Closed orbits for the diagonal group and well-rounded lattices
Michael Levin, Uri Shapira, Barak Weiss
柯特·麦克马伦证明了格空间上对角群作用的每一个紧轨道都包含一个圆格。我们把它推广到所有的闭轨道。
Curt McMullen showed that every compact orbit for the action of the diagonal group on the space of lattices contains a well-rounded lattice. We extend this to all closed orbits.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Intersections of diagonal orbits
设$A\subseteq SL_n(\mathbb{R})$是具有正对角的对角矩阵群，${\rm ST}_n\subseteq X_n:=SL_n(\mathbb{R})/SL_n(\mathbb{Z})$是稳定格的集合，${\rm WR}_n\subseteq X_n$是完善格的集合。证明了$X_n$中的任何$A$ -轨道都与${\rm ST}_n$和${\rm WR}_n$相交.
Growth of periodic orbits and generalized diagonals for typical triangle billiards
对于典型的三角形台球，我们给出了周期轨道和广义对角线增长率的显式次指数估计。
Bounded diagonal orbits in homogeneous spaces over function fields
本文在特征3有限域函数域的SL_4齐性空间中证明了对角群作用存在非闭的相对紧轨道，揭示了该情形下对角群作用的拓扑刚性现象。
A non-homogeneous orbit of a diagonal subgroup
设G=SL（n，R），其中n>5.我们构造了G的格Gamma、对角群的子群A和G/Gamma中的点x的例子，使得轨道Ax的闭包不是齐次的，但不通过单参数非幂幺群的作用分解。这与马古利斯的一个猜想相矛盾。
Equidistribution of divergent orbits of the diagonal group in the space of lattices
研究了欧几里得空间中格空间中对角矩阵群的发散轨道。我们定义两个自然的数值不变量的轨道：判别式-一个整数-和类型-一个整数向量。然后，我们研究的问题，这些轨道的极限分布行为的判别式到无穷大。使用熵的方法，我们证明了，对于一个特定类型的发散轨道，几乎任何序列的轨道equidistributed作为判别式去无穷大。使用措施刚性更高的秩对角行动，我们补充这一结果，并表明，在3维或更高的这些发散轨道中只有极少数可以花所有的寿命在一个给定的紧集之前，他们发散。
Limiting Distributions of Translates of Divergent Diagonal Orbits
定义了齐性空间上局部有限测度集合（等价类到尺度）上的自然拓扑，并证明了在此拓扑中，某些无穷体积轨道的前推在周围空间中均匀分布.作为结果的应用，我们证明了当半径趋于无穷大时，球在某些簇上的整点个数的一个渐近公式。
Connectedness of polynomial diagonal orbit closures for minimal nilrotations and applications
该研究证明了极小零旋转的多项式对角轨道闭包的连通性，解决了相关猜想，结合等价定理得到拓扑动力学中多项式多重回归的结果，还建立了测度论对应结论并构造了反例。
Full escape of mass for the diagonal group
在Cassels工作的基础上，我们证明了在格空间中对角群的紧轨道的无限族的存在性，这些紧轨道只在标准格的发散轨道上积累。因此，我们证明了存在的完整逃逸的质量序列的轨道，锐化已知的结果可能部分逃逸的质量。分析了这些轨道在格空间中访问给定紧集的拓扑复杂性。一路上，我们开发了新的工具来计算许多领域的订单调节器。
Simultaneously bounded and dense orbits for commuting Cartan actions
该研究证明齐性空间$X_3$中满足一个正则对角流轨道有界、另一交换对角流轨道稠密的点集具满Hausdorff维数，引入纤维式非发散概念，推出存在稠密子集满足锥作用轨道纤维式非发散且所有对角流轨道无界，为一致Littlewood猜想提供支撑。
Actions of diagonal endomorphisms on conformally invariant measures on the 2-torus
令$ν$是在环面$\mathbb{T}^2$的自同态$(\times p, \times p)$下遍历的概率测度，使得对于某个非主投影$π$，$\dim πμ< \dim μ$。我们证明了，如果两个$m\neq n$都独立于$p$，则$ν$典型点的$(\times m, \times n)$轨道向勒贝格测度均匀分布.如果$m>p$，则通常$(\times m, \times p)$轨道将朝向Lebesgue测度与$μ$的边缘在$y$轴上的乘积均匀分布。我们也证明了某些自相似措施$ν$在相同的精神。这些都是高维模拟结果由于（除其他外）主机，Lindenstrauss，和Hochman-Shmerkin。
Equidistribution of divergent diagonal orbits in positive characteristic
本文研究正特征局部域上 GL_n 对角子群的发散轨道，刻画其性质并在 n=2 时联系树测地流，进而用高熵方法证明自然轨道族的等分布。
Counting orbits of integral points in families of affine homogeneous varieties and diagonal flows
本文研究了仿射齐次簇的参数族上整点的分布。通过Borel和Harish-Chandra的工作，每个这样的簇上的整点集由算术群的1000个轨道组成，并且我们建立了由它们的Siegel权重索引的轨道数的渐近公式（平均）。特别地，我们推导出了除代数中由可分解形式和范数形式表示的不等价整表示个数的渐近公式，以及二次曲面截面上整点等价类的加权个数的渐近公式.我们的论证利用了齐性空间上对角流的指数混合性质。
Escape of mass and entropy for diagonal flows in real rank one situations
设$G$是实秩1的有限中心连通半单李群，$Γ$是$G$中的非均匀格，$a$是$G$中的可对角化元.研究了作用在齐性空间$Γ\backslash G$上的$a$的度量熵与质量逃逸的关系.此外，我们提供的逃逸质量的界限，作为一个应用程序，我们表明，豪斯多夫维数的轨道集（根据迭代的$a$）错过一个固定的开集是不完整的。
Pseudo-Orbit Tracing and Algebraic actions of countable amenable groups
考虑紧度量化空间上作用于同胚的可数顺从群。Chung和Li问，如果扩张性和正熵的行动意味着存在一个非对角渐近对。对于多圈有限群的代数作用，Chung和Li证明了它是存在的。我们提供的例子表明，Chung和Li的结果是近最优的意义上，结论失败的一些非代数行动产生的一个单一的同胚，和一些代数行动的非代数生成的阿贝尔群。另一方面，我们证明了具有伪轨跟踪性质的正熵顺从群的每一个扩张作用都必须包含非对角渐近对。利用Chung和Li关于扩张性的代数刻画，证明了一类扩张代数作用的伪轨跟踪性质。这个类包含任意可数群的所有扩张主代数作用。
Stable lattices and the diagonal group
受McMullen工作的启发，我们证明了格空间中对角群的任何轨道都在稳定格的集合上积累。作为后果，我们解决了Ramharter猜想的渐近行为的Mordell常数，并减少闵可夫斯基猜想的产品的线性型的几何问题，产生两个新的证明的猜想在尺寸高达7。
Translates of S-arithmetic orbits and applications
证明了格空间中对角群的周期轨道序列是等分布的。作为一个应用程序，我们获得新的信息序列的最佳逼近某些向量的代数坐标。为了证明这些结果，我们推广了Eskin Mozes和Shah的开创性工作的等距分布的周期性措施的翻译从真正的情况下，S-算术的情况。
On stable lattices and the diagonal group
受McMullen工作的启发，我们证明了对角群在格空间上的作用的任何轨道都在一个稳定的格上积累。利用这一结果解决了Ramharter关于Mordell常数的一个猜想，得到了Minkowski猜想在7维以下的新证明，并回答了Harder关于稳定格体积的一个问题.
Times two, three, five orbits on $\mathbb{T}^2$
本文研究了对角环面作用下的轨道闭包。我们证明了如果$(x,y)\in\mathbb{T}^2$不包含在任何有理直线中，那么它在$\times 2, \times 3, \times 5$作用下的轨道在$\mathbb{T}^2.$中是稠密的
Amenable minimal Cantor systems of free groups arising from diagonal actions
研究了由边界作用的对角作用和某些Cantor系统所产生的自由群的顺从极小Cantor系统。证明了每个虚自由群连续地存在许多服从的极小Cantor系统，这些系统的交叉积是UCT类（具有显式确定的K-理论）中互不同构的Kirchberg代数.在我们的研究中开发的技术也使我们能够计算某些顺从的最小康托系统的K-理论。我们将其应用于边界作用的对角作用和里程计变换的乘积，并确定其K-理论。然后根据拓扑完全群、连续轨道等价、强轨道等价和交叉积等对它们进行了分类。
Matrix coefficients, Counting and Primes for orbits of geometrically finite groups
设G：=SO（n，1）^ \circ，Γ是一个临界指数δ大于（n-1）/2的几何有限的Zerkki稠密子群.在L^2（Γ\ G）的谱隙假设下，当n= 2，3时，delta>（n-1）/2，当n>= 4时，delta>n-2，得到了Γ在齐性空间H \G中的离散轨道的{ \it有效}阿基米德计数结果，其中H是平凡群、仿射对称子群或次球子群.更精确地说，我们证明了对于H \G中的任何有效的完备紧子集族{B_T}，存在η>0使得对于H \G上的一个依赖于Gamma的显式测度M，有#[e] \G \cap B_T=M（B_T）+O（M（B_T）^{1-η}）.我们还应用仿射筛法描述了算术集上的几乎素数在轨道上的分布。其中一个关键的组成部分是一个有效的渐近公式L^2（Γ\ G），我们证明了结合谱分析，调和分析和遍历论的方法。Bowen-Margulis-Sullivan测度的一个有效混合也作为我们方法的一个应用得到。
The Product of linear forms over function fields
本文研究函数域上线性形式乘积的最小值问题，在小 n 情形下计算了行列式为 1 时最小值的最大值，并证明其达到代数数论的自然界，同时揭示代数定义的形式与对角群周期轨道的对应关系。
Homogeneous orbit closures and applications
我们给出了R^d（d > 2）中单位体积格空间中对角群的轨道的新类例子，它们具有良好的（齐次）轨道闭包，以及具有显式可计算但不规则的轨道闭包的轨道的例子。我们给丢番图应用前者，例如，我们表明，如果x是2的立方根，然后对任何y，z在R limif |n| <nx-y><nx^2-z>=0（作为|n|走向无穷大），其中<c>表示的距离的一个实数c的整数。
Stable orbit equivalence of Bernoulli actions of free groups and isomorphism of some of their factor actions
本文给出了Lewis Bowen定理的一个初等证明，即两个具有任意基概率空间的自由群的两个Bernoulli作用是稳定轨道等价的.我们的方法还证明了对所有紧群K和n个无限顺从群的每个自由积Γ，Γ在K^Γ上的Bernoulli作用通过K的对角作用的因子K^Γ/K与Γ的Bernoulli作用同构.
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