Limiting distribution of translates of the orbit of a maximal $\mathbb{Q}$-torus from identity on $SL(N,\mathbb{R})/SL(N,\mathbb{Z})$
给定$SL(N,\mathbb{Q})$中的一个极大$\mathbb{Q}$ -环面，它在$SL(N,\mathbb{R})/SL(N,\mathbb{Z})$中的恒等陪集的轨道自然带有可能无限的Haar测度.我们分类所有可能的极限措施时，它的一系列元素从$SL(N,\mathbb{R})$翻译。这是Shapira和Zheng的工作的自然扩张，其中只考虑$\mathbb{Q}$ -分裂环面。
2018-09-26 math.DS
Limiting Distributions of Translates of Divergent Diagonal Orbits
定义了齐性空间上局部有限测度集合（等价类到尺度）上的自然拓扑，并证明了在此拓扑中，某些无穷体积轨道的前推在周围空间中均匀分布.作为结果的应用，我们证明了当半径趋于无穷大时，球在某些簇上的整点个数的一个渐近公式。
2019-04-17 math.DS
Arithmetic of Double Torus Quotients and the Distribution of Periodic Torus Orbits
本文描述了数域上与$\mathbf{PGL}_n$的内部形式同构的群上的环面轨道对的新的算术不变量。这些不变量是通过研究线性代数群与极大环面的二重商而构造的。使用新的不变量，我们显着加强对更高的秩$S$ -算术代数包的周期环面轨道的均匀分布的结果。周期环面轨道包是来自于单个椭圆环面的环面轨道的自然集合，与数域的类群密切相关。这些轨道的分布类似于具有环面稳定器的齐次代数簇上的积分点的分布。证明结合了几何不变理论，伽罗瓦行动，局部算术估计和齐次动力学。
2019-02-25 math.DS math.NT
Polynomial dynamic and lattice orbits in S-arithmetic homogeneous spaces
考虑一个局部紧群G下的齐性空间和G中的一个格。那么格自然地作用在齐性空间上。在观察一个稠密的轨道时，人们可能想知道如何描述它的再分配。然后采用动力学的观点，并比较轨道上的点的渐近分布与空间上的自然测度。在李群及其齐性空间的背景下，利用齐性空间中多项式动力学的Ratner刚性得到了轨道上点的等分布。我们在这里解决这个问题的设置p-adic和S-算术群。
2009-02-11 math.AG math.DS
Translates of homogeneous measures associated with observable subgroups on some homogeneous spaces
在本文中，我们研究以下问题。设G是Q上的线性代数群，$Γ$是算术格，H是可观测Q-子群.在闭子流形$HΓ/Γ$上存在H-不变测度$μ_H$.给定G中的序列$g_n$，研究了$(g_n)_*μ_H$的极限行为.在非发散的情况下，我们给出了一个相当完整的分类。进一步补充了这一点，给出了不发散的判据，并证明了任意序列$g_n$对一定的H是不发散的.这项工作可以被看作是一个自然扩张的工作埃斯金-莫泽斯-沙阿和夏皮拉-郑。
2020-03-03 math.DS
Strongly sufficient sets and the distribution of arithmetic sequences in the 3x+1 graph
3x+1猜想断言每个正整数的T轨道包含1，其中T映射x \mapsto x/2（对于x为偶数）和x \mapsto（3x+1）/2（对于x为奇数）。一个正整数的集合S是充分的，如果每个正整数的轨道与S的某个成员的轨道相交。在以前的文件中，它表明，每等差数列是足够的。在本文中，我们进一步研究了充分性的概念。构造了自然数中任意低渐近密度的充分集合。本文确定了由映射x \mapsto x/2和x \mapsto（3x+1）/2模b生成的群的结构，其中b互素为6，并研究了这些群在与3x+1动力系统相关的有向图上的作用.从这一点上，我们获得的信息分布的等差数列，并获得令人惊讶的新结果，某些等差数列。例如，我们证明了每个正整数的前向T轨道包含一个与2 mod 9全等的元素，每个非平凡圈和发散轨道包含一个与20 mod 27全等的元素。我们推广这些结果，以找到许多其他的集是强充分的，以这种方式。最后，我们证明了3x+1有向图对任何n都具有模2^n的令人惊讶的美丽自对偶性，并证明了它对任何其他模都不具有这种性质。然后，我们使用更深入的以前的结果，通过证明对任何k<n，可以“折叠”模2^n的有向图模2^k的有向图，以自然的方式来构建额外的家庭的非平凡强充分集。
2012-04-20 math.DS
Margulis' Inequality for translates of horospherical orbits and applications to equidistribution
该研究借助 Eskin-Margulis-Mozes 与 Eskin-Margulis 的 Margulis 不等式，证明水平球面轨道平移的定量非发散定理，并推出数域上非真有理抛物子群内格轨道的有效等分布。
2023-09-29 math.DS math.NT
Orbit theory, locally finite permutations and morse arithmetic
本文从遍历轨道理论的角度分析了两个起源于组合数论的保测变换。我们研究Morse变换（在整数并元数的群$\textbf{Z}_2$中的进实现，如作者[{ \sl J. Sov.数学。{ \textbf{28} }，667-674（1985）; { \sl St. Petersburg Math. J.} { \textbf{6} }（1995），no. 3，529-540]），并证明它具有与并矢里程计相同的轨道划分。然后，我们给出了一个精确的描述的时间替代的里程表，它产生的莫尔斯变换。以群$\mathbb Z$的随机重新排序的形式，或以群$\mathbb Z$的随机无限排列的形式来描述这种时间置换是方便的。我们引入了{ \it局部有限置换（LFP）或局部有限双射（LFB），以及对$\mathbb Z$群（以及所有顺从群）的一致局部有限时间置换（ULFTS）}的概念.如果两个具有相同轨道划分的自同构的时间替换是ULFTS，则称它们为{ \it allied}。我们的主要结果是莫尔斯变换和里程表是结盟的。群$\mathbb Z$（以及更一般的群）上的随机无限置换理论与群作用的遍历论一样强。这一领域的主要任务是研究无穷置换，无穷置换空间上的测度，以及$\mathbb Z$上的线性序。局部有限置换类是这种分析的一个有用的类。
2010-05-21 math.DS
Arithmetic degree and its application to Zariski dense orbit conjecture
证明了拟射影簇上支配有理自映射存在算术度接近第一动力度的良定义轨道，并据此证得特定双有理映射（含三维簇上第一动力度>1的情形）满足扎里斯基稠密轨道猜想。
2025-08-19 math.AG math.DS math.NT
Arithmetic and growth of periodic orbits
给出了动力系统中周期点个数序列可精确实现的充要条件。利用这些条件，我们证明了没有非常数多项式是可实现的，并给出了二元递归序列可实现的一些条件。对于足够快速增长的序列，速率上的实现总是可能的，而对于缓慢增长的序列，则永远不可能。最后讨论了周期点的增长率与具有指定最小周期点的增长率之间的关系。
2001-04-26 math.DS math.NT
Arithmetic degrees and Zariski dense orbits of cohomologically hyperbolic maps
本研究针对定义在代数数域代数闭包上的p-上同调双曲有理自映射，探究了算术次数下界、扎里斯基稠密轨道点存在性及预周期点有限性，证明了1-上同调双曲映射的相关性质，并证实算术次数可为超越数。
2024-06-20 math.AG math.DS math.NT
Existence of arithmetic degrees for generic orbits and dynamical Lang-Siegel problem
本文证明支配有理自映射在一般轨道点处算术次数存在，并推广至拟射影簇上的 étale 态射，同时将结果用于动力 Lang–Siegel 问题，刻画局部高度增长与轨道子集的 Banach 密度。
2025-05-13 math.AG math.DS math.NT
Arithmetic dynamics of a discrete Painlevé equation
The University of Sydney（悉尼大学）
本文研究了离散品贝方程在有限域上的轨道性质，证明其点数满足哈斯界，并揭示了相关代数曲线的亏格特性。
2026-01-16 math.DS nlin.SI
Arithmetic and pseudo-arithmetic billiards
算术三角形台球是经典的混沌，但具有泊松能级统计，表面上违反了BGS猜想。我们发现，其周期轨道的长度谱分为不同的子谱的奇偶性的反射次数从三角形的两侧;在量子治疗，奇偶定义的反射相位的轨道贡献的Gutzwiller公式的能级密度。我们将这些结果应用于所有85个算术三角形，并建立了量子台球是真正算术\textquotedblleft的边界条件，即。例如，具有泊松水平统计;否则台球是“伪算术”，属于GOE普适类
2015-08-09 math.DS nlin.CD quant-ph
Higher arithmetic degrees of dominant rational self-maps
设$f \colon X \dashrightarrow X$是定义在${\overline{\mathbf Q}}$上的光滑射影簇的支配有理自映射. Kawaguchi和Silverman证明了，如果$P \in X({\overline{\mathbf Q}})$是一个具有明确前向轨道的点，那么高度沿轨道的增长率存在，并且如果$P$的轨道在$X$中是Zerkki稠密的，那么高度沿轨道的增长率与$f$的第一动力学度$λ_1(f)$一致.本文将Kawaguchi-Silverman猜想推广到$X$的高维子簇的轨道设置上.我们首先定义了一组算术度的$f$，独立的选择周期，然后我们发展的算术度理论平行于现有的结果动态度。我们制定了几个管理这些较高的算术度，将它们与动态度。
2019-06-26 math.AG math.DS math.NT
Arithmetic quantum unique ergodicity for products of hyperbolic $2$- and $3$-spaces
本文证明了双曲2-与3-空间乘积商空间上Hecke-Maass形式的算术量子唯一遍历性猜想，通过轨道维数归纳法排除了极限测度集中于真子群闭轨道的可能性。
2025-01-26 math.DS math.NT
Variation of Periods Modulo p in Arithmetic Dynamics
令F：V --> V是定义在数域K上的拟投射簇的自态射，P是V（K）中的一点，在F的迭代下具有无穷轨道。对于每个好约化的素理想p，设m_p（F，P）是P模p约化的F-轨道的大小。我们证明了对于几乎所有素数p，在解析密度意义下，轨道长度mp（F，P）大于（log（N（p）^（1-e），其中N（p）是理想p的范数.
2007-07-10 math.DS math.NT
Dynamical canonical heights for Jordan blocks, arithmetic degrees of orbits, and nef canonical heights on abelian varieties
设f：X --> X是定义在整体域K上的正规投射簇的自同态，设D_0，D_1，D_2，.是形成Jordan块的因子类，其特征值为b，f^* 作用在Pic（X）上，张量为C。我们构造了适当的归一化正则高度h_0，h_1，h_2，.关联到D_0、D_1、D_2、.满足Jordan变换公式h_k（f（x））= bh_k（x）+ h_{k-1}（x）.作为应用，我们证明了对于X中的每个x，算术次数a_f（x）存在，是一个代数整数，并且当x在X上变化时只取20个值。进一步，若X是定义在数域上的阿贝尔簇，D是非零的nef因子，我们刻画了满足h_D（x）=0的点，并利用这个刻画证明了：若x的f轨道在X中是Zebriki稠密的，则a_f（x）等于f的动力学次数.
2013-04-10 math.DS math.NT
Examples of dynamical degree equals arithmetic degree
设f：X --> X是数域上射影簇的支配有理映射. f的一个重要的几何动力学不变量是它的（第一）动力学度d_f= lim SpecRadius（（f^n）^*）^{1/n}。对于X上的代数点P，若其正向轨道定义良好，则存在一个类似的（上）算术次数a_f（P）= limsup h_X（f^n（P））^{1/n}，其中h_X是X上的一个充分Weil高度.在以前的文章中，我们证明了基本不等式a_f（P）\le d_f，并证明了当P的轨道是Zerkiki稠密的时，a_f（P）= d_f.在本文中，我们证明了猜想是正确的几种类型的地图。在其他情况下，我们证明了存在一个Zebraki稠密点集，它们具有不相交的轨道，并且满足a_f（P）= d_f.
2012-12-12 math.DS math.NT
Equidistribution of translates of a homogeneous measure on the Borel--Serre boundary
设G是定义在有理数上的半单线性代数群，K是其实点的极大紧子群，Γ是算术格.对于定义在Q上的G的每个子群H，可以将Γ \G上的概率测度μ（H）与没有非平凡有理特征标相关联。由于G从右边作用在Γ \G上，我们可以通过G的元素向前推进这个测度。通过将这些测度下推到Γ \G /K，我们称它们为齐次的。问齐次测度的可能弱极限是什么是一个自然的问题。在无分歧的情况下，这已经由Eskin-Mozes-Shah回答了。在发散情形下，Daw-Gorodnik-Ullmo证明了实幂幺元生成的H的Γ \G /K的某些非平凡紧化的精化形式.在本文中，我们建立在他们的工作和推广定理的情况下，一般H没有非平凡的合理字符。我们的结果依赖于（1）由数的几何和Kleinbock-Margulis定理证明的SL_n上的一个非发散准则;（2）由几何不变理论和约化理论证明的与不同群相关的部分Borel-Serre紧化之间的关系.
2021-01-14 math.DS
An illustrated introduction to the arithmetic of Apollonian circle packings, continued fractions, and other thin orbits
本文整理并扩展两次暑期学校讲义，以阿波罗尼奥斯圆填充、薄群、连分数等为线索，图解数论与几何、动力学及整数轨道之间的联系。
2024-12-03 math.DS math.MG math.NT
Dynamical and arithmetic degrees for random iterations of maps on projective space
我们证明了射影空间上的占优有理自映射的随机序列的动力度几乎必然是常数。然后，我们将这一结果的高度增长和随机轨道的高度计数问题。
2019-04-09 math.DS math.NT
Arithmetic and Dynamical Degrees on Abelian Varieties
设$ϕ:X\dashrightarrow X$是光滑簇的支配有理映射，且$x\in X$定义在$\bar{\mathbb Q}$上.动力学度$δ(ϕ)$度量$ϕ$迭代的几何复杂度，算术度$α(ϕ,x)$度量$x$的前向$ϕ$-轨道的算术复杂度.已知$α(ϕ,x)\leδ(ϕ)$，并且证明如果$x$的$ϕ$-轨道在$X$中是Zeromki稠密的，则$α(ϕ,x)=δ(ϕ)$，即，算术复杂度等于几何复杂度。在这份说明中，我们证明了这一猜想的情况下，$X$是一个阿贝尔品种，扩展早期的工作中，该猜想被证明为isogenies。
2015-01-17 math.AG math.DS math.NT
Algebraic curves $A^{\circ l}(x)-U(y)=0$ and arithmetic of orbits of rational functions
本文给出了次数至少为二的复有理函数$A$和$U$对的描述，使得对于每一个$d\geq 1$，代数曲线$A^{\circ d}(x)-U(y)=0$都有亏格为零或亏格为一的因子.特别地，我们证明了如果$A$不是“广义Lattès映射”，则满足这个条件的充要条件是存在一个有理函数$V$，使得对于某些$l\geq 1.$，$U\circ V=A^{\circ l}$。我们还证明了一个版本的动力学Mordell-Lang猜想，涉及$A$与值集$U(\mathbb P^1(K))$的迭代下$\mathbb P^1(K)$的点的轨道的交点，其中$A$和$U$是在数字字段$K.$上定义的有理函数
2019-02-14 math.AG math.CV math.DS
Discrete subgroups generated by lattices in opposite horospherical subgroups of $SL(3,\mathbb{C})$ following Hee Oh
证明了$SL(3,\mathbb{C})$的极小次球面子群中的两个格所生成的离散子群是算术的，因此Borel和Harish-Chandra也是一个格.我们遵循Oh在\cite{Ref13}中使用的方法和思想。在那里，Oh证明了$SL(n,\mathbb{R})$的极小次球面子群中的格的相同结果。该方法包括研究在对应Levi子群的换位子的共轭作用下的次球面子群中的生成格的轨道，以获得$SL(3,\mathbb{C})$的有理结构。拉特纳定理减少了关闭的轨道的可能性。然后，通过生成子群的离散性，可以说明轨道的封闭性。最后，利用这些信息，可以找到一个有理形式，使得由格生成的子群是算术的。
2022-02-18 math.DS
Equidistribution of expanding translates of smooth curves in homogeneous spaces under the action of a product of SO(n,1)'s
The Ohio State University（俄亥俄州立大学）；National University of Singapore（新加坡国立大学）
本文证明了在多个SO(n,1)乘积群作用下，光滑曲线的扩张平移在避开可数代数障碍后于轨道闭包中等分布，方法结合Ratner定理、Kempf几何不变量理论与线性化技术。
2026-10-12 math.DS
Arithmetic Degrees are Cohomological Lyapunov Multipliers
本文证明射影簇自同态中 Zariski 稠密轨道点的算术次数必为系统的上同调 Lyapunov 乘子，并据此得到动力 Mordell–Lang 猜想的推论。
2025-07-23 math.AG math.DS math.NT
A note on the relation between fixed point and orbit count sequences
从算术函数空间上线性映射的角度研究了不动点与轨道计数序列之间的关系。谱和渐近性质的推导和几个数量明确给出的高斯二项式系数。
2008-12-23 math.DS math.NT
Remarks on algebraic dynamics in positive characteristic
本文研究了具有任意特征，特别是正特征的算术动力学。推广了正特征线中算术度和典范高度的一些基本事实。作为应用，我们证明了正熵射影曲面自同构的动力学Mordell-Lang猜想，射影曲面自同构的Zebraki稠密轨道猜想和第一动力学度较大的射影簇自同态的Zebraki稠密轨道猜想.我们还研究了可构造拓扑的遍历论。例如，我们证明了具有大拓扑度的有限平坦自同态的后向轨道的等分布性。作为应用，我们给出了弱动力学Mordell-Lang的一个简单证明，并证明了无重数的后向轨道的一个计数结果。这给出了伯科维奇空间上等分布的一些应用。
2021-07-08 math.AG math.DS
Primes, knots and periodic orbits
这是为Ennio De Giorgi Colloquio卷写的文本。它涵盖了类比之间的代数数论和纽结理论，类比之间的解析数论和某些动力系统，并报告我们建设的动力系统的算术计划，实现这些类比。
2023-01-27 math.AP math.DS math.NT
On the dynamical and arithmetic degrees of rational self-maps of algebraic varieties
令f：X --> X是定义在整体域上的射影簇的支配有理映射，设d_f是f的动力学度，h_X是X上关于一个充分因子的Weil高度.本文证明了h_X（f^n（P））<<（d_f + e）^nh_X（P），其中隐含常数只依赖于X，h_X，f和e.作为应用，我们证明了上算术次数的一个基本不等式a_f（P）\le d_f，并构造了（nef）因子的标准高度.我们猜想，当P的轨道是Zerkiki稠密的时，a_f（P）= d_f，并描述了几种可以证明我们猜想的情形.
2013-09-27 math.DS math.NT
Some Arithmetic Dynamics of Diagonally Split Polynomial Maps
令$n\geq 2$，并且令$f$是系数在数域或特征0函数域$K$中的次数至少为2的多项式。本文给出了Medvedev-Scanlon定理在$(f,...,f):\ (\bP^1_{K})^n\longrightarrow (\bP^1_K)^n$映射动力学中的两个算术应用，即Hasse原理的动力学类似物和Bjerieri-Masser-Zannier高度界定理.特别是，我们证明了哈塞原则，当我们相交的轨道和preperiodic subvariety，并在一条曲线与工会的所有周期性超曲面相交点有界的高度，除非该曲线是垂直的或包含在一个周期性超曲面。
2013-09-18 math.DS math.NT
Reconstructing global fields from dynamics in the abelianized Galois group
研究了由Artin倒易映射诱导的全局场的动力系统.我们将这种动力系统的共轭性转化为等价于场同构的各种算术性质，并将其与阿那贝尔几何联系起来。
2017-06-14 math.DS math.NT
Preperiodicity and systematic extraction of periodic orbits of the quadratic map
二次映射的迭代产生多项式序列，其次数{ \sl explode}随着轨道周期越来越大。混合所有335个周期为12的轨道的多项式具有次数$4020$，而对于$52,377$周期为20的轨道，次数已经上升到$1,047,540$。在这里，我们展示了如何使用预周期点系统地提取精确的运动方程，一个接一个，而不需要迭代。精确的轨道方程提供了有价值的洞察力的算术结构和嵌套性质的塔代数数定义的轨道点和分支级联的地图。
2020-10-07 math.DS nlin.CD
Primitive Divisors in Arithmetic Dynamics
令F（z）是Q（z）中的一个次数至少为2的有理函数，其中F（0）= 0，并且使得F不会为0处的d阶消失。设b是在F的迭代下具有无穷轨道的有理数，记F^n（b）= A_n/B_n为最低项的最简分数.我们证明了对除n > 0以外的所有数，分子A_n都有一个本原除数，即，存在一个素数p，使得p整除A_n，且对所有i < n，p不整除A_i。更一般地，我们证明了一个类似的结果，当F定义在数域上，0是F的周期点。
2007-07-26 math.DS math.NT
On upper bounds of arithmetic degrees
设$X$是$ \overline{\mathbb Q}$上的光滑射影簇，$f:X -rightarrow X$是支配有理映射.令$δ_{f}$是$f$的第一动力学度，$h_{X}:X( \overline{\mathbb Q})\to [1,\infty)$是与$X$上的充足因子相关联的$X$上的Weil高度函数。我们证明了几个不等式，给出序列$(h_X (f^n(P)))_{n\geq0}$的上界，其中$P$是$X( \overline{\mathbb Q})$的一个点，其前向轨道由$f$定义。作为推论，我们证明了上算术度小于或等于第一动力学度$ \overlineα_{f}(P) \leq δ_{f}$。进一步，当$X$的Picard数为1，$f$代数稳定，$δ_{f}>1$时，证明了定义正则高度的极限$\lim_{n\to \infty} h_{X} (f^{n}(P)) \big/ δ_f^n$收敛.
2018-02-09 math.AG math.DS math.NT
Periodic points and arithmetic degrees of certain rational self-maps
本文研究代数数域上的上同调双曲双有理自映射，给出其周期点高度的有界性结果，还将二维有理自映射的Kawaguchi--Silverman猜想归约为动力Mordell--Lang猜想，验证了若干新情形并证明对应Zariski稠密轨道存在。
2023-06-12 math.AG math.DS math.NT
