关于有限论域中集合反链的个数

小反链的饱和性

Saturation for Small Antichains

对于一个给定的正整数$k$，我们说$[n]$的子集族是$k$ -反链饱和的，如果它不包含$k$两两不可比的集合，但是每当我们向它添加一个新的集合时，我们确实找到了$k$这样的集合。最小的这种族的大小用$\text{sat}^*(n, \mathcal A_{k})$表示。Ferrara、Kay、Kramer、Martin、Reiniger、Smith和Sullivan提出了$\text{sat}^*(n, \mathcal A_{k})=(k-1)n(1+o(1))$，并为$k\leq 4$证明了这一点。本文对$k=5$和$k=6$证明了这个猜想。此外，我们还给出了$\text{sat}^*(n, \mathcal A_5)$和$\text{sat}^*(n, \mathcal A_6)$的精确值.我们也给出了一些开放的问题，我们的分析启发。

2023-01-13math.CO

最小尺寸的最大反链

Maximal antichains of minimum size

令$n\geqslant 4$为自然数，且令$K$为集合$K\subseteq [n]:={1,2,...,n}$。我们研究该问题以找到$[n]$子集的最大家族$\mathcal{A}$的最小可能大小，使得$\mathcal{A}$仅包含大小在$K$中的集合，并且$A\not\subseteq B$用于所有${A,B}\subseteq\mathcal{A}$，即$\mathcal{A}$是反链。我们提出了一个一般的建设，这样的反链$K$集包含2，但不是1。如果$3\in K$，我们的构造渐近地产生这样的族的最小可能大小，直到$o(n^2)$误差。我们猜想我们的建设也是渐近最优的$3\not\in K$，我们证明了一个较弱的情况下，$K={2,4}$。我们的渐近结果是直接的应用程序的图删除引理的极值图论中的问题，这是有趣的，在其本身的权利的一个等价的重新表述。

2013-03-09math.CO

反链的投影

Projections of antichains

$\mathbb{Z}^n$的子集$A$称为弱反链，如果它不包含两个元素$x$和$y$，对所有$i$满足$x_i<y_i$。Engel、Mitsis、Pelekis和Reiher表明，对于任何弱反链$A$，其$(n-1)$维投影的大小之和必须至少与其大小$|A|$一样大。他们问这两个量之间的最小可能差距值是什么，以$|A|$表示。我们回答这个问题，给出一个明确的弱反链达到这个最小值的每一个可能的值$|A|$。特别是，我们表明，集的形式$A_N=\{x\in\mathbb{Z}^n: 0\leq x_j\leq N-1$的所有$j$和$x_i=0$的一些$i\}$之间的差距最小化弱反链的大小$|A_N|$。

2019-11-27math.CO

置换的剖面类与部分良序

Profile classes and partial well-order for permutations

已知在模式包含序下的置换集不是部分良序。刻画这个偏序集中的部分良序闭集（等价于：下集或理想）仍然是一个开放的问题。给定一个0/+-1矩阵M，我们定义一个置换的闭集，称为M的轮廓类。这些集合是Atkinson、Murphy和Ruskuc所考虑的集合的推广。我们证明了M的剖面类是部分良序的当且仅当相关图是森林。与我们构造的证明这一结果的方向之一的反链相关，我们构造了奇异的基本反链，它缺乏所有以前已知的基本反链排列所表现出的周期性。

2003-10-20math.CO

子集的平坦极大反链的大小

Sizes of flat maximal antichains of subsets

本文研究布尔格中极大反链大小的取值问题，提出一种替代构造方法，证明几乎所有大小的极大反链均可由仅包含 $l$-集和 $(l+1)$-集的反链构成。

2024-06-28cs.DMmath.CO

关于 $\{0,1,2\}^n$ 中反链数量的数目

On the number of antichains in $\{0,1,2\}^n$

King's College London（伦敦国王学院）；New York University（纽约大学）；Graz University of Technology（格拉茨工业大学）

本文研究了 $\{0,1,2\}^n$ 中反链数量的渐进行为，结合图容器引理、等周不等式和统计物理方法，给出了精确的渐进行为并回答了相关问题。

2026-01-12math.CO

关于偏序集中Blockers的一个注记

A note on blockers in posets

有限偏序集$P$中反链$A$的阻断子$A^{*}$是具有与$A$的每个成员具有共同前趋的性质的最小元素的集合。具体如下：1.偏序集$P$的$A^{**}=A$的所有反链的特点。2.刻画了分划格中对称反链的阻断子$A^*$. 3.连接的问题，找到最小尺寸的阻塞集某些集合的家庭进行了讨论。

2004-03-04math.CO

无选择公理下的极大独立集、链/反链原理变体与共尾子集

Maximal independent sets, variants of chain/antichain principle and cofinal subsets without AC

本文在无选择公理的集合论中研究了极大独立集、链/反链原理变体及共尾子集等命题与弱选择原理之间的新关系，揭示了这些组合与序结构命题在缺乏AC时的逻辑强度。

2021-02-12math.COmath.GRmath.LO

魏对偶性、Fomin-Greene对偶性与半拟阵

Wei duality, Fomin-Greene duality and demimatroids

本文明确阐述魏对偶性与Fomin-Greene对偶性的关联，证明二者在魏数层面一致但在基础秩函数层面不一致，同时揭示偏序集的链与反链半拟阵无法通过标准半拟阵对偶复合关联。

2026-08-04math.CO

子集的最小权平坦反链

Minimum Weight Flat Antichains of Subsets

基于Sperner和Kruskal-Katona的经典定理，我们研究了$[n]:=\{1,2,\dots,n\}$的所有子集的布尔格$B_n$中的反链$\mathcal F$，其中$\mathcal F$是平坦的，这意味着它包含至多两个连续大小的集合，比如$\mathcal F=\mathcal{A}\cup\mathcal{B}$，其中$\mathcal{A}$只包含$k$ -子集，而$\mathcal{B}$只包含$(k-1)$ -子集。此外，我们假设$\mathcal{A}$由按挤压（结肠排异）顺序的第一个$m$ $k$ -子集组成，而$\mathcal{B}$由不包含在$\mathcal{A}$中的子集中的所有$(k-1)$ -子集组成。给定实数$α,β>0$，我们称$\mathcal F$的权为$α\cdot|\mathcal{A}|+β\cdot|\mathcal{B}|$。我们对任何给定的$n,k,α,β$刻画了最小权反链$\mathcal F$，当另外$\mathcal F$是最大反链时也是如此.然后，我们可以得到最小尺寸和最小Lubell函数的渐近结果。

2021-01-08cs.DMmath.CO

G-独立族的Sperner问题

Sperner's problem for G-independent families

给定一个图G，设Q（G）表示G中所有独立（无边）顶点集的集合。本文研究了Q（G）中最大反链的大小问题。当G是无边图时，这个问题由Sperner定理解决。本文主要研究了G是长为n-1的路的情形，证明了Q（G）的最大反链的大小与最大层的大小是同阶的.

2013-10-07math.CO

以集合交集表示的元素

Elements represented as intersections of sets

George Mason University（乔治梅森大学）；University of Warsaw（华沙大学）

该数学研究确定了[n]的表示族集的最小基数为Sperner函数的离散逆s(n)，并给出相关推广、应用及渐近结果。

2026-08-06math.CO

子集反链的饱和谱

The saturation spectrum for antichains of subsets

本文推广Sperner定理，刻画布尔格中极大反链的可能大小，并研究Kruskal-Katona定理的扩展问题，给出t≤k+1时阴影大小的完整刻画及最大不可达阴影大小的渐近公式。

2022-10-20cs.DMmath.CO

Sperner定理随机版本的尖锐阈值

A sharp threshold for a random version of Sperner's Theorem

本文研究随机选取布尔格子集后最大反链的结构，证明当选取概率 p>3/4 时最大反链仍由中间层给出，并证明阈值 3/4 最优，同时刻画了 p>1/2 时最大反链的性质。

2023-09-20math.CO

偏序集的超饱和性及其容器方法的应用

Supersaturation in Posets and Applications Involving the Container Method

我们考虑以下形式的偏序集（偏序集）中的“过饱和”问题。给定一个有限偏序集$P$和一个大于$P$中最大反链的基数的整数$m$，在$m$的基数的$P$子集中可比较对的最小数目是多少？我们提供了一个框架，以获得这个数量的下界计数可比对相对于随机链的基础上，并应用此框架获得过饱和结果的三个经典偏序集：布尔格，集合的子空间的$\mathbb{F}_q^n$有序的集合包含和集合的因子的平方下的平方无整数的“除”的关系。我们得到的布尔格的上界可以看作是Kleitman的一个已知定理的近似形式。此外，我们应用我们的过饱和结果，以获得（a）上界的反链在这些偏序集中的数量和（b）的基数上的最大的反链在$p$ -随机子集的这些偏序集，持有高概率（$p$在一定范围内）的渐近界。这些结果的证明依赖于偏序集的一个“容器型”引理，它推广了Balogh，Mycroft和Treglown的一个结果。我们还指出了一些公开的问题，关于过饱和偏序集和计数反链。

2017-08-27math.CO

偏序集的Ramsey数

Ramsey numbers for partially-ordered sets

通过考虑顶点具有偏序的图，我们给出了Ramsey数的一个改进.这是有序Ramsey数的自然扩张。我们形式化的情况下，我们可以使用任意家庭的偏序集，以形成主图的拉姆齐问题。我们探讨连接到研究图兰型问题的偏序集，特别是那些在布尔格。当图的偏序具有大的反链时，我们发现了布尔格上的Ramsey数与有序Ramsey数之间的一个很大的区别.

2016-11-28math.CO

区间闭集上的切换、行运动与同稳性

Toggling, rowmotion, and homomesy on interval-closed sets

本文从枚举与动力学角度研究有限偏序集的区间闭集，用广义切换群定义行运动并给出全局刻画，同时针对反链序和与链乘积偏序集证明了枚举及同稳性结果。

2023-09-20math.CO

图容器在布尔格中的应用

Applications of graph containers in the Boolean lattice

我们应用图容器方法证明了布尔格$\mathcal P(n)$的一些计数结果。特别是，我们：（i）部分回答了Sapozhenko估计$\mathcal P(n)$中$t$纠错码个数的问题，并给出了运输码个数的一个上界;（ii）给出了Kleitman关于$\mathcal P(n)$中反链个数定理的另一种证明，并给出了一个双色类比;（iii）给出了$\mathcal P(n)$中$(p,q)$ -倾斜Sperner族个数的渐近公式;（iv）证明了Katona的$t$ -交定理的一个随机形式。在每种情况下，应用容器方法，我们首先证明相应的过饱和结果。我们还给出了一个构造，它否定了Ilinca和Kahn关于布尔格中极大独立集和反链的两个定理。还提出了一些开放性问题。

2018-02-14math.CO

用反对角线和计算某些卷积阵列中星和链的正确合并--细节

Proper Mergings of Stars and Chains are Counted by Sums of Antidiagonals in Certain Convolution Arrays -- The Details

两个不相交的拟序集$P$和$Q$的适当合并是$P$和$Q$的并集上的拟序，使得对$P$或$Q$的限制再次产生原始拟序，并且使得$P$和$Q$中没有元素被标识。在这篇文章中，我们确定的情况下，$P$是一个明星（即一个反链的最小元素邻接），和$Q$是一个链的正确合并的数量。我们证明了作者以前研究过的$m$ -反链和$n$ -链的真合并格是$m$ -星和$n$ -链的真合并格的商格，并通过计算同余类的个数和确定它们的基数来确定$m$ -星和$n$ -链的真合并数.此外，我们计算了某些修改的布尔格和链之间的伽罗瓦连接数。

2013-07-01math.CO

有限有序集的保序映射有序集是否决定该有序集？高度为 $1$ 与“三倍化”有序集的情形

Does the Endomorphism Ordered Set of a Finite Ordered Set Determine the Ordered Set? The Cases of Height $1$ and "Trebled" Ordered Sets

Morgan State University（摩根州立大学）

本文研究有限有序集的自映射有序集是否唯一决定原有序集，证明在高度至多1或三倍化情形下成立，并详述了相关证明。

2026-10-01math.CO

不使用计算机程序的最多7个元素的偏序集和10个元素的偏序集的Hasse图

Hasse diagrams of posets with up to 7 elements, and the number of posets with 10 elements, without the use of computer programs

设$P(n)$是所有具有$n$元素的偏序集的集合。令$P^{(j)}(n)$，$1\leq j\leq 2^n,$为具有恰好具有$j$反链的$n$元素的所有偏序集的数目。我们确定了数$P^{(j)}(7),$ $1\leq j\leq 128$，并利用M.~ Erné [Erné，M.，On the cardinalities of finite topologies and the number of antichains in partially ordered sets，Discrete Mathematics 35（1981），119-133.我们在没有任何计算机程序的帮助下计算$|P(10)|$。我们包含了$P(7)$的所有非同构偏序集的Hasse图。我们还提出了某些形式的连通偏序集的数量的公式，并使用它们来计算$|P(n)|$与$1\le n\le 8$通过不同的方法。

2021-06-17math.COmath.LO

偏序集个数的估计

Estimates on the number of partially ordered sets

（k，n）型偏序集是这样的集合：a）每个集合的基数为n，b）每个集合的维数为2，c）每个集合中的最大反链的长度为k。设α_k（n）是（k，n）型偏序集的个数.我们证明了α_k（n）<min{k^{2n}/（（k！）^ 2），（n-k+1）^{2n}/（n-k）！）^ 2）}。记S_n中使其最大降链长度为k的置换的个数为k_k（n）。我们证明了：k_k（n）<k^{2n}/（k-1）！）^ 2）。我们调查之间的联系对的线性秩序，对杨图，二维阵列的正整数和矩阵的非负整数。这项调查是基于论文的申斯特和克努特。我们给出了n_k（n）的生成函数。Gessen于1990年获得。

2013-09-26math.COmath.RA

代数学视角下的独立集

Independent Sets from an Algebraic Perspective

本文从代数的角度研究了图中独立集的计数问题，特别是有限偏序集中反链的计数问题。证明了除非P= P，否则二部Cohen-Macaulay图的独立多项式和根零维完全交理想的初始理想的Hilbert级数都不能在多项式时间内求出.此外，我们给出了一个与有限偏序集P相关联的根零维完全交理想族J_P，并给出了它的泛Gröbner基.这意味着用Gröbner方法计算J_P商的维数（即J_P的零点个数）的瓶颈在于对标准单项式的描述。

2011-05-03cs.CCmath.ACmath.CO

钻石的k色偏序集拉姆齐数为2k

The $k$-color poset Ramsey number of the diamond is $2k$

该研究确定j维钻石的k色偏序集拉姆齐数上界为jk，且通过特定着色方式为j=2、3、4时提供了匹配下界。

2026-10-14math.CO

反单调函数空间的划分

Partitioning in the space of antimonotonic functions

本文研究了n元集上反单调布尔函数空间的划分问题。反单调函数是子集的偏序集的反链。分析并证明了该集合上的一个自然偏序.我们按照这种顺序来研究间隔。我们展示了如何区间的反单调函数，更不用说整个空间的反单调函数可以划分为不相交工会的某些类别的区间。这些区间是由较小集合上的反单调函数唯一确定的。这导致递归枚举算法和新的递归关系。利用不同的分解，我们得到新的递归公式的反单调函数的数量，从而单调函数的数量（即Dedekind数）。

2011-03-15math.COmath.NT

由$n$-立方体的两个连续层定义的图中的独立控制集问题

Independent domination in the graph defined by two consecutive levels of the $n$-cube

本研究确定了n-立方体2、3元子集构成的二部图控制数的精确值及最小控制集特征，验证其可选为独立集，还给出k≥3时对应二部图小规模独立控制集的新构造，改进了已有结果。

2024-06-22math.CO

集合族的广义度与广义密度

Generalized degrees and densities for families of sets

设F是{1，2，…，n}。在F的至少一个成员中的元素x的宽度是族{U in F}的宽度|x in U}。如果F的最大宽度度不超过k，则F是局部k宽的。建立了局部k宽集合族的大小的界。如果F是局部k-宽且中心的（F中的每个U都有一个元素不属于F中与U不可比的任何成员），则|F| <=（k+1）（n-k/2）;此界是最佳可能的。几乎精确的界限，线性n和k，局部k-宽家庭的弧或段的大小确定。若F是任意局部k-宽集合族，则|F|在n中线性有界.这个结果的证明涉及反链的组合学分析。设P是偏序集，L是半格（或交闭集族）。L的P大小为|L^P|.对于L中的u，u的P-密度是|[u]^P|/|L^P|. u的密度由u的[1]-密度给出。设p是P的滤子个数，L具有P-密度性当且仅当存在L中的并不可约a使得a的P-密度至多为1/p哪些非平凡半格具有P-密度性？对于P=[1]，已经证明了答案是：“所有”（并闭集猜想）。下半模格和几何格（P=[n]）的某些次直积具有强意义下的P-稠密性。这推广了一些以前已知的结果。如果n足够大，则固定格具有[n]-密度性质。估计了包含该空集的并闭集族L的生成元U的密度。该估计仅依赖于L在U处的局部性质。如果L是由大小至多为2的集合生成的，则存在L的生成元U，其估计密度至多为1/2。

1994-11-08math.CO

集合并族中的超饱和现象

Supersaturation in union-closed families of sets

该数学研究证明了特定大小并族中k-链数量的极小化条件，明确了极小化族的唯一存在范围，为并族理论提供了关键结论。

2026-07-30math.CO

用消极的思维获得结果

Getting results with negative thinking

给定一个论域$U$，{ \em multiset}可以被认为是从$U$到自然数${\bf N}$的函数$M$。本文定义了一个{ \em混合集}为从论域$U$到整数${\bf Z}$的任意函数。这些集合被称为混合，因为它们包含具有正重数或负重数的元素。我们的目标是使用这些混合集{ \em好像}，他们是多集，以充分推广某些组合的事实，这是真正的经典只有非负整数。

1995-02-09math.CO

分划格的四元生成集及其直积

Four-element generating sets of partition lattices and their direct products

$n>3$是一个自然数。1975年H. Strietz，$n$ -元素集的所有分区的格部分$(n)$具有四元素生成集。1983年，L.扎多里用一种特别优雅的结构对这一事实给出了新的证明。本文在他1983年构造的基础上，给出了Part $(n)$的四元生成集个数$ν(n)$的一个下界。我们还提出了一个计算机辅助的$ν(n)$的$n$小值的统计方法。在他1983年的论文中，L. Zádori还证明，对于$n\geq 7$，格部分$(n)$有一个四元生成集，这不是一个反链。他留下的问题是否有这样一个生成集$n\in\{5,6\}$存在开放。在这里，我们解决了这个问题的$n=5$否定和PDMATHAMT肯定。最后，主要定理断言某些分划格的幂的直积是四生成的。特别是，根据该定理的第一部分，对于任何两个至少为5的不同整数$n_1$和$n_2$，部分$(n_1)\times$部分$(n_2)$是四生成的。该定理的第二部分是技术性的，但它有两个容易理解的推论。即，对于每个整数$n\geq 9$，直积部分$(n)$ $\times$部分$(n+1)$ $\times\dots\times$部分$(3n-14)$是四次生成的。此外，对于每一个正整数$u$，$u$是直积Part $(n)$ $\times$ Part $(n+1)$ $\times\dots\times$ Part $(n+u-1)$的…

2020-06-25math.COmath.RA