Multivariate Bell Polynomials and Derivatives of Composed Functions
如何对多元复合函数求重复导数？对于一维函数，常用的工具包括带贝尔多项式的法阿·迪·布鲁诺公式;虽然法阿·迪·布鲁诺公式有扩展，但没有相应的贝尔多项式。在本文中，我们推广的单变量贝尔多项式采取向量值的参数索引的多个指标，我们使用重写的Faá di Bruno公式，以寻找$\textbf{f}(\textbf{g}(\textbf{x}))$的衍生物。
2019-03-10 math.CA
Sharp bound on the radial derivatives of the Zernike circle polynomials (disk polynomials)
我们将$n$次Zernike圆多项式（圆盘多项式）的$k^{\rm th}$径向导数的最大模上的界$n^{2k}$锐化为$n^2(n^2-1^2)\cdot ... \cdot(n^2-(k-1)^2)/2^k(1/2)_k$。这个界限是从Koornwinder关于圆多项式的径向部分的连接系数的非负性的一个结果中得到的，当圆多项式展开成一系列的第一类切比雪夫多项式时。新的界限被证明是尖锐的，例如，泽尼克圆多项式的程度$n$和方位角阶$m$时，$m=O(\sqrt{n})$通过使用显式表达式的连接系数平方的雅可比多项式评估为0。关键词：泽尼克圆多项式，圆盘多项式，径向导数，切比雪夫多项式，联系系数，盖根堡多项式。
2019-10-16 math.CA
The scaling properties and the multiple derivative of Legendre polynomials
本文研究了勒让德多项式Pn（x）的标度性质。我们证明了Pn（ax）（其中a是常数）可以展开为勒让德多项式Pn（x）或其重导数dkPn（x）/dxk之和，并导出了展开系数的一般表达式.此外，我们证明了多重导数dkPn（x）/dxk也可以表示为勒让德多项式的和，并得到了系数的递推关系.
2017-10-28 math.CA
Repeated derivatives of tanh, sech, ... and associated polynomials
像普通超越函数的重复导数的求值这样的基本问题可以通过使用特殊多项式和借用自组合分析的形式主义来有效地处理。受前人研究的启发，我们回顾了其他作者的研究结果，并对sec（.）的重复导数提出了一个补充的观点，tan（.）和双曲线对应物。
2019-07-28 math.CA
Certain Inequalities for the generalized polar derivative of a polynomial
Department of Mathematics, University of Kashmir（克什米尔大学数学系）
本文研究了多项式广义极导数的不等式，扩展了已知结果并估计了其最大模。
2026-01-18 math.CA math.CV
Representations for the parameter derivatives of some Koornwinder polynomials
1975年，Koornwinder利用经典的雅可比多项式给出了二元正交多项式的构造方法。在[5]中，作者介绍了由Koornwinder构造得到的Koornwinder多项式的一些新例子（另见[10]）。本文给出了某些Koornwinder多项式的参数导数的\begin{equation*} \frac{\partial P_{n,k}(λ;x,y)}{\partialλ} = \sum_{m=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{m}d_{n,j,m}P_{m,j}(λ;x,y) + \sum_{j=0}^{k}e_{n,j,k}P_{n,j}(λ;x,y) \end{equation*}形式，其中$λ$是参数，$0\leq k\leq n$ ; $n,k=0,1,2,...$，并给出了这些多项式的参数导数的正交性.
2016-02-28 math.CA
Sobolev orthogonal polynomials on the unit ball via outward normal derivatives
我们分析了一族相互正交多项式的单位球上的一个内积，其中涉及到向外正常的衍生物的领域。使用他们的表示球谐函数，代数和解析性质将推导出来。首先，我们推导出经典多元球多项式与Sobolev正交多项式族的显式联系公式。然后将得到范数和核的显式表示。最后，研究了相应的Christoffel函数的渐近性质.
2015-12-03 math.CA
On the higher derivatives of the inverse tangent function
本文给出了反正切函数高阶导数的显式表达式。更确切地说，我们研究的多项式，这是从arctan（x）的高阶导数。然后给出了这类多项式的生成函数、递推关系和一些特殊性质。连接到切比雪夫，斐波那契，卢卡斯和匹配多项式的建立。
2017-12-10 math.CA
Derivative Polynomials for tanh, tan, sech and sec in Explicit Form
双曲和三角正切、余切和正割的导数多项式以显式形式存在，其中系数以第二类斯特林数的形式给出。作为应用，计算了一些积分，并给出了多Γ函数的反射公式的显式表达式。
2010-05-28 math.CA math.CO
A truncated $\mathcal{V}$-fractional derivative in $\mathbb{R}^n$
利用六参数截断Mittag-Leffler函数，我们引入一个方便的截断函数来定义所谓的截断$\mathcal{V}$-分数阶导数型.在讨论了与该导数相关的一些性质之后，我们提出了向量值函数的导数，并定义了$\mathcal{V}$-分数雅可比矩阵，其性质允许我们说：多变量截断$\mathcal{V}$-分数导数类型，如这里提出的，推广了截断$\mathcal{V}$-分数导数类型，并且可以被扩展以获得截断$\mathcal{V}$-分数偏导数类型。作为应用，我们讨论并证明了与两个指标，即，证明了两个截断$\mathcal{V}$-分数阶偏导数型的可交换性，并提出了截断$\mathcal{V}$-分数阶Green定理.
2017-06-19 math.CA
Explicit expressions for a family of Bell polynomials and derivatives of some functions
本文首先归纳地建立了反正弦函数导数的显式公式，然后由这些显式公式导出了与平方函数有关的一族Bell多项式的显式，最后应用这些显式公式求出了某些初等函数导数的显式公式。
2014-05-11 math.CA math.CO math.NT
Multiple orthogonal polynomial ensembles of derivative type
Department of Mathematics, KTH Royal Institute of Technology（皇家理工学院数学系）
本文研究了多重正交多项式族的导数类型，证明了随机矩阵乘积和求和的特征值密度属于特定导数类型，并提供了多项式正交性的解决方案。
2026-02-16 math.CA math.PR
Which quartic polynomials have a hyperbolic antiderivative?
所有具有实零点的线性、二次或三次多项式都是具有实零点的多项式的导数。对于更高次的多项式，该陈述是错误的。特别地，不是每个具有实零点的四次多项式都是具有全部实零点的多项式的导数。本文给出了一个四次多项式是全实零点多项式的导数的充要条件。这个条件是一个涉及四次多项式零点的单一二次型不等式。
2019-04-17 math.CA
On mixed partial derivatives of modified Bernstein-Stancu polynomials for functions of several variables
本文研究在最小正则性条件下，利用修正 Bernstein 多项式对多变量函数二阶混合偏导数进行 $L_1$ 范数逼近的问题。
2024-06-28 math.CA math.PR
Stability of roots of polynomials under linear combinations of derivatives
令$T=α_0 I + α_1 D + ...+α_n D^n$，其中$D$是微分算子，$α_0\not= 0$，令$f$是具有大的最小根分离的无平方多项式。我们证明了$Tf$的根与由$-α_1/α_0$翻译的$f$的根接近。
2009-03-26 math.CA math.CV
On a $L^\infty$ functional derivative estimate relating to the Cauchy problem for scalar semi-linear parabolic partial differential equations with general continuous nonlinearity
在本文中，我们考虑了一个$L^\infty$功能导数估计的一阶空间导数的有界经典解$u:\mathbb{R}\times [0,T]\to\mathbb{R}$的柯西问题的标量半线性抛物型偏微分方程与连续非线性$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$和初始数据$u_0:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$的形式，\[ \sup_{x\in\mathbb{R}}|u_x (x , t)| \leq \mathcal{F}_t (f,u_0,u) \ \ \ \forall t\in [0,T] . \]这里$\mathcal{F}_t:\mathcal{A}_t\to\mathbb{R}$是一个功能定义在\textsection 1。通过构造一个序列$(f_n,0,u^{(n)})$，我们建立了函数导数估计是非平凡的，其中对于每个$n\in\mathbb{N}$，$u^{(n)}:\mathbb{R}\times [0,T]\to\mathbb{R}$是具有零初始数据和非线性$f_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$的柯西问题的解，并且对于$\sup_{x\in\mathbb{R}} |u_x^{(n)}(x,T)| \geq α>0$，具有\[ \lim_{n\to\infty} \left( \inf_{t\in [0,T]} \left…
2016-07-24 math.AP math.CA
Derivative polynomials and infinite series for squigonometric functions
本文提出通用框架递归确定平方三角函数导数的多项式，给出系数显式公式，并推导麦克劳林级数系数，还讨论全实数轴上任意容差的计算方法。
2025-03-25 cs.NA math.CA math.NA
On Mittag-Leffler d-orthogonal polynomials
本文给出了一个长期研究项目的第一个结果，该项目涉及构造具有Hahn性质的d-正交多项式。我们将表明，后一类可以通过扩展多项式作为序列元素的一阶导数的有限和来表征，并且我们将解释如何使用这种表征来构造哈恩经典d-正交多项式。在本文中，我们寻找解决方案的线性组合的两个连续元素的一阶导数的序列，通过考虑导算子和Delta（离散）操作。所得多项式分别构成一类特殊的Laguerre d-正交多项式和Mittag-Leffler多项式的推广。
2020-02-03 math.CA
Matrix orthogonal polynomials whose derivatives are also orthogonal
本文证明了导数也正交的矩阵正交多项式的一些特征，推广了标量情形下已知的一些特征。特别地，我们证明了相应的正交矩阵泛函的特征在于一个皮尔逊型方程的两个矩阵多项式的次数不大于大于2和1。给出了一般矩阵正交多项式序列的证明，不一定与厄米特泛函有关。然而，我们给出了几个例子，不可对角化正定重量矩阵满足皮尔逊型方程，这表明以前的结果是非平凡的，即使在正定的情况下。本文对满足皮尔逊型方程的一类矩阵泛函作了详细的分析，该方程的多项式的次数不大于大于2是标量的。我们刻画了这类Pearson型方程的特征，得到了一系列矩阵正交多项式，并证明了这些矩阵正交多项式即使在非厄米特情形下也满足一个二阶微分方程.最后，我们证明并改进了Duran和Grunbaum关于这类泛函在正定情形下平凡性的一个猜想，同时通过一些例子证明了非正定的Hermite泛函的非平凡性.
2006-03-15 math.CA
A Semicircle Law for Derivatives of Random Polynomials
设$x_1, \dots, x_n$是$n$独立同分布的随机变量，其均值为零，方差为单位，其余阶矩为有限。研究了根在$x_1, \dots, x_n$的随机多项式$p_n$。我们证明了对于固定为$n \rightarrow \infty$的$\ell \in \mathbb{N}$，$p_n^{}$的$(n-\ell)-$阶导数的行为类似于Hermite多项式：对于紧区间上的$x$，$${n^{\ell/2}} \frac{\ell!}{n!} \cdot p_n^{(n-\ell)}\left( \frac{x}{\sqrt{n}}\right) \rightarrow He_{\ell}(x + γ_n),$$其中$He_{\ell}$是$\ell-$阶概率者的Hermite多项式，$γ_n$是收敛到标准$\mathcal{N}(0,1)$高斯的随机变量，作为$n \rightarrow \infty$ .因此，当对一个随机多项式进行多次微分时，存在一个普遍现象：剩余的根遵循维格纳周期分布。
2020-05-20 math.CA math.PR
A note on parameter derivatives of classical orthogonal polynomials
计算了$\partial P_{n}(λ;z)}/\partialλ=\sum_{k=0}^{n}a_{nk}(λ)P_{k}(λ;z)$形式展开式中的系数，其中$P_{n}(λ;z)$是变量$z$的第$n$经典（广义Laguerre、Gegenbauer或Jacobi）正交多项式，$λ$是参数。本文所采用的方法与Fröhlich [积分变换Spec.Funct. 2（1994）253]和Koepf [积分变换Spec.Funct. 5（1997）69]的广义Laguerre和Gegenbauer多项式。
2010-11-16 math-ph math.CA math.MP
Continuity for the one-dimensional centered Hardy-Littlewood maximal operator at the derivative level
证明了从$W^{1,1}(\mathbb{R})$到$L^1(\mathbb{R})$的映射$f \mapsto (Mf)'$的连续性，其中$M$是中心Hardy-Littlewood极大算子.这解决了一个问题所提出的阿维尼翁，马德里和皮尔斯。
2021-09-20 math.CA
Zeros of a growing number of derivatives of random polynomials with independent roots
设$X_1,X_2,\ldots$是$\mathbb{C}$中独立同分布的随机变量，从概率测度$μ$中选取，定义了随机多项式$$ P_n(z)=(z-X_1)\ldots(z-X_n)\,. $$，证明了对任意满足$k \leq \log n / (5 \log\log n)$的序列$k = k(n)$，$P_n$的$k$阶导数的零点按同一测度$μ$渐近分布.这扩展了Kabluchko的工作，证明了$k = 1$的情况，以及Byun，Lee和Reddy证明了固定的$k$的情况。
2022-12-22 math.CA math.CV math.PR
Optimal $C^\infty$-approximation of functions with exponentially or sub-exponentially integrable derivative
我们讨论了Meyers-Serrin型的函数$b=b(t,x):\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$的光滑逼近的结果，收敛的能量的形式\[ \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}^n} w(t,x) φ\left(|Db(t,x)|\right)\mathrm{d} x \mathrm{d} t\,, \]其中$w>0$是一个合适的权函数，和$φ:[0,\infty)\to [0,\infty)$是一个凸函数与$φ(0)=0$具有指数或子指数增长性。
2022-08-02 math.AP math.CA
Complex zeros of Bessel function derivatives and associated orthogonal polynomials
University of Central Florida（中佛罗里达大学）；Chung-Ang University（中央大学）
本文构造以涉及贝塞尔导数 $J_ν'$ 零点的 Rayleigh 型和为矩的正交多项式，研究其递推与正交性并给出 Hankel 行列式公式，进而完善 $J_ν'$ 复零点数随 ν 变化的 Hurwitz 型定理。
2024-06-14 math.CA math.CV
A study on partial dynamic equation on time scales involving derivatives of polynomials
该研究在二维时间尺度框架下，推导了奇次幂多项式的时间尺度导数与特定点处多项式偏导数的关联恒等式，并借此统一阐释了有限差分、经典导数、q-导数等多种导数算子。
2024-09-18 math.AP math.CA
Derivatives of tangent function and tangent numbers
本文利用归纳法、FaadiBruno公式和复变函数论中的一些技巧，求出了正切函数、余切函数的高阶导数和正弦函数、余弦函数的幂的显式，得到了两个第二类Bell多项式对正弦函数、余弦函数的逐次导数的显式，给出了正弦函数的奇异恒等式，发现了正切数、Bernoulli数、Genocchi数、欧拉多项式在零点处的特殊值和黎曼ζ函数在偶数处的特殊值的显式公式和递推关系，并对正切函数的五种不同形式的高阶导数和正切、余切、正割、余割、双曲正切的导数多项式作了评述，和双曲余切函数。
2015-06-03 math.CA math.NT
Higher Derivatives of Airy Functions and of their Products
研究了闭型Airy函数高阶导数的计算问题。一般表达式的多项式已出现在明确的公式，这些衍生物的Gegenbauer多项式的特定值。利用终止超几何级数解决了Airy函数乘积的类似问题。
2018-05-05 math-ph math.CA math.MP
Smooth approximation of mappings with rank of the derivative at most $1$
证明了如果$f\in C^1(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n)$在$\mathbb{R}^n$中处处满足$\operatorname{rank} Df\leq m<n$，则$f$可由处处满足$\operatorname{rank} Dg\leq m$的$C^\infty$ -映射$g$一致逼近.虽然在一般情况下，有反例，这个猜想，我们证明，答案是积极的，当$m=1$。更精确地说，如果$m=1$，我们的结果得到局部Lipschitz映射$f:Ω\to\mathbb{R}^n$的几乎一致逼近，满足$\operatorname{rank} Df\leq 1$ a.e.，通过$C^\infty$ -将$g$与$\operatorname{rank} Dg\leq 1$映射，前提是$Ω\subset\mathbb{R}^n$是单连通的。近似的构造采用了度量空间的分析技术，包括度量树（$\mathbb{R}$ -树）理论。
2023-02-04 math.CA math.MG
The fractional derivative of the Dirac delta function and new results on the inverse Laplace transform of irrational functions
出于对异常扩散的研究，我们表明，复杂材料的记忆功能$M(t)$，他们的蠕变遵循幂律，$J(t)\sim t^q$与$q\in \mathbb{R}^+$，是狄拉克δ函数的分数阶导数，$\frac{\mathrm{d}^qδ(t-0)}{\mathrm{d}t^q}$与$q\in \mathbb{R}^+$。这导致发现$s^q$的逆拉普拉斯变换对于任何$q\in \mathbb{R}^+$是狄拉克δ函数$\frac{\mathrm{d}^qδ(t-0)}{\mathrm{d}t^q}$的分数阶导数。该结果与卷积定理相关联，使得计算$\frac{s^q}{s^α\mpλ}$的逆拉普拉斯变换成为可能，其中$α<q\in\mathbb{R}^+$是Rabotnov函数$\varepsilon_{α-1}(\pmλ, t)=t^{α-1}E_{α, α}(\pmλt^α)$的阶数$q$的分数导数。Rabotnov函数的$q\in \mathbb{R}^+$阶的分数阶导数$\varepsilon_{α-1}(\pmλ, t)$产生奇点，该奇点根据与双参数Mittag-Leffler函数的递归公式相关联的$q$的强度用狄拉克δ函数的有限数量的分数阶导数提取。
2020-06-08 math-ph math.CA math.MP
Time-dependent polynomials with one multiple root and new solvable dynamical systems
考虑了z变量中的含时一元多项式，它有N个不同的根，使得只有一个根的重数m>= 2.对于k = 1，2，N个根的k阶导数表示为多项式的前N个系数的j <= k阶导数和根本身的j <= k-1阶导数。这些关系被用来构造新的代数可解的一阶系统的常微分方程以及N体问题。多个例子可解的等值线（所有的解决方案是周期相同的周期）2和3体问题提供。
2018-08-01 math-ph math.CA math.DS
