Lehmer's Conjecture on the Non-vanishing of Ramanujan's Tau Function
Will Y. Lee
本文借助于唯一因子分解定理，通过研究Tau（n）的加法群结构，证明了Lehmer关于Ramanujan的Tau函数的猜想，即Tau（n）对大于零的每一个n都不为零.
In this paper we attempt to prove Lehmer's conjecture on Ramanujan's tau function, namely tau(n) is never zero, for each n larger than zero by investigating the additive group structure attached to tau(n) with the aid of unique factorization theorem.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Variations of Lehmer's Conjecture for Ramanujan's tau-function
我们认为自然的变种莱默的未解决的猜想，拉马努金的tau函数永远不会消失。也就是说，对于$n>1$，我们证明了$$τ(n)\not \in \{\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 7, \pm 691\}.$$这个结果是一个例子的一般定理newforms与平凡模2剩余伽罗瓦表示，这将出现在即将到来的工作的作者与魏伦蔡。拉马努金著名的同余$τ(n)$允许简化证明在这些特殊情况下。我们利用卢卡斯序列的理论，超椭圆曲线的Chabauty-Coleman方法，和某些图厄方程的事实。
A Lucas-Lehmer approach to generalised Lebesgue-Ramanujan-Nagell equations
我们描述了一种计算效率高的方法来解决方程的形式$C_1x^2 + C_2 = y^n$互质整数，固定值的$C_1$，$C_2$受到进一步的条件。我们利用因式分解的参数和原始因子定理由于Bilu，Hanrot和Reyntier。
Proof of the Lehmer conjecture on Ramanujan's $τ$ function
本文通过结合球面设计、调和多项式、加权 theta 级数及 Deligne 关于 $τ$ 函数模的界，验证了 de La Harpe 等人于 2005 年提出的格 $E_8$ 壳层判据，从而证明了关于 Ramanujan $τ$ 函数的 Lehmer 猜想。
Elementary Proof of Lehmer's Conjecture on Non-vanishing of Tau Function
本文借助于鸽子洞原理和唯一因子分解定理，通过研究Tau（n）的加法群结构，证明了关于Ramanujan的Tau函数的Lehmer猜想，即Tau（n）对n ≥ 1不等于零.
Representation of Ramanujan's tau function by twisted divisor functions
本文通过构造非零水平1的cusp形式，展示了用扭曲除数函数卷积和表示tau函数的一类无限恒等式。
Rankin-Cohen Brackets and van der Pol-Type Identities for the Ramanujan's Tau Function
我们对模形式和拟模形式使用Rankin-Cohen括号给出了D. Lanphier和D. Niebur关于Ramanujan τ函数的van der Pol型恒等式。作为推论，我们得到了涉及除数函数的卷积和和同余关系。
Congruences between Ramanujan's tau function and elliptic curves, and Mazur--Tate elements at additive primes
证明了若$E/\mathbb{Q}$是一条椭圆曲线，且对$p=2$或$3$具有有理$p$ -挠率，则Ramanujan的tau函数与$E$模$p$之间存在同余关系.我们利用这样的同余计算Iwasawa不变量的$2$ -进和$3$ -进Mazur-泰特元素附加到Ramanujan的tau函数。我们还数值研究了附加到椭圆曲线上的Mazur-Tate元的Iwasawa不变量，该椭圆曲线在固定素数处具有加性约化。
Toy models for D. H. Lehmer's conjecture
在1947年，莱默证明，拉马努金$τ$ -功能$τ(m)$永远不会消失的所有正整数$m$，其中$τ(m)$是傅立叶系数的尖点形式$Δ_{24}$的重量12。Lehmer在1947年验证了$m<214928639999$的猜想。1973年，Serre验证了$m<10^{15}$，1999年，Jordan和Kelly验证了$m<22689242781695999$。球面PDMATHAMT设计理论，特别是那些欧几里得格壳，与模形式理论密切相关，如文科夫在1984年首次提出的。特别地，Ramanujan的$τ$ -函数给出了$E_{8}$ -晶格的加权θ级数的系数。Venkov，de la Harpe和Pache证明了$τ(m)=0$等价于$E_{8}$ -格的范数$2m$的壳是一个8-设计。因此，Lehmer猜想在球形$t$ -设计中被重新表述. Lehmer的猜想很难证明，仍然是开放的。在本文中，我们考虑玩具模型的Lehmer猜想。即当$\mathbb{Z}^2$ -格和$A_{2}$ -格的范数$m$壳不为空集时，它们的加权θ级数的$m$阶Fourier系数不为零.换句话说，球形5（相应地，7)-设计不存在于$\mathbb{Z}^2$晶格中的壳之间（分别为$A_{2}$ -晶格）。
Prime values of Ramanujan's tau function
本文研究了Ramanujan tau函数的素数值，证明了在大多数算术级数（mod 23）中素数值构成稀疏集，并得出存在Dirichlet密度为9/11的素数集不能表示为tau函数值的结论。
On some values which do not belong to the image of Ramanujan's tau-function
本文证明了Ramanujan tau函数在n≥1时，除14种情况外，不取±ℓ, ±2ℓ, ±4ℓ, ±8ℓ这些值，其中ℓ<1000为奇素数，推广了Lehmer猜想的相关结果。
Conformal designs and D.H. Lehmer's conjecture
1947年，Lehmer证明了Ramanujan τ-函数τ（m）对所有正整数m都是非零的，其中τ（m）是权为12的尖点形式Δ的傅里叶系数。已知Lehmer猜想可以根据Venkov的结果用球面t-设计重新表述。本文证明了τ（m）= 0等价于Moonshine顶点算子代数（V^ \natural）_{m+1}的齐性空间是共形12-设计。因此，Lehmer猜想现在用共形t-设计重新表述。
Sums of two squares and the tau-function: Ramanujan's trail
本文为综述，梳理了拉马努金在两平方数和计数、tau函数素数不可整除性方面的论断，补充相关历史细节并介绍后续进展，展现其在数论领域的探索性贡献。
An isomorphism between the convolution product and the componentwise sum connected to the D'Arcais numbers and the Ramanujan tau function
给定一个有单位元的交换环$R$，设$H_R$是$R$中元素序列的集合。我们研究了$(H_R, +)$和$(\tilde H_R,*)$之间的一种新的同构，其中$+$是分量和，$*$是卷积积（或柯西积），$\tilde H_R$是以$1_R$开始的序列集.我们还定义了一个递归变换的$H_R$，一起同构，允许突出新的关系，一些研究的整数序列。此外，这些连接允许引入连接到D'Arcais数和Ramanujan tau函数的多项式族。通过这种方式，我们还推导出贝尔多项式、除数函数和拉马努金τ函数的关系。最后，我们强调柯西和狄利克雷产品之间的连接。
Ramanujan's function on small primes
本文研究了拉马努金函数在小素数上的特征值振荡现象，并探讨其对勒默问题的潜在应用。
On the number of representations of certain quadratic forms and a formula for the Ramanujan Tau function
本文利用模形式的理论，求出了二次型$x_1^2+ x_1x_2 + x_2^2 + \ldots + x_{2k-1}^2 + x_{2k-1}x_{2k} + x_{2k}^2,$对于$k=7,9,11,12,14$的表示数.通过与G. A. Lomadze，我们得到了某些新形式的水平$3$和权重$7,9,11$的傅傅里叶系数的某些有限和涉及的解决方案类似的二次型低变量。在$24$变量的情况下，这些公式的比较产生了一个新的拉马努金Tau函数的公式。
Lambda-invariants of Mazur--Tate elements attached to Ramanujan's tau function and congruences with Eisenstein series
该研究针对权12模形式$\Delta$，证明其与特定艾森斯坦级数模$p$（$p\in\{3,5,7\}$）同余，并推导了相关Mazur–Tate元的岩泽不变量公式，验证了此前的数值数据。
On some claims in Ramanujan's `unpublished' manuscript on the partition and tau functions
接近尾声，他的生命拉马努金写了一份手稿的性质分区和tau功能，其中一些部分仍然未发表，直到最近。尽管如此，这份手稿还是引发了许多后续工作。在它Ramanujan认为同余$τ(n)$模一些特殊的素数q。例如，他证明了$τ(n)\equiv \sum_{d|n}d^{11}({\rm mod}691)$。如果$τ(n)$不能被q整除，他定义$t_n=1$，否则定义$t_n=0$。然后，他通常写道："可以通过超越方法证明，$$ \sum_{k=1}^n t_k=C\int_1^n {dx\over (\log x)^δ}+O({n\over (\log n)^r}). $$，其中r是任何正数"（在陈述了上述和的一些较弱的估计之后）。数$δ$是一个positve有理数取决于q和为正数C拉马努金通常写下一个欧拉产品。本文证明了Ramanujan关于每个$r>1+δ$和每个特殊素数q的断言是假的。此外，我们纠正了1928年文件杰拉尔丁斯坦利谁声称已反驳拉马努金的索赔情况下q = 5。
Combinatorial interpretations of Ramanujan's tau function
我们使用的Q-系列身份Ramanujan的tau函数，其中涉及的T-核心和一类新的分区，我们称之为（m，k）-衣壳的组合解释。同样的方法可以与其他相关的身份产生替代组合解释的tau函数。
Even values of Ramanujan's tau-function
在莱默的推测精神，拉马努金的tau函数永远不会消失，这是很自然的问是否任何给定的整数$α$是一个值的$τ(n)$。对于奇数$α$，Murty，Murty和Shorey证明了对于足够大的$n$，$τ(n)\neq α$。最近的几篇论文已经确定了奇数$α$的显式例子，它们不是tau值。在这里，我们应用这些结果（最值得注意的是Bennett，Gherga，Patel和Siksek最近的工作）来提供不是tau值的偶数的第一个例子。也就是说，对于素数$\ell$，我们发现，$$ τ(n)\not \in \{ \pm 2\ell \ : \ 3\leq \ell< 100\} \cup \{\pm 2\ell^2 \ : \ 3\leq \ell <100\} \cup \{\pm 2\ell^3 \ : \ 3\leq \ell<100\ {\text {\rm with $\ell\neq 59$}}\}.$$而且，我们得到这样的结果，无限多的权力，每个素数$3\leq \ell<100$。作为一个例子，对于$\ell=97$，我们证明，$$τ(n)\not \in \{ 2\cdot 97^j \ : \ 1\leq j\not \equiv 0\pmod{44}\}\cup \{-2\cdot 97^j \ : \ j\geq 1\}.$$的证明方法适用于作必要的修改，以剩余可约模2…
ABC implies that Ramanujan's tau function misses almost all primes
在 ABC 猜想假设下，证明了 tau 函数的素数值密度为 O(X^{13/22})，表明 tau 函数错过大部分素数，同时提出 S(X) 可能无限且有预测阶数。
Odd values of the Ramanujan tau function
我们证明了一些关于奇值的Ramanujan $τ$ -函数的结果。例如，我们证明了一个有效的可计算的正常数$κ$的存在，使得如果$τ(n)$是奇数和$n \ge 25$，那么要么\[ P(τ(n)) \; > \; κ\cdot \frac{\log\log\log{n}}{\log\log\log\log{n}} \]，要么存在一个素数$p \mid n$与$τ(p)=0$。这里，$P(m)$表示$m$的最大素因子。我们还求解了方程$τ(n)=\pm 3^{b_1} 5^{b_2} 7^{b_3} 11^{b_4}$和方程$τ(n)=\pm q^b$，其中$3\le q < 100$是素数，指数是任意非负整数。我们利用各种方法，包括原始因子定理的Bilu，Hanrot和Biltier，边界的解决方案，以Thue-马勒方程由于Bugeaud和Gyjourry，和模块化的方法通过伽罗瓦表示的Frey-Hellegouarch椭圆曲线。
Computations of Galois Representations Associated to Modular Forms
我们提出了一个改进的算法计算模$\ell$伽罗瓦表示的尖点形式$f$的水平一。所提出的方法允许我们显式地计算的情况下，$\ell=29$和$f$的重量$k=16$，以及$\ell=31$和$f$的重量$k=12,20, 22$的情况下。所有的结果都被严格证明是正确的。作为一个例子，我们将计算Ramanujan的tau函数在一些大素数上的模$31$的值。同时，我们也给出了Ramanujan τ函数的Lehmer猜想的一个改进的上界.
An elementary approach to toy models for D. H. Lehmer's conjecture
在1947年，莱默证明，拉马努金的tau函数$τ(m)$永远不会消失的所有正整数$m$，其中$τ(m)$是$m$ -th傅立叶系数的尖点形式$Δ_{24}$的重量12。球形$t$ -设计理论与Lehmer猜想密切相关，因为Venkov，de la Harpe和Pache证明了$τ(m)=0$等价于$E_{8}$ -格的范数$2m$的壳是球形8-设计。因此，Lehmer猜想在球形$t$ -设计中被重新表述. Lehmer的猜想很难证明，仍然是开放的。然而，Bannai-Miezaki证明了$\RR^2$中整数格$\ZZ^2$的非空壳都不是球面4-设计，六边形格$A_2$的非空壳都不是球面6-设计。此外，与类数为1或2的虚二次域的代数整数相关联的整数格的非空壳，除了$\QQ(\sqrt{-1})$和$\QQ(\sqrt{-3})$之外，都不是球面2-设计.在证明中，模形式理论起了重要作用。最近，Yudin发现了一个关于$\ZZ^{2}$ -格的初等证明，它不使用模形式的理论，而使用Calcut的最新结果。在本文中，我们给出了基本的（即，模形式自由）的证明，并讨论了Calcut的结果与虚二次域理论之间的关系。
The Explicit Sato-Tate Conjecture and Densities Pertaining to Lehmer-Type Questions
设$f(z)=\sum_{n=1}^\infty a(n)q^n\in S^{\text{new}}_ k (Γ_0(N))$是一个新形式，它具有无平方级$N$，且没有复数乘法.对于质数$p$，将$θ_p\in[0,π]$定义为$a(p)=2p^{( k -1)/2}\cos θ_p $的角度。设$I\subset[0,π]$为闭子区间，$dμ_{ST}=\frac{2}π\sin^2θdθ$为$I$的Sato-Tate测度。假设$f$的对称幂$L$ -函数满足一定的解析性质（所有这些性质都来自Langlands函性和广义黎曼假设），我们证明了如果$x$足够大，则\[ \left|\#\{p\leq x:θ_p\in I\} -μ_{ST}(I)\int_2^x\frac{dt}{\log t}\right|\ll\frac{x^{3/4}\log(N k x)}{\log x} \]具有隐含常数$3.34$ .通过让$I$是一个短的间隔为中心的$\fracπ{2}$和计数素数使用一个光滑的截止，我们计算的密度的正整数$n$的$a(n)\neq0$。特别是，如果$τ$是Ramanujan tau函数，然后在上述假设下，我们证明，\[ \lim_{x\to\infty}\frac{\#\{n\leq x:τ(n)\neq0\}}{x}>1-1.54\times10^{-13}. \]…
Ramanujan-Shen's differential equations for Eisenstein series of level 2
受经典艾森斯坦级数微分方程研究启发，从第二类Jacobi theta函数推导2级艾森斯坦级数的新微分方程，为已有相关微分方程组提供新刻画，并得到Ramanujan tau函数的数论结果。
Small Primes And The Tau Function
本文研究 Ramanujan tau 函数取小素数值的问题，证明 τ(n)=±p 不会取到任何不超过 8.0×10^25 的素数 p。
Identities for the Ramanujan zeta function
我们证明公式的Ramanujan τ zeta函数的特殊值。我们的公式表明，$L(Δ, k)$是一个周期的意义上的Kontsevich和Zagier时，$k\ge12$。作为一个例子，当$L(Δ, k)$。
Some Remarks on Small Values of $τ(n)$
一个自然的变体莱默猜想，拉马努金$τ$ -功能永远不会消失的问题是否，对于任何给定的整数$α$，存在任何$n \in \mathbb{Z}^+$，使$τ(n) = α$。最近的一系列论文排除了许多整数作为可能的价值观的$τ$ -功能使用理论的原始因子的卢卡斯数，计算整数点的曲线，和同余$τ(n)$。综合这些结果和方法，证明了如果$0 < |α| < 100$和$α\notin T := \{2^k, -24,-48, -70,-90, 92, -96\}$，则$τ(n) \neq α$对所有$n > 1$都成立.此外，如果$α\in T$和$τ(n) = α$，则$n$是无平方的，具有指定的素因子分解。最后，我们证明了Atkin-Serre猜想的一个强形式意味着对所有的$n > 2$都有$|τ(n)| > 100$。
Generalizing and Implementing Michael Hirschhorn's Amazing Algorithm for Proving Ramanujan-Type Congruences
当Mike Hirschhorn向我们展示他可爱的宝石时，它给出了Ramanujan著名结果的最简单的最新证明，即p（11n+6）可被11整除，我们意识到他的惊人方法可以扩展，并教授给计算机，并且可以证明更深层次的身份。如果不是Silviu Radu的强大算法的存在，我们会做得更多，该算法可以处理任何模形式的任何Ramanujan型同余（非常一般的类型），但仍然很高兴知道，为了证明这种简单陈述的结果，可以向一个七岁的孩子解释，人们不需要令人生畏的“模块化网络”，拉马努金从未掌握，可能也不会喜欢
The Partition-Frequency Enumeration Matrix
本文提出分区-频率枚举矩阵，通过无限上三角数论矩阵提供初等方法，统一数论函数与分区函数关系，并恢复扩展多个经典结果，如除数函数和拉马努金τ函数的递推关系。
The generating function of the $σ_1$ function
本文给出了$σ_1$函数的生成函数。然后我们发现了$σ_1$函数和Ramanujan的tau函数之间的一些联系。我们希望这种联系能对经典数论中未解决的问题提供一些见解。
Landau and Ramanujan approximations for divisor sums and coefficients of cusp forms
本文通过计算 Euler-Kronecker 常数得到除数和函数计数函数渐近展开的二阶项，并确定 Ramanujan 逼近优于 Landau 逼近的条件，进而研究六个尖形式 Fourier 系数的不可整除性。
Ramanujan Identities and Quasi-Modularity in Gromov-Witten Theory
我们证明了一维紧致Calabi-Yau轨道折叠的祖先Gromov-Witten相关函数是拟模形式.这包括枕头套orbifold还不能使用米兰诺夫阮的B模型技术处理。我们首先证明了亏格零模性是由WDVV方程组本质上等价于与轨道曲线相关联的某个模群的拟模形式环的生成元所满足的Ramanujan恒等式的集合这一现象得到的。更高的亏格模块性，然后使用重言式关系。
The Explicit Sato-Tate Conjecture For Primes In Arithmetic Progressions
令$τ(n)$是Ramanujan的tau函数，由判别模形式\[ Δ(z) = q\prod_{j=1}^{\infty}(1-q^{j})^{24}\ =\ \sum_{n=1}^{\infty}τ(n) q^n \,,q=e^{2πi z} \]定义（这是权重为12且水平为1的唯一全纯归一化尖点新形式）。Lehmer猜想断言，对于所有的$n\geq 1$，都有$τ(n)\neq 0$;由于$τ(n)$是乘法的，所以研究$τ(p)$可能为零的素数$p$就足够了。假设标准的扭曲对称功率$L$ -功能相关的$τ$（包括GRH），我们证明，如果$x\geq 10^{50}$，那么\[ \#\{x < p\leq 2x: τ(p) = 0\} \leq 1.22 \times 10^{-5} \frac{x^{3/4}}{\sqrt{\log x}},\]一个实质性的改进，在以前的工作中隐含的常数。为了实现这一点，在相同的假设下，我们证明了一个明确的版本的Sato-Tate猜想素数的等差数列。
Sums of squares and sequences of modular forms
本文研究由微分递推定义的有理函数序列，证明其极点与两平方和表示数等价并给出留数公式，进而推广至 $\Gamma(2)$ 模形式，得到 Ramanujan $\tau$ 函数 Lehmer 猜想的新判据。
Consecutive Rankin-Cohen Bases, Full-Spark Periods, and Divisor-Tau Congruences
本文证明Mellin周期泛函行列式严格正性，得出满支撑周期定理，进而证明连续Rankin-Cohen括号构成模形式空间基，并给出除数-tau卷积的精确公式及模素数约化结果。
The distribution of arithmetic functions of general random integers
我们认为非常普遍的“随机整数”，并（试图）证明，许多乘法和加法功能，这样的整数有极限分布。这些整数包括，例如，曲率的阿波罗圆包装，跟踪Frobenius元素的椭圆曲线，拉马努金tau函数，梅森数，和许多其他人。
Modeling Convolutions of $L$-Functions
许多数学方法已经被证明可以成功地模拟$L$ -函数的零点，包括比率猜想和随机矩阵理论。为了理解$L$ -函数族卷积的结构，我们研究了这些方法对这些函数的零点建模的效果。我们的主要焦点是与Ramanujan的τ函数相关联的$L$ -函数与二次Dirichlet $L$ -函数族的卷积，其中J.B. Conrey和NC斯奈思计算了比率猜想的预测。我们的主要结果是进行数论计算和验证这些预测的一个层次的密度适当限制检验函数的平方根误差项。与随机矩阵理论只预测主项不同，比率猜想检测了族的算术，并对它们在低阶项中的依赖性进行了详细的预测。有趣的是，虽然随机矩阵理论经常被用来模拟L-函数的行为（或至少是主要项），但通过卷积随机矩阵集合来模拟卷积L-函数族的工作却很少。我们探讨一种可能性，考虑克罗内克产品，不幸的是，这似乎不是正确的随机矩阵模拟卷积家庭。
On the largest prime factor of non-zero Fourier coefficients of Hecke eigenforms
本文研究了 Ramanujan tau 函数及非 CM 规范化 Hecke 特征形式的非零 Fourier 系数的最大素因数，证明了其下界估计，改进了前人工作。
Some Riemann Hypotheses from Random Walks over Primes
这篇文章的目的是研究各种黎曼假设如何只从素数的性质得出。为此，我们考虑两类$L$ -函数，即非主Dirichlet和那些基于尖点形式。后者最简单的例子是基于Ramanujan tau算术函数。对于这两个类，我们证明，如果一个特定的三角级数涉及的乘法字符的总和超过素数是$O(\sqrt{N})$，那么欧拉产品收敛在右半边的临界带。当这个结果与函数方程相结合时，非平凡零点被限制在临界线上。我们认为，这$\sqrt{N}$增长是一个后果的系列表现得像一个一维的随机游走。基于这些结果，我们得到了一个方程，它涉及每个个人的非平凡零的$L$ -函数的总和，包括所有的素数。最后，我们简要地提到重要的差异主要狄利克雷$L$ -函数由于极点的存在，在$s=1$，其中黎曼$ζ$ -函数是一个特殊的情况。
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