Transfer Krull monoids are monoids which allow a weak transfer homomorphism to a commutative Krull monoid, and hence the system of sets of lengths of a transfer Krull monoid coincides with that of the associated commutative Krull monoid. We unveil a couple of new features of the system of sets of lengths of transfer Krull monoids over finite abelian groups G, and we provide a complete description of the system for all groups G having Davenport constant D(G) = 5 (these are the smallest groups for which no such descriptions were known so far). Under reasonable algebraic finiteness assumptions, sets of lengths of transfer Krull monoids and of weakly Krull monoids satisfy the Structure Theorem for Sets of Lengths. In spite of this common feature we demonstrate that systems of sets of lengths for a variety of classes of weakly Krull monoids are different from the system of sets of lengths of any transfer Krull monoid.
A characterization of finite abelian groups via sets of lengths in transfer Krull monoids
设$H$是有限Ablian群$G$（例如整数环、代数函数域中的全纯环和这些域中的正则同余幺半群）上的转移Krull幺半群。那么每个非单位$a \in H$可以写成不可约元素的乘积，比如说$a = u_1 \ldots u_k$，因子$k$的个数称为因子分解的长度。所有可能的因式分解长度的集合$\mathsf L (a)$是$a$的长度的集合。经典的是，所有长度集的系统$\mathcal L (H) = \{ \mathsf L (a) \mid a \in H \}$仅取决于群$G$，并且一个长期存在的猜测指出，相反，系统$\mathcal L (H)$是群$G$的特征。设$H'$是有限Ablian群$G'$上的又一个转移Krull幺半群，并假定$\mathcal L (H)= \mathcal L (H')$ .我们证明了，如果$G\cong C_n^r$与$r\le n-3$或（$r\ge n-1\ge 2$和$n$是素数幂），则$G$和$G'$是同构的.
The system of sets of lengths in Krull monoids under set addition
设$H$是一个Krull幺半群，其类群为$G$，且每个类包含一个素除子.那么每个元素$a \in H$都有一个分解为不可约元的分解，所有可能的分解长度的集合$\mathsf L (a)$就是$a$的长度的集合。我们认为系统$\mathcal L (H) = \{ \mathsf L (a) \mid a \in H \}$的所有集的长度，我们的特点（在类组$G$）时，$\mathcal L (H)$是添加关闭下集添加。
设$H$是一个Krull幺半群，其有限类群$G$使得每个类都包含一个素因子（例如，代数数域上的整数环或代数函数域上的全纯环）。$H$的悬链线度$\mathsf c (H)$是具有以下性质的最小整数$N$：对于$a$的每个$a \in H$和每两个因子分解$z, z'$，存在$a$的因子分解$z = z_0, ..., z_k = z'$，使得对于每个$i \in [1, k]$，通过用至多$N$新原子替换来自$z_{i-1}$的至多$N$原子，$z_i$从$z_{i-1}$产生。为了排除不重要的情况，假设$|G| \ge 3$。那么悬链线度只依赖于类群$G$，我们有$\mathsf c (H) \in [3, \mathsf D (G)]$，其中$\mathsf D (G)$表示$G$的达文波特常数。当$\mathsf c (H) \in \{3,4, \mathsf D (G)\}$成立时，这是众所周知的。基于第一篇论文（Krull幺半群的悬链线度I）中确定的悬链线度的一个特征，我们确定了满足$\mathsf c (H)= \mathsf D (G)-1$的类群.除了上述的极端情况下的精确值$\mathsf c (H)$是已知的没有进一步的类组。
Minimal relations and catenary degrees in Krull monoids
设$H$是一类Krull幺半群，其类群为$G$ .则$H$是阶乘的当且仅当$G$是平凡的。长度集和悬链线度集是描述非阶乘情形下$H$的算术的不变量。在本说明中，我们集中在$H$的悬链线度的集合$Ca (H)$和最小关系中的距离的集合$\mathcal R (H)$上。证明了$\mathbb N_{\ge 2}$的每个有限非空子集都可以实现为具有有限类群的Krull幺半群的悬链线度集。这回答了{arXiv：1506.07587}的问题4.1。另外，假设$G$的每一个类都包含一个素除子。则$Ca (H)\subset \mathcal R (H)$和$\mathcal R (H)$包含长间隔。在$G$的Davenport常数一定的条件下，$\mathcal R (H)$与该区间重合，其最大值等于$H$的悬链线度。
On the incomparability of systems of sets of lengths
设$H$是一个Krull幺半群，其有限类群$G$使得每个类都包含一个素因子.本文研究了$H$的所有长度集的系统$\mathcal L (H)$，并研究了当$\mathcal L (H)$包含或包含在具有有限类群$G'$、所有类中的素因子和Davenport常数$\mathsf D (G')=\mathsf D (G)$的Krull幺半群$H'$的系统$\mathcal L (H')$中时，系统$\mathcal L (H)$的性质.其中，我们表明，如果$G$是循环的顺序$m \ge 7$或一个小学$2$ -组秩$m-1 \ge 6$，和$G'$是任何一个组，这是不同构的$G$，但达文波特常数$\mathsf D (G')=\mathsf D (G)$，那么系统$\mathcal L (H)$和$\mathcal L (H')$是不可比的。
On the algebraic and arithmetic structure of the monoid of product-one sequences
设$G$是一个有限群.来自$G$的项的有限无序序列$S = g_1 \boldsymbol{\cdot} \ldots \boldsymbol{\cdot} g_{\ell}$（其中允许重复）是乘积1序列，如果其项可以被排序使得它们的乘积等于$1_G$，即群的单位元素。通常，我们考虑序列作为自由交换幺半群$\mathcal F (G)$的元素，其基为$G$，并且我们研究了所有乘积1序列的子幺半群$\mathcal B (G) \subset \mathcal F (G)$。这是一个C-幺半群，它是Krull幺半群当且仅当$G$是交换的。在阿贝尔群的情况下，$\mathcal B (G)$是一个很好的研究对象。本文以非阿贝尔群为研究对象，研究了类半群和$\mathcal B (G)$的算法。
On the Algebraic and Arithmetic structure of the monoid of Product-one sequences II
设$G$是有限群，$G'$是它的换位子群.对于$G$上的序列，我们指的是来自$G$的项的有限无序序列，其中允许重复，并且如果它的项可以被排序使得它们的乘积等于$G$的单位元，则我们说它是乘积1序列。$G$上所有积1序列的幺半群$\mathcal B (G)$是一个可生成的C-幺半群，因此它有一个有限交换类半群.众所周知，类半群是群当且仅当$G$是阿贝尔的（等价地，$\mathcal B (G)$是Krull的）。在本文中，我们证明了类半群是Clifford（即，群的并集）当且仅当$|G'| \le 2$当且仅当$\mathcal B (G)$是正规的，并且我们研究了$\mathcal B (G)$中的长度集.
A characterization of class groups via sets of lengths
设$H$是一个Krull幺半群，其类群为$G$，使得每个类都包含一个素因子.那么每个非单位元$a \in H$都可以写成不可约元的有限积。如果$a=u\_1 \cdot \ldots \cdot u\_k$，不可约数为$u\_1, \ldots u\_k \in H$，则$k$称为因式分解的长度，所有可能的$k$的集合$\mathsf L (a)$称为$a$的长度集合。众所周知，系统$\mathcal L (H) = \{\mathsf L (a) \mid a \in H \}$仅依赖于类组$G$。在本文中，我们研究的反问题，问系统$\mathcal L (H)$是否是典型的类群。考虑一类群为$G'$的Krull幺半群$H'$，使得每个类都包含一个素因子，并假设$\mathcal L (H) = \mathcal L (H')$ .我们证明了，如果群$G$和$G'$之一是有限的，且秩至多为2，则$G$和$G'$是同构的（除了两个著名的配对）.
