Continuity of attractors for a nonlinear parabolic problem with terms concentrating in the boundary
我们分析了由非线性抛物问题产生的流动的动力学时，一些反应和潜在的条款集中在附近的边界。我们假设当参数ε趋于零时，这个邻域收缩到边界。此外，我们假设这个邻域的“内边界”呈现出高度振荡的行为。这里我们的主要目标是证明吸引子族关于ε的连续性。事实上，我们证明了上连续性下的正则性和耗散性的通常性质，并假设双曲的平衡，我们还显示了下半连续性的吸引子在ε=0。
2012-03-31 math.AP
Upper semi-continuity of random attractors and existence of invariant measures for nonlocal stochastic Swift-Hohenberg equation with multiplicative noise
本文研究了具乘性噪声的2D非局部随机Swift-Hohenberg方程的长时间动力学行为，利用解析半群理论证明了随机吸引子的上半连续性，并推广随机Gronwall引理以建立遍历不变测度的存在性。
2020-12-01 math.AP math.DS math.PR
Minimality properties of set-valued processes and their pullback attractors
讨论了度量空间上多值动力系统的拉回吸引子的存在性。这种吸引子的存在，没有任何假设的连续性的解决方案地图，仅基于最小属性的概念拉回吸引。当要求不变性时，假设求解算子的一个非常弱的闭图条件。演示文稿补充的例子和反例来测试所涉及的假设，包括反应扩散方程，不连续的常微分方程和不规则形式的热方程的尖锐性。
2014-08-12 math.AP math.DS
Continuity of attractors of parabolic equations with nonlinear boundary conditions and rapidly varying boundaries. The case of a Lipschitz deformation
本文研究了带非线性边界条件的抛物型方程在边界随参数$ε$趋于零时快速振荡变化下吸引子的连续性，通过引入变化域函数与Banach空间算子族的收敛性，证明了解收敛至含振荡因子的极限方程。
2024-06-03 math.AP
Global attractors for strongly damped wave equations with displacement dependent damping and nonlinear source term of critical exponent
本文研究了三维强阻尼波动方程解的长时间性态。证明了由该方程生成的半群在H_{0} ^{1}（Ω）\times L_{2}（Ω）中具有全局吸引子，并证明了该全局吸引子是H^{2}（Ω）\times H^{2}（Ω）的有界子集，也是H^{2}（Ω）\cap H_{0} ^{1}（Ω）\times H_{0} ^{1}（Ω）中的全局吸引子.
2012-02-27 math.AP math.DS
The well-posedness and the regularity of global attractor for a couple stress fluid through porous layer with the local thermal non-equilibrium effect
本文研究了具有局部热非平衡效应的饱和多孔介质中偶应力流体解的适定性和整体吸引子的规律性。更具体地说，我们首先利用标准Galerkin方法证明了该模型整体弱解的存在唯一性。其次，在证明一致紧性条件的基础上，证明了该模型在弱解所在空间中的全局吸引子的存在性。最后，利用一致紧条件改进了全局吸引子的正则性，得到了该模型的$C^{\infty}$吸引子。
2021-10-12 math.AP math.DS
Global attractors of evolutionary systems
在[8]中引入了一个研究耗散演化系统$\mathcal{E}$关于弱拓扑和强拓扑的渐近行为的抽象框架，主要是为了研究三维Navier-斯托克斯方程（NSE）的长时间行为，其中解算子半群的存在性是未知的.每个演化系统在弱拓扑中具有全局吸引子，但在强拓扑中不一定具有全局吸引子。在本文中，我们研究了一个抽象的进化系统的全局吸引子的结构，重点是Ω极限和吸引，不变，准不变集。得到了ω-极限和全局吸引子的弱一致跟踪性质和强一致跟踪性质。此外，我们还讨论了一个演化系统的轨迹吸引子，并给出了一个强收敛到轨迹吸引子的条件。
2006-09-13 math.AP math.DS
Global attractor for a nonlinear one-dimensional compressible viscous micropolar fluid
本文研究一维可压缩粘性导热微极流体本构方程组解的动力学行为。在适当的初值约束下，证明了广义索伯列夫空间$H^{(1)}_δ$和$H^{(2)}_δ$中全局吸引子的存在性.
2018-06-05 math.AP math.DS
Large Diffusivity and Rate of Convergence of Attractors in Parabolic Systems
本文研究了具有大扩散项的抛物型方程组的收敛速率。我们将展示空间均匀化发生的确切时刻，并通过收敛速率估计吸引子的连续性。我们将展示一个我们的估计是最优的例子。
2020-05-21 math.AP
On global attractors of the 3D Navier-Stokes equations
针对三维Navier-斯托克斯方程（NSE）不一定有正则解的可能性，我们引入了一个抽象的框架来研究多值耗散演化系统关于两种拓扑--弱拓扑和强拓扑的渐近行为.每个这样的系统在弱拓扑中具有全局吸引子，但在强拓扑中不一定。当后者存在且弱闭时，它与弱全局吸引子一致。我们给出了强整体吸引子存在的一个充分条件，并在弱整体吸引子上的所有解都是强连续的情况下，对三维非线性系统进行了验证。我们还介绍和研究了Navier-斯托克斯方程的两参数族模型，具有类似的性质和开放的问题。这些模型总是具有弱的全局吸引子，但在其中一些模型上，每个解都在有限时间内爆破（在比标准能量更强的范数下）。
2006-09-11 math.AP math.DS
Structure and regularity of the global attractor of a reaction-di§usion equation with non-smooth nonlinear term
本文研究一类反应微分方程的整体吸引子的结构，其中Cauchy问题的唯一性不能保证。我们证明了全局吸引子的特点是可以使用非稳定流形的一组不动点或稳定的，但考虑在最后一种情况下，只有解决方案的有界完整的轨迹。
2012-09-10 math.AP math.DS
Gromov-Hausdorff stability of global attractors of damped wave equations under perturbations of the domain
Chonnam National University（全南国立大学）
本文研究了在领域扰动下阻尼波方程全局吸引子的Gromov-Hausdorff稳定性，利用紧致度量空间之间的距离建立其连续依赖性。
2026-01-20 math.AP math.DS
Global Attractor of a coupled Two-Cell Brusselator Model
本文证明了耦合二胞模型方程解半流的全局吸引子的存在性。针对这类具有三次自催化非线性和线性耦合的四变量反应扩散系统的吸收性和渐近紧性的证明问题，提出了一种分组估计方法和一种新的分解方法.证明了全局吸引子的豪斯多夫维数和分形维数是有限的。
2009-06-23 math.AP math.DS
Weak global attractor for the $3D$-Navier-Stokes equations via the globally modified Navier-Stokes equations
本文通过全局修正的Navier-Stokes方程，利用半线性抛物方程理论和ε-正则性，证明了三维Navier-Stokes方程弱全局吸引子的存在性及其正则性。
2024-02-09 math.AP math.DS
Global attractor for a nonlocal model for biological aggregation
我们调查的长期行为的全球吸引，随着时间的推移到无穷大，解决方案的连续模型的生物聚集，其中个人的经验，远程社会吸引力和短程扩散。研究了有界区域中具有退化扩散和非退化扩散的凝聚方程在各种边界条件下的解。在退化情形下，我们证明了全局吸引子的存在性，并得到了一些最优正则性结果。在非退化情形下，我们给出了整体吸引子的完整结构刻画，并讨论了任何有界解收敛到平衡态的条件。最后，指数吸引子的存在性也证明了充分光滑的内核的情况下，非退化扩散。
2013-05-01 math.AP math.DS
Evolutionary system, global attractor, trajectory attractor and applications to the nonautonomous reaction-diffusion systems
在[高级数学，267（2014），277-306]，Cheskidov和Lu开发了一个新的进化系统框架，该框架直接处理由于Haraux的统一全局吸引子的概念，并且通过该框架，能够为所考虑的原始系统定义轨迹吸引子。轨迹吸引子的概念以前建立了一个系统没有唯一性，通过考虑家庭的辅助系统，包括原来的。在本文中，我们进一步证明了一个强紧的强轨迹吸引子的概念的存在性，如果系统是渐近紧的。由此得到了全局吸引子上所有完备轨线的强等度连续性和有限强一致跟踪性。然后将该理论应用于一般的非自治反应扩散系统。特别地，我们得到了一致全局吸引子的结构，除了保证存在一致吸收集的条件外，不需要任何额外的非线性条件。最后，我们构建了一些有趣的例子，这种非线性。目前还不知道它们是否可以由以前的框架处理。
2022-09-16 math.AP math.DS
Global and exponential attractors for the Penrose-Fife system
讨论了Penrose-Fife系统的相变。假设温度的Dirichlet边界条件。证明了全局吸引子和指数吸引子的存在性。从前面的贡献，这里的能量平衡方程都是奇异的0和退化的无穷大。由于这个原因，相关动力过程的耗散性不是微不足道的，必须相当仔细地证明。
2008-01-17 math.AP math.DS
Rate of convergence of attractors for semilinear singularly perturbed problems: parabolic equations with large diffusion
本文研究了一类奇摄动抛物型方程，其渐近行为可用一维常微分方程描述。利用预解算子的收敛速率来估计吸引子在Hausdorff度量下的连续性.
2016-06-14 math.AP
Global Attractor for the Periodic Generalized Korteweg-de Vries Equation Through Smoothing
我们建立了一个平滑结果的广义KdV（gKdV）的环面多项式非线性，阻尼，并迫使匹配的平滑水平为gKdV在$H^1$。作为结果，我们建立了该方程的整体吸引子的存在性及其在$H^s(\mathbb{T})$，$s\in (1,2).$中的紧性
2022-01-27 math.AP math.DS
Global attractor for weakly damped Nonlinear Schrödinger equations in $L^2(\R)$
证明了$L^2(\mathbb{R})$中的弱阻尼非线性薛定谔流提供了一个具有全局吸引子的动力系统.该证明依赖于$L^2(\R)$中弱拓扑的薛定谔流的连续性。
2009-10-01 math.AP
Embedding of global attractors and their dynamics
利用形状理论和cellularity的概念，我们表明，如果$A$是与一个耗散偏微分方程在一个真正的希尔伯特空间$H$和集合$A-A$有有限的Assouad维$d$的全球吸引子，那么有一个常微分方程在${\mathbb R}^{m+1}$，与$m >d$，具有独特的解决方案，并再现$A$上的动态。此外，由该新的常微分方程生成的动力系统具有一个全局吸引子$X$任意接近于$LA$，其中$L$是从$A$到${\mathbb R}^{m+1}$的同胚.
2010-08-13 math.AP math.DS
Finite-dimensional global attractors in Banach spaces
我们提供了上界的负不变子集的巴拿赫空间，一个问题，很容易减少到覆盖的图像的单位球下的线性映射的球的集合的半径较小的盒子计数维。作为抽象理论的一个应用，我们证明了一类非常广泛的抛物型偏微分方程（巴拿赫空间中的半线性方程）的全局吸引子是有限维的。
2010-07-26 math.AP math.DS
Finite-dimensional global attractor for a nonlocal phase-field system
我们分析了一个相场系统，其中能量平衡方程是线性耦合的非线性和非局部常微分方程的序参数$χ$。后一个方程的特征在于空间卷积项，其模拟粒子相互作用和奇异配置势，其迫使$χ$取$(-1,1)$中的值。我们证明了相应的动力系统在适当的相空间中存在有界吸收集。然后，我们建立了一个有限维的整体吸引子的存在性。
2011-08-01 math.AP math.DS
Strong global attractors for a three dimensional nonclassical diffusion equation with memory
本文研究了带记忆的三维非经典扩散方程的强全局吸引子，利用Galerkin方法证明了强解的存在唯一性，并通过条件(C)证明了特定相空间中全局吸引子的存在性。
2023-03-31 math.AP math.DS
Global Attractor for Weakly Damped Forced KdV Equation in Low Regularity on T
本文研究了周期情形下，负指数Sololev空间中弱阻尼强迫Korteweg-de Vries方程的长时间行为.我们证明了$s>-\dfrac{1}{2}$的解在$\dot{H}^s(\T)$中一致有界。证明了解映射在$\dot{H}^s(\T)$中具有全局吸引子，且$s>-\dfrac{1}{2}$是$H^{s+3}(\T)$的紧集.
2009-10-24 math.AP math.DS
On $L^{\infty }$-estimates and the structure of the global attractor for weak solutions of reaction-diffusion equations
Universidad Miguel Hernández de Elche（埃尔切米格尔·埃尔南德斯大学）；Jagiellonian University（雅盖隆大学）
本文通过Moser-Alikakos迭代法研究了反应扩散方程弱解的 $L^{\infty }$ 估计，并改进了全局吸引子的结构及维数估计。
2026-02-27 math.AP math.DS
Global Attractors for an Extensible Thermoelastic Beam System
本工作的重点是耗散系统描述的动态可扩展的热弹性梁，其中的耗散是完全由第二个方程统治的温度的演变。在自然边界条件下，证明了有界吸收集的存在性。当外力和热源都与时间无关时，相应的解半群对于所有的轴向外力都具有最优正则性的全局吸引子.当考虑转动惯量时，同样的结果也成立。在这两种情况下，吸引子上的解都是强解。
2009-01-27 math.AP math.DS
Almost Periodic Solutions and Global Attractors of Non-autonomous Navier-Stokes Equations
本文主要研究非自治Navier-斯托克斯方程。首先，作者证明了这样的系统允许紧的全局吸引子。这个问题是制定和解决的一般非自治动力系统。第二，得到了非自治Navier-斯托克斯方程的收敛条件。第三，给出了非自治Navier-斯托克斯方程概周期（拟周期、概自守、常返、伪常返）解存在的一个判别准则。最后，作者导出了非自治Navier-斯托克斯方程的整体平均原理。
2004-09-13 math.AP math.DS
Attractors and global averaging of non-autonomous reaction-diffusion equations in R^n
考虑一类具有概周期、快速振荡主部和非线性相互作用的非自治反应扩散方程.当振动频率趋于无穷大时，我们证明了非自治方程的解收敛于自治平均方程的解。如果非线性项是耗散的，我们证明了紧吸引子的存在性及其在无穷远处的上连续性。
2002-06-17 math.AP math.DS
Global attractors for the damped nonlinear wave equation in unbounded domains
由于Sobolev嵌入的非紧性，无界区域上波动方程整体吸引子的存在性是一个具有挑战性的问题。为了克服这一困难，一些作者已经与加权索伯列夫空间，限制了选择的初始数据。利用B. Wang关于反应扩散方程的研究，本文在传统的希尔伯特空间$\displaystyle H^1(Ω)\times L^2(Ω)$中建立了两个波动方程整体吸引子的存在性，其中$Ω$是$\R^N$的无界区域.第一个方程中，有一个质量项被研究在整个空间$\R^N$和第二个没有质量项被认为是在一个区域中只有一个方向上有界，使庞加莱不等式成立。
2017-12-30 math.AP math.DS
Existence and regularity of global attractors for a Kirchhoff wave equation with strong damping and memory
研究了一类具有强阻尼和记忆的Kirchhoff波动方程在加权含时空间$\mathcal H$和$\mathcal H^{1}$中整体吸引子$\mathcal A$的存在性和正则性.为了得到$\mathcal A$的存在性，我们主要利用能量方法进行先验估计，然后利用压缩函数的方法证明半群的渐近紧性。最后，通过将弱解分解为两部分并进行详细的计算，证明了$\mathcal A$的正则性。
2023-03-25 math.AP math.DS
Global attractor and stabilization for a coupled PDE-ODE system
本文研究了一个数学生物学中的耦合偏微分方程-常微分方程系统解的渐近性态。在系统的ODE-分量单调的情况下，我们建立了一个具有有限Hausdorff维数和分形维数的光滑全局吸引子的存在性。非单调ODE分量的情况要复杂得多。特别地，平衡点的集合在这里变得非紧，并且包含大量的本质上间断解。然而，我们证明了稳定的任何轨迹到一个单一的平衡，如果耦合常数是足够小的。
2011-10-09 math.AP math.DS
Global attractor and robust exponential attractors for some classes of fourth-order nonlinear evolution equations
本文研究了几类四阶非线性偏微分方程解的长时间行为，证明了全局适定性及有限分形维度的全局和指数吸引子的存在性，并在低维下证明了稳健指数吸引子族及其在特定极限下的收敛性。
2025-06-27 math.AP math.DS
Global attractors for doubly nonlinear evolution equations with non-monotone perturbations
在自反巴拿赫空间中，提出了一个关于由具有非单调扰动的次微分算子控制的双非线性发展方程生成的动力系统的抽象理论.为了构造全局吸引子，采用了基于广义半流概念的方法，而不是通常的半群方法，因为方程的柯西问题的解可能不是唯一的。此外，将上述抽象理论应用于位势分为凸部分和非凸部分的广义Allen-Cahn方程以及带梯度非线性项的半线性抛物型方程.
2010-07-30 math.AP math.DS
Global attractors for Cahn-Hilliard equations with non constant mobility
我们地址，在一个三维的空间设置，粘性和标准的Cahn-Hilliard方程与一个非常数的流动系数。正如J. W.巴雷特和J.W. Blowey，Math. Comp.，68（1999），487-517，不能期望相关的初始和边值问题的解的唯一性。然而，参考J. Ball的广义半流理论，我们能够证明在自然的“有限能量”空间中，相关的动力学过程的紧致拟不变全局吸引子的存在性。在证明中的一个关键点是一个小心使用的能量相等，结合推导的“局部紧性”估计系统的超临界非线性，这可能有一个独立的利益。在增长的限制下的配置潜力，我们还表明存在一个紧凑的整体吸引子的半流所产生的（较弱）的解决方案的非粘性方程的特征在于由“有限熵”的条件。
2007-02-26 math.AP math.DS
Uniform global attractors for the nonautonomous 3D Navier-Stokes equations
该研究针对含平移有界外力的非自治三维Navier-Stokes方程，通过构造无唯一性自治演化系统闭包的方法，得到弱一致全局吸引子的存在性与结构，建立了可推广至其他非自治耗散偏微分方程的通用框架。
2014-11-02 math.AP math.DS
Upper bounds on the dimension of the global attractor of the 2D Navier-Stokes equations on the $β-$plane
本文研究了 $β-$平面上二维旋转 Navier-Stokes 方程全局吸引子的复杂度，建立了在广泛旋转速率范围内关于 $β$ 的显式维数上界估计，并详述了大旋转极限下解的渐近行为。
2025-03-06 math.AP math.DS
Well-posedness and global attractor for wave equation with displacement dependent damping and super-cubic nonlinearity
本文研究含位移相关阻尼与超三次非线性项的半线性波动方程，利用扩展指数范围内的精细时空先验估计证明弱解适定性，并证明全局吸引子的存在性及其高阶正则性。
2025-05-12 math.AP math.DS
Well-posedness and global attractor for wave equation with nonlinear damping and super-cubic nonlinearity
本研究探讨带非线性阻尼$g(u_t)$和超三次非线性项$f(u)$的半线性波动方程，通过先验时空估计在更广指数范围建立弱解适定性，证明相空间全局吸引子的存在性及其正则性。
2025-02-13 math.AP math.DS
Convergences of asymptotically autonomous pullback attractors towards semigroup attractors
对于渐近自治动力系统的拉回吸引子，我们研究了其分支向极限半群的全局吸引子的收敛性。我们使用一些拉回吸引子的一致有界性条件，而不是文献中使用的一致紧性条件。研究了前向收敛性和后向收敛性。
2017-11-23 math.AP math.DS
Attractors for weak and strong solutions of the three-dimensional Navier-Stokes equations with damping
本文研究带阻尼三维Navier-Stokes方程弱解生成动力系统的全局吸引子，分参数情形证明吸引子存在性、正则性及强解半群吸引子一致性，并辅以数值模拟。
2025-07-29 math.AP math.DS
Existence and dimensions of global attractors for a delayed reaction-diffusion equation on an unbounded domain
研究无界域上延迟反应扩散方程全局吸引子的存在性及Hausdorff和分形维数上界，通过先验估计和渐近紧性证明存在性，并利用解分解与挤压性质获得仅依赖方程内在特征的维数估计。
2023-11-16 math.AP math.DS
Attractors for Singular-Degenerate Porous Medium Type Equations Arising in Models for Biofilm Growth
Hacettepe University（哈克特佩大学）；Radboud University（拉德堡德大学）
本文研究了生物膜生长模型中出现的奇异退化孔隙介质类型方程的吸引子存在性及性质。
2026-01-14 math.AP math.DS
Global attractors for the plate equation with nonlocal nonlinearity in unbounded domains
考虑具有非局部非线性项的半线性板方程的初值问题。我们证明了全局吸引子的存在性，并建立了该吸引子的正则性和有限维性。
2014-09-16 math.AP
Finite dimensionality of global attractor for the solutions to 3D viscous primitive equations of large-scale moist atmosphere
在一般边界条件下，研究了三维带粘性的湿原始方程的强解的整体吸引子的Hausdorff维数和分形维数的有限性.首先，我们得到了$L^2(\mho)$方程强解的一阶时间导数的时间一致估计。然后，为了证明整体吸引子的Hausdorff维数和分形维数的有限性，常用的方法是得到$H^2(\mho)$中强解的一致有界性，从而建立解算子的压缩性质.但由于边界条件的限制和三维湿原始方程组的复杂结构，使其难以实现。为了克服这些困难，我们尝试利用$L^2(\mho)$中强解对时间$t$的导数的一致有界性来证明整体吸引子的一致连续性.最后，利用整体吸引子的一致连续性，我们建立了解算子的压缩性质，这意味着整体吸引子的Hausdorff维数和分形维数是有限的.
2016-10-22 math-ph math.AP math.MP
The global well-posedness and global attractor for the solutions to the 2D Boussinesq system with variable viscosity and thermal diffusivity
证明了具有非齐次边界条件的二维Boussinesq方程组的初边值问题强解的整体适定性和整体吸引子的存在性.
2014-03-06 math.AP
Global attractor for a Ginzburg-Landau type model of rotating Bose-Einstein condensates
本文研究了一个描述旋转玻色-爱因斯坦凝聚的非线性偏微分方程解的长时间行为。该方程可以看作是著名的非线性薛定谔/Gross-Pitaevskii方程和金兹伯格-朗道方程的混合。我们证明了物理能量空间中全局及时解的存在性和唯一性，并建立了相关动力学中全局吸引子的存在性。我们还得到了吸引子的基本结构性质及其Hausdorff维数和分形维数的估计。
2016-08-05 cond-mat.quant-gas math.AP math.DS
Global Existence and Global Attractors of Cross Diffusion Systems on Planar Domains
在平面区域上建立了广义Shigesada-Kawasaki-Teramoto模型的整体强解存在性和整体吸引子的存在性.交叉扩散和反应可以具有任何阶的多项式增长。
2016-05-18 math.AP
Existence of the global attractor for the plate equation with nonlocal nonlinearity in R^{n}
本文考虑具有非局部非线性项的半线性板方程的柯西问题。在阻尼系数较弱的条件下，证明了该问题生成的半群具有全局吸引子。
2015-03-31 math.AP
Regular global attractors for wave equations with degenerate memory
我们考虑具有退化粘弹性耗散的波动方程，最近在Cavalcanti，Fatori和Ma，具有退化记忆的波动方程的吸引子，J.微分方程（2016）中进行了研究。在一些额外的假设下，我们证明了紧吸收集的存在性。这一结果为全局吸引子提供了进一步的规律性，并表明它由正则解组成。
2018-04-27 math.AP
Global attractors for the one dimensional wave equation with displacement dependent damping
研究了具有非线性阻尼系数的一维波动方程解的长时间行为。证明了若阻尼系数函数在原点附近严格为正，则该方程存在整体吸引子。
2010-12-20 math.AP
Upper semicontinuity of global attractors for parabolic equations governed by the p-laplacian on unbounded thin domains
研究退化到低维集合上的无界区域族中拟线性抛物型方程的渐近性态。考虑一类辅助加权索伯列夫空间，证明了整体吸引子的存在性，并分析了解的收敛性。
2013-11-14 math.AP
The finite dimensions and determining modes of the global attractor for 2d Boussinesq equations with fractional Laplacian
在本文中，我们证明了有限维的整体吸引子和估计的数量的决定模式的2D Boussinesq系统的周期性通道的分数拉普拉斯算子在次临界情况下。
2016-09-05 math.AP
Attractors and their stability with respect to rotational inertia for nonlocal extensible beam equations
本文考虑转动惯性力的非线性梁方程。在适当的假设下，我们证明了紧全局吸引子和指数吸引子的存在性、正则性和有限维性。主要目的是跟踪非线性梁方程的解的行为时，转动惯量的影响逐渐消失。一个自然的问题是是否会出现质的差异。为了回答这个问题，我们用参数α来处理转动惯量，并考虑α在（0，1]中的情况和α =0的情况之间的行为差异。本文的主要贡献是证明了全局吸引子和指数吸引子在某种意义下关于α的连续性。
2018-10-23 math.AP
