The fractional obstacle problem with drift: higher regularity of free boundaries
研究了具有漂移的积分-微分算子（如$(-Δ)^s +b\cdot\nabla$）在次临界区域$s>\frac{1}{2}$的障碍问题中自由边界的高正则性。我们的主要结果表明，一旦自由边界是$C^1$，那么它是$C^\infty$，无论何时$s\not\in\mathbb{Q}$。为了实现这一点，我们建立了一个精细的边界扩展的解决方案的线性非局部方程漂移的权力的距离函数。有趣的是，由于漂移项的存在，幂并不以自然数增加，并且$s$是无理数这一事实起着重要的作用。这样的扩展仍然允许我们证明一个高阶边界Harnack不等式，其中正则性仅在切向上成立。
2020-11-18 math.AP
$C^{2,α}$ regularity of free boundaries in parabolic non-local obstacle problems
研究了分数阶Laplacian $(-Δ)^s$（以及更一般的积分微分算子）在$s>\frac{1}{2}$区域中抛物障碍问题自由边界的正则性。我们证明，一旦自由边界是$C^1$，它实际上是$C^{2,α}$。为此，我们在$C^1$和$C^{1,α}$（移动）域中建立了一个边界Harnack不等式，条件是线性方程在边界上消失的两个解的商与边界一样光滑.由于我们的结果，我们还建立了第一次最佳的正则性，这种解决方案的非局部抛物型方程在移动的区域。
2022-07-26 math.AP
On the Stability of the $s$-Nonlocal $p$-Obstacle Problem and their Coincidence Sets and Free Boundaries
本文研究分数阶非局部$p$-障碍问题随$s\toσ$的解稳定性，并在非退化与拓扑条件下证明重合集及自由边界的收敛。
2024-02-28 math.AP
Generic regularity of free boundaries for the thin obstacle problem
本文研究了薄障碍问题自由边界的通用正则性，通过证明退化集在通用解中具有零测度，得出在三维和四维空间中整个自由边界是光滑的，从而解决了Schaeffer猜想的类似版本。
2023-09-18 math.AP
Obstacle problems for integro-differential operators: Regularity of solutions and free boundaries
利用$s\in (0,1)$研究了$2s$阶积分-微分算子的障碍问题.我们的主要结果建立了自由边界在所有正则点附近是$C^{1,γ}$和$u\in C^{1,s}$。也就是说，我们证明了以下二分法在所有的自由边界点$x_0\in\partial\{u=φ\}$：（i）要么$u(x)-φ(x)=c\,d^{1+s}(x)+o(|x-x_0|^{1+s+α})$的一些$c>0$，（ii）或$u(x)-φ(x)=o(|x-x_0|^{1+s+α})$，其中$d$是距离接触集$\{u=φ\}$。证明了满足（i）的自由边界点集$x_0$是开的，并且在这些点附近的自由边界是$C^{1,γ}$和$u\in C^{1,s}$.这些结果只为分数拉普拉斯\cite{CSS}所知，对于更一般的积分-微分算子是全新的。我们在这里开发的方法是纯粹的非局部的，不依赖于任何单调型公式的运营商。由于这一点，我们的技术可以应用在更广泛的背景下，完全非线性积分-微分算子：我们建立了类似的正则性结果的障碍问题凸算子。
2016-10-24 math.AP
Fine structure of the two-phase Bernoulli free boundaries in 2D
Scuola Normale Superiore（高等师范学院）；UC San Diego（加州大学圣地亚哥分校）；Università di Pisa（比萨大学）
本文研究二维两相伯努利问题解的分支集局部有限性，利用Weierstrass公式转化为新几何两相问题，并将此方法应用于障碍问题，建立解的方向导数与线性薄双膜问题的联系。
2026-04-26 math.AP
On obstacle problem for Brakke's mean curvature flow
在Brakke的中曲率流的意义下，考虑了中曲率流弱解的障碍问题.我们证明了在二维和三维空间中具有$C^{1,1}$边界的障碍物的弱解的整体存在性。为了得到该方程的弱解，我们采用了带强迫项的Allen-Cahn方程。
2021-08-27 math.AP
Boundary pointwise regularity and applications to the regularity of free boundaries
本文给出了狄利克雷问题和斜微商问题的一系列边界点态正则性。作为应用，我们给出了障碍型问题和单相问题中自由边界的高正则性的直接而简单的证明。
2022-04-24 math.AP
Constraint maps with free boundaries: the obstacle case
本文重新提出了一个四十年前的问题，涉及正则性理论的（连续）约束映射与自由边界。将映入分成两部分，距离部分和投影图像到约束，可以证明每个分量的各种性质。正如文献中已经指出的，距离部分属于经典障碍问题，这是很好的研究经典方法。一个令人困惑的问题，在文献中未触及的，是投影图像的属性和它的更高的规则性，我们表明，最多的类$C^{2,1}$。证明了在任意维数下，映象映射在自由边界的正则部分上全局为类$W^{3,BMO}$，局部为类$C^{2,1}$.这个问题在奇点周围变得更加微妙，我们在二维空间中解决它。在附录中，我们将我们的一些结果推广到我们称之为漏映射的情形。
2023-02-15 math.AP math.DG
Nondegenerate Motion of Singular Points in Obstacle Problems with Varying Data
Serfaty和Serra最近的工作给出了障碍物问题的自由边界在正则点的速度公式[Serfaty-Serra 2018]，King，Lacey和Vazquez更早的工作给出了一个奇异自由边界点（在Hele-Shaw流中）的例子，该点在正时间内保持静止[King-Lacey-Vazquez 1995]。作者展示了如何奇异的自由边界的障碍问题，在某些设置立即移动，以响应不同的数据。给出了这个结果的三个应用，特别地，作者给出了一个唯一性结果：对于$\mathrm{I \! R}^n$中区域上的充分光滑椭圆散度型算子和光滑流形上的Laplace-Beltrami算子，不同均值集的边界（在[Blank-Hao 2015]和[Benson-Blank-LeCrone 2018]中发现的类型）以同一点为中心，不相交。
2018-09-08 math.AP
Boundary pointwise regularity for fully nonlinear parabolic equations and an application to regularity of free boundaries
本文证明了完全非线性抛物型方程的任意$k\geq 1$的边界点态$C^{k,α}$正则性。作为应用，我们给出了障碍型问题中自由边界的高正则性的一个直接而简短的证明。
2022-08-02 math.AP
The Regularity Theory for the Double Obstacle Problem
本文证明了具有上障碍$ψ$的双障碍问题自由边界的局部$C^{1}$正则性，其中\begin{align*} Δu &=fχ_{Ω(u) \cap\{ u< ψ\} }+ Δψχ_{Ω(u)\cap \{u=ψ\}}, \qquad u\le ψ\quad \text { in } B_1, \end{align*}在$u$和$ψ$的厚度假设下，是$Ω(u)=B_1 \setminus \left( \{u=0\} \cap \{ \nabla u =0\}\right)$.
2017-03-18 math.AP
Higher order interpolative geometries and gradient regularity in evolutionary obstacle problems
本文针对退化情形 $p>2$ 的演化 $p$-Laplace 型障碍问题，在无时间导数假设下，利用高阶内蕴插值几何证明了自由边界处及跨自由边界的最优 $C^{1,α}$ 梯度正则性，并给出将其扩展至整个柱体的内蕴准则。
2024-01-10 math.AP
Regularity of Free Boundary for Monge-Ampère Obstacle Problem up to the Boundary
本文研究Monge-Ampère障碍问题自由边界直到边界的正则性，发现边界值增长阶影响正则性，且二次增长下高维正则性优于二维。
2026-10-07 math.AP
On an obstacle problem for the Brakke flow with a generalized right-angle boundary condition
本文研究带障碍及广义直角边界条件的 Brakke 平均曲率流，利用相场方法分析带强迫项与齐次 Neumann 条件的 Allen-Cahn 方程奇异极限，并构造相应下、上解，证明弱解的时间整体存在性。
2024-04-04 math.AP
Verifications of primal energy identities for variational problems with obstacles
讨论了两类由障碍物产生的自由边界问题的误差恒等式。这些恒等式给出了相应误差测度的真实形式，误差测度由标准能量范数和非线性测度两部分组成。后一种措施控制（在弱意义上）近似的自由边界。数值试验证实了尖锐的错误身份，并表明，在不同的例子中的一个或另一个部分的错误措施可能是占主导地位的。
2017-10-23 math.AP
The two-phase fractional obstacle problem
我们研究了$a\in(-1,1)$的泛函$$ \int_{B_1^+}|\nabla u|^2 x_n^a\,d x +2\int_{B_1'} (λ_+ u^++λ_- u^-)\,d x', $$的极小元。这个问题出现在与边界上的控制热流。它也可以被看作是一个非本地的模拟，到目前为止研究得很好，两相障碍问题。此外，当$u$不改变符号时，这等价于分数障碍问题。我们的主要结果是极小元的最优正则性和当$a\geq 0$时两个自由边界$Γ^+=\partial'\{u(\cdot,0)>0\}$和$Γ^-=\partial'\{u(\cdot,0)<0\}$的分离性。
2014-06-23 math.AP
On the free boundary for thin obstacle problems with Sobolev variable coefficients
本文研究了带 Sobolev 变系数的薄障碍问题，通过建立内蕴频率函数的拟单调性公式，推导出自由边界在有限阶接触点处的正则性与结构性质，并证明了 Lipschitz 系数下整个自由边界的可矫正性及 Minkowski 内容的局部有限性。
2024-07-23 math.AP
The Caffarelli Alternative in Measure for the Nondivergence Form Elliptic Obstacle Problem with Principal Coefficients in VMO
本文研究了VMO中非散度型椭圆算子的障碍问题。我们发展了解的存在性、唯一性、最优正则性和非退化性的所有基本理论。这些结果，反过来，使我们能够开始研究的正则性的自由边界，我们显示存在的爆破限制，一个基本的措施稳定性的结果，并测量理论版本的Caffarelli替代证明在Caffarelli的1977年文件“的正则性自由边界在更高的维度。"
2013-06-11 math.AP
Scattering Poles Near the Real Axis for Two Strictly Convex Obstacles
为了研究具有光滑边界的两个严格凸的障碍物的声散射矩阵的极点的位置，使用沿着两个障碍物之间的捕获射线的量子化台球算子$M$的近似。使用这种方法Ikawa和G{é}rard建立了存在平行行的极点在一个带$Im z\leq c$作为$Re z$趋于无穷大。假设边界是解析的，Poincar{é}映射的特征值是非共振的，我们利用$M$的Birkhoff标准形改进了这个结果，得到了极点在实轴任意对数邻域内的完全渐近展开式.
2007-02-01 math-ph math.AP math.MP
Obstacle problems for nonlocal operators with singular kernels
本文研究具有奇异核的非局部障碍问题，针对一类非常一般的积分微分算子建立了最优正则性估计与自由边界平滑性，突破了以往要求核与分数阶拉普拉斯算子核逐点可比的限制。
2023-08-03 math.AP
Higher regularity of regular free boundaries for the Kolmogorov obstacle problem
Uppsala University（乌普萨拉大学）
针对Kolmogorov障碍问题，在接触集满足定量厚度条件下，证明了正则自由边界为非特征C^{1,β}超曲面，通过调和替换与边界衰减估计实现平坦性改进。
2026-09-29 math.AP
On higher order boundary Harnack and analyticity of free boundaries
本文建立非标准退化椭圆方程的 C^1,alpha Schauder 估计，借此给出高阶边界 Harnack 不等式的新证明，并应用于证明经典障碍问题中自由边界的解析性。
2023-12-16 math.AP
Wasserstein Stability and Free Boundaries in Measure-Parameterized Bilevel Obstacle Problems
Economics and Management School, Wuhan University（武汉大学经济与管理学院）
本文研究测度参数化双层障碍问题，通过凸性和Poincare不等式建立策略映射的Wasserstein稳定性，并分析自由边界的模量、经验律收敛速率及税收应用。
2026-09-09 math.AP math.OC
The Obstacle Problem Arising from the American Chooser Option
Sogang University（西江大学）；Kyung Hee University（庆熙大学）
本文研究了美国选择期权相关的障碍问题，通过理论分析证明了强解的存在性和唯一性，并严谨证明了自由边界单调性和光滑性。
2026-10-02 math.AP
Regularity theory for nonlocal obstacle problems with critical and subcritical scaling
本文提出了一种新颖且统一的方法，解决了具有临界与次临界缩放的非局部障碍问题中的正则性理论开放难题，并恢复了大多数已知结果。
2023-06-28 math.AP
Constraint maps: singularities vs free boundaries
本文研究能量最小化约束映射的奇异性与自由边界，利用新的定量唯一延拓原理证明一致凸障碍下拓扑奇异性只能位于接触集内部，并揭示分支点产生标量情形中不存在的新型奇异性。
2024-07-30 math.AP math.DG
Waves Interacting With A Partially Immersed Obstacle In The Boussinesq Regime
本文将波-结构相互作用问题转化为Boussinesq系统的传输问题，并对其进行了推导和数学分析。d= 1维$2\times2$双曲型方程组的初边值问题和传递问题已得到很好的理解。然而，对于许多应用，特别是对于表面水波的描述，双曲系统的色散扰动必须考虑。我们在这里考虑的配置，其中的波的运动是由Boussinesq系统（双曲型非线性浅水方程的色散扰动），并在存在一个固定的部分浸没的障碍。我们将坚持与标准双曲情形的区别和相似之处，并把我们的注意力集中在一个新的现象上，即弥散边界层的出现。为了获得在相关的时间尺度上的解的存在性和统一的边界，有必要控制这种色散边界层和它产生的振荡。这一分析导致了一个新的概念的兼容性条件，符合标准的双曲型兼容性条件时，色散参数设置为零。据作者所知，这是第一次，这些现象（可能发挥核心作用，在分析初边值问题的色散扰动双曲型系统）展出。
2019-02-13 math.AP physics.class-ph
On the regularity of the free boundary in the $p$-Laplacian obstacle problem
研究了$p$ -Laplacian、$Ω\subset\mathbb R^n$中的$\min\bigl\{-Δ_p u,\,u-φ\bigr\}=0$在障碍物中的自由边界的正则性.这里是$Δ_p u=\textrm{div}\bigl(|\nabla u|^{p-2}\nabla u\bigr)$和$p\in(1,2)\cup(2,\infty)$。在这些自由边界点附近，$\nabla φ\neq0$，算子$Δ_p$是一致椭圆和光滑的，因此自由边界是很好理解的。然而，当$\nabla φ=0$然后$Δ_p$是奇异的或退化的，和没有什么是已知的规则性的自由边界在这些点。本文研究了$\nabla φ=0$的自由边界的正则性。一方面，对于每一个$p\neq2$，我们构造显式的整体$2$ -齐次解的$p$ -拉普拉斯障碍问题的自由边界有一个角在原点。特别是，我们表明，自由边界一般不是$C^1$的点，其中$\nabla φ=0$。另一方面，在$|\nabla φ|^{2-p}Δ_p φ<0$的“非”假设下，证明了自由边界是可数$(n-1)$ -可求积的，并证明了$u$在所有自由边界点上的非退化性质.
2017-01-19 math.AP
Interaction of a free boundary with a diffusion on a plane: analogy with the obstacle problem
一个水平的$N$维平面，有它自己的扩散，与下半空间交换。在那里，发生了由自由边界问题模拟的反应扩散过程。我们希望了解自由边界是否与平面相交，以及如何相交。这个问题的起源是第二作者前段时间与H。Berestycki和L. Rossi，以模拟生物入侵如何通过快速扩散线增强。一些反直观的数值模拟的这个模型，由于A.- C. Coulon模型，通过将模型转化为与直线相互作用的自由边界，并对自由边界进行了细致的研究，对模型的基本性质进行了解释。在这种情况下，人们注意到，自由边界非常类似的障碍问题。本文的目的是解释如何在更高的空间维度中进一步推动这种与障碍问题的类比。
2022-12-20 math.AP
Error identities for variational problems with obstacles
研究了一类非线性自由边界问题，这类问题通常用基于原始（或原始-对偶）变分设置的变分方法求解。我们推导和调查特殊的关系（错误身份）。他们表明，一定的非线性措施的距离的精确解（具体为每个问题）是相当于各自的对偶差距，最小化是一个关键的所有变分数值方法。因此，身份定义的措施，其中包含最大的量化信息的质量数值解可通过这些方法。该测度具有由微分算子的线性部分生成的二次项和与自由边界相关联的非线性项。我们得到完全可计算的双边界限，这一措施，并表明，他们提供有效估计之间的距离极小和任何功能，从相应的能量空间。几个例子表明，对于不同的最小化序列的整体误差测量的不同组件之间的平衡可能是不同的和非线性项的统治可能表明重合集近似不正确。
2017-02-28 math.AP
Energy Minimization Problem related to certain Liquid Crystal Models with respect to the Position, Orientation and Size of an Obstacle having Dihedral Symmetry
在本文中，我们处理的障碍物放置在一个磁盘内的问题，可以制定为一个能量最小化问题的障碍物围绕其中心的旋转，相对于平面磁盘内的障碍物的平移，也相对于磁盘内的障碍物的膨胀或收缩。我们还包括它的敏感性方面的边界数据。我们考虑$ B \setminus P$上的非齐次Dirichlet边值问题：$ B \setminus P$上的$Δu =0$，$\partial P$上的$u=0$，$\partial B$上的非零常数$u=M$.这里，平面障碍物$P$在二面体群$\mathbb{D}_n$、$n \in \mathbb{N}$、$n \geq 3$的作用下是不变的，并且$B$是包含$P$的平面盘。我们对$P$和$B$作如下假设：（0）$P$和$B$的体积约束，（i）在同一二面角群作用下$B$和$P$的不变性，（ii）$B$和$P$不必同心，（iii）两个边界上的光滑条件，（iv）障碍物$P$的边界$\partial P$上的单调性条件.这样的障碍物的示例包括具有平滑拐角的规则多边形、椭圆以及其他星形域。在这种情况下，我们调查的极端配置的障碍物$P$相对于磁盘$B$，能量泛函$E$与边值问题。Dirichlet能量是单轴平面液晶的一个常数Oseen-Frank能量。在这里考虑的问题的类揭示了一些光到最佳位置的孔具有一定的对称性内的向列相填充盘，以优化相应的一个恒定的Oseen-Frank能量…
2019-12-16 math.AP
Direct epiperimetric inequalities for the thin obstacle problem and applications
对于薄障碍物问题，我们用一种新的直接方法证明了在任意维上，频率为$\frac32$的Weiss能量和$2m$对$m\in \mathbb N$的Weiss能量满足一个上围不等式，后者是对数型的.特别是，在从经典语句的差异，我们不假设任何先验的密切性，一类特殊的齐次函数。在维数$2$中，我们还证明了在任意自由边界点上的上围不等式。作为第一个应用程序，我们提高了一套允许的频率爆破，以前被称为$λ\in \{\frac32\} \cup [2,\infty)$，我们分类的全球$λ$ -齐次极小，与$λ\in [\frac32,2+c]\cup\bigcup_{m\in \mathbb N}(2m-c_m^-,2m+c_m^+)$，显示作为一个结果，频率$\frac32$和$2m$是孤立的。其次，我们给出了Athanasopoulos-Caffarelli-Salsa（Amer. J. Math.，130（2）（2008），485-498）和Garofalo-Petrosyan（发明。数学、177（2）（2009），415-461）对于奇点，借助于对数类型的上周边不等式，其也首次适用于薄障碍物自由边界的所有奇点。特别地，我们通过一个显式的对数连续模改进了频率为$2m$的奇异集的$C^1$正则性。
2017-09-10 math.AP
Effective medium theory for embedded sound-soft obstacles in an anisotropic inhomogeneous medium with applications
针对含多个声软障碍物的各向异性非均匀介质时谐声散射问题，提出将障碍物等效为带指定参数的各向同性有耗介质的理论框架，建立严格估计并示例验证，可用于逆散射中障碍物定位与介质恢复。
2025-09-27 math-ph math.AP math.MP
Inverse Obstacle Scattering from Multi-Frequency Near-Field Backscattering Data
University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学）；Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
本文研究多频近场背散射数据下同时恢复障碍几何形状和边界条件的问题，通过高频率渐近展开和伪微分算子分析，证明了凸性假设下的全局唯一性定理，并提出三阶段数值重建框架。
2026-03-23 cs.NA math.AP math.NA
On the curvature of some free boundaries in higher dimensions
已知二维次调和求积域满足自然内球条件，即边界曲率存在一个特定的上界。这一结果直接适用于障碍物型问题和Hele-Shaw流中出现的自由边界。本文对高维中的相应问题作了部分的研究。具体来说，我们证明了几种不同的方式来制定内球条件之间的等价性，我们计算的Brouwer度的一个几何上重要的映射有关的Schwarz潜在的边界。后者特别给出了一个新的证明，在二维的情况下。
2011-12-20 math-ph math.AP math.MP
Finite-Horizon Optimal Consumption and Investment with Time-Varying Job-Switching Costs
Sogang University（西江大学）；Kyung Hee University（庆熙大学）
本文研究了在时间变化就业转换成本下，经济代理人在有限时间 horizon 内的最优消费、投资及就业转换策略问题，通过PDE理论分析了双障碍问题的解及其自由边界性质。
2026-03-09 math.AP math.OC
Adaptive finite difference methods for nonlinear elliptic and parabolic partial differential equations with free boundaries
本文提出自适应网格细化的单调有限差分方法，用于求解具有自由边界的偏微分方程，提升复杂边界和奇点处的精度。
2015-11-18 cs.NA math.AP math.NA
Numerical Algorithms for Water Waves with Background Flow over Obstacles and Topography
我们提出了两个准确和有效的算法求解不可压缩，无旋欧拉方程的自由表面在二维背景流周期性，多连通的流体域，包括固定的障碍物和可变的底部地形。一种方法是制定的表面速度潜力，而其他的演变涡面强度。这两种方法采用层电位的形式周期柯西积分计算的正常速度的自由表面，与任意参数化的自由表面和边界兼容，并允许循环周围的每个障碍物，这导致多值速度势，但单值流函数。我们证明了由此产生的第二类Fredholm积分方程是可逆的，可能经过物理动机的有限秩校正。在一个角度弧长设置，我们展示了如何避免与空间周期性不兼容的曲线重建错误。我们使用所提出的方法来研究重力毛细波产生的流动周围的几个椭圆形障碍物以上的平坦或可变的底部边界。在每种情况下，自由表面最终在飞溅奇点中自相交或与边界碰撞。我们还展示了如何评估整个流体的速度和压力与频谱精度，包括附近的自由表面和固体边界。为了评估时间演化的准确性，我们监测能量守恒和傅立叶模式的衰减，并比较两种方法的数值结果。我们实现了几个求解器的离散线性系统，并比较它们的性能。最快的方法采用图形处理单元（GPU）来构造矩阵并执行广义最小残差方法（GMRES）的迭代。
2022-05-05 cs.NA math-ph math.AP
Asymptotic expansions of high-frequency multiple scattering iterations for sound hard scattering problems
本文研究了二维高频平面波在有限个不相交、紧致、光滑、严格凸障碍物外的散射问题。使用积分方程制剂，我们确定的Hörmander类，并推导出高频渐近展开的散射障碍物的边界上的多次散射迭代对应的总字段。这些渐近展开是用来获得尖锐的波数依赖估计的衍生物的多次散射的总字段，反过来，允许的最优设计和数值分析的Galerkin边界元方法的有效（频率无关）的近似声音硬多次散射返回。数值实验支持这些扩展的有效性。
2022-08-12 cs.NA math.AP math.NA
Cut locus on compact manifolds and uniform semiconcavity estimates for a variational inequality
研究了紧致黎曼流形上的一类梯度障碍问题。我们证明了这些自由边界问题的解是一致收敛的，并由此得到了解及其自由边界的一些很好的收敛结果.精确地说，我们证明了Hausdorff解的弹性集和$λ$ -弹性集收敛于流形的割迹和$λ$ -割迹.
2020-06-12 math.AP math.DG
