The singular world of singular cardinals
Mirna Džamonja
本文用两个例子来探讨这样一种说法，即与通常的智慧相反，奇异基数的性质实际上比正则基数的性质更直观。
The article uses two examples to explore the statement that, contrary to the common wisdom, the properties of singular cardinals are actually more intuitive than those of the regular ones.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
May the successor of a singular cardinal be Jonsson?
该研究为数学逻辑领域的综述工作，汇总了奇异基数的后继成为Jonsson基数的必要条件，为相关大基数问题研究提供参考。
The tree property on a countable segment of successors of singular cardinals
从存在多个超紧基数出发，构造了一个ZFC模型，其中树的性质在奇异基数的后继的可数段上成立。
Global Chang's Conjecture and singular cardinals
我们研究了张氏猜想的包含奇异基数的全局版本的可能性。我们显示了一些$\mathrm{ZFC}$的限制，这样的原则，并证明相对于大基数，张的猜想可以始终保持之间的所有对极限基数低于$\aleph_{ω^ω}$。
The tree property at double successors of singular cardinals of uncountable cofinality
假设存在一个强基数$κ$和一个可测基数以上，我们迫使一个泛型扩张，其中$κ$是一个奇异的强极限基数的任何规定的共尾性，并使树的属性保持在$κ^{++}$。
Violating the Singular Cardinals Hypothesis Without Large Cardinals
本文将ZFC + GCH基数的传递模型V推广到ZF +“GCH基数的模型N，证明了在Alef_omega”+“下存在从Alef_omega的幂集到lambda”的满射，其中lambda是V中的任意高的固定基数.
Ultrafilters on singular cardinals of uncountable cofinality
证明了一致存在不可数共尾的奇异基数$κ$使得$2^κ$是弱不可达的，并且严格介于$κ$和$2^κ$之间的正则基数是$κ$上某个一致超滤子的特征标.
Strong Tree Properties at Successors of Singular Cardinals
证明了强紧基数的奇异极限的后继具有强树性质。我们还证明了aleph_{omega+1}能够一致地满足强树性质。
Singular cardinals and strong extenders
我们研究了在什么情况下存在一个奇异基数$μ$和一个短$(κ, μ)$ -扩展器$E$证明“$κ$是$μ$ -强”，使得$μ$在$\Ult(V, E)$中是奇异的.
A coloring theorem for succesors of singular cardinal
本文在{ \sf ZFC}中给出并证明了一个强着色定理，该定理在奇异基数的后继上成立，并用它回答了关于奇异$μ$的Shelah原理$Pr_1(μ^+,μ^+,μ^+,\cf(μ))$的几个问题.
Successors of Singular Cardinals and Coloring Theorems II
研究可数共尾奇异基数后继的负方括号划分关系。一路上，我们证明了一些俱乐部猜测的结果。
The tree property at double successors of singular cardinals of uncountable cofinality with infinite gaps
假设存在一个强基数$κ$，一个弱紧基数$λ$以上，它和$γ> λ,$，我们迫使一个泛型扩张，其中$κ$是一个奇异的强极限基数的任何给定的共尾性$δ$，$2^κ\geq γ$，使树的性质保持在$κ^{++}$。
The ultrafilter number for singular cardinals
证明了奇异基数$λ$与小值超滤子数$u_λ$和任意大值超滤子数$2^λ$的相容性.
The tree property at successors of singular cardinals
假设一些大基数，得到了ZFC的模型，其中aleph_{omega+1}不携带Aronszajn树。还证明了如果λ是强紧基数的奇异极限，则λ ^+不携带Aronszajn树。
The Proper Forcing Axiom and the Singular Cardinal Hypothesis
我们证明了真力公理蕴含着奇异基数假设。证明是通过插值和使用映射反射原理。
Compactness in singular cardinals revisited
这是自1977年以来关于奇异紧性定理的第二个组合证明。事实上，它给出了一个更强的定理。
A Framework for Forcing Constructions at Successors of Singular Cardinals
我们描述了一个框架来证明任意共尾性的奇异基数及其后继者的一致性结果。这个框架允许构建模型，其中奇异基数假设在不可数共尾的奇异基数处失败，而其后继者享有各种组合性质。作为一个示例应用程序，我们证明的一致性（相对于ZFC加上超紧基数）有一个强极限奇异基数$κ$的不可数共尾SCH失败，并有一个集合的图形在$κ^+$的大小小于$2^κ$，使任何图在$κ^+$嵌入到一个图的集合。
Blowing up the power of a singular cardinal of uncountable cofinality with collapses
{ \em奇异基数假设}（SCH）是集合论中最经典的组合原理之一。证明了如果$κ$是奇异强极限，则有$2^κ=κ^+$ .我们证明，给定一个奇异基数$κ$的{ \em共尾性} $η$在地面模型，这是一个限制适当的大基数，和$η^+=\aleph_γ$，那么有一个强制扩展，保持基数和共尾性，并包括$η$，使$κ$成为$\aleph_{γ+η}$，和SCH失败在$κ$。此外，如果$η$不是$\aleph$ -不动点，则在我们的模型中，SCH在$\aleph_η$处失效。我们的大基数假设低于存在一个伍丁基数。在我们的模型中，我们也得到了一个很好的规模。
Blowing up the power of a singular cardinal
设kappa是共尾性为ω的奇异基数，GCH成立.假设对每一个n<omega，满足o（alpha）>= alpha^{+n}的alpha集合在kappa中是无界的，则存在一个基数保持扩张满足2^kappa=kappa^++且GCH在kappa之下。通过W.米切尔和作者的假设是最优的。
The Erdos-Rado arrow for singular cardinals
证明了如果cf（lambda）> aleph_0且2^{cf（lambda）}<lambda，则lambda->（lambda，omega+1）^2.
Successors of singular cardinals and coloring theorems. I
研究了奇异基数的后继数的强着色的存在性。这项工作继续[Sh：413]（math.LO/9809199）的第2节，但现在我们的重点是找到序数对的着色，而不是序数的有限集合的着色。
Two cardinal models for singular mu
本文讨论了当μ是强极限和奇异基数时，（μ ^+，μ）对的着色。我们证明了存在一个着色c，没有加细。由此可见，当μ是单数时，（mu^+，mu）的单位元的性质与常规μ的情况有本质上的不同。
Indiscernible Sequences for Extenders, and the Singular Cardinal Hypothesis
我们证明了几个结果给出了下界的大基数强度的失败的奇异基数假设。定理：设$κ$是一个奇异强极限基数，且有$2^κ>= λ$，其中$λ$至多不是共尾基数的后继者$κ$ . (i)如果为$\cofinality(κ)>\gw$，则为$o(κ)\geλ$。(ii)如果$\cofinality(κ)=\gw$，则对于每个$n\in\gw$，$o(κ)\geλ$或$\set{\ga:K\sat o(\ga)\ge\ga^{+n}}$在$κ$中共尾。为了证明这个定理，我们给出了一个详细的分析序列的不可逆性，这来自应用覆盖引理的非重叠序列的扩展。
Tree property at successor of a singular limit of measurable cardinals
设$λ$是$η$超紧基数的奇异极限，其中$η\leq λ$是极限序数.本文提出了两种使$λ^+$成为第一个$η$可测基数的极限的后继者的强制方法，同时树的性质保持在$λ^+.$上。第一种方法是在同样的假设下，当$SCH$在$\aleph_{η^2}$失效时，得到树在$\aleph_{η^2+1}$上的性质。这推广了Neeman和Sinapova的结果。第二种方法也被用来得到任意奇异基数的后继树性质，推广了Magidor-Shelah，Neeman和Sinapova的一些结果.
On the Singular Cardinal Hypothesis
我们使用的核心模型的措施序列，以证明一个新的下界的一致性强度的失败的SCH：定理（i）如果有一个奇异的强极限基数$κ$，使$2^κ> kappa^+$，然后有一个内部模型的基数$κ$，使所有的序数$α<κ$有一个序数$ν< κ$与$o(ν) > α$。(ii)如果存在不可数共尾的奇异强极限基数$κ$使得$2^κ> κ^+$，则存在具有$o(κ) = κ^{++}$的内模型。自从这篇论文最初提交以来，Gitik改进了这个结果，给出了精确的下界。
The Borel partition spectrum at successors of singular cardinals
假设$0^\dagger$不存在，证明了如果$\mathbb R$有一个$\aleph_ω$ Borel集的划分，那么也有一个$\mathbb R$有一个$\aleph_{ω+1}$ Borel集的划分.
Guessing models imply the singular cardinal hypothesis
本文证明了三个主要定理：（1）猜测模型是内部无界的;（2）对任何正则基数$κ\ge ω_2$，$\textsf{ISP}(κ)$蕴涵$\textsf{SCH}$在$κ$之上成立;（3）具有$ω_1$ -逼近性质的强迫偏序集也具有可数覆盖性质。这些结果解决了Viale和Hachtman-Sinapova的公开问题。
A Note on Singular Cardinals in Set Theory Without Choice
我们讨论了在没有选择公理的情况下基数如何奇异。我们表明，与已知的负一致性结果（Gitik等人的）相比，某些正结果是可证明的。那我们就提出一些问题
On automorphisms behind the Gitik -- Koepke model for violation of the Singular Cardinals Hypothesis w/o large cardinals
众所周知，"GCH首先在\aleph_ω失败"的假设导致ZFC中的大基数。Gitik和Koepke证明了在ZF中并非如此：即存在L的一般基数保持扩张（或ZFC + GCH的任何论域，其中所有ZF公理成立，选择公理失败，GCH对所有基数\aleph_n成立，但存在从PowerSet（\aleph_ω）到λ的满射，其中λ是L中任何先前选择的大于\aleph_ω的基数，例如\aleph_{ω+17}。换句话说，在这样的扩展中，GCH对所有基数\aleph_n在正确意义上成立，但在Hartogs意义上的\aleph_ω处失败。本文的目的是分析Gitik-Koepke证明中涉及的自同构系统。
Usuba's principle $UB_λ$ can fail at singular cardinals
本文证明组合原理 $UB_λ$ 在奇异基数处可能不成立，并具体构造了 $λ=\aleph_ω$ 的反例，从而回答了 Usuba 提出的问题。
Forcing with overlapping supercompact extenders
我们建立一个超紧凑版本的强制定义在\cite{gitik2019}。对于具有任何固定共尾性的基模型中的每个奇异基数，这是超紧基数的极限，可以强制使得奇异基数的幂集的大小任意大，同时保持奇异基数。这种强迫的一个重要特征是，可以定义强迫，使得奇异基数的后继者被折叠，但在它上面的所有基数都被保留。
A Small Ultrafilter Number at Every Singular Cardinal
本文通过重叠强扩展子forcing方法，构造了一个模型，其中最小的inaccessible基数$κ$满足GCH在正则数上，SCH在奇异数上失败，并且所有奇异数的超滤子数都小。
The Baire and perfect set properties at singulars cardinals
本文在ZFC中构造含奇异基数κ的模型，使L(V_{κ+1})内所有κ子集兼具κ-完美集性质与\mathcal{\vec{U}}-Baire性质，并以超紧性大基数假设改进已有结果。
Universal graphs at the successor of a singular cardinal
研究了共尾性aleph_0的强极限奇异μ的后继者上泛图的存在性。从超紧基数的存在性假设出发，建立了一个模型，其中对于某些超紧基数，存在mu^+上的mu^{++}图，它们联合起来对于mu^+上的图是泛图，而2^{mu^+}>> mu^{++} .本文还讨论了一般性的问题，获得一个框架的一致性结果在继承的奇异强极限从假设超紧基数Kappa存在。作为一种更一般方法的具体应用，得到了泛图存在性的结果。
Consecutive singular cardinals and the continuum function
我们证明，从超紧基数κ开始，存在一个具有对称内模型N的力迫扩张V[G]，其中ZF +不AC成立，κ和κ^+都是奇异的，并且κ处的连续统函数可以精确控制，从这个意义上说，最终模型包含长度等于任何预定序数的κ的不同子集序列。我们还证明了上述情况可以被折叠，得到一个ZF +而不是AC_ω的模型，其中（1）aleph_1和aleph_2都是奇异的，并且aleph_1处的连续函数可以被精确控制，或者（2）aleph_ω和aleph_{ω+1}都是奇异的，并且aleph_ω处的连续函数可以被精确控制.此外，我们还讨论了ZF模型中连续奇异基数κ和κ^+的不同子集的序列长度的分离.提出了连续奇异基数的ZF模型中连续函数的一些未解决的问题。
The tree property at first and double successors of singular cardinals with an arbitrary gap
设$\mathrm{cof}(μ)=μ$和$κ$是具有$μ<κ$的超紧基数.假设有一个递增的连续基数序列$\langleκ_ξ\mid ξ<μ\rangle$和$κ_0:=κ$，使得对于每个$ξ<μ$，$κ_{ξ+1}$是超紧的。此外，还假设$λ$是一个弱紧基数，且有$\sup_{ξ<μ}κ_ξ<λ$ .令$Θ\geqλ$是具有$\mathrm{cof}(Θ)>κ$的基数。在假定$\mathrm{GCH}_{\geqκ}$的基础上，构造了一个泛延拓，其中$κ$是强极限，$\mathrm{cof}(κ)=μ$，$2^κ= Θ$和$\mathrm{TP}(κ^+)$，$\mathrm{TP}(κ^{++})$都成立.此外，在这个模型中，$κ$有一个非常好的和一个不好的尺度。这推广了[Sin16a]和[FHS18]的主要结果。
On two problems of Erdos and Hechler: New methods in singular Madness
对于无限基数μ，MAD（μ）表示μ上非平凡极大几乎不相交族的所有基数的集合。Erdos和Hechler证明了[mu in MAD（mu）]对于一个奇异基数mu的一致性，并询问是否有可能对于一个奇异mu [mu notin MAD（mu）]，以及是否2^{cf（mu）}<mu ==> [mu in MAD（mu）]对于每一个奇异基数mu。我们介绍了一种新的方法来控制MAD（亩）的奇异亩，并在其他新的结果的MAD（亩）的结构奇异亩，解决这两个问题肯定。
The generalized Kurepa hypothesis at singular cardinals
讨论了广义Kurepa假设$KH_λ$在奇异基数$λ$上的性质.特别地，我们回答了Erdös-Hajnal [1]和Todorcevic [6]，[7]的问题，通过证明$GCH$并不意味着$KH_{\aleph_ω}$，也不存在大小为$\aleph_{ω+1}$的家族$ \mathcal{F} \subseteq [\aleph_ω]^{\aleph_0}$，使得$\mathcal{F} \restriction X$对每个$X \subseteq S, |X|=\aleph_0$都有大小为$\aleph_0$。
The Proper Forcing Axiom, Prikry forcing, and the Singular Cardinals Hypothesis
本文的目的是提出一些结果表明，奇异基数假设遵循的适当的强迫公理。我们要证明的是，一种同时反射的形式来自于集合映射反射原理，这是PFA的一个结果。虽然结果没有表明MRP意味着SCH，但将表明MRP意味着如果SCH首先在kappa处失败，则S_{kappa^+} ^omega = {a < kappa^+：cf（a）= omega}的每个固定子集都反映。它也将证明，MRP总是失败的泛型扩张Prikry强迫。
Dominating numbers at singular cardinals
本文研究奇异基数上的广义支配数，在ZFC及温和基数算术假设下证明两个下界，并通过Cohen力迫迭代与μ-cc偏序集力迫分别给出𝔡_μ小于或等于2^μ的一致性结果。
The super tree property at the successor of a singular
对于不可访问的基数$κ$，当且仅当$κ$是超紧凑的时，$κ$处的超级树属性（ITP）成立。然而，就像树属性一样，它可以在继任者红衣主教。我们证明了ITP在$ω$极限的后继上保持许多超紧基数.然后我们证明了它可以始终保持在$\aleph_{ω+1}$。我们还考虑了一个更强的原则，ISP，和它的某些较弱的变化。我们确定ISP的哪一个水平可以保持在一个奇异的继任者。这些结果适用于测试宇宙中可以存在多少紧致性的广泛程序，并在较小的基数上获得大基数型性质。
Distributivity and Minimality in Perfect Tree Forcings for Singular Cardinals
Dobrinen，Hathaway和Prikry研究了由高度为$λ$和宽度为$κ$的完美树组成的强迫$\mathbb{P}_κ$，其中$κ$是奇异的$ω$ -共尾性强极限$λ$。他们表明，如果$κ$是奇异的可数共尾性，那么$\mathbb{P}_κ$是最小的$ω$ -序列假设$κ$是一个序列的可测基数的上确界。我们在没有可测性假设的情况下得到了这个结果。Prikry证明了$\mathbb{P}_κ$是$(ω,ν)$ -分布的所有$ν<κ$给定一个奇异的$ω$ -强极限基数$κ$可数共尾性，和Dobrinen等人$.$问是否这个结果推广，如果$κ$有不可数共尾性。我们回答他们的问题在否定的表明，$\mathbb{P}_κ$是不是$(λ,2)$ -分布，如果$κ$是一个$λ$ -强极限的不可数共尾性$λ$，我们得到了相同的结果为一系列类似的强迫，包括一个多布里宁等$.$认为，由预完美树。我们还表明，$\mathbb{P}_κ$特别是不是$(ω,\cdot,λ^+)$ -分布在这些假设下。在发展这些想法的同时，我们解决了关于红衣主教的极小和崩溃的自然问题。
The Strong and Super Tree Property at Successors of Singular Cardinals
该研究聚焦奇异基数后继的强树性质与ITP（超树性质），构造通用力迫类，推广Neeman的结果，证明多种基数组合下两类性质同时成立的一致性，推进了同时在多个相继基数上获得两类树性质的问题研究。
Meager Sets, Games and Singular Cardinals
我们证明了关于无限二人拓扑博弈中存在有限记忆获胜策略的一个命题等价于奇异基数假设的一个弱版本。
Universal graphs between a strong limit singular and its power
解决了一个泛图的存在性与其强极限奇异性及其幂的一致性问题。假设在$\mathbf{GCH}$模型中，$κ$是超紧的，基数$θ< κ$，$λ> κ$是正则的，作为一种更一般的方法的应用，我们得到了一个力迫扩张，其中奇异基数假设$\textrm{cf}(κ) = θ$在$κ$处失效，基数$λ\in (κ,2^κ)$存在泛图.
Two remarks on Merimovich's model of the total failure of GCH
令$M$表示Merimovich模型，其中对于每个无限基数$λ, 2^λ=λ^{+3}$。我们证明了在$M$中下列情形成立：（1）Shelah的强假设在所有奇异基数上都不成立，确实$\forall λ(λ$是一个奇异基数$\Rightarrow pp(λ)=λ^{+3}).$（2）对于每个奇异基数$λ$，存在$M$的内模型$N$，使得$M$和$N$具有相同的$λ,$的有界子集$λ$是$N$中的奇异基数，$(λ^{+i})^N=(λ^{+i})^M$，对于$i=1,2,3,$和$N \models 2^λ=λ^{+}$ .因此，可以向$λ$添加许多新的新子集，而不向$λ$添加任何新的有界子集。
Rudin-Keisler capturing and Mutual Stationairy at successors of Singulars
我们引入了一个组合的措施，称为Rudin-Keisler捕获的概念，并使用它给出了一个新的建设周围的奇异基数的基本子结构。新的构造被用来建立在奇异基数$\langle \aleph_{ωn + 1}\rangle_{n< ω}$的第一后继上的互平稳结果。
Singular cofinality conjecture and a question of Gorelic
我们对Gorelic的一个问题\cite{Gorelic}给出了肯定的回答，证明了存在一个适当的基数类$α$，它与大基数的存在性是一致的，并且具有$cf(α)=ω_1$和$α^ω> α.$
Almost free groups and Ehrenfeucht-Fra\"ıssé games for successors of singular cardinals
通过研究基数为λ的固定群与自由阿尔贝群之间的长Escherichfeucht-Fraisse对策，加强了几乎自由阿尔贝群的非结构定理.如果同构参与者在长度为λ的博弈中有一个获胜策略，则称一个群为ε-无博弈群。我们证明了对于一个后继基数λ =mu^+的大集合，基数为λ的非自由（mu*omega_1）-对策-自由群的存在性。我们专注于奇异基数的继任者。
Strong Tree Properties Along Many Segments of Successors of Singulars
该研究从大基数出发，通过力迫构造证明了ITP可在奇异基数的可数初始段后继处同时成立，并推广得到奇异基数多共尾度长段后继处的强树性质的一致性。
Perfect Tree Forcings for Singular Cardinals
我们调查强迫性质的完美树强迫定义的Prikry回答Solovay在20世纪60年代后期的问题，关于第一次失败的分配。给定一个严格递增的正则基数序列$\langle κ_n: n< ω\rangle$，Prikry定义了强制$\mathbb{P}$是$\prod_{n<ω}κ_n$的所有完美子树，并证明了对于$κ=\sup_{n<ω}κ_n$，假设必要的基数算术，$\mathbb{P}$的布尔完备化$\mathbb{B}$对所有$μ<κ$是$(ω,μ)$ -分布的，但$(ω,κ,δ)$ -分布对所有$δ<κ$失败，意味着$(ω,κ)$ -d. l失败。这些迄今未发表的结果包括在内，为以下最近的结果奠定了基础。$\mathbb{P}$满足Sacks型性质，这意味着$\mathbb{B}$是$(ω,\infty,<κ)$ -分布的。$(\mathfrak{h},2)$ -d.l.和$(\mathfrak{d},\infty,<κ)$ -d.l.在$\mathbb{B}$中失败。$\mathcal{P}(ω)/\mbox{Fin}$完全嵌入$\mathbb{B}$。此外，$\mathbb{B}$将$κ^ω$折叠为$\mathfrak{h}$。我们进一步证明，如果$κ$是一个有限的可数许多可测的基数，然后$\mathbb{B}$增加了一个最小程度的新的$ω$序列的可构造性。这些结果推广到基数…
The nonstationary ideal on P_κ(lambda) for lambda singular
设kappa是正则不可数基数，lambda > kappa是奇异强极限基数.本文给出了P_kappa（lambda）的非平稳子集的一个新的刻画，并利用它证明了P_kappa（lambda）上的非平稳理想是不陡的。
Weak diamond and pcf theory
本文利用弱钻石原则推导出pcf(𝔞)的基数上界，并证明在温和假设下许多奇异基数ℵ_δ满足2^{ℵ_δ}<ℵ_{(|δ|^{+3})}。
On the arithmetic of density
基数$μ\geκ$的$κ$ -密度是$μ$的$κ$ -子集的稠密集合的最小基数，并且由$\mathcal D(μ,κ)$表示。对于具有共尾性$cfμ=κ$的奇异基数$μ$的奇异密度假设（SDH）是等式$\mathcal D(μ,κ)=μ^+$。$μ$和$λ$的广义密度假设（GDH），使得$λ\leμ$为：如果$cfμ\not=cfλ$，则为$\mathcal D(μ,λ)=μ$;如果$cfμ=cfλ$，则为$\mathcal D(μ,λ)=μ^+$。密度满足西尔弗定理。最重要的例子是：定理2.6。如果$κ=cfκ<θ=cfμ<μ$和满足\textsf{SDH}的共尾性$κ$的基数集$λ<μ$在$μ$中是固定的，则SDH保持在$μ$。定理3.2如果奇异密度假设对具有某个固定共尾性$κ$的所有足够大的奇异基数成立，则对具有$cfλ\ge κ$的所有基数$λ$，对所有足够大的$μ$，GDH成立。
The Halpern--Läuchli Theorem at singular cardinals and failures of weak versions
本文继续研究不可数基数下的Halpern-Läuchli定理。在ZFC中，我们证明了树高为$κ$的Halpern-Läuchli定理在$κ$强不可达且着色小于$κ$时成立.我们证明了Halpern-Läuchli定理的高度$κ$，其中$κ$是可数共尾性的强极限基数的许多树的一致性。另一方面，我们证明了失败的弱形式Halpern-\Lauchli \树高度$κ$，每当$κ$是一个强不可达的，非Mahlo基数或奇异强极限基数的共尾性的继任者的一个正则基数。我们还证明了失败的$L$的一个弱版本的所有强不可达，非弱紧的基数。
Exact saturation in pseudo-elementary classes for simple and stable theories
我们研究PC-精确饱和稳定和简单的理论。在其他结果中，我们表明，PC-精确饱和度的特点的稳定基数的大小至少连续的可数稳定的理论，此外，简单的不稳定的理论有PC-精确饱和度在奇异基数，满足温和的集理论的假设，这以前已经开放的随机图。我们用在可数共尾的奇异基数上具有PC-正合饱和性来刻画可数理论的超简单性。我们还考虑了PC-精确饱和的局部模拟，表明可数共尾性的奇异基数的局部PC-精确饱和表征了超短理论。
Saturated filters at successors of singulars, weak reflection and yet another weak club principle
设λ是一个奇异基数μ的后继，μ的共尾性是一个不可数的基数kappa。给出了集中在共尾点kappa上的lambda俱乐部滤子不饱和的充分条件。这个条件是用一个我们称之为弱反射的概念来表述的。讨论了弱反射的各种性质
Total Failure of Approachability at Successors of Singulars of Countable Cofinality
在可数余数的后继点中，研究了非可接近点的存在性，解决了Mitchell和Foreman、Shelah的问题。
On the Splitting Number at Regular Cardinals
设$κ$，$λ$是正则不可数基数，使得$λ> κ^+$不是低共尾性的奇异基数的后继.我们构造了一个泛型扩张与$s(κ) = λ$从地面模型，其中$o(κ) = λ$和证明，假设$\neg 0^¶$，$s(κ) = λ$意味着$o(κ) \geq λ$的核心模型。
Small u(kappa) at singular kappa with compactness at kappa++
证明了$κ^{++}$的树性质、平稳反射和不可逼近性与$\mathfrak{u}(κ) = κ^+ < 2^κ$一致，其中$κ$是具有可数或不可数共尾性的奇异强极限基数.作为一个副产品，我们表明，如果$λ$是一个正则基数，那么在$λ^+$的静态反射是不可摧毁的所有$λ$ -CC强迫下（出于普遍的兴趣，我们还陈述了一个相关的结果，俱乐部静态反射的保存）。
Diagonal supercompact Radin forcing
出于构建一个模型的目标，其中没有$κ$ -Aronszajn树的任何定期$κ>\aleph_1$，我们产生了一个模型与许多奇异基数的奇异基数假设和弱平方失败。
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