Integrable and superintegrable systems associated with multi-sums of products
Peter H. van der Kamp, Theodoros E. Kouloukas, G. R. W. Quispel, Dinh T. Tran, Pol Vanhaecke
我们构造并研究了某些Liouville可积、超可积和非交换的可积系统，这些系统与乘积的多和有关。
We construct and study certain Liouville integrable, superintegrable, and non-commutative integrable systems, which are associated with multi-sums of products.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Integrable and Superintegrable Klein-Gordon and Schrödinger Type Dimers
一个$PT$对称二聚体是一个两点非线性振荡器或一个非线性薛定谔二聚体，其中一个网站损失和其他网站获得能量以相同的速度。我们提出了一个广泛的类可积振子型二聚体的哈密顿量是任意偶数阶。此外，我们还提出了一个广泛的类的可积和超可积的非线性薛定谔型二聚体的哈密顿量再次是任意偶数阶。
Superintegrable Calogero-type systems admit maximal number of Poisson structures
本文给出了构造超可积动力系统Poisson结构的一般方法，其中有理Calogero-Moser系统是最有趣的一个。这个动力系统是$2N$维的$2N- 1$第一积分和我们的建设产生$2N-1$退化泊松张量，每个承认$2(N-1)$ Casimirs。我们的结果是相当普遍地适用于所有的超可积系统，并形成一个替代传统的双哈密顿方法。
On maximally superintegrable systems
局部地，任何完全可积系统都是极大超可积系统，只要我们有必要的作用角变量数。主要问题是利用这些多值作用角变量构造整个相空间上的单值附加运动积分。讨论了Stäckel系统和与两个不同的二次$r$ -矩阵代数有关的可积系统的附加运动积分的构造.在这些系统中，有开放的海森堡磁铁和开放的户田晶格与不同的根系统。
The N-species integrable Volterra system as a maximally superintegrable Hamiltonian system
本文证明 Vito Volterra 的 Hamiltonian N 物种 Lotka-Volterra 可积模型不仅可积，而且最大超可积，并可约化为单自由度系统，同时提供解析与数值结果。
Integrable deformations of superintegrable quantum circuits
本文研究超可积量子电路在保持可积性但破坏超可积性条件下的哈密顿量形变，证明多个具体模型存在单参数可积形变族，并特别揭示Rule54模型位于一族Yang-Baxter可积自旋链的交点上，不具有唯一可积性结构。
The Geometry of Integrable and Superintegrable Systems
考虑了可积系统几何的自同构群。用于获得它的几何结构由可积系统的规范形表示提供，该可积系统不依赖于任何附加的几何结构，如辛、泊松等。这种几何结构在系统的载体空间上提供了广义环形丛。这种结构的非正则微分同胚产生完全可积汉密尔顿系统的替代汉密尔顿结构。能量周期定理为可积系统的等价性提供了第一个非平凡的障碍。
Integrable and superintegrable systems of cylindrical type in magnetic fields
本论文的目标是寻找具有磁场的可积和超可积系统。本文给出了柱坐标系中二阶运动积分的量子力学决定方程，并找到了柱坐标系中所有的二次可积系统。其中，我们寻找系统承认额外的运动积分。在经典力学和量子力学中，我们发现了所有具有附加一阶积分的系统。事实证明，所有这些系统都已经被发现，没有其他系统存在。我们还发现所有系统的额外积分的类型$L^2+\ldots$，分别为$L_y p_y-L_x p_y+\ldots$，其中大多数是新的文献。所有发现的超可积系统都承认一阶积分$L_z$，并且我们通过柱坐标中的变量分离来求解它们的Hamilton-Jacobi和薛定谔方程，对于直角坐标中的一阶系统也是如此。
Integrable and superintegrable 3d Newtonian potentials using quadratic first integrals: A review
确定动力学系统的第一积分并系统地评价其可积性或超可积性是一个开放的课题。沿着这些路线为二阶自治动力系统开发的一种方法是所谓的直接方法。根据这种方法，假设FI I的一般函数形式，并且沿着动力学方程需要条件dI/dt=0。这导致一个系统的偏微分方程（PDE），其中一个增加了必要的可积条件所涉及的标量。我们发现最终的偏微分方程系统分裂成两个集合：a.一组只包含几何元素和b。第二组几何和动力学量。然后，提供的几何量是已知的或可以找到的，一个使用第二组计算FI，并相应地，评估的可积性的动力系统。二次FI（QFI）的偏微分方程系统的解已在最近的论文J. Math. Phys. 61，122701（2020）中给出。在目前的工作中，我们考虑这个解决方案的应用牛顿自治保守动力系统的三个自由度，并计算可积和超可积的潜力，其可积性是通过自治和时间依赖的QFI确定。这些系统的几何元素是已知的欧几里得空间的几何元素。设置各种值的参数确定的几何元素，我们确定在一个系统的方式所有已知的可积和超可积的潜力E3与新的。为了便于参考，结果收集在表中，使目前的工作可以作为一个更新的审查的主题上的二阶可积/超可积的潜力在E3。
A new integrable anisotropic oscillator on the two-dimensional sphere and the hyperbolic plane
本文将具有Rosochatius（离心）项的二维欧氏各向异性振子哈密顿量推广到二维球面$S^2$和双曲空间$H^2$，并证明其运动的曲积分是动量平方的.为了构造这样一个新的可积哈密顿量$H_κ$，我们将利用群论的方法，其中的曲率$κ$的基础空间将被视为一个额外的（收缩）参数，我们将广泛使用的射影坐标和它们相关的相空间。结果表明，当振子参数$Ω_1$和$Ω_2$满足$Ω_2=4Ω_1$时，系统是$S^2$和$H^2$上著名的超可积1：2振子.然而，数值积分的轨迹$H_κ$表明，其他值的参数$Ω_1$和$Ω_2$的系统是不是超可积。通过这种方式，我们支持这样的猜想，即对于每个相称的（因此是超可积的）$m:n$欧几里德振子，存在一个双参数族的弯曲可积（但不是超可积的）振子，只有当参数被调谐到$m:n$可积性条件时才是超可积的。
Integrable and Superintegrable Extensions of the Rational Calogero-Moser Model in 3 Dimensions
我们考虑一类3自由度的Hamilton系统，具有一种特殊类型的二次积分，其中包括有理Calogero-Moser系统作为一个特殊情况。对于一般类，我们引入分离坐标来找到一般的可分（因此刘维尔可积）系统，有两个二次积分。这给出了一个耦合的Calogero-Moser系统与一大类的潜力，概括了一系列的潜力是可分离的抛物线坐标。特殊情况是{ \em superintegrable}，包括开普勒和共振振荡器。本文的初始计算涉及的是平坦（笛卡尔型）动能，但在\ref{sec:conflat-general}部分，我们引入了一个{ \em保形因子} $φ$到$H$，并将两个二次积分推广到这种情况。所有以前的结果推广到这种情况。然后，我们引入了一些二维和三维对称代数的动能（Killing向量），限制共形因子。这使我们能够减少我们的系统从3到2自由度，从而产生了许多有趣的系统，包括开普勒型和Hénon-Heiles型的潜力达布-柯尼希斯$D_2$的背景。
Semi-direct sums of Lie algebras and discrete integrable couplings
建立了李代数的半直和与格方程的可积耦合之间的关系，并进一步提出了构造可积耦合的一种切实可行的方法。应用所得到的一般理论的广义户田谱问题产生两类可积耦合的广义户田族格方程。利用李代数的半直和构造可积耦合为可积格方程的完全分类提供了一个很好的信息来源。
Superintegrable systems on sphere
我们考虑各种推广的开普勒问题的三维球$S^3$，一个紧凑的常曲率空间。这些推广包括，除其他事项外，增加了一个球形类似的磁引力（庞加莱-阿佩尔系统）和增加了一个更复杂的领域，这本身是一个推广的MICZ系统。上面提到的系统是可积的--事实上是超可积的。后者是由于矢量积分，这是类似于拉普拉斯-龙格-伦茨矢量。我们提供了一个分类的运动，并考虑平面和空间运动之间的轨迹同构。所得结果可推广到Lobachevsky空间$L^3$ .
Explicit metrics for a class of two-dimensional superintegrable systems
在局部坐标下，我们得到了Matveev和Shevchishin的二维超可积系统的三次积分的显式形式.这使我们能够确定这些系统的参数值确实是全局定义的两个球体。
Second Order Superintegrable Systems in Three Dimensions
n维黎曼流形上的经典（或量子）超可积系统是一个具有势的可积哈密顿系统，它允许2n-1个函数独立的运动常数，这些常数是动量多项式，这是可能的最大数目。如果这些运动常数都是二次的，则系统是二阶超可积的。这样的系统具有显著的特性。典型的性质是：1）它们可以以多种方式积分，并且积分方式的比较导致了关于系统的新事实，2）它们是多可分的，3）二阶对称产生了一个封闭的二次代数，并且在量子情况下，二次代数的表示理论产生了关于薛定谔算子和其他对称算子的谱分辨率的重要事实，（4）与特殊函数类的展开式以及精确可解系统和拟精确可解系统的理论有着深刻的联系。对于n=2，作者E.G. Kalnins和J. Kress已经计算出了这些系统的结构，并对所有可能的空间和势进行了分类。在这里，我讨论我们最近的工作，并宣布更困难的情况n=3的新结果。
Integrable reductions of the dressing chain
在本文中，我们构建了一个家庭的可积约化的敷料链，描述其Lotka-Volterra形式。对于每个具有$n\geqslant 2k+1$的$k,n\in\mathbb N$，我们得到一个在$\mathbb R^n$上的Lotka-Volterra系统$\hbox{LV}_b(n,k)$，它是Lotka-Volterra系统$\hbox{LV}(n,k)$的变形，$\hbox{LV}(n,k)$本身是$2m+1$维Bogoyavlenskij-Itoh系统$\hbox{LV}(2m+1,m)$的可积约化，其中$m=n-k-1$。我们证明了$\hbox{LV}_b(n,k)$是Liouville和非交换可积的，有理第一积分是$\hbox{LV}(n,k)$的有理第一积分的变形。我们还构造了一个家庭的离散化$\hbox{LV}_b(n,0)$，包括其Kahan离散，我们表明，这些离散化也是刘维和超可积。
On integrable systems outside Nijenhuis and Haantjes geometry
研究了三维欧氏空间中具有非零Nijenhuis挠率的非不变Killing张量。推广了相应的可积系统，构造了$n$维欧氏空间中两类新的超可积系统.
New classes of quadratically integrable systems in magnetic fields: the generalized cylindrical and spherical cases
本文研究三维磁场中具有二次运动积分的可积与超可积系统，推广柱面型和球面型积分，发现三个柱面可积系统及一个不可正交分离的最小超可积系统。
Integrable models associated with Myers-Perry-AdS-dS black hole in diverse dimensions
在所有转动参数相等的特殊情况下，Myers-Perry-AdS-dS黑洞在视界附近具有SO（2，1）xU（n）对称性.我们考虑一个大质量的相对论粒子在这样的背景下传播，并把它归结为具有U（n）对称性的超可积球力学。给出了在该模型中实现的一组功能独立的u（n）生成器。
Superintegrable cellular automata and dual unitary gates from Yang-Baxter maps
考虑一维块元胞自动机，其中局部更新规则由Yang-Baxter映射给出，Yang-Baxter映射是Yang-Baxter方程的集合理论解.我们表明，这样的系统是超可积的：他们拥有一个指数大的保守的本地收费，这样的电荷密度弹道传播链。对于这些量，我们观察到完全没有“算子扩散”。此外，模型也可以有其他的局部电荷，这些局部电荷仅是加性守恒的。我们讨论了具体的模型，以当地的尺寸$N\le 4$，并表明，它们产生了丰富的物理行为，包括非平凡的粒子散射和共存的弹道和扩散运输。我们发现，如果Yang-Baxter映射是非退化的，则局部更新规则是经典版本的“对偶酉门”。我们讨论了对偶么正性的结果，并讨论了由杨-巴克斯特映射的不可积量子力学变形得到的一族对偶么正门。
Generalised point vortices on a plane
平面上的三涡系统在刘维尔意义下是极小超可积的。在这项工作中，三涡平面模型，其中涉及简单李代数的根向量的可积概括，提出。它表明，一个广义系统，这是由一个正定的哈密顿量，承认一个自然的可积扩展的自旋自由度。它强调的n-涡旋平面模型和大量的泛化享受非相对论尺度不变性，这给可能的全息应用的空间。
Metrisable oscillators and (super)integrable two-dimensional metrics
本文研究了一类非线性振荡器，探讨了其可积性和可度量性，构造了多个同时满足这两种性质的振荡器家族，从而得到参数化的（超）可积二维度量。在超可积情况下，给出了未参数化的测地线显式表达式。
Geometry of Invariant Tori of Certain Integrable Systems with Symmetry and an Application to a Nonholonomic System
双纤化，在辛几何中也称为对偶对，在超可积哈密顿系统理论中起着相关的作用。我们证明了在具有对称群的动力系统中存在类似的双纤维几何，使得约化动力学是周期的。这类系统的可积性已由M. Field和J. Hermans的重建技术。我们将结果应用于在旋转曲面上滚动的球的非完整系统。
Particle in a field of two centers in prolate spheroidal coordinates: integrability and solvability
我们分析了一个粒子，两个中心的量子问题，承认分离的变量在长椭球坐标，一个自然的限制H $_2^+$分子离子满足。对称算子被明确地构造。我们给出了详细的哈密顿约化的3D系统的2D系统与修改后的潜力，是可分离的椭圆坐标系。指出了长球坐标空间中薛定谔算符具有双周期性的势函数，包括H $_2^+$分子离子的势函数。我们研究可能的潜力，承认确切的可解性，以及我们已知的所有模型与分离方程的（准）确切的可解性。我们发现二阶超可积和共形超可积系统与这些易处理的问题之间有着深刻的联系。特别是，我们推导出一个一般的4参数表达式的模型势，总是可积的，是共形超可积的一些参数的选择。
Integrable geodesic motion on 3D curved spaces from non-standard quantum deformations
3D空间（一般来说，非常数）曲率和量子变形之间的联系。它示出了如何sl（2）泊松余代数的非标准变形生成一族可积的Hamilton算子，其表示具有非恒定曲率的3D流形上的测地线运动，该曲率是变形参数z的函数。定义在同一变形余代数上的一个不同的Hamilton算子也可以在截面曲率均为常数且等于z的3D黎曼空间和（2+1）维相对论空间上产生一个极大超可积测地运动.这种方法可以推广到任意维度。
Integrable potentials on spaces with curvature from quantum groups
通过定义在sl（2）Poisson余代数的非标准量子变形上的Hamilton算子，构造了一类定义在二维球面、双曲和（反）de Sitter空间变形上的经典可积系统.所有这些空间都具有取决于变形参数z的非恒定曲率。作为特例，提出了谐振子和Kepler-Coulomb势在这种空间上的类似物。另一个变形的哈密顿量也被证明提供超可积系统通常的球，双曲和（反）德西特空间与常曲率，正好符合z。根据每个特定的空间，所得到的势被解释为中心谐振子与两个以上的振子或离心屏障的叠加。所有这些哈密顿量的非变形极限z=0可以被认为是零曲率极限（收缩），它导致平坦欧氏空间和闵可夫斯基空间上相应的（超）可积系统。
The anisotropic oscillator on the two-dimensional sphere and the hyperbolic plane
给出了$H=1/2(p_1^2+p_2^2)+ δq_1^2+(δ+ Ω)q_2^2 +\frac{λ_1}{q_1^2}+\frac{λ_2}{q_2^2}$给出的具有“离心”项的欧氏各向异性振子哈密顿量在二维球面S^2和双曲平面H^2上的可积推广.由此得到的广义哈密顿量H_κ显式地依赖于基础空间的常高斯曲率κ，使得这里给出的所有结果对S^2（κ>0），H^2（κ<0）和E^2（κ=0）同时成立。此外，还证明了H_κ对参数δ，Ω，λ_1和λ_2的任意值都是可积的.因此，H_κ也可以解释为弯曲Higgs振子的各向异性推广，即恢复为H_κ的各向同性极限Ω=0。此外，还对H_κ的一些轨迹进行了数值积分，并着重讨论了弯曲背景的引入所引起的动力学特征。讨论了H_κ的超可积性问题，重点讨论了Ω=3δ的情形，这是已知欧几里德哈密顿量H是超可积的情形之一（1：2振子）.数值结果表明，当Ω=3δ时，弯曲哈密顿量H_κ呈现非周期有界轨线，这似乎表明H_κ是H的一个非超可积推广.我们将这个结果与已知的1：2欧几里德振子的超可积曲线模拟H '_κ作了比较，表明H_κ的Ω=3δ特化与H'_κ不一致.最后，还详细讨论了H_κ中出现的弯曲“离心”项的几何解释。
Rotations and integrability
本文研究$n$维欧几里得空间中具有$m\geq n-2$个旋转不变性的可积与超可积系统族，其哈密顿量与$n-2$个一次积分及一个四次积分对易。
Lagrangian multiforms on Lie groups and non-commuting flows
本文提出一个用于非交换流的变分框架，扩展拉格朗日多形式理论，以李群作为多时间，并通过开普勒、有理Calogero-Moser及推广的AKNS系统等例子展示其应用，作为李群作用纯变分方法的第一步。
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