A Deterministic Almost-Tight Distributed Algorithm for Approximating Single-Source Shortest Paths
我们提出了一个确定性的$(1+o(1))$近似$(n^{1/2+o(1)}+D^{1+o(1)})$时间算法解决单源最短路径问题的分布式加权网络（CONGEST模型），这里$n$是网络中的节点数和$D$是它的（跳）直径。这是这个问题的第一个非平凡的确定性算法。它还改进了（i）Nanongkai [STOC 2014]的随机化$(1+o(1))$ -近似$\tilde O(n^{1/2}D^{1/4}+D)$ -时间算法的运行时间，其系数与$n^{1/8}$一样大，以及（ii）Lenzen和Patt-Shamir的$\tilde O(n^{1/2+ε}+D)$ -时间算法[STOC 2013]的$O(ε^{-1}\log ε^{-1})$ -近似系数在相同的运行时间内。我们的运行时间与$Ω(n^{1/2}/\log n + D)$ [Elkin STOC 2004]的已知时间下限匹配到次多项式因子，从而基本上解决了至少十年前提出的这个问题的状态[Elkin SIGACT News 2004]。它还意味着$(2+o(1))$ -近似$(n^{1/2+o(1)}+D^{1+o(1)})$ -时间算法，用于近似网络的加权直径，其几乎与Holzer和Pinsker的下限匹配[OPODIS 2015]。在实现这一结果，我们开发了两种技术，这可能是独立的兴趣和有用的其他设置：（一）一个确定性的过…
2018-09-19 cs.DC cs.DS
Lattice Sparsification and the Approximate Closest Vector Problem
给出了在2^{O（n）}（1+1/eps）^n时间和2 ^n poly（n）空间中求解任意n维格和任意范数上的（1+eps）-近似最近向量问题（CVP）的一个确定性算法.我们的算法建立在Micciancio和Voulgaris（STOC 2010）和Dadush，Peikert和Vempala（FOCS 2011）的格点枚举技术的基础上，并为（1+eps）-CVP（Ajtai，Kumar和Sivakumar; STOC 2001和CCC 2002）提供了一个优雅的，确定性的替代方案。此外，假设存在一个在l_2范数下求解精确CVP的poly（n）空间和2^{O（n）}时间算法，我们的算法的空间复杂度可以降为多项式。我们的主要技术贡献是一种方法，用于“稀疏化”任何输入格，同时近似保持其度量结构。为此，我们采用随机子格限制的想法，这是第一次采用Khot（FOCS 2003）的目的是证明困难的最短向量问题（SVP）下的l_p范数。
2012-12-30 cs.CC cs.DS
Approximating the Expected Values for Combinatorial Optimization Problems over Stochastic Points
考虑随机几何模型，其中每个节点的位置是给定度量空间中的随机点，或者每个节点的存在是不确定的。本文研究了随机点上的几个组合优化或几何优化问题的期望长度的计算问题，包括最近对、最小生成树、$k$ -聚类、最小完美匹配和最小圈覆盖。我们还考虑了估计最接近对的长度或直径至多或至少是给定阈值的概率的问题。上述问题中的大多数已知是$\sharpP$ -难的。我们得到FPRAS（完全多项式随机逼近方案）的存在和位置不确定性模型中的大多数。我们的随机最小生成树的位置不确定模型的结果改进了以前已知的常数因子近似算法。我们对其他问题的结果是我们所知的第一个。
2015-02-17 cs.DS
Obtuse Lattice Bases
格约简是一种算法，它将给定的格基转换为另一个格基，这样找到最短向量和最接近向量等问题就更容易解决了。我们定义了一类基地称为钝角基地，并表明，任何格的基础上，可以转化为钝角的基础。最短向量$\mathbf{s}$可以写为$\mathbf{s}=v_1\mathbf{b}_1+\dots+v_n\mathbf{b}_n$，其中$\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_n$是输入基向量，而$v_1,\dots,v_n$是整数。当输入基是钝角时，所有这些整数都可以被选择为最短向量的正数。钝角基的这种性质使得寻找最短向量的格枚举算法以指数方式更快。我们实现了使基变钝的算法，并对一些小基进行了测试。
2020-09-09 cs.CR cs.DS
Faster Lattice Enumeration
格约简是一种算法，它将给定的格基转换为另一个格基，这样找到最短向量和最接近向量等问题就更容易解决了。一些著名的格约简算法是LLL和BKZ约简。我们定义了一类基地称为\emph{obtuse bases}，并表明，任何格的基础可以转化为一个钝角的基础，在$\mathcal{O}(n^4)$的时间。最短向量s可以写为$v_1b_1+\cdots+v_nb_n$，其中$b_1,\dots,b_n$是输入基向量，$v_1,\dots,v_n$是整数。当输入基是钝角时，所有这些整数都可以被选择为最短向量的正数。钝角基的这个性质使得寻找最短向量的格枚举算法以指数方式更快。此外，极端修剪，目前最快的算法格枚举，可以运行在一个钝角的基础上。
2019-12-03 cs.CR cs.DS
Finding a Shortest Vector and More in $2^{n/2+o(n)}$ Time using $q$-ary Coset Difference Tree
KAIST（韩国科学技术院）
本文提出基于q元陪集差树的随机算法，以2^{n/2+o(n)}的时间与空间复杂度求解精确最短向量问题，其变体还可在相同复杂度内求解满足特定距离保证的随机实例最近向量问题。
2026-09-03 cs.DS
Approximating High-Dimensional Earth Mover's Distance as Fast as Closest Pair
University of California, Santa Cruz（加州大学圣克ruz分校）；Google Research NYC（谷歌纽约研究团队）；University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）
通过将(1+ε)-近似EMD归约为(1+ε)-近似CP，改进高维EMD最快近似算法，结合CP最优算法得到n^(2-Ω~(ε^(1/3)))时间复杂度，优于此前n^(2-Ω(ε²))，核心是EMD乘法权重更新框架的亚线性隐式实现。
2025-08-09 cs.DS cs.LG
Approximating ATSP by Relaxing Connectivity
非对称旅行商问题的标准LP松弛已被证明在度量情况下具有常数完整性间隙。我们证明了这个猜想时，限制到最短路径度量的节点加权有向图。我们的论点是建设性的，并给出了这些度量的常数因子近似算法。我们注意到，所考虑的情况下是更一般的对称旅行推销员问题的特殊情况下，有最近的改进Christofides的算法比直接模拟。我们的方法的主要思想是首先考虑一个更容易的问题，通过显着放宽一般的连接要求到本地连接条件。对于这个放松的问题，很容易给出一个保证节点加权最短路径度量为3的算法。更令人惊讶的是，我们然后表明，任何算法（无论度量）的放松问题可以变成一个算法的非对称旅行商问题，只失去一个小的常数因子的性能保证。这就留下了一个有趣的任务，即为一般度量的放松问题设计一个“好”的算法。
2015-08-13 cs.DS
From Chinese Postman to Salesman and Beyond I: Approximating Shortest Tours $δ$-Covering All Points on All Edges
本文提出δ覆盖所有边上点的最短回路δ-Tour问题，针对不同δ取值区间设计了多项式时间近似算法，是该问题系列研究的第一篇。
2025-02-24 cs.CC cs.DS
Near-Optimal Deterministic Algorithms for Volume Computation and Lattice Problems via M-Ellipsoids
给出了一个计算凸体的M-椭球的确定性2^{O（n）}算法，该算法满足已知的下界.这有几个有趣的后果，包括改进的确定性算法的体积估计凸体和最短和最接近的格向量问题下的一般规范。
2012-07-03 cs.CC cs.DS math.FA
Approximate $\mathrm{CVP}_{p}$ in time $2^{0.802 \, n}$
我们表明，一个常数因子近似的最短和最接近的格向量问题w.r.t.任何$\ell_p$范数都可以在时间$2^{(0.802 +ε)\, n}$中计算。这与最短向量问题w.r.t.的当前最快常数因子近似算法相匹配。$\ell_2$。为了获得我们的结果，我们结合后者的算法w.r.t. $\ell_2$与覆盖物相关的几何见解。
2020-06-16 cs.CG cs.DS
On the Closest Vector Problem with a Distance Guarantee
我们提出了一个更有效的变体，无论是在运行时间和预处理建议的大小方面，刘，Lyubashevsky和Micciancio的算法，用于解决CVPP（最近向量问题的预处理版本，CVP）的距离保证。例如，对于任何$α< 1/2$，我们的算法找到（唯一的）最接近的晶格点的任何目标点的距离是最多$α$乘以最短的非零晶格向量的长度，需要作为预处理建议只有$N \approx \widetilde{O}(n \exp(α^2 n /(1-2α)^2))$向量，并运行在时间$\widetilde{O}(nN)$。作为我们的第二个主要贡献，我们提出的减少表明，它足以解决CVP，无论是在其平原和预处理版本，当输入目标点是在一定的有界距离的晶格。减少的基础上的想法，由于Kannan和最近的稀疏化技术，由于Dadush和昆。将我们的约简与LLM算法相结合，给出了搜索CVPP的近似因子$O(n/\sqrt{\log n})$，改进了Lagarias、Lenstra和Schnorr提出的先前最佳$O(n^{1.5})$。当结合我们的改进算法，我们得到，有点令人惊讶的是，只有O（n）向量的预处理建议是足以解决CVPP（唯一稍微差）的近似因子O（n）。
2014-12-26 cs.CC cs.DS
Dynamic Approximate Shortest Paths and Beyond: Subquadratic and Worst-Case Update Time
考虑以下针对经历边插入和删除的$n$ -节点图$G$的距离查询：给定两组节点$I$和$J$，返回$I\times J$中每对节点之间的距离。这个查询是相当通用的，并且捕获了动态最短路径问题的几个版本。在本文中，我们开发了一个有效的$(1+ε)$近似算法，这种查询使用快速矩阵乘法。我们的算法导致单源和所有对最短路径（SSSP和APSP），以及直径，半径和偏心率的一些开放的问题的答案。下面是一些亮点。请注意，我们所有的算法保证最坏情况下的更新时间和随机（蒙特卡罗），但不需要遗忘对手的假设。SSSP、直径、中心度等的次二次更新时间：当我们想要显式地保持与单个节点的距离时（没有查询），一个基本的问题是在每次更新后击败平凡地调用Dijkstra的静态算法，在密集图上花费$Θ(n^2)$更新时间。已知精确算法和组合任意近似算法不可能多项式地超过$Ω(n^2)$界（在某些假设下）[Roditty，Zwick，ESA'04; Abboud，V. Williams，FOCS'14]。我们的算法与$I=\{s\}$和$J=V(G)$意味着一个$(1+ε)$ -近似算法，保证$\tilde O(n^{1.823}/ε^2)$最坏情况下的更新时间为有向图与正实权重$[1, W]$。从[Roditty，V. Williams，STOC'13]的想法，我们还获得了第一次二次最坏情况下的更新时间为$(5/3+ε…
2019-10-16 cs.DS
The nearest-colattice algorithm
在这项工作中，我们展示了一个层次的多项式时间算法解决近似变量的最近向量问题（CVP）。我们的第一个贡献是一个启发式算法实现了相同的距离权衡HSVP算法，即$\approx β^{\frac{n}{2β}}\textrm{covol}(Λ)^{\frac{1}{n}}$的随机格$Λ$的秩$n$。与所谓的Kannan嵌入技术相比，我们的算法允许使用预计算，并可用于高效的批量CVP实例。这意味着一些对基于格的签名的攻击在预先计算之后会导致非常便宜的伪造。我们的第二个贡献是一个证明减少近似最接近的矢量与一个因素$\approx n^{\frac32}β^{\frac{3n}{2β}}$的最短矢量问题（SVP）的尺寸$β$。
2020-06-11 cs.CG cs.CR cs.DS
Approximating the Held-Karp Bound for Metric TSP in Nearly Linear Time
我们给出了度量TSP的Held-Karp界[Held和Karp，1970]的一个近似线性时间随机逼近方案。形式上，给定$m$边和$ε> 0$上的无向边加权图$G$，该算法在$O(m \log^4n /ε^2)$时间内以高概率输出$(1+ε)$ -近似，该近似是由$G$上的最短路径度量引起的度量TSP实例上的Held-Karp界。该算法还可以用于输出对应的解到Subtour Elimination LP。我们大大提高了$O(m^2 \log^2(m)/ε^2)$的运行时间之前实现的Garg和Khandekar。LP解可用于获得度量TSP的快速随机化$\big(\frac{3}{2} + ε\big)$ -近似，其改进了Christofides算法的先前实现的运行时间。
2017-10-13 cs.DS
On Approximating String Selection Problems with Outliers
生物信息学中的许多问题都是关于找到近似代表给定字符串集合的字符串。我们来看看更一般的问题，其中一些输入字符串可以被归类为离群值。接近大多数字符串问题是，给定一组相同长度的字符串S和一个参数d，找到一个字符串x，使x的汉明距离d内的“非离群值”的数量最大化。我们证明了这个问题没有PTAS，除非ZPP=NP，纠正了一个十年之久的错误。大多数字符串与几个坏列的问题是找到一个最大尺寸的输入字符串的子集，使不相同的位置的数量是在最多的k，我们表明，它没有PTAS，除非P=NP。我们也观察到最接近k的弦没有EPTAS，除非W[1]=FPT。总之，离群值有助于与使用生物数据相关的模型问题，但我们发现找到近似解的问题在计算上是困难的。
2012-02-13 cs.DS
The Steiner Shortest Path Tree Problem
针对最小化非终端节点数量的 Steiner 最短路径树（SSPT）问题，证明其 NP 困难性，并通过归约到均匀顶点加权有向 Steiner 树（UVDST），提出拟多项式及受限图下的多项式 polylog 近似算法。
2025-09-08 cs.DS
Solving the Shortest Vector Problem in $2^n$ Time via Discrete Gaussian Sampling
给出了求解n维欧氏格上最短向量问题的随机$2^{n+o(n)}$ -时空算法。这改进了以前最快的算法：Micciancio和Voulgaris的确定性$\widetilde{O}(4^n)$ -时间和$\widetilde{O}(2^n)$ -空间算法（STOC 2010，SIAM J. Comp. 2013）。事实上，我们给出了一个概念上简单的算法，解决了（在我们看来，更有趣的）离散高斯采样（DGS）问题。更具体地说，我们展示了如何采样$2^{n/2}$矢量离散高斯分布在任何参数在$2^{n+o(n)}$时间和空间。（以前的工作只解决了非常大的参数的DGS。然后，我们的SVP结果是从SVP到DGS的自然还原。我们还表明，我们的DGS算法意味着一个$2^{n + o(n)}$时间算法，近似的最接近的向量问题内的一个因素$1.97$。此外，我们给出了一个更精细的算法DGS以上的所谓的平滑参数的格子，它可以产生$2^{n/2}$离散高斯样本在短短的$2^{n/2+o(n)}$时间和空间。其中，这意味着$1.93$ -近似决策SVP的$2^{n/2+o(n)}$ -时间和空间算法。
2015-09-15 cs.DS
Exponentially Faster Shortest Paths in the Congested Clique
我们提出了改进的确定性算法，近似最短路径的拥塞集团模型的分布式计算。我们得到了无向$n$ -顶点图中以下问题的$poly(\log\log n)$ -轮算法：-- $(1+ε)$ -近似多源最短路径（MSSP）从$O(\sqrt{n})$源。-- $(2+ε)$ -所有对最短路径（APSP）的近似。-- $(1+ε,β)$ -APSP的近似值，其中$β=O(\frac{\log\log n}ε)^{\log\log n}$。由于[Censor-Hillel et al.，PODC 19]。它还提供了第一次近可加界的APSP问题在次多项式时间。我们的方法是基于区分短距离和长距离的基础上，一些距离阈值$t = O(\fracβε)$，其中$β=O(\frac{\log\log n}ε)^{\log\log n}$。处理长距离是通过设计一种新的算法来计算稀疏$(1+ε,β)$仿真器与$O(n\log\log n)$边缘。对于短距离，我们为[Censor-Hillel et al.，PODC 19]。利用该工具箱只能应用于半径为$t$的局部球的特点，将其轮复杂度从$poly(\log n)$提高到$poly(\log t)$。最后，我们确定性的解决方案，这些问题的基础上去随机化计划的一个新的变种的命中集问题，这可能是独立的利益。
2020-03-06 cs.DC cs.DS
Dominance Product and High-Dimensional Closest Pair under $L_\infty$
给定$\mathbb{R}^d$中的$n$点的集合$S$，最近对问题是在$S$中以最小距离找到一对不同的点。当$d$是常数时，有有效的算法来解决这个问题，以及一般$d$的快速近似解。然而，在非常高的维度上获得精确解似乎还不太清楚。我们考虑高维$L_\infty$最接近对问题，其中$d=n^r$对于某些$r > 0$，并且底层度量是$L_\infty$。我们改进和简化以前的结果$L_\infty$最近对，它可以解决一个确定性强多项式算法，运行在$O(DP(n,d)\log n)$时间，并通过随机算法，运行在$O(DP(n,d))$预期的时间，其中$DP(n,d)$是计算{ \em优势产品}的$n$点在$\mathbb{R}^d$的时间界限。这是一个矩阵$D$，使得$D[i,j] = \bigl| \{k \mid p_i[k] \leq p_j[k]\} \bigr|$ ;这是$p_j$优于$p_i$的坐标数。对于整数坐标从一些区间$[-M, M]$，我们得到一个算法，运行在$\tilde{O}\left(\min\{Mn^{ω(1,r,1)},\, DP(n,d)\}\right)$时间，其中$ω(1,r,1)$是指数乘以$n^r \times n$矩阵的$n \times n^r$矩阵。我们也给$DP(n,d)$稍好的界限，通过使用最近的矩形矩阵乘法界限。计算优势积本身是一项重要…
2017-06-24 cs.CG cs.DS
Distributed Approximation Algorithms for Weighted Shortest Paths
分布式网络由具有$n$节点（处理器）和直径$D$的图来建模。我们研究的时间复杂度近似{\em加权}（无向）最短路径的分布式网络上的边缘上的$O(\log n)$ {\em带宽限制}（标准的同步\congest模型）。近似算法是否有助于加速最短路径（更准确地说是距离计算）的问题至少从2004年开始由Elkin提出（SIGACT News 2004）。这个问题的未加权的情况下是很好理解的，而其加权对应的是在该地区的分布式近似算法的基本问题，仍然是广泛开放的。我们提出了新的算法计算单源最短路径（\sssp）和所有对最短路径（\apsp）在加权的情况下。我们的主要结果是一个算法\sssp。先前的结果是经典的$O(n)$-时间Bellman-Ford算法和$\tilde O(n^{1/2+1/2k}+D)$-时间$(8k\lceil \log (k+1) \rceil -1)$-近似算法，对于任何整数$k\geq 1$，其从Lenzen和Patt-Shamir（STOC 2013）的结果得出。(Note Lenzen和Patt-Shamir实际上解决了一个更难的问题，我们使用$\tilde O(\cdot)$来隐藏$O(\poly\log n)$术语。）我们提出了一个\sssp的$\tilde O(n^{1/2}D^{1/4}+D)$-时间$(1+o(1))$-近似算法.只要$D$是次线性的…
2014-05-22 cs.DS
Approximating APSP without Scaling: Equivalence of Approximate Min-Plus and Exact Min-Max
Zwick的$(1+\varepsilon)$ -近似算法用于所有对最短路径（APSP）问题，在时间上运行$\widetilde{O}(\frac{n^ω}{\varepsilon} \log{W})$，其中$ω\le 2.373$是矩阵乘法的指数，并且$W$表示最大权重。这可用于近似几个图形特征，包括同一时间范围内的直径、半径、中位数、最小权重三角形和最小权重循环。由于Zwick的算法使用缩放技术，因此它在运行时间中具有因子$\log W$。在本文中，我们研究是否APSP及相关问题承认近似计划，避免缩放技术。也就是说，算术运算的次数应该与$W$无关;这称为强多项式。我们的主要结果如下。- 我们设计的近似计划在强多项式时间$O(\frac{n^ω}{\varepsilon} \text{polylog}(\frac{n}{\varepsilon}))$的APSP无向图以及图形特征的直径，半径，中位数，最小重量三角形，最小重量圈有向或无向图。- 对于有向图上的APSP，我们设计了一个强多项式时间的近似方案$O(n^{\frac{ω+ 3}{2}} \varepsilon^{-1} \text{polylog}(\frac{n}{\varepsilon}))$ .这比最好的精确算法快得多。- 我们解释了为什么我们的近似计划APSP有向图有一个更糟糕的指数比$ω$：我们的指数$\frac…
2019-07-25 cs.CC cs.DS
Faster Approximate All Pairs Shortest Paths
本文针对无向图 APSP 近似问题，利用快速矩阵乘法提出更快的无权图乘性 2-近似及加性近似算法，并改进加权图近似结果，揭示了通向二次时间的新瓶颈。
2023-09-23 cs.DS
On The Hardness of Approximate and Exact (Bichromatic) Maximum Inner Product
本文研究了（双色）最大内积问题（Max-IP），其中给定向量集$A$和$B$，目标是求最大化内积$a \cdot b$的$a \in A$和$b \in B$. Max-IP是非常基本的，并且在[Abboud et al.，FOCS 2017]关于多项式时间问题近似的难度。它也被（隐含地）用于[Williams，SODA 2018]中的poly-log-log维度中精确$\ell_2$ -Furdle对（以及计算几何中的其他重要问题）的硬度论证。关于这个问题，我们有三个主要结果。首先，我们研究了次二次时间上布尔Max-IP的最佳乘法逼近比。我们发现，对于最大IP与两组$\{0,1\}^{d}$的$n$向量，有一个$n^{2 - Ω(1)}$时间$\left( d/\log n \right)^{Ω(1)}$ -乘法近似算法，我们表明这是有条件的最优，因为这样的$\left(d/\log n\right)^{o(1)}$ -近似算法会反驳SETH。其次，我们实现了类似的最佳加性逼近误差布尔Max-IP的特征。我们证明，对于具有来自$\{0,1\}^{d}$的两组$n$向量的Max-IP，存在一个$n^{2 - Ω(1)}$时间$Ω(d)$ -加法近似算法，并且这是有条件的最优算法，因为这样的$o(d)$ -近似算法将反驳SETH [Rubinstein，STOC 2018]。最后，我…
2018-03-06 cs.CC cs.DS
Improved Massively Parallel Shortest Path Computation
National University of Singapore（新加坡国立大学）
该研究针对大规模并行计算模型，提出两种场景下的近似单源最短路径预言机构建算法，改进了现有工作的轮次复杂度与适用范围，核心是高效计算近似近邻域的新方法。
2026-10-14 cs.DC cs.DS
Approximate $\mathrm{CVP}$ in time $2^{0.802 \, n}$ -- now in any norm!
我们表明，一个常数因子近似的最短和最接近的格向量问题在任何规范可以计算时间$2^{0.802\, n}$。这对比了相应的$2^n$时间，（间隙）-SETH为基础的下限，这些问题，甚至适用于小常数近似。对于这两个问题，$\mathrm{SVP}$和$\mathrm{CVP}$，我们减少到欧几里德范数的情况下。这种简化的关键技术成分是米尔曼构造的$M$ -椭圆体的扭曲，该椭圆体近似于具有椭圆体$\mathcal{E}$的任何对称凸体$K$，使得$\mathcal{E}$的恒定缩放的$2^{\varepsilon n}$可以覆盖$K$，反之亦然。
2021-10-05 cs.DS
Why we couldn't prove SETH hardness of the Closest Vector Problem for even norms!
本文揭示了证明偶数范数下最近向量问题（CVP）和最短向量问题（SVP）SETH硬度存在的障碍，证明了此类高效归约将导致coNP包含于NP/Poly，首次展示了格问题在不同范数下的分离。
2023-11-25 cs.CC cs.CR cs.DS
Approximating Cycles in Directed Graphs: Fast Algorithms for Girth and Roundtrip Spanners
图的围长，即其最短圈的长度，是图的一个基本参数。不幸的是，所有已知的用于计算（甚至近似地）有向加权$m$ -边和$n$ -节点图中的围长和围长相关结构的算法都需要$Ω(\min\{n^ω, mn\})$时间（对于$2\leqω<2.373$）。在本文中，我们大大改善这些运行时间如下：* 乘法近似在近线性时间：我们给出了一个算法，在$\widetilde{O}(m)$时间计算$\widetilde{O}(1)$ -乘法近似的周长以及$\widetilde{O}(1)$ -乘法往返行程的周长与$\widetilde{O}(n)$边缘高概率（w.h.p）。* 几乎紧的加法近似：对于未加权图和任何$α\in (0,1)$，我们给出了一个算法，在$\widetilde{O}(mn^{1 - α})$时间计算围长w.h.p的$O(n^α)$ -加法近似，并部分去随机化它。我们表明，如果没有组合布尔矩阵乘法的突破，我们的算法的运行时间不能显着提高。我们的主要技术贡献，以实现这些结果是第一个近线性时间算法计算往返覆盖，有向图分解概念的关键，以前的往返crossover建设。以前不知道如何计算这些显著快于$Ω(\min\{n^ω, mn\})$时间。鉴于传统的困难，有效地处理有向图，我们希望我们的技术可以找到进一步的应用。
2018-08-10 cs.DS
Tight Approximation and Kernelization Bounds for Vertex-Disjoint Shortest Paths
本文研究最大顶点不相交最短路径问题的近似与核化，证明在gap-ETH下无o(k)近似，且除非P=NP否则无n^(1/2-ε)近似，同时给出紧的2^O(ℓ)时间算法并排除多项式核。
2025-04-22 cs.DS
Plane Gossip: Approximating rumor spread in planar graphs
我们研究了多商品组播的时间表的设计，我们给出了一个无向图$G$和源-目的地对的集合，目标是调度一个最小长度的匹配序列，连接每个源与其各自的目的地。多商品组播模型是网络中的一个经典信息传播问题，其中主要的通信约束是节点可以建立的连接数，而不是链路带宽。多商品组播与寻找最优平衡的子图$H$的问题密切相关，其中平衡被定义为$H$的最大度与$H$中任何源-目的地对之间的最大距离之和。我们首先表明，单商品组播的最小平衡子图可以近似为一个因素的$O(\log k)$相对于自然LP松弛的值在一个实例中与$k$终端。这是自然LP的完整性间隙的第一个上界。利用这一平衡结果和平面图中的最短路径分隔符，我们得到了平面图中多商品组播的$O(\log^3 k\log n/(\log\log n))$ -近似。我们还研究了平面图中的最小时间无线电八卦问题，其中来自每个节点的消息必须在节点可以在单步的中广播到所有邻居的模型下发送到所有其他节点，但只有具有单个广播邻居的节点才能获得消息。我们给出了一个$O(\log^2 n)$ -近似无线电八卦平面图打破以前的障碍。这是不依赖于图的最大度的无线电八卦的第一个界限。最后，我们表明，我们的平面图的技术扩展到排除未成年人的图。我们建立了多商品组播和无线电八卦问题的多项式-近似算法在次要的自由图。
2017-07-14 cs.DS
On the Quantitative Hardness of CVP
$ \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\problem}[1]{\ensuremath{\mathrm{#1}} } \newcommand{\CVP}{\problem{CVP}} \newcommand{\SVP}{\problem{SVP}} \newcommand{\CVPP}{\problem{CVPP}} \newcommand{\ensuremath}[1]{#1} $对于奇数$p \geq 1$（和$p = \infty$），我们证明了秩$n$格上的$\ell_p$范数（$\CVP_p$）中的最近向量问题对于任何常数$\eps > 0$都不能在$2^{(1-\eps) n}$时间内求解，除非强指数时间假设（SETH）失效.然后，我们将这个结果扩展到$p \geq 1$的“几乎所有”值，不包括偶数。这非常接近于解决$\CVP_2$的重要特例的定量时间复杂度（即，欧几里德范数中的$\CVP$），对于该算法，$2^{n +o(n)}$时间算法是已知的。特别是，我们的结果适用于任何接近$2$的$p = p(n) \neq 2$作为$n \to \infty$。我们还展示了$\SVP_\infty$的类似的SETH硬度结果;在所谓的Gap-ETH假设下将$\CVP_p$近似到某个常数因子内的硬度;以及在不同假设下任何$1 \…
2017-10-05 cs.CC cs.DS
Just Take the Average! An Embarrassingly Simple $2^n$-Time Algorithm for SVP (and CVP)
我们展示了一个$2^{n+o(n)}$ -时间（和空间）算法的最短向量问题的格子（SVP），其工作原理是通过重复运行一个非常简单的“对和平均”筛样程序的一个列表上的格子向量。这与Aggarwal，Dadush，Regev和Stephens-Davidowitz（ADRS，STOC，2015）的当前最快已知算法的运行时间（和空间）相匹配，具有更简单的算法。我们的算法实际上是一个修改的ADRS算法，与一定的谨慎拒绝采样步骤删除。我们算法的正确性来自一个更一般的“元定理”，表明这种拒绝采样步骤对于某类算法和用例是不必要的。特别是，这也适用于Aggarwal，Dadush和Stephens-Davidowitz（ADS，FOCS，2015）的最近向量问题（CVP）的相关$2^{n + o(n)}$ -时间算法，为任何$γ= 1+2^{-o(n/\log n)}$的$γ$ -近似CVP提供了类似的简单算法。(We也可以从用于精确CVP的$2^{n+o(n)}$ -时间ADS算法中去除拒绝采样过程，但是得到的算法仍然相当复杂。）
2017-09-05 cs.DS
Improved Additive Approximation Algorithms for APSP
MIT（麻省理工学院）；ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
本文针对无向无权图的 APSP 加法近似问题，通过将图分解为常数直径簇和低度顶点剩余部分并结合标准快速矩阵乘法，改进了 +2、+4、+6 近似算法的时间复杂度。
2025-11-06 cs.DS
Discrete Gaussian Sampling Reduces to CVP and SVP
离散高斯$D_{L- t, s}$是分配给移位晶格中的每个向量$x$的概率与$e^{-π\|x\|^2/s^2}$成比例的分布。它一直是研究格的重要工具。最近，离散高斯采样（DGS）算法在计算机科学中有许多应用。特别是，多项式时间算法的DGS非常高的参数$s$已发现许多用途在密码学和减少之间的格问题。在过去的一年里，Aggarwal、Dadush、Regev和Stephens-Davidowitz展示了DGS的$2^{n+o(n)}$时间算法，这些算法具有更广泛的参数范围，并使用它们获得了两个最重要的格问题（最短向量问题（SVP）和最近向量问题（CVP））的当前已知最快算法。受其日益增长的重要性，我们调查DGS本身的复杂性及其与CVP和SVP的关系。我们的第一个结果是一个多项式时间的降维DGS CVP。从CVP到DGS有一个简单的简化，因此这表明DGS等价于CVP。我们的第二个结果，我们发现是更令人惊讶的，是一个多项式时间维保持减少从中心DGS（重要的特殊情况下，当$ t = 0$）到SVP。在另一个方向，有一个简单的减少从$γ$ -近似SVP的任何$γ= Ω(\sqrt{n/\log n})$，我们提出了一些（相对较弱）的证据表明，这可能是最好的可实现的近似因子。我们还表明，我们的CVP结果扩展到更广泛的一类分布，甚至其他规范。
2016-04-19 cs.CC cs.DS
