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McKean-Vlasov随机微分方程在熵与Wasserstein距离下的指数收敛性

Exponential Convergence in Entropy and Wasserstein Distance for McKean-Vlasov SDEs

Panpan Ren, Feng-Yu Wang

备注：
25 pages
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AI总结：

本文针对McKean-Vlasov随机微分方程，证明了分布到唯一平稳测度的Wasserstein距离与相对熵之和随时间呈指数衰减，并将结果推广到更一般的颗粒介质型方程。

摘要：

对于（非退化或退化的）McKean-Vlasov随机微分方程，证明了如下类型的指数收敛性：$$W_2(μ_t,μ_∞)^2 +{\rm Ent}(μ_t|μ_∞)\le c {\rm e}^{-λt} \min\big\{W_2(μ_0, μ_∞)^2,{\rm Ent}(μ_0|μ_∞)\big\},\\ \\ t\ge 1,$$ 其中 $c,λ>0$ 为常数，$μ_t$ 是解在时刻 $t$ 的分布，$μ_∞$ 是唯一的平稳概率测度，${\rm Ent}$ 表示相对熵，$W_2$ 表示 $L^2$-Wasserstein距离。特别地，这类指数收敛性对某些（非退化或退化的）颗粒介质型方程成立，这些方程推广了[CMV, GLW]中关于平均场熵指数收敛的研究。

英文摘要：

The following type exponential convergence is proved for (non-degenerate or degenerate) McKean-Vlasov SDEs: $$W_2(μ_t,μ_\infty)^2 +{\rm Ent}(μ_t|μ_\infty)\le c {\rm e}^{-λt} \min\big\{W_2(μ_0, μ_\infty)^2,{\rm Ent}(μ_0|μ_\infty)\big\},\ \ t\ge 1,$$ where $c,λ>0$ are constants, $μ_t$ is the distribution of the solution at time $t$, $μ_\infty$ is the unique invariant probability measure, ${\rm Ent}$ is the relative entropy and $W_2$ is the $L^2$-Wasserstein distance. In particular, this type exponential convergence holds for some (non-degenerate or degenerate) granular media type equations generalizing those studied in [CMV, GLW] on the exponential convergence in a mean field entropy.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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