The extended binary quadratic residue code of length 42 holds a 3-design
本文证明了$[42,21,10]$扩展二元二次剩余码的权$10$的码字是参数$3-(42,10,18).$设计的，其自同构群与$PSL(2,41)$同构.它的存在既不能用传递性论证来解释，也不能用阿斯穆斯-马特森定理来解释。
2021-05-06 cs.IT math.CO math.IT
Exceptional designs in some extended quadratic residue codes
本文证明了长度为14的扩展三元二次剩余码和长度为18的扩展四元二次剩余码中存在3-设计。
2023-06-28 cs.IT math.CO math.GR
On the Weight Distribution of the Extended Quadratic Residue Code of Prime 137
利用单偶码的Gleason定理，给出了素数p = 8m + 1的形式自对偶偶二元扩展二次剩余码的Hamming重量计数函数.利用这一定理，一旦已知汉明重量为j A_j（0 <= j <= 2m）的码字的数目，就完全确定了扩展二次剩余的汉明重量分布。对应的扩展二次剩余码的汉明重量分布未知的最小素数是137。本文指出，当p=137时，A_2m = A_34可不需穷举码字计数而得到。在计算了Gleason定理所要求的Aj的余数并利用它们的同余独立地验证了它们之后，导出了素数为137的二元增广二次剩余码的Hamming重量分布。
2008-01-25 cs.DM cs.IT math.IT
New extremal binary self-dual codes of length 68 from quadratic residue codes over f_2+uf_2+u^2f_2
本文研究了环F2 + uF 2 +u^2F2（u^3 = u）上的二次驻留码.定义了一个从F2 + uF 2 + u^2F2到（F2）^3的保持距离的对偶Gray映射.利用二次双循环码，得到了不同长度的二次加边双循环码及其扩张码。作为这些码及其推广的Gray映象，我们发现了大量新的极值二元自对偶码，更确切地说，我们发现了32个新的长度为68的极值二元自对偶码，363个参数为Ⅰ类的码[72; 36; 12]，一个参数为Ⅱ类的码[72; 36; 12]和一个参数为Ⅱ类的码[96; 48; 16]通过这些构造得到了具有新的权枚举数的码。将结果制成表格。
2013-12-10 cs.IT math.IT
Self-dual codes and quadratic residue codes over the ring $\mathbb{Z}_9+u\mathbb{Z}_9$
本文对具有$u^2=u$的$\mathbb{Z}_9+u\mathbb{Z}_9$上的线性码引入了一个新的Gray重量和Gray映射的定义.研究了环上自对偶码的一些结果。此外，还考虑了二次剩余码的结构性质。得到了$\mathbb{Z}_9$上两个参数为$[22,11,5]$和$[24,12,9]$的自对偶码.
2014-12-31 cs.IT math.IT math.RA
Quadratic Residue Codes over $\mathbb{Z}_{121}$
Indian Institute of Technology Ropar（印度技术学院罗帕尔分校）
本文研究了特定长度的循环码，探讨了二次剩余码的性质及其扩展码的Gray映射，并展示了其大置换自同构群，为置换解码提供了可能。
2026-03-25 cs.IT math.IT math.NT
Infinite series of $3$-designs in the extended quadratic residue code
本文证明素数$r$下$\mathbb{F}_{r^2}$上扩展二次剩余码中存在$3$-设计的无穷级数。
2024-06-05 cs.IT math.CO math.GR
On quadratic residue codes and hyperelliptic curves
一个长期存在的问题是开发用于纠错的“好的”二进制线性码。本文详细研究了利用二次剩余码和超椭圆曲线之间的联系对这个问题的攻击。编码理论用来解决的一个问题是：是否存在c<2，使得对于所有足够大的$p$和GF（p）的所有子集S，我们有|X_S（GF（p））|< cp？
2008-02-21 cs.IT math.AG math.CO
Nonbinary stabilizer codes over finite fields
量子通信和计算中的一个巨大困难是保护携带信息的量子态免受与环境的不期望的相互作用。在过去的几年中，许多优秀的量子纠错码都是以二元稳定子码的形式出现的。容错量子计算促进了对非二进制量子码的研究，但这种码的理论不如二进制量子码先进。本文描述了有限域上稳定子码的基本理论。稳定子码和一般量子码之间的关系，澄清了这些对象引入伽罗瓦理论。利用GF（q^2）上的经典码对GF（q）上的非二元稳定子码进行了刻画，推广了二元情况下GF（4）上的加法码的概念.本文给出了稳定子码的最小距离的上下界，给出了几种稳定子码的构造方法，并导出了稳定子码族，包括量子汉明码、二次剩余码、量子Melas码、量子BCH码和量子特征码。Rains的删余理论被推广到不一定是纯的加法码。给出了最大距离可分稳定子码的最大长度的界。开放的问题的讨论结束本文。
2005-08-17 cs.IT math.IT quant-ph
Graphs, Quadratic Forms, and Quantum Codes
我们证明了有限域上的任何稳定子码都等价于图形量子码。进一步证明了有限域上的图量子码是稳定子码。证明中使用的技术在量子码和二次型之间建立了新的联系。我们提供了一些简单的例子来说明我们的结果。
2007-03-13 cs.IT math.IT quant-ph
Quadratic residue codes over the ring $\mathbb{F}_{p}[u]/\langle u^m-u\rangle$ and their Gray images
设$m\geq 2$为任意自然数，$\mathcal{R}=\mathbb{F}_{p}+u\mathbb{F}_{p}+u^2\mathbb{F}_{p}+\cdots+u^{m-1}\mathbb{F}_{p}$为有限非链环，其中$u^m=u$和$p$是$1$模$(m-1)$的素同余.本文研究了环$\mathcal{R}$上的二次剩余码及其推广.定义了一个从$\mathcal{R}$到$\mathbb{F}_{p}^m$的灰度映射，该映射保持了线性码的自对偶性.由此构造了自对偶码、形式自对偶码和自正交码。为了说明这几个例子的自对偶，自正交和正式的自对偶码。其中构造了$\mathbb{F}_{7}$上的一个[9，3，6]线性码，该码是自正交的，并且几乎是MDS码.具有这些参数的最著名的线性码（参考文献Magma）不是自正交的。
2016-09-26 cs.IT math.IT math.NT
Performance and analysis of Quadratic Residue Codes of lengths less than 100
本文给出了长度在100以内的二次剩余码（QR码）在采用硬译码、软译码和线性规划译码算法时的性能，并进行了分析。我们开发了一种简单的方法来估计软解码性能，这避免了大量的模拟。此外，提出了一种基于仿真的算法，以获得长度在100以内的QR码的最大似然解码性能。此外，提出了四个重要的定理来预测的硬解码和最大似然解码的性能，其中他们可以探索QR码的一些内部性质。结果表明，这四个定理可以应用于长度小于100的QR码的解码性能预测。相反，它们可以直接推广到更长的QR码。据我们所知，这种结果在文献中从未见过。仿真结果表明，估计的硬解码性能是非常准确的，在整个信号噪声比（SNR）制度，而推导出的上限的最大似然解码仅适用于中等到高SNR区域。对于所考虑的QR码中的每一个，软解码比硬解码好大约1.5dB。通过使用强大的冗余奇偶校验切割，基于线性规划的解码算法，即，ACG-ALP解码算法对于任何QR码都执行得非常好。有时，它甚至明显优于基于Chase的软解码算法，因此距离最大似然解码只有十分之几dB。
2014-08-25 cs.IT math.IT
All binary linear codes that are invariant under $\PSL_2(n)$
射影特殊线性群$\PSL_2(n)$在集合$\{0,1, \cdots, n-1, \infty\}$上对所有素数$n$是$2$ -传递的，对$n \equiv 3 \pmod{4}$是$3$ -齐次的.扩展类奇二次剩余码在$\PSL_2(n)$下是不变的。因此，扩展的二次剩余码保持了素数$n \equiv 1 \pmod{4}$的$2$ -设计的无限族，素数$n \equiv 3 \pmod{4}$的$3$ -设计的无限族.为了用$t \in \{2, 3\}$构造更多的$t$ -设计，需要寻找在$\PSL_2(n)$作用下不变的有限域上的其它扩展循环码.本文的目的是证明扩展二次剩余二元码是唯一在$\PSL_2(n)$下不变的非平凡扩展二元循环码。
2017-04-04 cs.IT math.IT
Binary sequences derived from differences of consecutive quadratic residues
对于素数$p\ge 5$，令$q_0,q_1,\ldots,q_{(p-3)/2}$是以递增顺序模$p$的二次剩余。本文研究了由$d_n=q_n+q_{n+1}\bmod 2$和$t_n=1$定义的两个$(p-3)/2$ -周期二元序列$(d_n)$和$(t_n)$，如果$q_{n+1}=q_n+1$和$t_n=0$不是，则为$n=0,1,\ldots,(p-5)/2$ .对于这两个序列，我们找到了一些充分条件，达到最大的线性复杂度$(p-3)/2$。研究$(d_n)$的线性复杂度的动机是Caragiu等人的数学。然而，$(d_n)$是不平衡的，我们表明，一个周期的$(d_n)$包含约$1/3$零和$2/3$ 1，如果$p$是足够大的。相比之下，对于任何固定的$s$和足够大的$p$，$(t_n)$不仅基本上平衡，而且长度$s$的所有较长模式在载体序列$(t_n,t_{n+1},\ldots,t_{n+s-1})$、$n=0,1,\ldots,(p-5)/2$中基本上同样经常出现。
2020-05-07 cs.CR cs.IT math.IT
Nonbinary Error-Detecting Hybrid Codes
混合码同时对量子和经典信息进行编码，允许两者通过量子信道进行传输。我们构建了一个家庭的非二进制错误检测混合稳定器代码，可以检测一个错误，同时也编码一个单一的经典位的剩余类环$\mathbb{Z}_{q}$的启发，非二进制非加性代码的建设。
2020-02-25 cs.IT math.IT quant-ph
Duadic Group Algebra Codes
Duadic群代数码是二次剩余码的推广。本文解决了由朱先生提出的关于二元群代数码存在性的一个公开问题。这些码可以用来构造退化量子稳定子码，它具有许多小重量的错误不需要纠错的优良特性，并通过一个例子说明了这一事实。
2007-01-09 cs.IT math.IT quant-ph
On formulas for decoding binary cyclic codes
本文讨论了任意循环码在真最小距离下的代数译码问题。为此，我们使用的经典配方的问题，这是找到错误定位多项式的症状的接收到的字。在BCH码和相关码的情况下，这通常用Berlekamp-Massey算法来完成，但是对于一般情况，没有通用算法来解码循环码。即使是二次剩余码，这是一个很好的代码，具有很强的代数结构的情况下，没有可用的通用解码算法。对于二次剩余码的这种特殊情况，几位作者已经用牛顿恒等式手工计算出了定位多项式的系数公式。这项工作必须对每个特定的二次剩余码进行，并且随着长度的增长越来越困难。此外，它容易出错。我们建议自动化这些计算，使用消除理论和Grbner基地。我们证明，通过计算适当的Grbner基地，一个自动恢复公式的系数的定位多项式，在症状。
2007-01-10 cs.IT math.IT
