Existence and Regularity of Minimizers for a Plateau Approximation Problem
INSA Lyon, CNRS, Ecole Centrale de Lyon, Université Claude Bernard Lyon 1, Université Jean Monnet, Intitut Camille Jordan（里昂国立应用科学学院、法国国家科学研究中心、里昂中央理工学院、克洛德·贝尔纳里昂大学、让·莫内大学、卡米尔·乔丹研究所）
本文研究Plateau近似问题极小值的存在性与正则性，推广了一维Steiner问题的近似结果到高维表面。
2026-02-09 math.AP
Minimisers of the Allen-Cahn equation and the asymptotic Plateau problem on hyperbolic groups
研究了Gromov-双曲群上Allen-Cahn方程的非常数一致有界极小解的存在性。我们证明了，只要Allen-Cahn方程中的Laplace项足够小，就存在满足一大类规定渐近行为的极小解。对于双曲群上的相场模型，这样的解描述了由渐近方向给出的渐近收敛于规定相位的相变。在德乔治猜想的精神，我们然后修复一个渐近行为，让拉普拉斯项为零。在极限下，利用$Γ$ -收敛性得到了相应的渐近坪问题的解.
2015-08-27 math.AP math.DS math.MG
Energy-minimizing torus-valued maps with prescribed singularities, Plateau's problem, and BV-lifting
本文建立余维数为一时环面值映射的 $W^{1,1}$ 能量、BV 提升能量与 normal/integral 流 Plateau 最小质量之间的等价关系，并给出积分 Plateau 问题解的界。
2024-02-27 math.AP math.OC
On the asymptotic Plateau problem in hyperbolic space
本文解决了双曲空间中常$σ_{n-1}$曲率的渐近Plateau问题，即在$σ_{n-1}$中存在一个完备超曲面满足$σ_{n-1}(κ)=σ\in (0,n)$，且具有一个预先给定的渐近边界$Γ$ .关键因素是曲率估计。以前，这仅对$σ_0<σ<n$是已知的，其中$σ_0$是正常数。
2023-02-13 math.AP math.DG
Phase field approximation for Plateau's problem: a curve geodesic distance penalty approach
本文研究Plateau问题的相场逼近，提出结合Ambrosio-Torterelli能量与测地距离项的模型，在单曲线情形下进行Gamma-收敛分析，并通过数值优化方案在大量算例中获得了问题解的良好逼近。
2025-06-27 cs.NA math.AP math.NA
The evolution of H-surfaces with a Plateau boundary condition
在本文中，我们考虑与经典的高原问题的热流指定的中曲率的表面。我们证明了H上的等周条件保证了整体弱解的存在性。此外，我们建立了这些全球解决方案的次收敛，随着时间趋于无穷大，一个共形的解决方案的经典高原问题的表面规定的中曲率。
2013-08-08 math.AP
Plateau's problem in Finsler 3-space
我们探讨了基于Busemann-Hausdorff体积形式的Finsler面积泛函与Cartan泛函之间的联系，以解决Finsler 3-空间中的Plateau问题，并证明了解的更高正则性。自由和半自由几何边值问题，以及Finsler空间中的Douglas问题都可以用同样的方法处理。对于Finsler空间中的极小曲面，我们也给出了一个简单的等周不等式.
2012-09-11 math.AP math.CA math.DG
A hierarchy of Plateau problems and the approximation of Plateau's laws via the Allen--Cahn equation
本文提出带体积约束与张成条件的 Allen–Cahn 扩散界面 Plateau 问题，证明两类奇异极限分别收敛到毛细作用与经典 Plateau 问题，并由此说明 Plateau 型奇点可被 Allen–Cahn 极小解逼近。
2023-12-18 math-ph math.AP math.DG
Effects of surface tension and elasticity on critical points of the Kirchhoff-Plateau problem
本文提出修改后的Kirchhoff-Plateau问题，通过添加能量项惩罚横截面形变，推导了平面版本的Euler-Lagrange方程，并证明了在物理参数范围内存在唯一临界点，最后分析了表面张力对平衡时横截面形状的影响。
2024-06-27 math.AP
Optimal regularity up to the boundary for Plateau-quasi-minimizers
本文研究带边界条件的Plateau拟极小化子的最优正则性，证明其可由具有Ahlfors正则边界的双John域刻画，并建立了到边界的Ahlfors正则性与一致可整流性。
2025-07-17 math.AP math.OC
The Plateau-Douglas problem for singular configurations and in general metric spaces
假设给定$\mathbb{R}^n$中不相交的可求长Jordan曲线的有限配置$Γ$。Plateau-Douglas问题是问在所有至多$p$的紧曲面中是否存在一个面积极小元，该极小元的亏格为$Γ$。虽然这个问题的解决方案是众所周知的，经典的方法打破了，如果一个允许奇异配置$Γ$，其中曲线是潜在的不相交或自相交。我们的主要结果解决了高原道格拉斯问题，这种潜在的奇异配置。此外，我们的证明不仅适用于$\mathbb{R}^n$，而且适用于一般的真度量空间。因此，我们也能够推广以前已知的存在性结果Jürgen Jost以及第二作者与Stefan Wenger一起对正则配置。特别地，在一般完备黎曼流形中Jordan曲线的不相交构型的存在性是新的。即使在最规则的设置中，也不需要总是存在限定给定配置$Γ$的固定亏格$p$的极小曲面。关于这个问题，我们也推广了奇异配置的方法，通过满足凝聚和粘附条件的最小序列的度量空间的设置。
2020-08-20 math.AP math.DG math.MG
A non-parametric Plateau problem with partial free boundary
我们考虑了余维$1$中的非参数平台问题。本文仅在有界凸区域$Ω\subset\mathbb{R}^2$的部分边界$\partial Ω$上给出了Dirichlet边界基准。在狄利克雷基准没有规定的地方，我们允许与水平面自由接触。我们证明了解的存在性，并证明了相应的极小曲面的正则性。最后，我们将这些解与Meeks和Yau的经典极小曲面进行了比较，并证明了当Dirichlet边界数据被指定在$\partial Ω$的至多$2$不相交弧中时，它们是等价的.
2022-01-16 math.AP
Plateau's problem as a singular limit of capillarity problems
肥皂膜在平衡建模，而不是作为表面，作为小的总体积的区域，通过引入一个同伦的跨越条件的毛细作用问题。这一观点在经典的高原问题中引入了一个长度尺度，这反过来又在消失的体积极限中得到了恢复。面积最小化超曲面的这种近似导致了高原问题的基于能量的选择原则，指出了肥皂膜的物理特征，这些物理特征是通过简单地查看极小曲面无法访问的，并打开了几个具有挑战性的问题。
2021-05-04 math-ph math.AP math.MP
Smooth Solutions to Asymptotic Plateau Type Problem in Hyperbolic Space
在存在渐近子解的条件下，研究了双曲空间中具有给定Weingarten曲率且在无穷远点有渐近边界的光滑完备超曲面的存在性.利用Pogorelov型内部二阶估计，对渐近边界$Γ$约束一致凸区域的情形$k = n$和$Γ$约束圆盘的情形$k < n$给出了肯定的回答.我们的结果补充了我们以前的工作\cite{Sui2019, Sui-Sun}，并推广了渐近高原型问题的非常数规定曲率的情况。
2022-06-30 math.AP math.DG
Plateau's Problem: What's Next
高原的问题不是一个单一的猜想或定理，而是一个抽象的框架，包括一些不同的问题，在几个相关的数学领域。在其最一般的形式，高原的问题是找到一个元素的给定集合\(\cal{C} \)的“表面”指定的一些边界约束，最小化，或者是一个临界点，一个给定的“面积”功能\(F:\cal{C}\to \R \)。此外，还应该证明任何这样的元素满足某种正则性，即它是远离行为良好的奇异集的充分光滑流形。使这个问题精确化的明显选择导致了这个问题的许多不同版本。高原的问题产生了大量的论文，启发了新的数学领域，并引起了技术已被证明是有用的应用更远。在这篇评论中，我们讨论了过去一百年来的一些亮点，特别注意费德勒，弗莱明，Reifenberg和Almgren从20世纪60年代的论文，以及几个团体的作品，包括我们自己，近年来在这个问题的不同方面取得了重大进展。一些开放的问题。
2016-05-03 math.AP
The planar Plateau's problem via capillarity
本文基于二维毛细作用表述重新审视 Plateau 问题，通过在变分长度极小化方案中引入非局部几何势来研究肥皂膜模型，从而纳入厚度影响并为解释塌缩现象等物理现象提供新见解。
2024-10-16 math.AP math.CA
Families of surfaces with constant ratio of principal curvatures and Plateau's problem
King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）
本文提出构造包含给定极小曲面的常主曲率比率曲面族的方法，部分解决CRPC曲面的Plateau问题，并展示迷向几何方法及逐次逼近法的应用。
2025-10-16 math.AP math.DG
Uniqueness in the Plateau problem for calibrated currents
University of California, Irvine（加州大学尔湾分校）；University of Notre Dame（圣母大学）
该研究针对校准流的有向Plateau问题，结合面积最小化流的边界正则性理论与Frank Morgan风格的唯一延拓论证，证明了具连通$C^{3,α}$边界的紧支撑光滑校准积分流的解唯一性，还推广至连续校准积分平链，并在余维1情形给出以校准形式正则性表述的唯一性充分条件。
2025-10-22 math.AP math.DG
A diameter bound for compact surfaces and the Plateau-Douglas problem
本文利用无边界闭曲面的Topping直径界，给出了欧几里得空间中任意余维连通紧致曲面（有边界）直径界的一个几何论证.如果Topping猜想成立，则所得到的估计对于极小曲面在最优性的意义上是最优的。我们的结果直接暗示了经典Plateau-Douglas问题的显式不存在性准则。我们展示边界轮廓的例子，以确保我们的标准是不同类型的经典标准的基础上的最大值原理和白色的标准的基础上的密度估计。
2023-01-10 math.AP math.DG
Generic uniqueness for the Plateau problem
本文在Riemann流形中构造边界的$C^{h,\alpha}$扰动空间，证明按Baire范畴的典型边界对应唯一且重数为一的极小整流解。
2023-08-18 math.AP
Asymptotics as $s\searrow 0$ of the nonlocal nonparametric Plateau problem with obstacles
本文研究非局部极小图在障碍下的存在性、先验估计及两种设定的等价性，发现当分数参数趋小时，非局部极小图会完全贴合障碍并渐近离开域内。
2026-04-13 math.AP
Uniqueness of Weak Solutions of the Plateau Flow
本文研究了高原流的弱解的唯一性。高原流首先由Wettstein作为半拉普拉斯热流引入，最近由Struwe利用替代方法进行了研究。这种几何梯度流是感兴趣的，由于其与自由边界极小曲面和高原问题的联系。在能量满足一定的自然条件下，得到了该流的弱解的唯一性，肯定地回答了Struwe提出的一个问题.
2023-03-22 math.AP math.DG
Solutions to the Reifenberg Plateau problem with cohomological spanning conditions
我们证明了在\(\R^n \)中任意维数和余维的一般曲面上的Hölder密度极小解的存在性和正则性，满足上同调边界条件，为Reifenberg的Plateau问题提供了一个自然的对偶。本文推广了Reifenberg，Besicovitch和Adams的方法，特别是推广了Reifenberg所使用的一类极小化序列（其极限具有良好的性质，包括下密度的下界和有限Hausdorff测度），证明了这类极小化序列的存在性，并给出了上同调生成条件.我们的上同调引理是对偶版本的同源引理在著名的附录亚当斯发现Reifenberg的1960年文件。
2016-06-02 math-ph math.AP math.DG
Stationary curves under the Möbius-Plateau energy
本文研究具有 Möbius 自排斥能量的 Plateau 问题，证明给定纽结型下闭 Lipschitz 曲线解的存在性，并通过 Euler-Lagrange 方程分析螺旋带变分，揭示螺旋型解丰富而带状解需满足高频率、窄宽度和近轴等强约束。
2025-03-09 math.AP math.DG
The non-parametric problem of Plateau in arbitrary codimension
本文研究了在任意维数和余维数下求具有给定边界数据的最小图的问题。存在性，唯一性，稳定性和正则性。我们首先介绍了著名的结果余维1：Jenkins-Serrin的存在性定理，凸性的唯一性和稳定性的区域和De Giorgi的正则性定理。在高余维下，我们首先讨论Lawson和Osserman的反例.然后我们介绍了王慕涛的最新结果：我们使用中曲率流来证明小边界数据的存在性，并证明了一个新的Bernstein定理（也是由于王慕涛），它对每一个面积减少的最小图都成立。最后，我们从Bernstein定理推出面积减少的极小图总是光滑的。
2004-11-26 math.AP math.DG
On the Plateau-Douglas problem for the Willmore energy of surfaces with planar boundary curves
对于光滑的闭嵌入平面曲线$Γ$，考虑了以曲线$Γ$为边界的给定亏格$\mathfrak{g}\geq1$的浸入曲面间Willmore能量的极小化问题，而不需要对余法线作任何规定.通过一般的下界估计，证明了当$Γ$为圆时，该问题等价于嵌入曲面，且不存在极小元，且下确界等于$β_\mathfrak{g}-4π$，其中$β_\mathfrak{g}$为亏格$\mathfrak{g}$的闭极小曲面的能量.对于渐近平坦曲面上适当的相似定义的极小化问题，我们还证明了当$Γ$是一条直线时，同样的结果也成立.然后，我们研究的情况下，$Γ$是紧凑的，$\mathfrak{g}=1$和竞争者被限制到一个合适的类$\mathcal{C}$的varifolds包括嵌入式表面。我们证明了在适当的假设下，极小存在于这类广义曲面。
2020-07-21 math.AP
The asymptotic Plateau problem for Hypersurfaces of constant $H_{k}$ curvature in hyperbolic space
Key Laboratory of Pure and Applied Mathematics, School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院纯数学与计算数学重点实验室）；Institute of Mathematics, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院数学研究所）
本研究针对双曲空间中常$H_k$曲率超曲面的渐近Plateau问题，证明了满足指定曲率条件与无穷远渐近边界的光滑完备$k$-凸超曲面的存在性，将既有存在性定理中常数$σ$的取值范围拓展至完整的$(0,1)$区间。
2026-09-02 math.AP math.DG
Euler-Plateau, with a twist
一个推广的欧拉高原问题，以占由于扭曲的边界环的能量贡献提出。欧拉-拉格朗日方程推导出在一个参数化的设置和分岔分析。一对无量纲参数支配着从平坦圆形基态的分叉。虽然其中一个是熟悉的欧拉-高原问题，另一个包括信息的扭曲弯曲刚度，扭曲，和大小的环的比例。对于后者的参数足够小的值，两个独立的组的分叉模式被确定。另一方面，对于扭转圆环的分叉的Michell问题中所产生的大于临界扭转的值，仅存在一个分叉模式。分叉图表明，具有较大扭转刚度的回路显示出更大的抗横向屈曲能力。然而，由具有均匀表面张力的表面所跨越的扭曲且闭合的长丝在小于弹性环的临界值的扭曲下断裂。
2014-05-07 cond-mat.soft math-ph math.AP
The resolution of the Yang-Mills Plateau problem in super-critical dimensions
研究了超临界维数$n\geq 5$中固定边界连接下的Yang-Mills能量极小化问题.我们定义的自然函数空间A_{G}，在其中制定这个问题的模拟空间的积分电流用于经典的高原问题。空间A_{G}也可以被解释为一个空间的弱连接的“实测度理论版本”的自反层从复杂的几何。我们证明了弱闭包的结果，该结果保证了A_{G}中能量最小弱连通的存在性。然后我们证明了任何来自A_{G}的弱联络都可以作为带缺陷丛上经典联络的L^2-极限得到。这个近似结果，然后扩展到一个Morrey模拟。证明了Yang-Mills局部极小的最优正则性结果。在证明这一结果的过程中，我们建立了一个具有小Yang-Mills密度的弱曲率的库仑规范抽取定理。这推广到弱$L^2$曲率的一般框架Meyer-Rivière和Tao-Tian的工作，其中分别假设了强逼近性和容许性。
2016-06-29 math.AP math.DG
On the singular planar Plateau problem
本文针对平面中允许任意自相交的 Lipschitz 曲线，给出了计算其张成极小圆盘面积的显式公式，从而在无需单射假设的条件下解决了奇异 Plateau 问题。
2024-02-26 math.AP
Partial Plateau's Problem with $H$-mass
本文研究部分 Plateau 问题，允许曲面边界仅部分覆盖给定边界，通过引入 $H$-质量并利用 BV 紧性定理，证明了在更大对象类上极小元的存在性。
2023-05-09 math.AP math.CA math.DG
Solution of the Kirchhoff-Plateau problem
Kirchhoff-Plateau问题涉及一个系统的平衡形状，在该系统中，一个闭环形式的柔性细丝被一个液膜跨越，细丝被建模为Kirchhoff棒，跨越表面的作用仅仅是由于表面张力。我们建立了一个平衡形状的存在，最大限度地减少了系统的总能量下的物理约束的非相互渗透的物质，但允许点的表面上的边界循环接触。在我们的处理中，边界环保留了有限的横截面厚度和非零体积，而液体膜由有限的二维Hausdorff测度表示。此外，液体膜接触边界环的表面的区域不是先验规定的。我们的数学结果证实了所选模型的物理相关性。事实上，无论长丝的表面张力和弹性响应之间的竞争有多强，系统总是能够进行调整以实现符合实验中遇到的物理约束的配置。
2017-01-15 math-ph math.AP math.MP
The Asymptotic Plateau Problem for $p$-Convex Hypersurfaces in Hyperbolic Space
Harbin Normal University（哈尔滨师范大学）；Harbin Institute of Technology（哈尔滨工业大学）
本文解决了双曲空间中由主曲率 $p$ 重和的正规化几何平均定义的曲率的渐近 Plateau 问题，将已知情形推广到所有 $n\ge3$、$2\le p\le n-1$，并证明了唯一完备可容许垂直图的存在性，关键是通过一致曲率估计和两个三阶导数下界实现。
2026-09-29 math.AP math.DG
