Nonexistence of variational minimizers related to a quasilinear singular problem in metric measure spaces
本文考虑了一个与拟线性奇异问题相关的变分问题，得到了一个在度量测度空间中具有加倍测度和Poincaré不等式的不存在性结果.我们的方法是纯粹的变分和尽我们所知，这是第一个工作奇异问题在一般度量设置。
2020-09-08 math.AP
Rectifiability of free boundaries in singular diffusion problems
King Abdullah University of Science and Technology (KAUST)（阿卜杜拉国王科技大学）
针对带有奇异反应项的退化扩散泛函的极小元，证明自由边界是(n-1)-可求长的，方法基于由逐点梯度估计导出的可积性及零点集的部分Hausdorff维数估计。
2026-06-29 math.AP
Singularity for a multidimensional variational wave equation arising from nematic liquid crystals
本文研究了一个多维非线性变分波动方程，它是由液晶理论中的一个变分原理导出的Euler-Lagrange方程。利用特征线方法，证明了球对称变分波动方程的光滑解在有限时间内崩溃，即使对于任意小的初始能量。
2019-10-19 math.AP
Singularly perturbed fully nonlinear parabolic problems and their asymptotic free boundaries
研究完全非线性奇摄动抛物型方程及其极限。我们证明了解在空间上是一致Lipschitz连续的，在时间上是一致Hölder连续的。对于极限自由边界问题，我们分析了解在自由边界附近的性质。我们表明，特别是，在每个时间水平，自由边界是一个多孔集，因此，是勒贝格测度零。对于旋转不变算子，我们还导出了极限自由边界条件。
2018-04-25 math.AP
How to construct parametrized families of free boundaries near nondegenerate solutions
本文引入变分自由边界问题的概念。也就是说，我们说一个自由边界问题是变分的，如果它的解可以表征为某个形泛函的临界点。此外，我们扩展了非简并的临界点的概念，这种设置。因此，我们提供了一个统一的功能分析框架，使我们能够构建家庭的解决方案变分自由边界问题的形状功能是非退化的一些给定的解决方案。作为一个澄清的例子，我们应用这种机制来构建家庭的非平凡的解决方案，两个阶段的Serrin的超定问题的退化和非退化的情况下。
2021-09-26 math.AP
Symmetry, existence and regularity results for a class of mixed local-nonlocal semilinear singular elliptic problem via variational characterization
本文利用变分刻画和分解性质，结合比较原理与移动平面方法，研究一类混合局部-非局部奇异椭圆问题弱解的对称性、存在性、不存在性与正则性，并用非光滑临界点理论分析跳跃问题。
2025-06-06 math.AP
Singularities in axisymmetric free boundaries for ElectroHydroDynamic equations
我们考虑电流体动力学方程中的奇异性。在一个政权，我们可以忽略表面张力，并假设自由表面是由一个内射曲线，无论是流体速度或电场满足一定的非退化条件，我们证明了无论是流体区域或气体区域是渐近尖点。我们的证明依赖于一个组合的单调性公式和一个非零的结果由Caffarelli和弗里德曼。作为我们分析的副产品，我们还得到了一个特殊的解决方案，凸锥空气相，我们相信是新的。
2016-04-27 math.AP
Singular weak solutions near boundaries in a half space away from localized force for the Stokes and Navier-Stokes equations
证明了在三维及更高维的半空间中，具有非零外力和无滑移边界条件的Stokes方程组存在弱解，使得其法向导数在边界附近无界.一个局部化且无发散的奇异力通过非局部效应使解在远离外力支撑的边界附近的法向导数出现奇异行为。所构造的解是一个整体能量有限的弱解，它可以与\cite{Seregin-Sverak10}中的解相比较，作为一种剪切流的形式，只有局部有限的能量。对Navier-斯托克斯方程也进行了类似的构造。
2023-03-10 math.AP
Generic regularity of free boundaries for the obstacle problem
本文的目的是建立$\mathbb R^n$中障碍问题的自由边界的通有正则性。根据Caffarelli的经典结果，自由边界是$C^\infty$在一组奇点之外.明确的例子表明，奇异集一般可以是$(n-1)$维的-也就是说，与正则集一样大。我们的主要结果建立，一般来说，奇异集有零$\mathcal H^{n-4}$措施（特别是，它有余维3内的自由边界）。特别地，对于$n\leq4$，自由边界一般是$C^\infty$流形。这解决了Schaeffer（追溯到1974年）关于自由边界在维度$n\leq4$中的一般规律性的猜想。
2020-06-24 math.AP
On the structure of the singular set for the kinetic Fokker-Planck equations in domains with boundaries
本文计算了具有非弹性边界条件的动力学Fokker-Planck方程解的渐近性，证明了当满足$r < r_c$时，方程的解是非唯一的。这种非唯一性是由于不同的解可以以不同的方式与出现在奇点$(x,v)=(0,0)$的狄拉克质量相互作用。特别是，这种非唯一性解释了在物理文献中发现的不同行为的随机微分方程的数值模拟与动力学福克-普朗克方程。本文获得的渐进性将用于姊妹论文[34]中，以严格证明具有非弹性边界条件的动力学福克-普朗克方程解的非唯一性。
2018-02-20 math.AP
Twisted Harnack inequality and approximation of variational problems with a convexity constraint by singular Abreu equations
本文证明带凸性约束变分问题的极小元可由奇异 Abreu 方程的解一致逼近，并通过建立满足扭曲条件的奇异线性化 Monge-Ampère 型方程 Harnack 不等式克服局部且不可消除的奇异性。
2023-09-30 math.AP
Convexity for free boundaries with singular term (nonlinear elliptic case)
考虑外区域\begin{cases}\begin{array}{cc} Lu=g(u) & \text{in }Ω\setminus K, \\ u=1 & \text{on }\partial K,\\ |\nabla u|=0 &\text{on }\partial Ω, \end{array}\end{cases}中的自由边界问题，其中$K$是$\mathbb{R}^n$（$n\ge2$）中的（给定）凸紧集，$Ω=\{u>0\}\supset K$是未知集，$L$是完全非线性算子或$p$ -Laplace算子.在对$K$和$g$适当的假设下，我们证明了上述问题的非负拟凹解的存在性.我们还考虑了当集合$K$包含在$\{x_n=0\}$中时的情况，并得到类似的结果。
2022-11-18 math.AP
On linear hypersingular Boltzmann transport equation and its variational formulation
对于带电粒子输运，线性玻尔兹曼输运方程（BTE）是一个偏超奇异积分-微分算子。这是由于相关的微分截面$σ(x,ω',ω,E',E)$可能具有超奇异性的事实。在这些情况下，碰撞项中的能量积分必须解释为Hadamard有限部分积分，从而导致超奇异积分算子。本文考虑了含超奇点的单粒子方程入流初边值问题的精确输运算子和相关变分形式的精化表达式。我们发现，精确的BTE包含部分Hadamard（一阶）奇异积分算子组合的关于能量的一阶偏导数。此外，它还包含了关于角度的二阶偏导数和一些混合项。分析将仅针对所谓的Møller型相互作用（散射）进行，这是一种超奇异相互作用的原型。对于其他类型的碰撞，例如韧致辐射，也可以类似地加以推广。我们还揭示了一个弱形式（变分提法）的超奇异运输问题。另一种变分公式降低了积分中奇点的水平（出现在应有的双线性型中），只包含一阶奇点，即像${1\over{E'-E}}dE' dE$那样的奇点。变分公式化是证明广义解存在性的必要步骤，例如通过基于Lions-Lax-Milgram定理的方法（这里省略了解空间和存在性理论的程序）。导出了相应的近似输运算符。它是一个CSDA-Fokker-Planck型算子。
2019-02-14 math.AP
Existence theory for non-variational systems with free boundaries
Carnegie Mellon University in Qatar（卡内基梅隆大学卡塔尔分校）；Hanyang University（汉阳大学）；KTH Royal Institute of Technology（瑞典皇家理工学院）
研究具有潜在奇异右端项和自由边界的椭圆与抛物偏微分方程组解的存在性，通过“元定理”框架，聚焦特定算子，克服应用挑战及p -抛物型情况技术难题，证明了解的正则性等性质。
2026-07-21 math.AP
Variational Approach for the Singular Perturbation Domain Wall System
本文用变分方法研究带奇异摄动参数ε²的Allen-Cahn型耦合方程组，证明解的存在性、正则性及ε→0时的逐点收敛性，并建立平移唯一性，最后通过尺度变换将其与第二Painlevé方程联系起来。
2024-10-21 math.AP
Variational properties of Perron's extremal solutions in the Bernoulli one-phase problem
Lafayette College（拉斐特学院）；University of Utah（犹他大学）
本文研究Bernoulli单相问题的Perron极值解，证明其具有内变分性质，并刻画二维情形下奇点结构：最大下解边界光滑，最小上解边界点或光滑或为等斜率两平面楔形。
2026-10-27 math.AP
Asymptotic behavior of complete conformal metric near singular boundary
本文研究负常数量曲率奇异 Yamabe 问题在奇异边界附近的解渐近行为，对非共形平坦背景度量建立最优估计，并证明解可由奇异点处切锥中的解逼近。
2025-06-05 math.AP math.DG
Regularity of free boundaries in anisotropic capillarity problems and the validity of Young's law
各向异性毛细作用问题中的局部体积约束极小化器在其容器壁上形成自由边界。证明了可忽略闭集外的自由边界的正则性，特别证明了杨氏定律在自由边界的几乎每一点上都是有效的.我们的正则性的结果是不是特定的毛细作用问题，实际上适用于集的有限周长（从而余维一个整数整流电流）所产生的最小值在其他变分问题与自由边界。
2014-02-03 math.AP
Classification of Blow-ups and Free Boundaries of Solutions to Unstable Free Boundary Problems
通常，解决方案$u$到\[ Δu(\mathbf{x})=f(\mathbf{x})χ_{\{u>ψ\}} \]不是$C^{1,1}$，即使对于$f$平滑和$ψ(\mathbf{x})\equiv0$也是如此。点周围的$u$不是$C^{1,1}$称为奇点，所有这些点的集合，奇异集。本文分析了$\mathbb{R}^{3}$中的爆破、自由边界$\partial\{u>ψ\}$和奇点$\mathbf{x}^{0}=(x^{0},y^{0},z^{0})$附近的奇异集。我们表明，爆破的形式\[ \lim_{j\to\infty}\frac{u(r_{j}\cdot+\mathbf{x}^{0})}{\|u\|_{L^{\infty}(B_{r_{j}}(\mathbf{x}^{0}))}}, \] $r_{j}\to0^{+}$是唯一的，自由边界$\partial\{u>ψ\}$是旋转接近表面$(x-x^{0})^{2}+(y-y^{0})^{2}=2(z-z^{0})^{2}$或$(x-x^{0})^{2}=(z-z^{0})^{2}$，奇异点是孤立的或包含在$C^{1}$曲线。证明的方法是基于将$u$的解投影到调和二次齐次多项式空间上。
2015-10-13 math.AP
Interacting free boundaries in obstacle problems
本文研究两类扩散算子驱动的障碍问题，揭示了自由边界的耦合性质，证明正则点仅位于耦合自由边界上且其附近边界解析，同时给出最优正则性、非退化性及 Hausdorff 测度估计。
2025-02-05 math.AP
Global regularity estimates for $p(x)$-Laplacian variational inequalities with singular or degenerate matrix-valued weights
Ton Duc Thang University（胡志明市铁城大学）；Ho Chi Minh City University of Education（胡志明市师范大学）
本文研究了带有奇异或退化矩阵权的 $p(x)$-拉普拉斯变分不等式的全局正则性，通过构造性水平集方法，得出了加权 Calderón-Zygmund 和 Orlicz 型估计，并展示了结果的最优缩放参数特性。
2026-01-02 math.AP
Free boundaries subject to topological constraints
我们讨论在何种程度上解决单相自由边界问题可以根据其拓扑复杂性的特点。我们的问题是由路易斯·卡法雷利关于自由边界的基本工作和T. Colding和W. Minicozzi关于连通的、嵌入的、极小曲面。我们回顾我们以前的工作，在最简单的情况下，一个阶段的自由边界在平面中的正相是简单的连接。我们还证明了一个新的，纯拓扑的，有效的自由边界可去奇点定理。同时，我们还阐述了多连通情形下的一些公开问题，并将其与极小曲面理论和半线性变分问题联系起来。
2019-02-01 math.AP
Free boundary regularity in the triple membrane problem
研究了三弹性薄膜问题中自由边界的正则性。我们证明了对应于连续膜之间重合区域的两个自由边界在正则交点附近是$C^{1,\log}$ -超曲面。我们还研究了两种类型的奇异相交。第一类奇点被$C^{1,α}$ -超曲面局部覆盖。第二类奇点是分层的，每一层都局部地被一个$C^1$ -流形覆盖。
2021-08-03 math.AP
A variational singular perturbation problem motivated by Ericksen's model for nematic liquid crystals
本文研究了当$\varepsilon\to0$时，能量\begin{equation*} E_\varepsilon(u)=\int_Ω\Big(|\nabla u|^2+\big(\frac{1}{\varepsilon^2}-1\big)|\nabla|u||^2\Big), \end{equation*}在满足$\partialΩ$上的边界条件$u=g$的映射类$u\in H^1(Ω,{\mathbb R}^2)$上的极小元$\{u_\varepsilon\}_{\varepsilon>0}$的渐近行为，其中$Ω$是${\mathbb R}^2$中的光滑、有界、单连通区域，$g:\partialΩ\to S^1$是$D\ge1$度的光滑边界数据.动机来自于一个简化版本的Ericksen模型，用于具有可变取向度的液晶。我们证明了收敛（一个子序列）的$\{u_\varepsilon\}$对一个奇异的$S^1$值调和映射$u_*$，一个类似的结果，在\cite{BBH}中得到的一个类似的问题的金斯堡-朗道能量。然而，我们的结果与涉及金兹伯格-朗道能量的结果之间有两个显著的差别。首先，在我们的问题中，奇异极限$u_*$可能具有严格大于1的奇异度。第二，我们发现\enquote{equi-partition}原理对极小元的能量成立，即，$E_\varepsilon(u_\varepsi…
2021-05-08 math.AP
On the One-dimensional Singular Abreu Equations
本文研究一维奇异四阶 Abreu 方程，证明其在变分问题中的可解性结果，并通过逼近方案刻画了一维变分问题的极限极小子。
2024-08-22 math.AP
A variational approach to dissipative SPDEs with singular drift
证明了一类带奇异漂移和乘性Wiener噪声的耗散半线性随机发展方程的整体适定性。特别是，漂移中的非线性项是与定义在实线上的任何地方的最大单调图相关联的叠加算子，在该图上没有连续性或增长假设。关于扩散系数的假设也是非常普遍的，在这个意义上，噪声不需要在空间和时间上的连续或有界函数的空间中取值。我们的方法结合了变分技术与先验估计，路径和期望，正则方程的解决方案。
2017-06-28 math.AP math.PR
Nodal solutions for singular semilinear elliptic systems
本文证明了不具变分结构的奇异半线性椭圆型方程组节点解的存在性，其中两个分量都是变号的。我们的方法是基于上下解方法结合摄动参数涉及奇异项。
2021-10-11 math.AP
Singular and regular analysis for the free boundaries of two-phase inviscid fluids in gravity field
本文研究重力场中两相无粘流体自由边界问题，发现并分析了驻点处的奇异与正则性行为，推广了单相重力水波 Stokes 猜想及无重力两相流体自由边界的正则性结果。
2025-02-02 math.AP
Weak solutions to an initial-boundary value problem for a continuum equation of motion of grain boundaries
我们研究了连续方程的初始（周期）边值问题，这是一个基于线缺陷（断开）的微观机制的晶界运动模型，并集成了各种热力学驱动力的影响。首先证明了在正平衡间断密度参数B的情况下，该初边值问题的弱解的整体存在性和唯一性，然后研究了当B趋于零时解的渐近性态.主要定理的证明中的主要困难是由于B=0的退化，一个具有奇异性的非局部项，以及与未知量的梯度相关的最高导数的非光滑系数。在证明的关键成分是能量方法，一个估计的奇异积分的希尔伯特型，和一个紧引理。
2022-04-28 math.AP
Ergodicity and Kolmogorov equations for dissipative SPDEs with singular drift: a variational approach
本文证明了一类抛物型半线性随机偏微分方程解所生成的马氏半群的不变测度的存在性，该方程的非线性漂移项在无穷远处只满足一种对称性条件，而不限制其增长率.利用不变测度$μ$的强可积性，建立了相应的Kolmogorov方程在$L^1(μ)$中的可解性，证明了转移半群的无穷小生成元是Kolmogorov算子的闭包.一个关键的作用是由一个广义变分设置。
2017-10-16 math.AP math.PR
Verifications of primal energy identities for variational problems with obstacles
讨论了两类由障碍物产生的自由边界问题的误差恒等式。这些恒等式给出了相应误差测度的真实形式，误差测度由标准能量范数和非线性测度两部分组成。后一种措施控制（在弱意义上）近似的自由边界。数值试验证实了尖锐的错误身份，并表明，在不同的例子中的一个或另一个部分的错误措施可能是占主导地位的。
2017-10-23 math.AP
Nondegenerate Motion of Singular Points in Obstacle Problems with Varying Data
Serfaty和Serra最近的工作给出了障碍物问题的自由边界在正则点的速度公式[Serfaty-Serra 2018]，King，Lacey和Vazquez更早的工作给出了一个奇异自由边界点（在Hele-Shaw流中）的例子，该点在正时间内保持静止[King-Lacey-Vazquez 1995]。作者展示了如何奇异的自由边界的障碍问题，在某些设置立即移动，以响应不同的数据。给出了这个结果的三个应用，特别地，作者给出了一个唯一性结果：对于$\mathrm{I \! R}^n$中区域上的充分光滑椭圆散度型算子和光滑流形上的Laplace-Beltrami算子，不同均值集的边界（在[Blank-Hao 2015]和[Benson-Blank-LeCrone 2018]中发现的类型）以同一点为中心，不相交。
2018-09-08 math.AP
Constraint maps: singularities vs free boundaries
本文研究能量最小化约束映射的奇异性与自由边界，利用新的定量唯一延拓原理证明一致凸障碍下拓扑奇异性只能位于接触集内部，并揭示分支点产生标量情形中不存在的新型奇异性。
2024-07-30 math.AP math.DG
Core-radius approximation of singular minimizers in nonlinear elasticity
本文研究非线性弹性中同时惩罚空腔体积和周长的空化变分模型，通过Γ收敛意义下穿孔域上的泛函逼近奇异极小化元，其中穿孔位置由变分原理自动选取，从而推广了仅含弹性能的既有模型并服务于空化数值模拟。
2025-03-10 math.AP
Rectifiability and almost everywhere uniqueness of the blow-up for the vectorial Bernoulli free boundaries
我们证明了向量Alt-Caffarelli泛函的极小值的自由边界的两相奇异集是可求长的，并且爆破在其上几乎处处是唯一的，而第一个结论是Naber和Valtorta最近发展的技术的应用，唯一性部分是由可求长性和Alt-Caffarelli-Friedman单调性公式的新应用得出的.
2021-08-08 math.AP
Formation of singularities for a family of one-dimensional quasilinear wave equations beyond the variational case
Tokyo University of Science（东京科学大学）
研究参数λ∈(1,2)的一维拟线性波动方程经典解的有限时间奇异性形成，通过引入Riemann变量的上确界函数并利用右Dini导数建立比较原理，得到Riccati型微分不等式，证明爆破存在。
2026-06-23 math.AP
On approximating minimizers of convex functionals with a convexity constraint by singular Abreu equations without uniform convexity
我们重新讨论了用Abreu型四阶方程的解逼近某些受凸性约束的凸泛函的极小值问题。Carlier-Radice之前的著作（Abreu型偏微分方程对具有凸性约束的变分问题的逼近）中研究了这个逼近问题。计算值变种偏微分方程。58（2019），no. 5，Art. 170）和作者（Singular Abreu equations and minimizers of凸泛函with a convexity constraint，arXiv：1811.02355v3，Comm. Pure Appl. Math.，出现），下的拉格朗日和约束障碍的一致凸性。通过引入一种新的逼近格式，我们完全消除了拉格朗日量和约束障碍的一致凸性。我们的分析适用于经济学中垄断者问题中由原始的二维Rochet-Choné模型所激发的变分问题，以及弹性力学中浮动弹性壳的摆动模式分析中所产生的变分问题。
2020-02-11 math.AP
Singular SPDEs in domains with boundaries
我们研究空间的建模分布与奇异行为的域的边界附近，在正则结构理论的背景下，允许一个强大的解决方案理论奇异随机偏微分方程的边界条件。在Hairer（Invent. 198，2014）扩展到该设置。我们制定和解决不动点问题，在这些空间中的一类内核，是足够大的覆盖特别是狄利克雷和诺依曼热内核。然后，这些结果被用来提供的KPZ方程的Dirichlet和Neumann边界条件和二维广义抛物型安德森模型Dirichlet边界条件的解决方案理论。在KPZ方程与诺依曼边界条件的情况下，我们表明，根据一类的软化考虑，一个“边界重整化”发生。换句话说，存在这样的情况，其中某个边界条件被应用于KPZ方程的近似，但是限制过程是具有不同边界条件的KPZ方程的Hopf-Cole解。
2017-11-09 math.AP math.PR
Variational inequalities on unbounded domains for zero-sum singular-controller vs. stopper games
本文研究无界域上奇异控制器与停止者的有限时间零和博弈，证明博弈值存在并给出停止者最优策略，且该值恰为带障碍与梯度约束的min-max型变分不等式的最大Sobolev解。
2023-10-30 math.AP math.OC math.PR
A variational problem for the spatial segregation of reaction--diffusion systems
本文研究一类具有不相交支撑的$k\geq 3$密度的反应扩散系统的定态。对于一类由变分原理控制的分离态，我们证明了其存在性，并提供了唯一性条件。一些定性性质和局部正则性的密度和它们的自由边界建立在更一般的背景下的功能类的特点是微分不等式。
2003-12-10 math.AP math.FA
Variational construction of singular characteristics and propagation of singularities
本文在光滑闭流形上为半凹函数与哈密顿量构成的二元组建立最大斜率曲线理论，证明其存在性、稳定性及与破碎特征线的等价性，并由此给出奇异特征线的全局变分构造和奇异性传播结果。
2024-09-02 math.AP math.DS
Weak null singularities in general relativity
我们构造了一类时空（没有对称性假设），满足真空爱因斯坦方程，奇异边界上的两个零超曲面相交在未来的2-球。这些时空的度规连续地延伸到奇点之外，而Christoffel符号在奇点边界上任何一点的邻域内都不能平方可积。构造还表明，奇点在适当的意义下是稳定的。这些奇异性比卢克-罗德年斯基考虑的脉冲引力时空更强，而且它们确实存在于由引力坍缩产生的一般黑洞的内部。
2017-10-05 gr-qc math-ph math.AP
Cut locus on compact manifolds and uniform semiconcavity estimates for a variational inequality
研究了紧致黎曼流形上的一类梯度障碍问题。我们证明了这些自由边界问题的解是一致收敛的，并由此得到了解及其自由边界的一些很好的收敛结果.精确地说，我们证明了Hausdorff解的弹性集和$λ$ -弹性集收敛于流形的割迹和$λ$ -割迹.
2020-06-12 math.AP math.DG
Singular $p$-biharmonic problems involving the Hardy-Sobolev exponent
本文研究含Hardy位势与临界Hardy-Sobolev指数的奇异p-双调和问题，利用变分方法、山路定理和Ekeland变分原理证明了解的存在性与多重性，并给出示例。
2023-09-20 math.AP math.FA
Riesz-Kernel Stein Variational Gradient Descent: Renormalized Entropy and Long-Time Particle Limits
Rice University（里士大学）
研究去除自相互作用的周期里斯SVGD，证明多粒子长时间采样定理。在奇异斯坦能量局部可积且初始粒子相对熵有界时，时间平均经验测度律弱收敛到目标点质量。还表明有限相对熵不变粒子律诱导的经验测度律也收敛，且在对数奇点阈值下有有限粒子误差界。
2026-07-17 cs.LG math.AP
Variational methods for some singular stochastic elliptic PDEs
我们使用一些工具，从非线性分析研究两个例子的奇异随机椭圆型偏微分方程，不能解决的压缩原理或Schauder不动点定理。让$ξ$代表闭黎曼曲面$S$上的空间白噪声。我们证明了方程$$ (-Δ+ a)u = f(u) + ξu $$与潜在的$a\in L^p(S)$和$p>1$，和$f$生长条件下的解决方案的存在性。在一个额外的奇偶校验条件下$f$ -满足例如当$f(u) = u\vert u\vert^\ell$，与$\ell$一个甚至integer，我们进一步证明了这个方程有无穷多个解决方案，与所有的适定性的结果，迄今已被证明的奇异随机偏微分方程在一个小参数的假设下形成鲜明对比。这类结果是通过将方程视为表征基于Anderson算子$H=Δ+ ξ$的能量泛函的临界点并借助于山路定理的变体而获得的。然而，有一些有趣的方程不能被描述为能量泛函的临界点。这种情况下的奇异Choquard-Pecard方程的$\mathbb{T}^2$ $$ (-Δ+ a)u = \big(w\star f(u)\big)g(u) + ξu $$人们可以使用Ghoussoub的机器的自对偶泛函证明存在一个解决方案，该方程的最小值的自对偶强强制功能下适当的假设系数$a,w,f$和$g$。
2022-10-17 math.AP math.PR
Regularity of the singular set in a two-phase problem for harmonic measure with Hölder data
在调和测度的非变分两相自由边界问题中，我们研究了区域$Ω\subset \mathbb{R}^n$的内外调和测度之间的关系如何影响其边界的几何形状.这种类型的自由边界问题最初是由凯尼格和托罗在2006年研究，并进一步研究了一系列单独和联合调查的几个作者。本文的重点是奇异集的自由边界，其中的边界看起来无穷小像零集齐次调和多项式的次数至少为2。证明了如果外调和测度关于内调和测度的Radon-Nikodym导数具有Hölder连续对数，则自由边界在每个奇点处存在唯一的几何爆破，且奇异集可以被可数个维数至多为$n-3$的$C^{1,β}$子流形覆盖.这一结果部分是通过调整工具，如Garofalo和Petrosyan的Weiss型单调性公式和上围不等式的调和函数从变分到非变分设置。
2019-06-01 math.AP math.CA
Minimizers of $L^2$-Subcritical Inhomogeneous Variational Problems with A Spatially Decaying Nonlinearity
研究了具有空间衰减非线性项的$L^2$ -亚临界非齐次变分问题的极小元，其中包含$x = 0$作为奇点。通过建立空间衰减非线性项的精细分析，证明了极小元的极限浓度行为为$M\to\infty$。
2021-11-30 math.AP math.FA
Variational methods for a singular SPDE yielding the universality of the magnetization ripple
针对薄铁磁膜中磁化纹波对应的奇异随机偏微分方程，采用基于Γ-收敛的变分方法，证明重整化能量泛函分布的普适性，并得到具最优正则性的极小元存在性结果。
2023-10-04 math-ph math.AP math.MP
Nonlinear stochastic partial differential equations with singular diffusivity and gradient Stratonovich noise
利用随机变分不等式（SVI）研究了一类带强奇异扩散项和乘性Stratonovich梯度型噪声的随机非线性扩散方程变分解的存在唯一性.我们推导出一个交换子关系的无界噪声系数的几何Killing向量条件。漂移项分别由全变差流和奇异$p$ -Laplace型算子给出。我们施加非线性零诺依曼边界条件，并精确地调查它们与噪声系数场的连接。这解决了一个开放的问题提出[Barbu，Brzeolyniak，Hauseniak，Tubaro; Stoch.申请程序，123（2013）]和[Barbu，Röckner; J. Eur.数学会，17（2015）]。
2016-05-23 math.AP math.PR
Mixed boundary valued problem for linear and nonlinear wave equations in domains with fractal boundaries
在Sobolev容许非光滑区域的最大自然类中，证明了强阻尼线性波动方程和非线性Westerpyruvate方程在混合边界条件下的弱适定性.在R^2或R^3中的一致区域的框架下，我们还利用相应变分形式的Mosco收敛性，验证了分形区域上的Wester-pyruvate方程的解对预分形上的解的逼近。
2021-08-23 math-ph math.AP math.FA
