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单环定理中支撑收敛的指数界

Exponential bounds for the support convergence in the Single Ring Theorem

Florent Benaych-Georges

备注：
15 pages, 1 figure. Minor typos corrected, references added. To appear in J. Funct. Anal
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摘要：

我们考虑一个$n$乘$n$矩阵的形式为$A=UTV$，其中$U, V$是一些独立的Haar分布酉矩阵，而$T$是一个确定性矩阵。本文证明了对于$k\sim n^{1/6}$和$b^2:=\frac{1}{n}\operatorname{Tr}(|T|^2)$，当$n$趋于无穷大时，我们有$$\mathbb{E} \operatorname{Tr} (A^{k}(A^{k})^*) \ \lesssim \ b^{2k}\qquad \textrm{and} \qquad\mathbb{E}[|\operatorname{Tr} (A^{k})|^2] \ \lesssim \ b^{2k}.$$这给出了单环定理中支撑的收敛性的一个简单的证明（稍微减弱了假设），将这种收敛性的误差界从$n^{-α}$改进为$e^{-cn^{1/6}}$，并证明了这种收敛速度至多为$n^{-1/6}\log n$ .

英文摘要：

We consider an $n$ by $n$ matrix of the form $A=UTV$, with $U, V$ some independent Haar-distributed unitary matrices and $T$ a deterministic matrix. We prove that for $k\sim n^{1/6}$ and $b^2:=\frac{1}{n}\operatorname{Tr}(|T|^2)$, as $n$ tends to infinity, we have $$\mathbb{E} \operatorname{Tr} (A^{k}(A^{k})^*) \ \lesssim \ b^{2k}\qquad \textrm{and} \qquad\mathbb{E}[|\operatorname{Tr} (A^{k})|^2] \ \lesssim \ b^{2k}.$$ This gives a simple proof (with slightly weakened hypothesis) of the convergence of the support in the Single Ring Theorem, improves the available error bound for this convergence from $n^{-α}$ to $e^{-cn^{1/6}}$ and proves that the rate of this convergence is at most $n^{-1/6}\log n$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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