A way to prove the irrationality of Zeta(4)
Dirk Huylebrouck
Zeta（5）的无理性证明是一个长期存在的公开问题，但这里只考虑Zeta（4）=（Pi^4）/90的情况。本文提出了一种方法来证明Zeta（4）的非理性沿着那些已知的证明Zeta（3）的非理性的路线。
The proof of the irrationality of Zeta(5) is a long standing open problem, but here only the case of Zeta(4) = (Pi^4)/90 is considered. The present paper suggests an approach for the irrationality of Zeta(4) along the lines of those known for proving the irrationality of Zeta(3).
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Irrationality proofs for zeta values, moduli spaces and dinner parties
给出了具有$n$有序标记点的亏格$0$的曲线的模空间$\mathcal{M}_{0,n}$的一个简单尺规作图法，为zeta值的许多无理性证明提供了一个通用框架.这种构造产生了Apéry对$ζ(2)$和$ζ(3)$的近似，对于更大的$n$，一个无穷族的小线性型在多个zeta值中具有有趣的代数结构。它还包含一个概括的线性型使用球和Rivoal证明，无穷多奇zeta值是不合理的。
Fonction Zêta de Hurwitz p-adique et irrationalité
关于p-adic zeta值的不合理性的认识最近有了进展。F.证明了Dirichlet级数zeta_2（2），zeta_2（3）及其它几个p-adic级数的无理性。卡利加里F. Beukers给出了一个更基本的证明这一结果。同时，T. Rivoal刚刚获得了在复杂的情况下，一些Pade逼近的Lerch功能。正是这一工作，转置到C_p，使我们能够获得非理性和线性独立的结果。
Shidlovsky's multiplicity estimate and Irrationality of zeta values
在本文中，我们遵循Bertrand-Beukers（以及Bertrand后来的工作）的方法，基于微分伽罗瓦论，证明了Shidlovsky引理的一个非常一般的版本，该引理适用于Pad{é}逼近问题的几个点，无论是在函数水平还是数值水平（即，在特定点处评估之前和之后）。这使我们能够得到一个新的证明球Rivoal定理的无理性的无穷多个值的黎曼ζ函数在奇数，灵感来自证明的Siegel-Shidlovsky定理的值的E-函数：Shidlovsky引理是用来取代Nesterenko的线性独立性准则与Siegel的，所以没有下界是必要的线性型的zeta值。同样的策略提供了一个新的证明，并细化，西本定理的价值的L-函数的狄利克雷字符。
Irrationality of some p-adic L-values
证明了$p=2,3$和$k=2,3$的$p$ -adic zeta-值$ζ_p(k)$的不合理性.这些结果最近由F.Calegari作为过收敛$p$ -adic模形式的应用而得到。在本文中，我们提出了一种方法，使用经典的连分数发现的Stieltjes。此外，我们还证明了其他$p$ -adic $L$ -级数值和$p$ -adic Hurwitz zeta-函数值的不合理性.
On the irrationality of certain $p$-adic zeta values
本文建立了 Zudilin 定理的 $p$-进类似物，证明了对于任意素数 $p \geqslant 5$，在特定区间内存在奇数 $i$ 使得 $p$-进 zeta 值 $ζ_p(i)$ 为无理数。
A new upper bound for the irrationality exponent of zeta(3)
本文通过应用Rhin-Viola定理5.1于新的积分方向，将zeta(3)的无理性指数上界改进至5.5138800，优于此前保持25年的最佳结果，并指出Rhin-Viola点并非全局最优。
Irrationality of certain p-adic periods for small p
在阿肯证明了zeta（3）的不合理性之后，Beukers发现了一个使用模形式对阿肯论证的优雅的重新解释。我们展示了如何Beukers参数可以适应一个p-adic设置。在这种情况下，某些函数方程所产生的艾希勒积分被取代的概念过收敛p-adic模形式，和周期本身出现的系数，而不是周期多项式，但常数项的p-adic爱森斯坦级数。证明了zeta（3）的类比对p = 2和3是无理数，Catalan常数的2-adic类比也是无理数。
On the irrationality of certain $2$-adic zeta values
本文证明了 Kubota-Leopoldt $2$-adic zeta 函数在特定区间内存在无理数值，通过构造显式有理函数并利用 Volkenborn 积分结合二项式系数操作实现。
Irrationality of values of zeta-function
本文给出了$ζ(s),ζ(s+2),...,ζ(s+2n)$中无理值和线性无关值个数的几个结果，其中$s>2$是奇数，$n>0$是整数.我们证明的主要工具是Rivoal构造的某种推广（math.NT/0008051，math.NT/0104221）。
Tweaking the Beukers Integrals In Search of More Miraculous Irrationality Proofs A La Apery
只有0次方的有理数，而有2次方的0次方的实数。因此，随机选择的实数是有理数的概率为0。然而，严格证明任何特定的、自然的、真实的常数是非理性的，通常是非常困难的，我们可以看到，仍然没有证据证明欧拉-马斯凯罗尼常数、加泰罗尼亚常数或泽塔常数是非理性的。受Frits Beukers对Aesthetan关于Zeta（2）和Zeta（3）的非理性的开创性证明的优雅演绎的启发，并大量使用算法证明论，我们系统地搜索了其他类似的积分，导致了非理性证明。我们发现了相当多的候选证明，包括Pi的平方根乘以Gamma（7/3）/Gamma（-1/6）和Gamma（19/6）/Gamma（8/3）除以Pi的平方根。
Beukers-like proofs of irrationality for $ζ{(2)}$ and $ζ{(3)}$
本文提供ζ(2)和ζ(3)无理数性的分步证明，改进了Beukers方法，有助于理解及扩展至更高ζ值、Catalan常数等。
Irrationality of values of L-functions of Dirichlet characters
在Sprang和Zudilin最近的一篇论文中，证明了以下结果：如果$a$在$\varepsilon>0$方面足够大，则在$3$和$a$之间的奇数处，黎曼zeta函数的至少$2^{(1-\varepsilon)\frac{\log a}{\log \log a}}$值是无理数。这改进了Ball-Rivoal定理，该定理只提供了$\frac{1-\varepsilon}{1+\log 2} \log a$这样的无理值-但具有更强的性质：它们在有理数上线性无关。在本文中，我们将最近的结果推广到Dirichlet特征的$L$ -函数和Hurwitz zeta函数。该策略是不同的，不那么基本：该结构与Padé近似问题有关，并且使用Shidlovsky引理的推广来应用Siegel的线性独立性准则。我们还改进了类似的球Rivoal定理在这种设置：我们得到$\frac{1-\varepsilon}{1+\log 2} \log a$线性无关值$L(f,s)$与$s\leq a$的固定奇偶校验，当$f$是一个狄利克雷字符。这里的新观点是常数$1+\log 2$不依赖于$f$。
Diophantine problems for q-zeta values
给出了黎曼ζ函数值在正整数上的一个有动机的q-扩张.几个非理性和超越性的结果，以及新的一般问题，这些q-zeta值的陈述。
The linear independence of $1$, $ζ(3)$, and $ζ(4)$
本文结合 Fauzan 行列式方法与经典同时逼近，证明了 $1$、$\zeta(3)$、$\zeta(4)$ 在有理数域上线性无关。
Searching for Apery-Style Miracles [Using, Inter-Alia, the Amazing Almkvist-Zeilberger Algorithm]
罗杰·阿维尼翁证明非理性的开创性方法被“颠倒过来”，并被教授给计算机，使zeta（3）的原始证明能够在一秒钟内还原，并对许多新常数进行了许多新的非理性证明，唉，它们中没有一个既著名又尚未被证明是非理性的。
The fourth moment of the Hurwitz zeta function
该研究针对平移参数为无理性指数小于3的无理数的Hurwitz zeta函数，给出其临界线上四阶矩的精确上界，确定了0≤k≤2时2k阶矩的量级，推测其临界线上值分布为高斯分布。
Effective Irrationality Measures and Approximation by Algebraic Conjugates
本文给出了利用代数共轭构成代数数的逼近序列的一个结果，并由此得到了相关代数数的有效无理性测度.从这个结果，我们能够推广图厄的基本定理。
A geometrical approach to measure irrationality
我们提出了一个几何的方法来描述一个数的无理数使用面积的圆形部门$A(r)$。我们建立了一个连接，这和连分数扩展的数量，并证明了界$A(r)$作为$r\to\infty$通过描述的渐近行为的比率的转换。
Many $p$-adic odd zeta values are irrational
本文证明充分大的奇整数范围内有相当数量的 $p$ 进奇数 zeta 值无理，并借助新无理性判据解决线性形式非零性难题。
One of the Odd Zeta Values from $ζ(5)$ to $ζ(25)$ Is Irrational. By Elementary Means
对于“至少有一个奇zeta值$ζ(5),ζ(7),\dots,ζ(s)$是无理数”这类结果，可用鞍点法或线性无关准则，或两者并用。然而，这两种非凡的技巧被认为是高度非初等的，因此使部分非理性的结果无法为普通数学观众所接受。在这里，我们修改原来的建设线性型奇zeta值产生，第一次，这样一个结果的一个基本证明-证明其技术成分仅限于素数定理和斯特林的近似公式的阶乘。
Irrationalité de valeurs de zêta (d'après Apéry, Rivoal, ...)
这份调查文本涉及的非理性，线性独立的有理数，价值观在正奇数的黎曼ζ函数。第一部分给出了Apéry定理（1978）的所有已知证明（以及它们之间的联系）：$ζ(3)$是无理数。第二部分致力于证明的一个变体，由Rivoal和Ball-Rivoal发表，即无穷多个$ζ(2n+1)$是无理数。本文的结尾涉及更多的定量陈述。
Criteria for Irrationality of Euler's Constant
通过修改Beukers对Awesley定理zeta（3）是无理数的证明，我们得到了欧拉常数gamma的无理数的判据。对n > 0，定义了一个二重积分I（n）和一个正整数S（n），证明了若d（n）= LCM（1，.，n），则logS（n）的分数部分由{logS（n）} = d（2n）I（n）给出，对于所有充分大的n，当且仅当γ是有理数。一个推论是，如果{logS（n）} > 1/2^n无限频繁，那么伽玛是无理数。事实上，如果不等式对给定的n成立（我们给出了0 < n < 2500和n = 10000的数值证据），并且伽马是有理数，那么它的分母不能除以乘积d（2n）Binomial（2n，n）。证明了一个新的组合恒等式，从而证明了方程组中的某个线性型实际上是logS（n）.一个副产品是一个快速收敛的伽马渐近公式，由P. Sebah使用来计算它正确到18063位小数。
How to approximate irrational numbers nicely?
在文献中，我们有各种方法证明一个实数的无理数。在这篇综述性文章中，我们将强调证明非理性的一个特殊标准。这被称为用一系列有理数对一个数的精确逼近。这个非理性的标准很容易证明，而且非常重要。利用它，证明了一大类数的无理数。我们将用这种方法证明代数、指数和三角无理数的无理数。大多数情况下，显式构造是由有理数的好序列完成的。使用的参数是基本的，如二项式定理和函数的最大值和最小值。因此，这篇调查文章是本科生可以访问的，对任何寻找娱乐数学的人都有广泛的吸引力。这篇文章在没有使用任何重量级机器的情况下提出了经典的美丽数学。
A note on the irrationality of $ζ_2(5)$
受 Apéry 证明 $ζ(3)$ 无理性的启发，构造有理逼近序列证明 $ζ_2(5)$ 的无理性，并给出其无理性测度的上界。
A simpler proof of a Katsurada's theorem and rapidly converging series for $ζ{(2n+1)}$ and $β{(2n)}$
在最近关于偶狄利克雷β值的欧拉型公式（即$β{(2n)}$）的工作中，我导出了一类zeta级数的精确闭式表达式.从这个结果，我已经证明了两个家庭的zeta级数的封闭形式的总和。在本书中，我首先使用威尔顿的一个已知公式来证明这些假设。作为应用的例子，一些特殊情况下进行了探讨，产生快速收敛的系列表示的Apéry常数，$ζ(3)$，和加泰罗尼亚常数，$G = β(2)$。有趣的是，我们对$\,ζ(3)\,$的级数收敛速度比Apéry在他的非理性证明（1978）中使用的更快。此外，我们的系列$\,G\,$收敛速度比一个著名的发现Ramanujan（1915年）。最后，对Katsurada最近的一个定理给出了一个更简单、更直接的证明，它推广了上述结果。
Apéry's theorem and problems for the values of Riemann's zeta function and their $q$-analogues
本专著旨在被视为我的history（D.Sc.）。论文;由于这一点，因为一切都已经出现在英语，它是专门在俄罗斯进行。该专着包括一个详细的介绍和七章，代表了我的工作的一部分影响Apéry的证明从1978年的非理性的$ζ(2)$和$ζ(3)$，价值的黎曼zeta函数。第1章是关于“$ζ(5)$、$ζ(7)$、$ζ(9)$和$ζ(11)$四个数中至少有一个是无理数”（部分基于arXiv：math.NT/0206176）。第2章解释了Beukers在他的Apéry结果的证明中引入的广义重积分和非常平衡的超几何级数之间的联系;它基于arXiv：math.CA/0206177。第3章综述了一些算术和超几何$q$ -类比，并建立了$ζ(2)$的$q$ -类比的无理性测度$μ(ζ_q(2))<3.518876$;它严格遵循Sb.Math.193（2002），1151- 1172中的内容，但也结合了Smet和Van Assche（arXiv：0809.2501 [math.CA]）对超几何构造的更尖锐的分析，以改进2002年的结果。第4章专门讨论$μ(ζ(2))<5.095412$度量，基于arXiv：1310.1526 [math.NT];第5章建立从$(3/2)^k$到最近整数的距离的估计值$||(3/2)^k||>0.5803^k$，英文版发表在J. Théor上。Nombres Bordea…
Transfer group for renormalized multiple zeta values
在这项工作中，我们描述了所有的解决方案，在任何符号的参数在一个准洗牌兼容的方式重正化多个zeta值的问题。作为推论，我们澄清了最近文献中出现的非正值的不同重正化之间的关系。
Renormalisation group for multiple zeta values
以与拟混洗积以及亚纯延拓兼容的方式计算任何符号的自变量处的多个zeta值，通常被称为多个zeta值的重正化问题。我们认为这个问题的所有解决方案的集合，并提供了一个框架，比较其元素的一个自由和传递行动的一个特定的子群的字符组的准洗牌霍普夫代数。特别是，这提供了一种透明的方式，在非正值，这回答了一个悬而未决的问题，在最近的文献中的不同的解决方案。
A Sequence of Cauchy Sequences Which Is Conjectured to Converge to the Imaginary Parts of the Zeros of the Riemann Zeta Function
证明了柯西数列的收敛性，如果证明为真，就可以用LeClair和França的超越方程准则证明黎曼假设.
Lower bounds for discrete negative moments of the Riemann zeta function
我们证明了所有分数$k\geqslant 0$的黎曼ζ函数的导数的离散负$2k$阶矩的下界。该边界符合Gonek和Hejhal的猜想。同时，我们证明了黎曼ζ函数的离散扭曲二阶矩的一般公式。这与Conrey和Snaith的猜想一致。
A New Approach to the Spectral Theory of the Fourth Moment of the Riemann Zeta-Function
本工作的目的是展示一个新的证明的显式谱展开的四阶矩的黎曼ζ函数，建立了第二命名的作者十年前。我们的证明是新的，特别是在这个意义上，它完全免除了Kloostermania，频谱理论的总和Kloosterman总和，是在以前的证明。这个论证现在精确地建立在李群PSL（2，R）的谱结构上。我们的主要论点是理论的自守表示以及调和分析上的大Bruhat细胞。从本质上讲，我们的工作表明了一种新的方式来看待黎曼ζ函数。
A quick distributional way to reproduce some results of the Riemann zeta function
本文通过Cesàro极限分布理论提供了一种简洁的方法来重现黎曼ζ函数在负整数处的特殊值，并讨论了ζ’(α)及其在0处的值。
A quadratic divisor problem and moments of the Riemann zeta-function
我们渐近地估计了长度为$T^{\frac14 - \varepsilon}$的Dirichlet多项式扭曲的黎曼ζ函数的四阶矩。我们的工作主要依赖于瓦特定理的平均Kloosterman分数。在扭曲四阶矩的背景下，瓦特的结果是Selberg的特征值猜想的最佳替代。我们的工作推广了Hughes和Young的结果，其中考虑了长度为$T^{\frac{1}{11}-\varepsilon}$的Dirichlet多项式.我们的结果有几个应用，其中包括黎曼ζ函数的临界零点的比例，零间距和矩的下界。一路上，我们得到了一个渐近公式的二次除数问题，其中的条件$a m_1 m_2 - b n_1 n_2 = h$的总和与光滑平均的变量$m_1, m_2, n_1, n_2, h$和任意的权重平均$a,b$。利用瓦特的工作，我们可以同时利用所有的平均值。事实证明，在二次除数问题中立即在$m_1, m_2, n_1, n_2, h$上求平均值可以大大简化扭曲四阶矩中主要项的组合数学。
The Ramanujan Challenge For AI
提出一组用于评估人工智能数学技能的基本数学常数公式，含已知证明暂加密及未证明两类问题，旨在观察人工智能在这些问题上的表现。
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