On the Mahler measure of a family of genus 2 curves
Marie José Bertin, Wadim Zudilin
建立了两个多项式族的Mahler测度$m(Q_k(x,y))$和$m(P_k(x,y))$之间的一般恒等式，其中$Q_k(x,y)=0$和$P_k(x,y)=0$分别是广义超椭圆曲线和椭圆曲线.
We establish a general identity between the Mahler measures $m(Q_k(x,y))$ and $m(P_k(x,y))$ of two polynomial families, where $Q_k(x,y)=0$ and $P_k(x,y)=0$ are generically hyperelliptic and elliptic curves, respectively.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Mahler measure of polynomials defining genus 2 and 3 curves
本文研究了500多个亏格为2和亏格为3的倒数多项式曲线族的Mahler测度。数值上我们发现这些多项式的Mahler测度与$L$ -函数的特殊值之间的关系。我们还发现了100多个身份之间的马勒措施，涉及不同的家庭的多项式定义属2和属3曲线。进一步研究了亏格为2的几类非互易多项式的Mahler测度，并通过数值计算找到了这几类非互易多项式的Mahler测度与椭圆曲线的$L$ -函数的特殊值之间的关系.我们还发现这些非互易家庭和回火多项式定义属1曲线的马勒措施之间的身份。我们将通过考虑由这些多项式定义的曲线的$K_2$中的某些元素的推进和拉回，并将Beilinson猜想应用于曲线的$K_2$来解释这些关系。我们证明了亏格2和亏格3曲线族的$K_2$中存在两个和三个显式线性无关元。
Functional equations for Mahler measures of genus-one curves
本文建立了亏格为1的二元多项式族的Mahler测度的函数方程。这些族以前被Beauville研究过，他们的马勒测度被Boyd、Rodriguez-Villegas、Bertin、Zagier和Stienstra考虑过。我们的函数方程使我们能够证明马勒措施之间的身份，是由博伊德。作为推论，我们还建立了超几何函数的一些新的变换。
On the Mahler measure of hyperelliptic families
我们证明博伊德的“意想不到的巧合”的马勒措施的两个家庭的二元多项式定义曲线的亏格2。我们进一步等同于相同的措施，以马勒措施的多项式$y^3-y+x^3-x+kxy$的零轨迹定义椭圆曲线$k\ne0,\pm3$。
A shifted Mahler measure identity for Boyd's family
最近，第二作者和秦刚数值地证明了亏格为2和亏格为3的多项式族的一些Mahler测度恒等式。本文利用椭圆调节器证明了Boyd族的一个涉及移位Mahler测度的恒等式。
Regulator proofs for Boyd's identities on genus 2 curves
我们使用椭圆调节器恢复一些恒等式之间的马勒措施涉及某些家庭的亏格2曲线，由博伊德和Bertin和Zudilin证明，通过区分马勒措施和使用超几何身份。由于我们的证明涉及监管机构，他们产生光到预期的关系，每个马勒措施的特殊值的$L$ -功能的某些椭圆曲线。
Mahler measures of a family of non-tempered polynomials and Boyd's conjectures
本文通过建立非回火多项式与回火多项式马勒测度之间的新恒等式，结合 Brunault-Mellit-Zudilin 公式及附加泛函恒等式，证明了导子为 30 的椭圆曲线的博伊德猜想。
The Mahler measure of a family of polynomials with arbitrarily many variables
本研究针对任意多变量的无限多项式族，通过积分变换与迭代化简为六次单位根处多重对数求值，推导出其Mahler测度的精确公式，得到Riemann zeta函数与导子3的Dirichlet L函数相关值。
Mahler measure of $P_d$ polynomials
研究了一类二元多项式族$P_d, d\geq 1$的Mahler测度，该多项式族的次数和亏格都是无界的.通过使用一个闭公式的马勒措施中介绍的“体积功能和马勒措施的确切多项式”（由Guilloux和Marché），我们能够计算$m(P_d)$，为任意$d$，作为一个总和的价值双对数在特殊的根的单位。证明了$m(P_d)$收敛且极限与$ζ(3)$成正比，其中$ζ$是黎曼ζ函数.
Random walks through the areal Mahler measure: steps in the complex plane
本文通过随机游走和Zeta Mahler函数的面积类比，证明了两个多项式族的面积Mahler测度可表示为标准Mahler测度与Deninger循环体积的线性组合。
From $L$-series of elliptic curves to Mahler measures
本文证明了导体20和24的椭圆曲线的Mahler测度与$L$值之间的关系。我们还提出了新的超几何表达式的$L$值的CM椭圆曲线的导体27和36。进一步证明了多项式族$(1+X)(1+Y)(X+Y)-αXY$，$α\in\mathbb R$的Mahler测度的一个新的函数方程.
The parametrized family of metric Mahler measures
本文推广了Mahler测度的度量版本$M_t$，利用其给出Lehmer猜想的等价形式，证明该函数由指数函数分段构造，并提出一个关于有理数图像绘制的猜想。
Generalized Mahler measures of Laurent polynomials
本文研究二元Laurent多项式在任意环面上的广义Mahler测度，建立其与标准Mahler测度的关系，并对Boyd多项式族显式计算r=4情形，最终推广至多变量。
Continued fraction expansions in connection with the metric Mahler measure
度量马勒测度最早由Dubickas和Smyth在2001年研究，作为用拓扑语言表述莱默猜想的一种手段。最近的工作，作者研究了一个参数化家庭的广义度量马勒措施，引起了一系列新的，显然是困难的问题。我们建立了这些度量的马勒措施和理论的连分数在某一类特殊情况下的联系。我们的结果使我们能够计算度量马勒措施在几个新的例子。
The elliptic trilogarithm and Mahler measures of $K3$ surfaces
本文的目的是明确地导出Zagier椭圆三对数和马勒措施的某个家庭的三个变量的多项式定义的K3曲面之间的连接。此外，我们还证明了在椭圆曲线的扭点上求椭圆三对数所满足的一些线性关系。这个结果可以看作是椭圆双对数奇异关系的高维模拟。
Special zeta Mahler functions
1969年，我. Bernstein和S. Gelfand引入了一个对象，现在称为zeta Mahler函数（ZMF，也称为zeta Mahler测度），与Mahler测度相关。在这里，我们讨论一个家庭的ZMF附加到劳伦多项式$k + (x_1 + x_1^{-1}) \cdots (x_r + x_r^{-1})$，其中$k$是真正的。我们给出明确的公式，目前的例子，并建立这些ZMF的属性，如RH型现象。此外，我们探讨与马勒措施的关系。
Mahler measure of some singular K3-surfaces
研究了三元Laurent多项式x + 1/x + y + 1/y + z + 1/z-k的Mahler测度，其中k是参数.这个多项式的零点定义（去奇异化后）一族K3-曲面。在有利的情况下，K3-曲面的皮卡数为20，马勒测度与它的L-函数有关。这是由Marie-Jose Bertin首先研究的。在这项工作中，我们证明了几个新的公式，扩展了Bertin的早期工作。
Mahler measure of a non-reciprocal family of elliptic curves
本文研究单参数椭圆曲线族 $Q_α$ 的对数 Mahler 测度，针对文献未涉及的 $α\in(-1,3)$ 情形建立了超几何公式，并数值验证及部分证明了其与椭圆曲线 $L$ 函数导数的关系。
Integral Representations and Asymptotics for a Family of Areal Mahler Measures
该研究解答了Matilde Lalín提出的多项式族面积型Mahler测度问题，通过概率重述推导积分表示，得到序列差分符号规律与渐近展开。
Determinants of Mahler measures and special values of $L$-functions
研究二元多项式族\(P_t\)和\(Q_t\)的马勒测度，推导其在定义CM椭圆曲线时马勒测度的公式，分类特定数域中\(t\)值，证明对应椭圆曲线相关矩阵行列式与\(L\)值的关系。
A functional identity for Mahler measures of non-tempered polynomials
建立了双参数族$P_{a,c}(x,y)=a(x+1/x)+y+1/y+c$的Mahler测度的函数恒等式.我们的结果扩展了一个身份证明的文件Lalín，Zudilin和Samart。作为一个副产品，我们得到了$m(P_{a,c})$对$a$和$c$的一些代数值的评价，根据特殊的$L$ -函数和代数.我们还给出了第一类和第三类椭圆积分之间的一个恒等式成立的充分条件，它包含了$m(P_{a,c})$的几个恒等式.
Limits of Mahler measures in multiple variables
本文将 Boyd–Lawton 关于单变量单项式替换下马勒测度收敛的结果推广到多变量情形，并给出误差项的显式上界及一类二变量多项式的完整渐近展开。
The asymptotic Mahler measure of Gaussian periods
构造具有特别小Mahler测度的分圆整数（高斯周期）序列，研究其Mahler测度作为导子函数的渐近行为，发现增长率是维数递增的log Calabi-Yau簇族的多元Mahler测度。
Growth of Mahler measure and algebraic entropy of dynamics with the Laurent property
研究具有拉格朗日性质的动力系统和簇代数中马勒度量的增长率，比较其与其他增长度量，并提出马勒度量的增长率与代数熵一致的猜想。
An exact family of bivariate polynomials and Variants of Chinburg's Conjectures
本文通过研究二元多项式族$P_d(x,y)$的Mahler测度，将其表示为狄利克雷$L$-函数的线性组合，从而为Chinburg猜想及其推广版本提供了解答，覆盖多个导子情况。
CM points, class numbers, and the Mahler measures of $x^3+y^3+1-kxy$
本研究用作者此前的方法分析多项式族$x^3+y^3+1-kxy$的马勒测度，通过搜索类数≤3的CM点推导其与模形式L-值的关联公式，证实Samart的部分猜想，并证明特定k值下对应行列式与同源椭圆曲线L-值的等式。
On the Mahler measure and root distribution of the $Q$-polynomial of links
该研究探讨纽结Q多项式的马勒测度与根分布，证明扭转下Q多项式马勒测度收敛、多数根趋近[-2,2]，对比三类多项式根的差异，给出仅含非零实根的2桥纽结无限族并提出相关猜想。
An unusual family of supersingular curves of genus five in characteristic two
本文构造了一族在特征二中的奇异五 genus 曲线，其具有特定的维数、非超椭圆性及双覆盖结构，并提供了显式参数化。
A certified continuation machine for Mahler measure identities at CM points, with twelve new proofs of conjectures of Samart
该论文将微分比较延拓方法公理化为一台认证机器，用于在CM点证明Mahler测度恒等式，为Samart猜想提供了十二个新证明，并发现其适用性边界并非拓扑边界。
Boyd's conductor-11 Mahler measure conjecture: proof of the split-integral identity (C3), with an exact structural analysis of the family S_k
本文证明了Boyd关于导子11的Mahler测度猜想中的第三个恒等式(C3)，通过将分裂积分转化为正则积分并利用模单位公式精确计算，同时给出了族S_k的完整结构分析。
The $t$-metric Mahler measures of surds and rational numbers
本文研究了 $t$-度量 Mahler 测度，证明了对有理数该测度下确界可仅由有理点达到，并通过二次反例说明该结论对一般代数数不成立，同时给出了计算无平方因子根数测度的显式公式。
An explicit algebraic family of genus-one curves violating the Hasse principle
证明了对Q中的任意t，P^2中的曲线5x^3 + 9y^3 + 10z^3 + 12（（t^12-t^4-1）/（t^12-t^8-1））^3（x+y+z）^3 = 0是亏格1曲线，违反了Hasse原理.给出了其Jacobian E_t的显式Weierstrass模型。每个E_t的Shafarevich-Tate群包含一个同构于Z/3 x Z/3的子群。
A genus 2 family with 226 sections
Faltings定理[Fal 83]，[Fal 91]（以前的Mordell猜想[Mo 22]）指出，在任何数域上，亏格大于1的曲线只有100个点。再一次，一个自然的问题是这样的曲线可以有多少点。Caporaso、Harris和Mazur [CHM 97]证明了弱Besili-Lang猜想意味着对任何数域$F$和任何整数$g \ge 2$，在$F$上亏格$g$曲线上的点数存在绝对上界$B(F; g)$。此外，强Betheri-Lang猜想意味着对于每个亏格$g \ge 2$，都有一个绝对界$C(g)$依赖于亏格--而不是依赖于域--使得在任何数域上，只有1000条亏格$g$的曲线有多于$C(g)$的点。同样，我们可以问这两个界限是什么，事实证明，它有助于考虑来自K3曲面的族。具体来说，我们将考虑$g = 2$的情况。我们使用一个K3曲面$X$，它是$P^2$在光滑六次曲线$C$上分歧的一个双重覆盖，所以每一束线都给我们一族亏格为2的曲线。与$C$在3个点相切的任何直线都将提升到$X$上的一对曲线，这对曲线成为由任何线束给出的族的部分。在第3节中，我们将构造一个K3曲面（数域上）和相应的具有64个这样的三切线的六次曲线。此外，在$P^2$中还会有其他高次有理曲线，它们也只在切点与$C$相交。通过适当地选择铅笔和执行适当的基的变化，我们发现一个家庭的亏格2曲线的226个部分。这是目前最…
The average size of the 2-Selmer group of a family of non-hyperelliptic curves of genus 3
我们表明，平均大小的$2$ -塞尔默组的家庭的雅可比非超椭圆属- $3$曲线有一个显着的合理hyperflex点，当有序的自然高度，是有界以上的$3$。我们实现这一点，通过解释$2$ -塞尔默元素的积分轨道的代表与一个稳定的$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ -分级的李代数类型$E_6$和使用Bhargava的轨道计数技术。我们使用这个结果表明，标记点是唯一的有理点的一个积极的比例曲线在这个家庭。主要的新颖之处是建设的积分代表使用某些性质的紧致雅可比的简单曲线奇异的类型$E_6$，和一个代表性理论解释的芒福德θ组自然与我们的家庭的曲线。
A family of asymptotically bad wild towers of function fields
本文研究一类野生函数域塔的亏格，提出更宽松的充分条件以判定其无穷性，推广了先前的一般性结果。
On certain constructions of p-adic families of Siegel modular forms of even genus
假设p > 5是一个有理数素数。从Hida的p级普通椭圆尖点形式的p-adic解析族出发，通过Ikeda的Duke-Imamoglu提升，构造了与Hida的p-adic解析族相关联的任意偶数亏格的p级全纯Siegel尖点形式的p-adic解析族.此外，我们也给出了具有平凡Neuryypus的偶数亏格的Siegel Eisenstein级数的类似结果。
Infinite families of pairs of curves over Q with isomorphic Jacobians
我们提出了三个家庭的对几何非同构曲线的雅可比矩阵是同构的另一个作为非极化阿贝尔簇。每个族都由P^1的一个开子集参数化。第一个家庭由对亏格-2曲线，其方程是由简单的表达式中的参数;在这个家庭中的曲线可约雅可比。第二类曲线也由亏格为2的曲线对组成，但一般来说，这类曲线具有绝对简单的雅可比行列式。第三族由亏格3曲线对组成，每对中的一个成员是超椭圆曲线，另一个是平面四次曲线。这些族中的例子表明，一般来说，不可能从Q上亏格为2的曲线的雅可比矩阵判断该曲线是否具有有理点--或者实际上是否具有实点。我们的建设依赖于早期的联合工作与弗兰克Leprevost和比约恩Poonen，并对彼得弯曲的明确描述曲线的属2的雅可比矩阵有真正的乘法由Z[ \sqrt{2} ]。
On certain constructions of p-adic families of Siegel modular forms of even genus
假设p > 5是一个有理数素数。从Hida的p阶普通椭圆尖点形式的p-adic解析族出发，通过Ikeda建立的Duke-Imamoglu提升，构造了与Hida的p-adic解析族相关联的任意偶数亏格的p阶全纯Siegel尖点形式的p-adic解析族.此外，我们也给出了具有平凡Neuryypus的偶数亏格的Siegel Eisenstein级数的类似结果。
Uniform Manin-Mumford for a family of genus 2 curves
我们介绍了一个通用的策略，证明了数量和一致的界限上的高度为零的高度对$\mathbb{P}^1(\overline{\mathbb{Q}}).$上的一对不等价的功能的公共点的数量。我们应用此策略证明了一个猜想的Bogomolov，傅，和Tschinkel断言的情况下，两个勒让德曲线在$\mathbb{C}$上的椭圆曲线的公共扭点的数量的一致的界限。由此，我们得到了亏格为2的二维曲线族的两个一致界：$\mathbb{C}$上的一致Manin-Mumford界和$\overline{\mathbb{Q}}.$上的一致Bogomolov界
Rational Points on a Family of Genus 3 Hyperelliptic Curves
本文研究一族亏格 3 超椭圆曲线的有理点，改进 Dem'yanenko–Manin 方法并结合根数约束 Jacobian 分解中椭圆曲线的秩，从而比 Chabauty–Coleman 方法更高效地确定 \\(C_a(\mathbb Q)\\)。
2-Elongated Plane Partitions and Powers of 7: The Localization Method Applied to a Genus 1 Congruence Family
本文针对亏格为正的模曲线场景调整现有技术，研究2-拉长平面分拆菱形计数函数$d_2(n)$关于7的幂的亏格1同余族，对比相关方法并猜想另一适用类似技术的同余族。
Mahler measures at interior CM points: proofs of two conjectures of Samart
该研究证明了萨马特关于内部CM点马勒测度的两个猜想，通过微分比较延拓、连续性论证及精确CM格点和计算完成，所有恒等式经41-60位数值验证。
Heights of polynomials over lemniscates
我们考虑一个家庭的高度定义的$L_p$规范的多项式关于平衡测度的双纽线$0 \le p \le \infty$，其中$p=0$对应的几何平均值（广义马勒措施）和$p=\infty$对应的标准上确界规范。这种特殊的选择措施允许找到一个明确的形式为几何平均的多项式，并估计它通过某些结果。对于满足适当假设的双纽动物，我们建立了最低高度的显式多项式，并证明了它们的唯一性。我们讨论的标准结果之间的关系的马勒措施和他们的类似物，包括推广克罗内克定理的代数整数在单位磁盘，以及Lehmer的猜想。
Algebraic families of hyperelliptic curves violating the Hasse principle
在$2000$中，Colliot-Thélène和Poonen展示了如何构建代数族的属一曲线违反哈塞原则。Poonen明确地构建了一个代数家庭的属一立方曲线违反哈塞原则使用一般方法开发的Colliot-Thélène和他自己。本文的主要结果将Colliot-Thélène和Poonen的结果推广到任意高亏格的超椭圆曲线.更准确地说，对于$n > 5$和$n \not\equiv 0 \pmod{4}$，我们表明，有一个代数家庭的超椭圆曲线属$n$是反例哈塞原则解释的Brauer-Manin障碍。
A genus two arithmetic Siegel-Weil formula on X_0(N)
本文定义了模曲线X_0（N）的算术Chow群中的算术零圈族，其中N>3是奇数且无平方因子，并将这些圈的算术次数定义为亏格为2的Siegel Eisenstein级数的中心导数的q系数.这与Kudla-Rapoport-Yang对Shimura曲线的研究相似。
Genus one fibrations and vertical Brauer elements on del Pezzo surfaces of degree 4
本文研究四度德尔皮佐表面中一次曲线纤维的几何与算术性质，探讨垂直布雷尔元素的存在与影响。
Identities among higher genus modular graph tensors
高亏格模图张量将费曼图映射到亏格- $h$紧黎曼曲面的Torelli空间上的函数，这些函数在模群$Sp(2h , \mathbb Z)$下变换为张量，从而推广了Kawazumi的一个构造。对任意亏格和任意张量秩，证明了单圈模图张量与树级模图张量之间的无穷族代数恒等式。我们还推导出一个家庭的身份，适用于更高的循环阶的模块图张量。
Genus and Gonality of Small Curves, Dynamical Uniform Boundedness, and Bifurcation
研究算术动力学中亏格度猜想，证明非等平凡单参数有理映射代数族中不同动力曲线亏格度趋于无穷，结合多种理论证明相关结果，还得到高维类似及应用，如迭代原像和预周期点的一致有界性。
Curves of genus 2 with sqrt2 multiplication
本文给出了亏格为2的曲线族，其Jacobian的$\sqrt2$乘被Rosati对合固定，并在此基础上得到了几个结果，包括曲线的Jacobian与四元数乘曲线的Jacobian的同构性.
Large Galois images for Jacobian varieties of genus 3 curves
给定一个大于或等于5的素数l，我们构造了Q上的三维阿贝尔簇的无限族，使得对该族中的任意A/Q，附着在A的l-挠上的伽罗瓦表示ρ_{A，l}：Gal_Q -> GSp（6，l）是满射的.任何这样的簇A将是Q上亏格为3的曲线的雅可比行列式，我们规定它们在两个辅助素数处的各自约化为我们提供Sp（6，l）的生成元。
Some genus 3 curves with many points
利用一类显式的平面四次曲线，证明了特征为3的有限域上存在亏格为3的曲线，且该曲线的有理点的个数与Hasse-Weil-Serre上界的距离不超过一定.我们还提供了一个内在的特性，所谓的勒让德椭圆曲线。
Statistics of the Genus Number of $S_3 \times C_q$ and $D_4$-fields
研究$S_3\times C_q$-域和$D_4$-域的亏种数统计，分析其平均值及高阶矩，并提出亏种密度为零的猜想。
The Mordell-Weil rank of the Jacobian of a curve of genus 2 with multiplication by a square root of 2
我们提出了一种方法来计算的Mordell-Weil秩的雅可比曲线的亏格2乘以2的平方根，基于下降通过isogenies度2，并将其应用到一个家庭的曲线。
Genus theory and Euclidean ideals for real biquadratic fields
本文利用亏格理论研究了一类实双二次域$K.$的欧氏理想.与前人的工作相比，我们的方法得到了一类新的更大的具有欧氏理想的实双二次域$K$族，并且我们族的条件似乎更有效.此外，以往的方法主要针对$h_K=2$的情况，而本方法也可以处理一般的$h_K=2^t (t\geq1)$的情况，其中$h_K$表示$K$的理想类数.特别地，如果$h_K\geq 4$，则证明了对于本文给出的具有欧氏理想的$K$族，$H(K)$（$K$的Hilbert类域）在$\mathbb{Q}$上总是非交换的，而以前的方法总是要求$H(K)$在$\mathbb{Q}$上显式或隐式地是交换的.最后，本文还提出了一些有待进一步研究的问题。
On Shimura curves in the Schottky locus
我们证明了g维阿贝尔簇模空间中具有严格极大Higgs场的有理Shimura曲线Y在大g时不与Schottky轨迹一般相交.我们实现这一点通过使用Viehweg和左的结果说，如果Y参数化一个家庭的曲线属g，那么相应的家庭雅可比同构Y的g倍积的模块家庭的椭圆曲线。在把情况从复数域简化到有限域之后，结合Weil和Sato-Tate定理，我们将看到，对于大亏格g，这是不可能的。
A family of polynomials with Galois group $PSL_5(2)$ over $\mathbb{Q}(t)$
我们计算了一类定义在$\mathbb{Q}$上的具有正则伽罗瓦群$PSL_5(2)$的具有四个分歧点的覆盖。一方面，这是（据我所知）第一个明确的多项式与组$PSL_5(2)$在$\mathbb{Q}(t)$。另一方面，它也肯定地回答了$PSL_5(2)$是否是$\mathbb{Q}$上有理函数的单值群的问题。至少这并不是从考虑$PSL_5(2)$中的类三元组得出的，因为没有严格的、合理的亏格零三元组。此外，对于4元组，我们的家族是唯一一个具有亏格为零的Hurwitz曲线的家族（然而，如果没有明确的计算，似乎并不立即清楚该曲线是否可以定义为$\mathbb{Q}$上的有理曲线）。也有亏格为零的族有五个分支点，也许它们的Hurwitz空间可以被证明有有理点;然而，到目前为止，我还没有看到这样的论点。
Weights in Codes and Genus 2 Curves
讨论了一类二元循环码及其对偶码。最小距离是使用代数几何和Weil定理的应用确定的。我们将对偶码中出现的权值与有限域上亏格为2的曲线族上的有理点的个数联系起来。
Explicit two-cover descent for genus 2 curves
给定数域上定义有有理Weierstrass点的亏格$2$曲线$C$，构造了一类通过$C$的极大非分歧阿贝尔双覆盖下降的亏格$5$曲线，并将其Jacobian的等距类的显式模型描述为椭圆曲线的标量限制.本文的所有构造都附有明确的公式，并在Magma和/或SageMath中实现。我们应用这些算法结合椭圆Chabauty的数据集的7692属$2$五次曲线在$\mathbb{Q}$的Mordell-Weil秩$2$或$3$的有理点的集合以前没有被证明计算。我们分析了这种方法在计算有理点集时成功的频率，以及在某些情况下导致它失败的障碍。
The non-ordinary locus of the TTV family of curves
本文建立了TTV曲线族的约化模$p$的非平凡轨迹与某些三角形模曲线的亏格之间的关系。
On algebraic curves A(x)-B(y)=0 of genus zero
使用涉及黎曼曲面orbifolds的几何方法，我们提供了一个不可约代数曲线的形式$E_{A,B}:\, A(x)-B(y)=0$，其中$A, B\in\mathbb C(z)$的亏格的下界。我们还研究了亏格为零的曲线$E_{A,B}$的“系列”，这里的系列是指具有“相同”$A$的一个系列。我们证明了对于一个给定的有理函数$A$的有理函数序列$B_i$，使${\rm deg}\, B_i \rightarrow \infty$和所有的曲线$A(x)-B_i(y)=0$是不可约的，并有亏格零，存在当且仅当域扩张$\mathbb C(z)/\mathbb C(A)$的伽罗瓦闭包有亏格零或一。
Zeta function and cryptographic exponent of supersingular curves of genus 2
我们计算在一个直接的（而不是算法）的方式的zeta函数的所有超奇异曲线的亏格2在有限域k，有许多几何自同构。我们显示这些计算在附录中，我们选择一个家庭的代表所有这些曲线的几何同构，我们展示方程和zeta函数的所有扭曲。作为应用，我们得到了这些曲线的雅可比矩阵的密码指数的直接计算。
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