设$\{a_1,\dots,a_p\}$是数值幺半群$S$的最小生成集.对于任何$s\in S$，其Delta集由$Δ(s)=\{l_{i}-l_{i-1}|i=2,\dots,k\}$定义，其中$\{l_1<\dots<l_k\}$是集合$\{\sum_{i=1}^px_i\,|\, s=\sum_{i=1}^px_ia_i \textrm{ and } x_i\in \N \textrm{ for all }i\}.$。$S$的Delta集，由$Δ(S)$表示，是所有集合$Δ(s)$与$s\in S.$的并集。查普曼河Hoyer，和N.卡普兰数值幺半群的δ集最终是周期性的。77（2009），no.3，273- 279]，存在绑定$N$，使得$Δ(S)$是集合$Δ(s)$与$s\in S$和$s<N$的并集。在这项工作中，通过使用几何工具，我们得到了一个锐化的界限，我们给出了一个算法来计算$Δ(S)$从只有$a_1$元素的因式分解。
英文摘要：
Let $\{a_1,\dots,a_p\}$ be the minimal generating set of a numerical monoid $S$. For any $s\in S$, its Delta set is defined by $Δ(s)=\{l_{i}-l_{i-1}|i=2,\dots,k\}$ where $\{l_1<\dots<l_k\}$ is the set $\{\sum_{i=1}^px_i\,|\, s=\sum_{i=1}^px_ia_i \textrm{ and } x_i\in \N \textrm{ for all }i\}.$ The Delta set of $S$, denoted by $Δ(S)$, is the union of all the sets $Δ(s)$ with $s\in S.$ As proved in [S.T. Chapman, R. Hoyer, and N. Kaplan. Delta sets of numerical monoids are eventually periodic. Aequationes Math. 77 (2009), no. 3, 273--279], there exists a bound $N$ such that $Δ(S)$ is the union of the sets $Δ(s)$ with $s\in S$ and $s<N$. In this work, by using geometrical tools, we obtain a sharpened bound and we give an algorithm to compute $Δ(S)$ from the factorizations of only $a_1$ elements.
The system of sets of lengths in Krull monoids under set addition
设$H$是一个Krull幺半群，其类群为$G$，且每个类包含一个素除子.那么每个元素$a \in H$都有一个分解为不可约元的分解，所有可能的分解长度的集合$\mathsf L (a)$就是$a$的长度的集合。我们认为系统$\mathcal L (H) = \{ \mathsf L (a) \mid a \in H \}$的所有集的长度，我们的特点（在类组$G$）时，$\mathcal L (H)$是添加关闭下集添加。
Minimal relations and catenary degrees in Krull monoids
设$H$是一类Krull幺半群，其类群为$G$ .则$H$是阶乘的当且仅当$G$是平凡的。长度集和悬链线度集是描述非阶乘情形下$H$的算术的不变量。在本说明中，我们集中在$H$的悬链线度的集合$Ca (H)$和最小关系中的距离的集合$\mathcal R (H)$上。证明了$\mathbb N_{\ge 2}$的每个有限非空子集都可以实现为具有有限类群的Krull幺半群的悬链线度集。这回答了{arXiv：1506.07587}的问题4.1。另外，假设$G$的每一个类都包含一个素除子。则$Ca (H)\subset \mathcal R (H)$和$\mathcal R (H)$包含长间隔。在$G$的Davenport常数一定的条件下，$\mathcal R (H)$与该区间重合，其最大值等于$H$的悬链线度。
A characterization of finite abelian groups via sets of lengths in transfer Krull monoids
设$H$是有限Ablian群$G$（例如整数环、代数函数域中的全纯环和这些域中的正则同余幺半群）上的转移Krull幺半群。那么每个非单位$a \in H$可以写成不可约元素的乘积，比如说$a = u_1 \ldots u_k$，因子$k$的个数称为因子分解的长度。所有可能的因式分解长度的集合$\mathsf L (a)$是$a$的长度的集合。经典的是，所有长度集的系统$\mathcal L (H) = \{ \mathsf L (a) \mid a \in H \}$仅取决于群$G$，并且一个长期存在的猜测指出，相反，系统$\mathcal L (H)$是群$G$的特征。设$H'$是有限Ablian群$G'$上的又一个转移Krull幺半群，并假定$\mathcal L (H)= \mathcal L (H')$ .我们证明了，如果$G\cong C_n^r$与$r\le n-3$或（$r\ge n-1\ge 2$和$n$是素数幂），则$G$和$G'$是同构的.
On the incomparability of systems of sets of lengths
设$H$是一个Krull幺半群，其有限类群$G$使得每个类都包含一个素因子.本文研究了$H$的所有长度集的系统$\mathcal L (H)$，并研究了当$\mathcal L (H)$包含或包含在具有有限类群$G'$、所有类中的素因子和Davenport常数$\mathsf D (G')=\mathsf D (G)$的Krull幺半群$H'$的系统$\mathcal L (H')$中时，系统$\mathcal L (H)$的性质.其中，我们表明，如果$G$是循环的顺序$m \ge 7$或一个小学$2$ -组秩$m-1 \ge 6$，和$G'$是任何一个组，这是不同构的$G$，但达文波特常数$\mathsf D (G')=\mathsf D (G)$，那么系统$\mathcal L (H)$和$\mathcal L (H')$是不可比的。
