscr L^{(α)}_{κ;{\rm v}} u+b\cdot\nabla u+f,\ u_0=0, $$其中$u=u(t,x,{\rm v})$和$\mathscr L^{(α)}_{κ;{\rm v}}$是具有$α\in(1,2)$和作用于变量${\rm v}$的核函数$κ$的非局部$α$ -稳定类算子.作为应用，我们证明了具有Hölder漂移$b$的退化随机微分方程的强适定性：$$ {\rm d}Z_t=b(t,Z_t){\rm d}t+(0,σ(t,Z_t){\rm d}L^{(α)}_t),\ \ Z_0=(x,{\rm v})\in\mathbb R^{2d}, $$其中$L^{(α)}_t$是一个具有$α\in(1,2)$的$d$维旋转不变对称$α$ -稳定过程，$b:\mathbb R_+\times\mathbb R^{2d}\to\mathbb R^{2d}$是$(x,{\rm v})$中的$(γ,β)$-Hölder连续函数，$γ\in\big(\frac{2+α}{2(1+α)},1\big)$和$β\in\big(1-\fracα{2},1\big)$…
Gradient Regularity for Fully Nonlinear Equations with Variable Degeneracy and Hamiltonian Lower-Order Terms
研究具有可变梯度退化和Hamilton型低阶项的全非线性椭圆方程的粘性解，通过紧致性估计和扁平化改进迭代，证明了内梯度Hölder估计、源项和Hamilton系数消失点的逐点改进以及极值点的Schauder型估计。
Interpolated time-Hölder regularity of solutions of fully nonlinear parabolic equations
本文通过最大原理，为特定类型的完全非线性抛物Isaacs方程建立了内部Schauder估计，并证明了模型方程的Evans-Krylov结果，同时为具有平稳非齐次方程正则性理论的完全非线性均匀抛物方程证明了Evans-Krylov定理。
A priori regularity estimates for equations degenerating on nodal sets
本文研究了退化椭圆方程在节点集上的正则性估计，通过Schauder估计和放大论证，证明了更高阶边界Harnack原理。
Higher Hölder regularity for degenerate fully nonlinear elliptic equations with Hamiltonian terms
针对带变指数双相退化律和哈密顿项的完全非线性椭圆方程，在哈密顿系数和源项消失的点处获得梯度Hölder正则性改进，并在局部极值处建立关于消失率的Sharp Schauder型估计。
On the Skewed Fractional Diffusion Advection Reaction Equation on the Interval
给出了提高分数阶方程正则性的技巧，解决了有界区间上变系数偏（双侧）分数阶扩散对流反应方程（FDARE）的一维齐次边值问题的基本问题.真正的（经典）解决方案的存在性与范数估计一起建立和精确的正则性界被发现;此外，解决方案的结构被解开，捕捉的本质的规律性，奇异性，和其他功能的解决方案。分析的关键在于探讨Gauss超几何函数的性质，求解耦合Abel积分方程和主奇异积分方程，并将分数阶索伯列夫空间中的函数与端点可积奇异的H $\ddot{\text{o}}$空间中的函数联系起来.
Forward and inverse problems for a time-fractional pseudo-parabolic equation with variable coefficients
本文研究了时间分数伪抛物型方程的正反问题，针对时间依赖系数σ(t)进行推广，采用傅里叶方法证明解的存在唯一性，并提出数值算法。逆问题通过过定条件确定时间依赖源函数，证明了解的存在性和唯一性。
C^(sigma+alpha) regularity for fractional Hamilton-Jacobi equations, and rates of convergence in periodic homogenization
该研究针对非局部贝尔曼型方程，建立其C^(σ+α)正则性理论，结合折扣近似校正子量化扰动检验函数方法，证明分数阶哈密顿-雅可比方程周期均匀化解以ε^(σα/(2+α))的速率收敛到有效解。
Periodic solutions of a semilinear variable coefficient wave equation under asymptotic nonresonance conditions
本文研究了由非均匀弦的受迫振动和地震波在各向异性介质中的传播所引起的半线性变系数波动方程的周期解。变系数表征了介质的不均匀性，它的存在往往导致值域上具有Dirichlet边界条件的线性波算子逆的紧性被破坏.在Barbu和Pavel（1997）的开创性工作中，给出了Lipschitz非共振单调非线性方程在假设$η_u>0$（其定义见第2节）下关于系数$u(x)$的周期解的存在性和正则性，并将$η_u=0$的情形作为一个公开问题.本文通过发展不变子空间方法，利用完全约化技巧和Leray-Schauder理论，得到了当非线性项满足渐近非共振条件时，该问题周期解的存在性.我们的结果不仅不需要对系数的任何要求，除了自然正性假设（即，$u(x)>0$），而且不需要对非线性的单调性假设。特别地，当非线性项是奇函数且满足整体非共振条件时，该问题在不变子空间上只有一个（平凡）解。
Well-posedness for the mean curvature flow on the half-space and on bounded domains
本文研究半空间与光滑有界区域上带齐次Dirichlet边界条件的图平均曲率流，证明了标度临界Lipschitz正则性下的局部适定性，初始Lipschitz半范数足够小时解全局存在，有界区域上解指数收敛到平坦图，核心方法为变系数抛物系统的边界Schauder理论。
Rough Solutions of the Relativistic Euler Equations
本文研究相对论欧拉方程的低正则性解，通过将初值分解为波部分与输运部分，克服涡量和熵梯度对应的非椭圆时空散度-旋度系统难题，证明短时间内解的范数可控，得到波部分索伯列夫正则性的最优结果。
Quantitative weak propagation of chaos for stable-driven McKean-Vlasov SDEs
本文研究旋转不变α-稳定过程驱动的McKean-Vlasov随机微分方程，利用对应半群的正则性与倒向Kolmogorov方程描述的动力学，在半群层面证明了平均场相互作用粒子系统的新混沌传播估计。
Quasilinear SPDEs via rough paths
我们感兴趣的是（一致）抛物偏微分方程的非线性依赖的领先阶系数，由一个粗糙的右手边。为了简单起见，我们考虑具有单个空间变量的时空周期性设置：\begin{equation*} \partial_2u -P( a(u)\partial_1^2u - σ(u)f ) =0 \end{equation*}其中$P$是均值零函数上的投影，$f$是一个分布，并且仅在抛物线Hölder尺度上的$α> \frac{2}{3}$的$ C^{α-2}$的低正则性范数中控制。我们想到的例子是一个随机强迫$f$，我们的假设允许，例如，对于一个$f$，它在时间变量$x_2$中是白色的，在空间变量$x_1$中只有轻微的颜色;任何空间协方差算子$(1 + |\partial_1|)^{-λ_1 }$和$λ_1 > \frac13$都是允许的。在确定性方面，我们得到一个$C^α$ -估计$u$，假设我们控制产品的形式$v\partial_1^2v$和$vf$与$v$解决常系数方程$\partial_2 v-a_0\partial_1^2v=f$。因此，我们得到了小数据下小时空周期解关于$(f, vf, v \partial_1^2v)$的存在性、唯一性和稳定性。然后，我们展示了如何所需的产品可以有界的情况下，随机强迫$f$使用随机参数。为此，我们延长治疗的奇异产品$σ(u)f$通过时空版本的Gubinelli的概…
Self-regulated biological transportation structures with general entropy dissipation: 2D case and leaf-shaped domain
本文研究生物运输网络的数学模型，利用Schauder和半群理论证明了局部适定性，并使用ghost nodal有限元方法计算数值解，发现解复杂时分支占据广阔区域的现象。
Regularity theory and extension problem for fractional nonlocal parabolic equations and the master equation
我们开发的正则性理论的解决方案的时空非局部方程驱动的分数权力的热运营商$$(\partial_t-Δ)^su(t,x)=f(t,x),\quad\hbox{for}~0<s<1.$$这非局部方程的顺序$s$在时间和$2s$在空间中出现在非线性弹性，半渗透膜，连续时间随机游动和数学生物学。它对于时空非定域方程（如广义主方程）的作用与分数拉普拉斯算子对于空间非定域方程的作用相同。我们得到了$(\partial_t-Δ)^su(t,x)$和抛物型最大值原理的逐点积分微分公式。证明了一个新的扩张问题，用一个局部退化抛物型方程来刻画这个非局部方程。我们证明了抛物型内部和边界Harnack不等式，和一个Almgrem型单调公式。利用抛物型Hölder空间的一个新的特征，推导了时空Poisson问题的Hölder和Schauder估计.我们的方法涉及到\textit{parabolic language of semigroups}和柯西积分定理，这是原始定义的分数幂的$\partial_t-Δ$。虽然我们主要集中在方程$(\partial_t-Δ)^su=f$，我们的想法的应用变系数，离散拉普拉斯和黎曼流形强调。
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