发表机构
Harbin Normal University; Harbin Institute of Technology（哈尔滨师范大学; 哈尔滨工业大学）
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本文解决了双曲空间中由主曲率 $p$ 重和的正规化几何平均定义的曲率的渐近 Plateau 问题，将已知情形推广到所有 $n\ge3$、$2\le p\le n-1$，并证明了唯一完备可容许垂直图的存在性，关键是通过一致曲率估计和两个三阶导数下界实现。
AI 中文摘要
我们解决了双曲空间中由主曲率的 $p$ 重和的正规化几何平均所给出的曲率的渐近 Plateau 问题。对于每个 $n\ge3$、$2\le p\le n-1$ 以及 $\sigma\in(0,1)$，每个具有光滑平均凸边界的有限域 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ 都允许一个唯一的完备可容许垂直图，其具有指定曲率 $\sigma$ 和渐近边界 $\partial\Omega\times\{0\}$。该结果将已知情形 $(n,p)=(3,2)$ 和 $(4,3)$ 推广到所述范围。关键的曲率估计关于近似 Dirichlet 问题中的正边界高度是一致的。证明在线性化约束下建立了完整的三阶导数二次型的两个下界：一个具有系数 $2/p$ 的尖锐通用界，以及当相关主曲率位于指定范围内时的一个更强的方向依赖界。
英文摘要
We solve the asymptotic Plateau problem in hyperbolic space for the curvature given by the normalized geometric mean of the $p$-fold sums of the principal curvatures. For every $n\ge3$, $2\le p\le n-1$, and $σ\in(0,1)$, each bounded domain $Ω\subset\mathbb{R}^n$ with smooth mean-convex boundary admits a unique complete admissible vertical graph with prescribed curvature $σ$ and asymptotic boundary $\partialΩ\times\{0\}$. The result extends the known cases $(n,p)=(3,2)$ and $(4,3)$ to the stated range. The key curvature estimate is uniform with respect to the positive boundary height in the approximating Dirichlet problems. The proof establishes two lower bounds for the full third-derivative quadratic form under the linearized constraints: a sharp universal bound with coefficient $2/p$ and a stronger direction-dependent bound when the relevant principal curvature lies in a specified range.
