Short Paths on the Voronoi Graph and the Closest Vector Problem with Preprocessing
改进Micciancio和Voulgaris（SIAM J.Comp.13）以及Sommer、Feder和Shalvi（SIAM J. Disc. 09），我们给出了拉斯维加斯$\tilde{O}(2^n)$期望的时间和空间算法的CVPP（预处理版本的最近向量问题，CVP）。这改进了Micciancio Voulgaris算法的$\tilde{O}(4^n)$确定性运行时间，此后称为MV，用于CVPP（其也解决CVP），代价是多项式量的随机性（其仅影响运行时间，而不影响正确性）。如在MV中，我们的算法通过计算网格的Voronoi图上的短路径来进行，其中如果网格点的Voronoi单元共享从原点到最近的网格向量的公共面，则网格点是相邻的。我们的主要技术贡献是一个随机化的过程，给定的Voronoi相关向量的晶格-诱导的Voronoi细胞的小平面的晶格向量-作为预处理和任何“足够接近”的晶格点的目标，计算一个路径到一个最接近的晶格向量的预期多项式大小。这改进了由MV算法给出的$\tilde{O}(4^n)$路径长度。此外，如在MV中，可以使用在Voronoi相关向量上的单个迭代来计算路径的每个边缘。作为我们的工作的副产品，我们还给出了Voronoi图上的几何距离和路径距离之间的最佳关系，我们相信这是独立的兴趣。
2014-12-18 cs.DS
Improved algorithms for the Shortest Vector Problem and the Closest Vector Problem in the infinity norm
Blomer和Naewe[BN 09]修改了Ajtai，Kumar和Sivakumar[AKS01]的随机筛选算法，以解决最短向量问题（SVP）。该算法开始与$N = 2^{O(n)}$随机选择的向量在格和采用筛选过程迭代获得较短的向量在格。在$N$中，筛分程序的运行时间为二次曲线。我们研究这个问题的特殊但重要的情况下，$\ell_\infty$规范。我们给出了一个新的筛选程序，运行在$N$的时间线性，从而显着提高运行时间的算法SVP的$\ell_\infty$规范。在[AKS02，BN 09]中，我们还扩展了该算法，以获得$\ell_\infty$范数下的最短向量问题和最近向量问题（CVP）的近似版本的显着更快的算法。我们还表明，Nguyen和Vidick[NV08]和Wang等人的启发式筛选算法。[WLTB 11]也可以在$\ell_{\infty}$范数中进行分析。本部分的主要技术贡献是计算以原点为中心的单位球与以单位球边界上的均匀随机点为中心的另一个不同半径的球的预期相交体积。这可能是独立的利益。
2018-05-15 cs.DS
Structured $(\min,+)$-Convolution And Its Applications For The Shortest Vector, Closest Vector, and Separable Nonlinear Knapsack Problems
在这项工作中，我们考虑的问题，计算的$(\min, +)$卷积的两个序列$a$和$b$的长度$n$和$m$，分别，其中$n \geq m$。我们假设$a$是任意的，但是$b_i = f(i)$，其中$f(x) \colon [0,m) \to \mathbb{R}$是具有以下性质之一的函数：1.线性情况下，当$f(x) =β+ α\cdot x$ ; 2.单调的情况下，当$f(i+1) \geq f(i)$，对于任何$i$ ; 3.凸的情况下，当$f(i+1) - f(i) \geq f(i) - f(i-1)$，对于任何$i$ ; 4.当为$f(i+1) - f(i) \leq f(i) - f(i-1)$时，任何$i$的凹面情况; 5.分段线性情况，当$f(x)$由$p$线性片段组成时; 6.多项式的情况下，当$f \in \mathbb{Z}^d[x]$，对于一些固定的$d$。据我们所知，病例4-6在以前的文献中没有被考虑过。我们为他们开发真正的次二次算法。我们将我们的结果应用到背包问题与可分离的非线性目标函数，最短的格向量，最接近的格向量的问题。
2022-09-28 cs.CC cs.DM cs.DS
A polynomial time algorithm for solving the closest vector problem in zonotopal lattices
本文给出了求解带极晶格类中最近向量问题的一个多项式时间算法。带蛋白石晶格的Voronoi单元是带形，即规则立方体的投影。带蛋白石晶格的例子包括Voronoi第一类晶格和A型根晶格的张量积。带蛋白石格的组合结构可以用正则拟阵/全幺模矩阵来描述。我们观察到，线性代数版本的最小平均周期取消方法可以应用于有效地解决最近的矢量问题的zonotopal晶格，如果晶格是作为一个完全么模矩阵的积分核。
2021-06-18 cs.DS math.MG math.OC
A New Algorithm for Finding Closest Pair of Vectors
给定$\{0,1\}^{m}$中的$n$向量$x_0, x_1, \ldots, x_{n-1}$，如何找到两个向量的汉明距离最小？此问题称为\emph{Closest Pair Problem}。如果这些向量是均匀随机生成的，除了其中两个与皮尔逊相关系数$ρ$相关，则该问题称为\emph{Light Bulb Problem}。在这项工作中，我们提出了一种新的编码为基础的计划最接近的对问题。我们设计的随机和确定性算法，实现最知名的运行时间时，输入向量$m$的长度是小的，最小距离是非常小的$m$相比。具体来说，我们的随机算法的运行时间是$O(n\log^{2}n\cdot 2^{c m} \cdot \mathrm{poly}(m))$，我们的确定性算法的运行时间是$O(n\log{n}\cdot 2^{c' m} \cdot \mathrm{poly}(m))$，其中$c$和$c'$是常数，仅取决于最近对的（相对）距离。当应用到灯泡问题，我们的结果产生国家的最先进的确定性运行时间时，皮尔逊相关系数$ρ$是非常大的。具体来说，当使用$ρ\geq 0.9933$时，我们的确定性算法比以前最好的确定性算法运行得更快（Alman，SOSA 2019）。
2019-03-08 cs.DS cs.IT math.IT
A Note on the Concrete Hardness of the Shortest Independent Vectors Problem in Lattices
Blömer和Seifert证明了$\mathsf{SIVP}_2$是NP难近似的，只要$\mathsf{CVP}$实例具有某种性质，就可以对常数近似因子从$\mathsf{CVP}_2$约化为$\mathsf{SIVP}_2$。为了正式定义这个要求的$\mathsf{CVP}$实例，我们引入了一个新的计算问题，称为间隙最接近的向量问题与有界极小值。我们调整Blömer和Seifert的证明，以显示从有界极小值的间隙最近向量问题到$\mathsf{SIVP}$的减少，对于任何$\ell_p$范数，对于一些常数逼近因子大于$1$。在最近的结果中，Bennett，Golovnev和Stephens-Davidowitz表明，在Gap-ETH下，对于任何$1 \leq p \leq \infty$，没有$2^{o(n)}$时间算法用于将$\mathsf{CVP}_p$近似为某个恒定因子$γ\geq 1$。我们观察到，在他们的论文中的减少可以被视为从$\mathsf{Gap3SAT}$减少到有界极小值的间隙最近向量问题。这与上面提到的减少一起意味着，在Gap-ETH下，对于任何$1 \leq p \leq \infty$，不存在用于将$\mathsf{SIVP}_p$近似到某个恒定因子$γ\geq 1$的$2^{o(n)}$时间算法。
2020-10-31 cs.CC cs.DS
Faster provable sieving algorithms for the Shortest Vector Problem and the Closest Vector Problem on lattices in $\ell_p$ norm
本文给出了格上$\ell_p$范数（$1\leq p\leq\infty$）下的最短向量问题（SVP）和最近向量问题（CVP）的可证筛分算法.我们得到的运行时间优于现有的可证明筛选算法。我们给出了一个新的线性筛选程序，适用于所有$\ell_p$范数（$1\leq p\leq\infty$）。其主要思想是将空间划分为超立方体，使得每个向量可以有效地映射到子区域。我们实现了一个时间复杂度为$2^{2.751n+o(n)}$，这是远远低于$2^{3.849n+o(n)}$复杂度的以前最好的算法。我们还介绍了一个混合筛分过程，其中一个点被映射到一个超立方体内的球，然后在每个超立方体内进行二次筛分。这改善了运行时间，特别是在$\ell_2$规范中，我们实现了$2^{2.25n+o(n)}$的时间复杂度，而列表筛生日算法的运行时间为$2^{2.465n+o(n)}$。我们采用我们的筛选技术近似算法的SVP和CVP在$\ell_p$范数（$1\leq p\leq\infty$），并表明我们的算法有一个运行时间为$2^{2.001n+o(n)}$，而以前的算法有一个时间复杂度为$2^{3.169n+o(n)}$。
2021-12-19 cs.DS
Covering Cubes and the Closest Vector Problem
我们提供了目前最快的随机（1+ 1）-近似算法的最接近的向量问题的无穷范数。我们的方法的运行时间取决于维数n和近似保证的2^O（n）（log 1/n）^O（n）$，这改进了Blömer和Naewe以前最好的算法的（2+1/n）^O（n）运行时间。我们的算法是基于下面的几何覆盖问题的解决方案，这是它自己的兴趣：给定n在（0，1），有多少个椭球是必要的，以覆盖立方体[-1+ n，1-n]^n，使所有的椭球都包含在标准单位立方体[-1，1]^n？我们提供了一个几乎最佳的情况下，椭球被限制为轴平行的界限。然后，我们将覆盖方案应用于这个覆盖问题的一个变体，其中人们希望用平行六面体覆盖[-1 + ε，1-ε]^n，如果缩放2，仍然包含在单位立方体中。由此，我们得到了一种方法，可以将无穷范数下最接近向量的任意2-近似算法提升为具有所需运行时间的（1+ n）-近似算法.
2010-12-10 cs.CG cs.DS
On the Difference Between Closest, Furthest, and Orthogonal Pairs: Nearly-Linear vs Barely-Subquadratic Complexity in Computational Geometry
在$d$维欧氏空间（更一般的是$\ell_p$空间）中$n$点的点定位问题通常有两种运行时间解：*（近线性）小于$d^{poly(d)} \cdot n \log^{O(d)} n$时间，或 *（准次二次）$f(d) \cdot n^{2-1/Θ(d)}$时间，对于各种$f$。对于小$d$和大$n$，“接近线性”的运行时间通常是可行的，而“几乎次二次”的时间通常是不可行的。例如，在欧几里德度量中，在${\mathbb R}^d$中的$n$点之间找到最接近的对是近似线性的，在$2^{O(d)} \cdot n \log^{O(1)} n$时间内可解，而用于Furtum对（点集的直径）的已知算法仅仅是次二次的，需要$Ω(n^{2-1/Θ(d)})$时间。为什么这些邻近问题有如此不同的时间复杂度？对于目前仅仅是次二次的问题，获得近似线性算法是否存在障碍？我们给出了一个新的精确的和确定性的自约简的正交向量问题的$n$向量在$\{0,1\}^d$的$n$向量在${\mathbb Z}^{ω(\log d)}$，运行在$2^{o(d)}$时间。因此，几乎次二次问题，如欧几里得直径，欧几里得双色最近对，射线射击和入射检测没有$O(n^{2-ε})$时间算法（在图灵计算模型中）用于维度$d = ω(\log \log n)^2$，除非流行的正交向量猜想和强指数时间假设是假的。也就是说，当多对数-对…
2017-09-15 cs.CC cs.CG cs.DS
Faster Algorithms for Average-Case Orthogonal Vectors and Closest Pair Problems
针对平均情形正交向量问题在p依赖d的参数区间的求解难题，提出基于简单实多项式与新性能分析方法的算法，改进了时间复杂度，并将方法推广至平均情形最近点对问题。
2024-10-29 cs.DS
Covering convex bodies and the Closest Vector Problem
我们提出了算法的$(1+ε)$-近似版本的最接近的向量问题的某些规范。目前最快的算法（Dadush和Kun 2016）一般规范的运行时间为$2^{O(n)} (1/ε)^n$。我们在以下两种情况下大大改进了这一点。对于具有$p>2$的$\ell_p$-范数（分别为$p \in [1,2]$）固定，我们提出了一个算法的运行时间为$2^{O(n)} (1/ε)^{n/2}$（分别。$2^{O(n)} (1/ε)^{n/p}$）。这一结果是基于Eisenbrand等人在CVP上下文中引入的几何覆盖问题：需要多少个凸体来覆盖范数球，使得如果围绕它们的质心缩放2，则每个凸体都包含在范数球的$(1+ε)$缩放的同素异形中？我们利用$\ell_p$-球的\emph{modulus of smoothness}为这个问题提供了上界。应用覆盖方案，我们可以将CVP的任何常数近似算法提升为具有改进的运行时间的$(1+ε)$近似算法，无论是使用简单的采样例程还是使用Dadush的确定性算法来构造一个可扩展网络。空间要求仅取决于所使用的常数近似CVP求解器。进一步推广了Eisenbrand等人关于$\ell_\infty$-范数的结果.对于中心对称多面体（分别为Zonotopes）与$O(n)$小平面（分别为由$O(n)$线段生成），我们提供了一个确定性的$O(\log_2(1/ε))^{O(n)}$时间…
2021-11-01 cs.CG cs.DS
On Beating $2^n$ for the Closest Vector Problem
本文研究$(0,1)$-$\mathsf{CVP}$的精确算法，通过归约到加权Max-SAT与最小权$k$-Clique，在欧几里得范数下取得$O(1.7299^n)$算法并建立相关等价与困难性支撑。
2025-01-07 cs.DS
An Improved Local Search Algorithm for k-Median
我们提出了一种新的局部搜索算法的$k$中值聚类问题。我们表明，该算法的局部最优值给出了一个$(2.836+ε)$近似;我们的结果改进了Arya等人的$(3+ε)$近似局部搜索算法[STOC 01]。此外，计算机辅助分析的自然扩展表明，这种方法可能会导致改善最知名的近似保证的问题。在我们的算法中的新成分是使用一个潜在的功能的基础上最接近和第二接近的设施，每个客户端。具体地说，潜在值是所有客户端上客户端到其最近设施点的距离之和，加上（一个小常数乘以）到其第二最近设施点的截断距离。我们从一个解转移到另一个解，只有当后者可以通过交换常数数量的设施来获得，并且比前者具有更小的潜力。这种细化的潜力，使我们能够避免坏的局部最优的Arya等人。局部搜索算法的基础上，只有解决方案的成本。
2021-11-08 cs.DS
A Faster Algorithm for Finding Closest Pairs in Hamming Metric
研究了汉明度量中的最近对问题，即在一组二进制向量中寻找汉明距离最小的一对。我们给出了一个新的随机算法的问题，均匀随机输入优于以前的方法，当输入点的尺寸是小的数据集的大小相比。对于中到大的维度，我们的算法匹配的时间复杂度的以前最有名的局部敏感的哈希算法。从技术上讲，我们的算法遵循与Dubiner（IEEE Trans. Inf. Theory 2010）和May-Ozerov（Eurocrypt 2015）相似的设计原则。除了在上述领域提高时间复杂度，我们显着简化了这些以前的作品的分析。我们给出了一个模块化的分析，这使我们能够调查的算法的性能也对非均匀的输入分布。此外，我们给出了我们的算法的概念实现的证明，该算法与二次搜索基线相比表现良好。这是第一步回答一个开放的问题提出的五月和Ozerov关于实用性的算法遵循这些设计原则。
2021-12-07 cs.DS
The nearest-colattice algorithm
在这项工作中，我们展示了一个层次的多项式时间算法解决近似变量的最近向量问题（CVP）。我们的第一个贡献是一个启发式算法实现了相同的距离权衡HSVP算法，即$\approx β^{\frac{n}{2β}}\textrm{covol}(Λ)^{\frac{1}{n}}$的随机格$Λ$的秩$n$。与所谓的Kannan嵌入技术相比，我们的算法允许使用预计算，并可用于高效的批量CVP实例。这意味着一些对基于格的签名的攻击在预先计算之后会导致非常便宜的伪造。我们的第二个贡献是一个证明减少近似最接近的矢量与一个因素$\approx n^{\frac32}β^{\frac{3n}{2β}}$的最短矢量问题（SVP）的尺寸$β$。
2020-06-11 cs.CG cs.CR cs.DS
Near-Optimal Deterministic Algorithms for Volume Computation and Lattice Problems via M-Ellipsoids
给出了一个计算凸体的M-椭球的确定性2^{O（n）}算法，该算法满足已知的下界.这有几个有趣的后果，包括改进的确定性算法的体积估计凸体和最短和最接近的格向量问题下的一般规范。
2012-07-03 cs.CC cs.DS math.FA
Why we couldn't prove SETH hardness of the Closest Vector Problem for even norms!
本文揭示了证明偶数范数下最近向量问题（CVP）和最短向量问题（SVP）SETH硬度存在的障碍，证明了此类高效归约将导致coNP包含于NP/Poly，首次展示了格问题在不同范数下的分离。
2023-11-25 cs.CC cs.CR cs.DS
Finding a Shortest Vector and More in $2^{n/2+o(n)}$ Time using $q$-ary Coset Difference Tree
KAIST（韩国科学技术院）
本文提出基于q元陪集差树的随机算法，以2^{n/2+o(n)}的时间与空间复杂度求解精确最短向量问题，其变体还可在相同复杂度内求解满足特定距离保证的随机实例最近向量问题。
2026-09-03 cs.DS
An Equivalence Class for Orthogonal Vectors
正交向量问题（$\textsf{OV}$）：给定$\{0,1\}^{O(\log n)}$中的$n$向量，其中两个向量是否正交？$\textsf{OV}$很容易在$O(n^2 \log n)$时间内求解，并且它是细粒度复杂性的核心问题：数十个条件下界都基于一个流行的假设，即$\textsf{OV}$不能在（比如）$n^{1.99}$时间内求解。然而，与APSP问题不同的是，很少有其他问题被认为是$\textsf{OV}$的非平凡等价。我们发现$\textsf{OV}$是真正的次二次等价于几个基本问题，所有这些（先验）看起来比$\textsf{OV}$更难。（$\textsf{Min-IP}/\textsf{Max-IP}$）在$\{0,1\}^{O(\log n)}$中的$n$向量中，找到一对内积最小（分别为最大）的红蓝向量。（$\textsf{Exact-IP}$）在$\{0,1\}^{O(\log n)}$中的$n$向量中，查找内积等于给定目标整数的红-蓝向量对。（$\textsf{Apx-Min-IP}/\textsf{Apx-Max-IP}$）找到一对红-蓝向量，该向量是最小值的100近似值（分别为：最大）内积，在$\{0,1\}^{O(\log n)}$中的$n$向量之间。（大约）$\textsf{Bichrom.-$ \ell_p $-Closest-Pair}$）计算…
2018-11-29 cs.DS
Approximate Voronoi cells for lattices, revisited
我们重新审视了近似Voronoi细胞方法，用于解决高维晶格上的预处理最接近向量问题（CVPP），并解决了Doulgerakis-Laarhoven-De Weger [PQCrypto，2019]在高斯启发式下确定这些Voronoi细胞体积的精确渐近性的开放问题。其结果是，我们得到改进的随机迭代切片器的时间复杂度的上限时，使用小于$2^{0.076d + o(d)}$内存，我们展示了如何获得时间-内存的权衡，即使使用小于$2^{0.048d + o(d)}$内存。我们还解决了公开的问题，获得一个连续的权衡之间的建议和查询时间复杂度的大小，作为时间复杂度与次指数的意见，在我们的方法规模为$d^{d/2 + o(d)}$，匹配最坏情况下的枚举界限，并实现相同的渐近缩放平均情况下枚举算法的最接近的向量问题。
2019-07-10 cs.CG cs.CR cs.DM
Approximate $\mathrm{CVP}_{p}$ in time $2^{0.802 \, n}$
我们表明，一个常数因子近似的最短和最接近的格向量问题w.r.t.任何$\ell_p$范数都可以在时间$2^{(0.802 +ε)\, n}$中计算。这与最短向量问题w.r.t.的当前最快常数因子近似算法相匹配。$\ell_2$。为了获得我们的结果，我们结合后者的算法w.r.t. $\ell_2$与覆盖物相关的几何见解。
2020-06-16 cs.CG cs.DS
Online Matching in Geometric Random Graphs
本文研究几何随机图中的在线最大基数匹配，通过 PDE 刻画 closest 算法的流体极限并计算其竞争比，还给出在线最小成本匹配中 $ε$-excess 情形的精确渐近成本。
2024-10-25 cs.DS
Multidimensional Binary Vector Assignment problem: standard, structural and above guarantee parameterizations
本文研究多维二进制向量分配问题的参数化复杂性，提出FPT算法并给出基于ETH的否定结果、W[2]-困难性和核下界，涵盖标准参数及超越保证值的参数。
2017-12-16 cs.DS
Finer-grained Reductions in Fine-grained Hardness of Approximation
本文研究最近点对等问题的近似参数 δ 与运行时间指数 ε 的关系，通过结合近似困难性框架与 IP 的 MA 协议，将欧氏最近点对的硬度依赖改进到 δ≈(ε/c)^2。
2023-11-01 cs.CC cs.CG cs.DS
Obtuse Lattice Bases
格约简是一种算法，它将给定的格基转换为另一个格基，这样找到最短向量和最接近向量等问题就更容易解决了。我们定义了一类基地称为钝角基地，并表明，任何格的基础上，可以转化为钝角的基础。最短向量$\mathbf{s}$可以写为$\mathbf{s}=v_1\mathbf{b}_1+\dots+v_n\mathbf{b}_n$，其中$\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_n$是输入基向量，而$v_1,\dots,v_n$是整数。当输入基是钝角时，所有这些整数都可以被选择为最短向量的正数。钝角基的这种性质使得寻找最短向量的格枚举算法以指数方式更快。我们实现了使基变钝的算法，并对一些小基进行了测试。
2020-09-09 cs.CR cs.DS
Faster Lattice Enumeration
格约简是一种算法，它将给定的格基转换为另一个格基，这样找到最短向量和最接近向量等问题就更容易解决了。一些著名的格约简算法是LLL和BKZ约简。我们定义了一类基地称为\emph{obtuse bases}，并表明，任何格的基础可以转化为一个钝角的基础，在$\mathcal{O}(n^4)$的时间。最短向量s可以写为$v_1b_1+\cdots+v_nb_n$，其中$b_1,\dots,b_n$是输入基向量，$v_1,\dots,v_n$是整数。当输入基是钝角时，所有这些整数都可以被选择为最短向量的正数。钝角基的这个性质使得寻找最短向量的格枚举算法以指数方式更快。此外，极端修剪，目前最快的算法格枚举，可以运行在一个钝角的基础上。
2019-12-03 cs.CR cs.DS
Outlier-robust moment-estimation via sum-of-squares
Princeton University（普林斯顿大学）；Institute for Advanced Study（高等研究院）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Cornell University（康奈尔大学）
我们开发了有效的算法来估计存在对抗性离群值的未知分布的低阶矩。我们的算法的保证在许多情况下显着改善最好的以前的，在最近的作品Diakonikolas等人，赖等人，和Charikar等人。我们还表明，我们的算法的保证相匹配的信息理论的下限类的分布，我们考虑。这些改进的保证，使我们能够提供改进的算法，独立成分分析和学习混合高斯在离群值的存在。我们的算法是基于一个标准的平方和松弛以下概念上简单的优化问题：在所有的分布，其时刻是有界的未知分布以相同的方式，找到一个最接近的统计距离的经验分布的adversarially-corrupted样本。
2017-12-23 cs.DS cs.LG stat.ML
Approximating High-Dimensional Earth Mover's Distance as Fast as Closest Pair
University of California, Santa Cruz（加州大学圣克ruz分校）；Google Research NYC（谷歌纽约研究团队）；University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）
通过将(1+ε)-近似EMD归约为(1+ε)-近似CP，改进高维EMD最快近似算法，结合CP最优算法得到n^(2-Ω~(ε^(1/3)))时间复杂度，优于此前n^(2-Ω(ε²))，核心是EMD乘法权重更新框架的亚线性隐式实现。
2025-08-09 cs.DS cs.LG
Solving the Shortest Vector Problem in $2^n$ Time via Discrete Gaussian Sampling
给出了求解n维欧氏格上最短向量问题的随机$2^{n+o(n)}$ -时空算法。这改进了以前最快的算法：Micciancio和Voulgaris的确定性$\widetilde{O}(4^n)$ -时间和$\widetilde{O}(2^n)$ -空间算法（STOC 2010，SIAM J. Comp. 2013）。事实上，我们给出了一个概念上简单的算法，解决了（在我们看来，更有趣的）离散高斯采样（DGS）问题。更具体地说，我们展示了如何采样$2^{n/2}$矢量离散高斯分布在任何参数在$2^{n+o(n)}$时间和空间。（以前的工作只解决了非常大的参数的DGS。然后，我们的SVP结果是从SVP到DGS的自然还原。我们还表明，我们的DGS算法意味着一个$2^{n + o(n)}$时间算法，近似的最接近的向量问题内的一个因素$1.97$。此外，我们给出了一个更精细的算法DGS以上的所谓的平滑参数的格子，它可以产生$2^{n/2}$离散高斯样本在短短的$2^{n/2+o(n)}$时间和空间。其中，这意味着$1.93$ -近似决策SVP的$2^{n/2+o(n)}$ -时间和空间算法。
2015-09-15 cs.DS
Online Checkpointing with Improved Worst-Case Guarantees
在在线检查点问题中，任务是连续维护一组k个检查点，这些检查点允许比完全重启更快地倒带正在进行的计算。唯一允许的操作是将旧检查点替换为当前状态。我们的目标是最小化倒带成本的检查点放置策略，即，使得在所有时间T，当被请求倒回到某个时间t <= T时，需要重做以从t之前的检查点到达t的计算步骤的数量尽可能小。特别地，我们希望比t更早的最近检查点距离t不超过q_k乘以理想距离T /（k+1），其中q_k是一个小常数。改进了以前的工作，显示1 + 1/k <= q_k <= 2，我们证明了q_k可以选择渐近小于2。我们给出了一个算法，其渐近偏差q_k <= 1.59 + o（1）对所有k都有效，q_k <= ln（4）+ o（1）<= 1.39 + o（1）对k是2的幂次有效.实验表明，对所有k，p_k <= 1.7是一致的.对于小k，我们展示了如何使用线性规划方法来计算好的检查点算法。这给出了对于所有k < 60的小于1.55的差异。我们证明了第一个渐近大于1的下界，即q_k >= 1.30 - o（1）。我们还表明，最佳算法（产生的下确界差异）存在的所有k。
2013-04-30 cs.DS
Fast spectral algorithms from sum-of-squares proofs: tensor decomposition and planted sparse vectors
Cornell University（康奈尔大学）；UC Berkeley（加州大学伯克利分校）
我们考虑了机器学习应用中出现的两个问题：在随机线性子空间中恢复种植稀疏向量的问题和分解随机低秩过完备3-张量的问题。对于这两个问题，最著名的保证是基于平方和方法。我们开发新的算法的启发分析的平方和方法。我们的算法实现了相同或类似的保证，这些问题的平方和，但运行时间显着更快。对于种植稀疏向量问题，我们给出了一个算法的运行时间近似线性的输入大小，近似恢复种植稀疏向量的一个随机子空间的$\mathbb R^n$的维数高达$\tilde Ω(\sqrt n)$的相对稀疏度为常数。这些恢复保证与Barak，Kelner和Steurer（STOC 2014）最知名的恢复保证匹配，最高可达对数因子。对于张量分解，我们给出了一个算法的运行时间接近线性的输入大小（与指数$\approx 1.086$），近似恢复一个组件的随机3张量在$\mathbb R^n$的秩高达$\tilde Ω(n^{4/3})$。由于Ge和Ma（RANDOM 2015），此问题的最佳先前算法可达到$\tilde Ω(n^{3/2})$的秩，但需要准多项式时间。
2016-02-03 cs.CC cs.DS cs.LG
An explicit vector algorithm for high-girth MaxCut
我们给出了MaxCut的一个近似算法，并保证了周长为$\geq 2k$的$d$ -正则图的平均边割分数。对于每一个$d \geq 3$和$k \geq 4$，我们的近似保证优于所有其他的经典和量子算法已知的作者。我们的算法构造了一个明确的向量解的标准半定松弛的MaxCut和超平面舍入。它可以被看作是一个简化的以前最好的已知的技术，它近似高斯波过程的无限$d$ -正则树。
2021-08-27 cs.DS quant-ph
Weighted Minwise Hashing Beats Linear Sketching for Inner Product Estimation
提出基于 Weighted MinHash 的紧凑草图方法用于高维向量内积估计，在稀疏向量上精度优于 CountSketch 等线性草图方法，并具备理论与实验支持。
2023-05-05 cs.DB cs.DS
Faster Coreset Construction for Projective Clustering via Low-Rank Approximation
在这项工作中，我们提出了一个随机coreset建设的投影聚类，其中包括计算一组$k$最接近的$j$维线性（仿射）子空间的一组给定的$d$维度的$n$向量。令$A \in \mathbb{R}^{n\times d}$为输入矩阵。Feldman \textit{et. al.}的早期确定性coreset构造依赖于计算$A$的SVD。用于SVD的最佳已知算法需要$\min\{nd^2, n^2d\}$时间，这对于$n$和$d$的大值可能是不可行的。通过将矩阵$A$的行投影到与矩阵$A$的右奇异向量非常接近的正交向量上，提出了一种核集构造方法.因此，当$k$和$j$的值较小时，与Feldman \textit{et. al.}的算法相比，我们能够实现更快的算法，同时保持几乎相同的近似。我们还受益于空间以及利用输入数据集的稀疏性。我们的方法的另一个优点是，它可以在流设置中非常有效地构建。
2018-07-16 cs.CG cs.DS
Practically-Self-Stabilizing Vector Clocks in the Absence of Execution Fairness
矢量时钟算法是基本的无等待构建块，有助于事件的因果排序。作为无等待算法，它们保证在有限数量的步骤内完成操作。稳定算法允许系统在发生瞬时故障后恢复，例如软错误和任意违反系统设计行为所依据的假设。我们提出了第一个，据我们所知，稳定的矢量时钟算法的异步容易崩溃的消息传递系统，可以恢复在一个无等待的方式发生瞬时故障后。在这些设置中，证明从（通信和崩溃故障以及）瞬时故障中的有限且无等待的恢复，限制消息和存储大小，处理所有陈旧信息的移除而不阻塞，以及处理计数器溢出事件（在不同网络节点同时发生）是具有挑战性的。我们提出了一个算法，从来没有违反安全的情况下，瞬态故障，并提供有限的时间恢复公平执行，遵循最后的瞬态故障。新颖之处在于，在没有执行公平性的情况下，该算法保证了系统可能违反安全性的次数的界限（而现有算法可能由于瞬时故障和崩溃故障的存在而永远阻塞）。由于矢量时钟促进了一些基本的同步构建块（不需要远程副本同步）在异步系统中，我们相信，我们的分析见解是有用的其他系统的设计，不能保证执行的公平性。
2017-12-21 cs.DC cs.DS
Efficient Sketching and Nearest Neighbor Search Algorithms for Sparse Vector Sets
Northeastern University（东北大学）；University of Pisa（比萨大学）
本文针对稀疏向量的近似最近邻搜索，提出结合理论草图、几何倒排索引及局部与全局信息融合的 Seismic 算法，在单 CPU 大规模基准上实现亚毫秒延迟与高准确率。
2025-09-29 cs.DS cs.IR cs.LG
Improved Approximation Algorithms for Individually Fair Clustering
Toyota Technological Institute at Chicago（芝加哥丰田技术研究所）；Technical University of Dortmund（多特蒙德工业大学）
我们考虑具有$\ell_p$ -范数成本的$k$ -聚类问题，其中包括$k$ -中位数，$k$ -均值和$k$ -中心，在Jung等人提出的公平性概念下。[2020]：给定一组大小为$n$的点$P$，如果$P$中的每个点在其$n/k$最近邻居中都有一个中心，则一组$k$中心会导致公平聚类。Mahabadi和Vakilian [2020]提出了一种用于公平聚类的$(p^{O(p)},7)$ -双准则近似，具有$\ell_p$ -范数成本：每个点在最多$7$乘以其到其$(n/k)$ -第最近邻居的距离的距离内找到一个中心，并且解决方案的$\ell_p$ -范数成本至多是最佳公平解决方案的成本的$p^{O(p)}$倍。在这项工作中，对于任何$\varepsilon>0$，我们提出了一个改进的$(16^p +\varepsilon,3)$ -双标准这个问题。此外，对于$p=1$（$k$ -中位数）和$p=\infty$（$k$ -中心），我们分别提出了改进的成本近似因子$7.081+\varepsilon$和$3+\varepsilon$。为了实现我们的保证，我们扩展了[Charikar等人，2002，Swamy，2016]，并设计了拟阵约束下具有$\ell_p$ -范数成本的设施选址的$16^p$ -近似算法。此外，我们的方法建议从我们的个体公平聚类减少到Kleindessner等人提出…
2022-03-01 cs.AI cs.CY cs.DS
