The Theory of Witt Vectors
Joseph Rabinoff
这是维特向量理论的介绍。它包括了维特环的构造、弗罗贝纽斯自同态和弗罗贝翁自同态、从W到W^2的正则映射（它的代数结构）、与严格p-环的关系以及对阿廷-哈斯指数的解释。
This is an introduction to the theory of Witt vectors. It includes a construction of the Witt rings, the Frobenius and Verschiebung endomorphisms, the canonical map from W to W^2 (its lambda-algebra structure), the relation to strict p-rings, and an account of the Artin-Hasse exponential.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The norm map of Witt vectors
我们讨论的乘法版本的维特向量，我们称之为规范的Vernebung映射。
Witt vectors and truncation posets
定义维特向量的一种方法是从截断偏序集$S \subset \mathbb{N}$开始。我们将Witt向量推广到截断偏序集，并给出了如何利用截断偏序集的三种映射来编码Witt向量上的六种结构映射：加法、乘法、限制、Frobenius、Vernebung和范数.
A universal construction of $p$-typical Witt vectors of associative rings
本文提出了一种适用于非交换结合环的p-典型Witt向量构造E，并证明其在可交换情况下退化为经典Witt函子，同时引入了通用Witt函子的概念。
Kernels of Arithmetic Jet Spaces and Frobenius Morphism
本文研究了算术jet空间的核与Frobenius映射，揭示了其与Witt向量结构的联系。
A universal group-theoretic characterisation of $p$-typical Witt vectors
本文通过群论方法，证明p-典型威利特向量群的性质本质特征，适用于非交换环的推广。
On the Witt vector Frobenius
本文研究交换环的$p$ -典型Witt向量上的Frobenius映射的核与上核，而不一定是特征$p$ .给出了有限长和无限长Witt向量上Frobenus映射满射性的一些等价条件，证明了前一个条件在某些整扩张下是稳定的，这一事实与Faltings几乎纯性定理的推广密切相关.
An embedding problem of Noetherian rings into the Witt vectors
证明了混合特征$p>0$中完备局部Noether整环的整扩张域的存在性，并证明了该整环与Frobenius映射具有不同的性质.我们通过Witt向量构造所需的扩张域和极大代数扩张的方法证明了主要结果。值得注意的是，所得到的代数与同调图和$p$ -adic Hodge理论中的环有着深刻的联系.
Lazardian Witt vectors
本文利用 Lazard 泛 π-环构造了 Lazardian Witt 向量函子，并借此构建 Lazardian 代数的泛剩余完美化。
Characterising properties of commutative rings using Witt vectors
本文通过Witt向量建立交换环性质间的等价，刻画Witt向量环为Noetherian的环，定义preduced环范畴，并推广至de Rham-Witt复形的挠。
A Witt-Burnside ring attached to a pro-dihedral group
经典Witt向量环是混合特征交换代数的一个基本对象，在数论中有着广泛的应用。Dress和Siebeneicher对任意投射有限群G都有一个重要的推广，即生成一个环值函子W_G，其中经典的Witt向量可恢复为例子G = Z_p.本文探讨了这个函子的象的结构，其中G是由2-幂二面体群的逆极限构成的pro-2群，并且在特征2的场上拍摄W_G的图像。
Witt Vectors, Polynomial Maps, and Real Topological Hochschild Homology
我们表明，各种口味的维特向量是函的乘法多项式的法律有限程度。然后我们推出了$p$ -典型Witt向量在次数至多为$p-1$的乘法多项式映射中是函子的.这种额外的函子性使我们能够将$p$ -典型的Witt向量函子从交换环推广到$\mathbb{Z}/2$ -Tambara函子，对于奇素数$p$ .我们使用这些Tambara函子的Witt向量来描述实拓扑霍赫希尔德同调谱在奇素数上的二面角不动点的分量。
On the structure of Witt-Burnside rings attached to pro-p groups
经典Witt向量是代数和数论中普遍存在的对象。它们作为一个函子构造而出现，这个函子构造将素特征p > 0的完满域k化为特征为0且具有剩余域k的p-基数完备离散赋值环，并且在这个意义上是泛域。A.衣服和C。Siebeneicher通过产生一个附在任何投射有限群G上的函子W_G推广了这个构造。经典的维特向量是那些附加到p-adic整数。这里我们研究了几个pro-p群G和特征p的域k的例子的W_G（k）的环结构，我们将证明这种结构比经典的情况复杂得多。
Bost-Connes systems and periodic Witt vectors
本文利用Borger的周期Witt向量理论，构造了一般数域下Bost-Connes系统对应算术子代数的整精细化版本，为数论相关研究提供了新的构造结果。
Facets of the Witt Vectors
我们给出了Witt向量的基本性质的$K$理论解释。在此过程中，我们重新证明了鲜为人知的Witt向量范数的基本性质，给出了Witt向量的代数$K$ -理论的特征，并介绍了Witt向量，这是有用的计算。
The formulas of coefficients of sum and product of p-adic integers with applications to Witt vectors
给出了$p $ -adic整数的运算，特别是加法和乘法的显式公式。作为结果的应用，首先给出了系数为$\mathbb{F}_{2}$的Witt向量的运算的显式公式，然后通过求解Browkin关于$p$ -进整数的系数在普通最小剩余系和数值最小剩余系中的变换问题，得到了系数为$\mathbb{F}_{3}$的Witt向量的类似公式.
Generalized Motives through Witt Vectors
本文通过 Witt 向量和广义线丛模叠推广凝聚母题，扩展了母题理论的适用范围。
Boolean Witt vectors and an integral Edrei-Thoma theorem
第一作者最近给出了大Witt向量构造的一个无减法定义。这允许定义任何半环的大维特向量。本文给出了布尔半环的大Witt向量的一个明确的组合刻画。我们对大Witt向量构造的两种变体：Schur Witt向量和$p$ -典型Witt向量做同样的处理。我们利用这一点给出了自然数的Schur Witt向量的一个明确的描述，它可以被看作是Davydov首先得到的具有整系数的全正幂级数的分类。我们还确定了一些在各种具体算术半环中具有元素的Witt向量代数的基数。
Remark on equicharacteristic analogue of Hesselholt's conjecture on cohomology of Witt vectors
设$L/K$是特征为$p$的完备离散值域的有限Galois扩张.假设导出剩余域扩张$k_L/k_K$是可分的。对于整数$n\geq 0$，令$W_n(\sO_L)$表示长度为$n$且系数在$\sO_L$中的维特向量环。证明了proabel群${H^1(G,W_n(\sO_L))}_{n\in \N}$为零.这是Hesselholt猜想的等特征类比。
An Alternative to Spherical Witt Vectors
本文通过在理想 I 处完备化球幺半群代数 S[R]，直接构造完美 F_p 代数的球 Witt 向量环谱，推广已有工作并刻画其 p 完备模与 E_1 环万有性质。
Greenberg algebras and ramified Witt vectors
设O是具有有限个剩余域k的混合特征的完全离散赋值环.研究了O上的Greenberg代数与O上分歧Witt向量概型的特殊纤维之间的一个自然态射。它是一个具有准无穷小核的泛同胚，在某些情况下可以被显式描述。
Almost purity and overconvergent Witt vectors
在前一篇文章中，我们以Faltings的形式给出了一个一般的几乎纯性定理：如果R是环，使得R上有限p-典型Witt向量上的Frobenius映射是满射的，则R[p^{-1}]的有限代数扩张中R的整闭包是R上的“几乎”有限代数。这里，我们使用几乎纯性将R[p^{-1}]的有限阶扩张提升为过收敛Witt向量环的有限阶扩张。关键是不需要p-adic完备性的假设;这个结果因此指向p-adic Hodge理论的潜在全局类似物。作为一个例子，我们构造了与Q上的Artin Motives相关的（phi，Gamma）-模.我们构造的（phi，Gamma）-模块定义在一个基环上，这似乎非常适合推广到一个更全局的设置;我们计划在以后的工作中继续进行这样的推广。
Projectivity of the Witt vector affine Grassmannian
证明了Witt向量仿射Grassmannian，它对特征为p的完满域k在W（k）[1/p]^n中的W（k）-格进行参数化，可由k上的ind-（完全概型）表示.通过构造一个自然的充分线丛，改进了Zhu的结果.一路上，我们建立了各种基础性的结果完美的计划，特别是h-下降结果向量丛。
An alternative to Witt vectors
与环R相关联的Witt向量环是代数学中的一个经典工具。对于完备F_p-代数R，我们引入了一个更容易构造的环C（R），它与Witt向量环W（R）同构.它是作为幺半群环ZR的完备化而得到的，对于乘法幺半群R，关于从ZR到R的自然映射的核的幂。
Dual complex of log Fano pairs and its application to Witt vector cohomology
本文证明弱对数 Fano 对的对偶复形可收缩，并据此建立 Ambro–Fujino 型 Witt 向量上同调消没定理及三维有理点公式。
Twisted Lubin-Tate Big Witt Vectors and Fleck-Sun-Wan Congruences
本文构造了与扭曲 Lubin-Tate 形式群相关的大 Witt 理论，引入 Fleck 算子并证明了 Fleck-Sun-Wan 同余式的 Lubin-Tate 类比，推广了现有 Witt 理论。
The basic geometry of Witt vectors, II: Spaces
这是一个帐户的代数几何的维特向量和算术喷射空间。有限型的p-adic格式的通常的“p-典型”Witt向量已经相当好地理解了。这里的要点是从两个方面来概括这个理论。我们不仅允许p-典型的维特向量，而且还允许对任何整体域中任何整数环中的任何素数集合所取的向量。这包括“大”维特矢量。我们也允许不仅p-adic计划的有限型，但任意代数空间上的整数环的整体领域。我们给类似的推广Buium的正式算术喷气函子，这是对偶的维特函子。我们也给出了具体的几何描述的维特空间和算术喷射空间，并调查是否有一些标准的几何性质，这些函子保持。
The basic geometry of Witt vectors, I: The affine case
本文给出了有限长Witt向量环上元素在任意环上的etale代数范畴的具体刻画。我们这样做不仅为经典的p-典型和大维特向量函子，但也为这些函子的变种，在一定意义上是他们的类似物在任意的本地和全球领域。从交换Frobenius提升及其泛性质的观点出发，发展了这些广义Witt向量的基本理论，这对经典Witt向量也是一种新的研究方法.本文的主要目的是为广义Witt格式和算术喷流空间的代数几何提供仿射基础。因此，这里的基础知识得到了充分的发展，着眼于未来的应用。
Witt vectors, semirings, and total positivity
本文将大Witt向量函子和$p$ -典型Witt向量函子从交换环推广到交换半环。在大维特向量的情况下，这是一个重新包装的一些标准事实单项式和舒尔积极的组合数学的对称函数。在$p$ -典型的情况下，它使用相对于$p$ -典型对称函数的明显新的基的正性。我们还给出了自然数和非负实数的大Witt向量的显式描述，其中第二个是Edrei定理的重述全正幂级数。最后，我们给出了截断Witt向量与$k$ -Schur正性之间关系的一些否定结果，并给出了十个悬而未决的问题。
On cohomology of Witt vectors of algebraic integers and a conjecture of Hesselholt
设$K$是特征为零的完备离散域，其剩余域$k_K$的特征为$p > 0$ .设$L/K$是有限Galois扩张，其Galois群为$G$，并假定剩余域$k_L/k_K$的导出扩张是可分的. Hesselholt在他的论文中证明了$H^1(G,W(\sO_L))$是零，其中$\sO_L$是$L$的整数环，$W(\sO_L)$是$\sO_L$的Witt环。最好的$p$他部分证明了这一猜想的一大类扩展。在本文中，我们证明了Hesselholt猜想的所有伽罗瓦扩张。
The equidistribution of L-functions of twists by Witt vector Dirichlet characters over function fields
Katz证明了F_q（t）的所有Dirichlet特征标的L函数，当q趋于无穷大时，在极限上是等分布的.本文将这一命题推广到任意伽罗瓦表示的Dirichlet特征标的扭的L函数，包括不同表示的扭的L函数的Dirichlet特征标的独立性。霍尔、基廷和罗迪蒂-格申证明了一个类似的推广，但没有独立性声明，适用于具有无平方导体的字符。
An Alternative Proof of Hesselholt's Conjecture on Galois Cohomology of Witt Vectors of Algebraic Integers
设$K$是特征为零的完全离散赋值域，其剩余域$k_K$的特征为$p>0$。设$L/K$是有限Galois扩张，其Galois群为$G=\Gal(L/K)$，并假定剩余域$k_L/k_K$的导出扩张是可分的.设$\mathbb{W}_n(\cdot)$表示长度为$n$的$p$ -典型Witt向量的环. Hesselholt证明了亲阿贝尔群$\{H^1(G,\mathbb{W}_n(\mathcal{O}_L))\}_{n\geq 1}$同构于零.霍加迪和皮索尔卡最近为这一猜想提供了证据。本文给出了Hesselholt猜想的另一种证明，它在几个方面都比较简单。
$q$-Witt vectors and $q$-Hodge complexes
本文提出Witt向量和de Rham-Witt复形的$q$-变体，阐明其与Habiro环、$q$-Hodge上同调及$\text{THH}(-/\text{ku})$的关联，为后续相关研究提供技术基础。
Witt vector rings and quotients of monoid algebras
在以前的文件Cuntz和Deninger介绍了环$C(R)$为一个完美的$\mathbb{F}_p$-代数$R$。环$C(R)$正则同构于$p$-典型的Witt环$W(R)$.事实上，存在规范同构$α_n \colon \mathbb{Z}R/I^n \xrightarrow{\sim} W_n(R)$。本文给出了当$p\geq n$为$n\geq 2$时的同构$α_n$的显式描述.
Witt-Burnside functor attached to $\mathbf{Z}_p^2$ and $p$-adic Lipschitz continuous functions
Dress和Siebeneicher通过对任何profinite群$G$产生一个环值函子$\mathbf{W}_G$，给出了维特向量构造的一个重要推广。本文给出了环$\mathbf{W}_{\mathbf{Z}_p^2}(k)$的一个具体解释，其中$k$是特征$p > 0$的一个域，用$p$-adic上半平面$\mathbf{P}^1(\mathbf{Q}_p)$上的Lipschitz连续函数环来表示.因此，我们表明，Krull尺寸的环$\mathbf{W}_{\mathbf{Z}_p^d}(k)$是无限的$d \geq 2$和我们表明Teichmüller代表形成一个模拟的范德普特基础上的连续函数$\mathbf{Z}_p$。
Semi-galois Categories III: Witt vectors by deformations of modular functions
本文在我们以前对Christol定理的算术模拟的工作的基础上，更详细地研究了数域$K$上的代数Witt向量构成的环$E_K = K \otimes W_{O_K}^a (O_{\bar{K}})$.首先发展了关于$E_K$的一般性结果，并将其应用于$K$是虚二次域的情形.主要结果包括代数Witt向量的“模性定理”，即有限级模函数的某些变形族$f: M_2(\widehat{\mathbb{Z}}) \times \mathfrak{H} \rightarrow \mathbb{C}$总是以其特殊值定义代数Witt向量$\widehat{f}$，反之，每一个代数Witt向量$ξ\in E_K$都是这样实现的，即对于某些变形族$f: M_2(\widehat{\mathbb{Z}}) \times \mathfrak{H} \rightarrow \mathbb{C}$，$ξ= \widehat{f}$是这样实现的.这给出了虚二次域$K$的环$E_K$的相当明确的描述，它被表述为环$E_K$和模向量$\widehat{f}$的$K$ -代数$M_K$之间的恒等式$E_K=M_K$。
Formalizing the Ring of Witt Vectors
基环$R$上的Witt向量环$\mathbb{W} R$是代数数论中的一个重要工具，是现代$p$ -adic Hodge理论的基础. $\mathbb{W} R$有一个有趣的性质，它从一个特征$p > 1$的环中构造出一个特征$0$的环，并且它可以更具体地用于从包含$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$的有限域中构造$p$数$\mathbb{Q}_p$的相应的非分歧域扩张（直到同构为止是唯一的）。我们在精益证明助手中形式化了Witt向量的概念，以及相应的环运算和其他代数结构。我们证明了在精益，对于总理$p$，环的维特向量在$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$是同构的环的$p$ -进整数$\mathbb{Z}_p$。在这个过程中，我们开发了一些习惯用法来干净地处理维特向量环上操作之间的恒等式计算。这些计算是棘手的一个天真的方法，并需要一个证明技术，通常是在非正式文献中略读。我们的证明类似于非正式的论点，而充分严格。
On the comparison of two constructions of Witt vectors of non-commutative rings
令$A$是任意结合环，可能是非交换的，并且令$p$是素数。设$E(A)$是由Cuntz和Deninger构造的$p$ -典型Witt向量环，$W(A)$是由Hesselholt构造的.本文的目标是回答Hesselholt提出的问题：$HH_0(E(A)) $与$W(A)$同构吗？我们表明，在$p=2$的情况下，没有这样的同构可能的，如果坚持它是兼容的Verscheibung算子和Teichmüller映射。
Witt Vector Rings and the Relative de Rham Witt Complex
在本文中，我们开发了一种新的方法，维特向量环和（相对）德拉姆维特复杂。我们这样做的一般性任意交换代数和任意截断集。在我们构造的Witt向量环中，环的结构是明显的，并且不需要泛多项式。此外，该结构的自然推广容易导致相对的德·拉姆·维特复形。我们的方法是基于使用自由或至少无挠的自由介绍了一个给定的交换环$R$，它是一个重要的事实，所产生的对象是独立的所有选择。通过介绍的方法也揭示了新的光，我们以前的描述环的$p$ -典型的维特向量的完美$\mathbb{F}_p$ -代数作为一个完成的半群代数。我们从不同的方向展开这一描述。例如，我们证明了半群代数可以被任何自由表示的$R$配备了一个线性提升的弗罗贝尼乌斯自同构。利用Umberto Zannier在附录中的结果，我们还将Witt向量环的完备化描述推广到所有具有内射Frobenius映射的$\bar{\mathbb{F}}_p$ -代数.
Cartier's first theorem for Witt vectors on Z_{>= 0}^n - 0
我们证明了Angeltveit，Gerhardt，Hill和Lindenstrauss定义的Z_{\geq 0} ^n - 0上的Witt向量的对偶表示将交换形式群G带到形式概形Ahat^n -> G的映射的函子，并且对于Q-代数或当n=1时，Witt向量是自对偶的.
Witt vector affine Springer fibers
本文在混合特征局部域上，对本质驯分歧且剩余特征非坏的重约群，建立了Witt向量仿射Springer纤维的维数公式，涉及判别式赋值、Artin导子和Kottwitz不变量。
Sheared Witt Vectors
本文介绍 Drinfeld 和 Lau 对 p-典型 Witt 向量环的“去完备化”构造，称为剪切 Witt 向量，适用于约化为完美 F_p-代数的环。
Witt vectors with coefficients and characteristic polynomials over non-commutative rings
对于非必要交换环R，我们定义了系数在R-双模M中的Witt向量的阿贝尔群W（R;M）.这些群推广了交换环中常见的大Witt向量，并证明了它们具有类似的形式性质和结构。一个主要结果是W（R）：= W（R;R）在R中是Morita不变量.对于R-生成投射R-模的R-线性自同态f，我们定义了一个特征元素$χ_f \in W(R)$ .这个元素是一个非交换模拟的经典特征多项式，我们表明，它具有类似的性质。赋值$f \mapsto χ_f$在循环K-理论的适当完备化和W（R）之间引入同构。
AdS2/CFT1, Whittaker vector and Wheeler-De Witt equation
本文研究了共形量子力学的能量表示为Whittaker矢量，而不指定经典拉格朗日量。我们证明了共形量子力学中伸缩算符的两个激发态之间的期望值的母函数是Wheeler-DeWitt方程的解，它对应于Liouville场论中作为小超空间波函数的AdS 2配分函数.我们还证明了共形量子力学中的伸缩期望值导致了黎曼零点的渐近光滑计数函数。
Nonarchimedean geometry of Witt vectors
设R是一个完备F_p-代数，具有平凡范数.设W（R）是R上的p-典型Witt向量环，具有p-adic范数.在非阿基米德解析空间（在Berkovich意义下）的水平上，我们证明了W（R）与具有Gauss范数的多项式环R[T]之间的密切相似性，其中从R到R[T]的结构态射的作用由Teichmuller映射扮演.例如，我们证明了与R相关的解析空间是与W（R）相关的空间的强形变收缩核。我们还表明，每个纤维形成一棵树下的关系逐点比较，并分类的纤维点的方式的Berkovich的分类点的nonarchimedean光盘。一些结果涉及非阿基米德解析空间的基本基本群的p-adic表示的研究（即，相对p-adic Hodge理论）。
Semi-galois Categories IV: A deformed reciprocity law for Siegel modular functions
本文将虚二次域上代数Witt向量的模性定理扩展至CM域，从Siegel模函数变形族特殊值构造代数Witt向量，并给出其伽罗瓦理论刻画以例证一般伽罗瓦对应结果。
Adic Sheafiness of $A_{\text{inf}}$ Witt Vectors over Perfectoid Rings
本文研究特征 $p$ perfectoid 环的 $A_{\text{inf}}$ Witt 向量空间，借助棱柱理论证明其稳定一致性，并推广层性判据，得到 Spa 的层性、结构层无圈性及向量丛与有限投射模的范畴等价。
Gauss--Heilbronn Sums and Coverings of Deligne--Lusztig Type Curves
本文研究Gauss-Heilbronn和与Deligne-Lusztig型曲线的覆盖，通过分析3典型Witt向量长度为二的情况，确定相关曲线的Frobenius斜率。
Artin-Schreier-Witt extensions and ramification breaks
本研究针对特征p>0的局部域上的Artin-Schreier-Witt循环扩张，采用直接方法证明：既约Witt向量对应的全分歧扩张的上分歧断点计算公式，在剩余域为任意完满域时仍成立，推广了有限域情形下的已有结果。
A lifting of an automorphism of a K3 surface over odd characteristic
本文证明了在奇特征的代数闭域上，有限高的K3曲面的弱驯服自同构可以提升到基域的Witt向量环上。证明了Artin不变量至少为2的超奇异K3曲面的非辛Tame自同构或超奇异K3曲面的辛Tame自同构可以在Witt向量环上提升.利用这些结果，我们证明了，对于有限高的弱驯服K3曲面，存在Witt向量环上的提升，K3曲面的整个自同构群可以提升到该提升。我们还证明了一个K3曲面配备了一个纯粹的非辛自同构的一定顺序是唯一的同构。
Canonical Witt formal scheme extensions and p-torsion groups
本文研究光滑交换形式群概形的 p-挠子群上的算术 jet 空间，证明其第 n 个 jet 空间可嵌入一个由长度 n 的 Witt 向量形式概形幂和原 p-挠子群构成的典范短正合序列，从而推广了 Buium 关于单位根的结果。
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