Derivatives with respect to the order of the Legendre Polynomials
Bernard J. Laurenzi
给出了第一类勒让德多项式的导数关于这些多项式的阶的表达式。给出了四阶导数的显式表达式。
Expressions for the derivatives of the Legendre polynomials of the first kind with respect to the order of these polynomials are given. An explicit form for the fourth derivative is presented.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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The scaling properties and the multiple derivative of Legendre polynomials
本文研究了勒让德多项式Pn（x）的标度性质。我们证明了Pn（ax）（其中a是常数）可以展开为勒让德多项式Pn（x）或其重导数dkPn（x）/dxk之和，并导出了展开系数的一般表达式.此外，我们证明了多重导数dkPn（x）/dxk也可以表示为勒让德多项式的和，并得到了系数的递推关系.
Derivatives with respect to the degree and order of associated Legendre functions for $|z|>1$ using modified Bessel functions
表达式的衍生物相对于修改贝塞尔函数的顺序评估在整数阶和某些整表示的相关勒让德函数的模参数大于单位被用来计算导数的相关勒让德函数相对于它们的参数。对于第一类和第二类的相关联的勒让德函数，对于一般的复数阶数，关于阶数的导数在奇数半整数阶数处被评估，并且对于一般的复数阶数，关于阶数的导数在整数阶数处被评估。
On parameter derivatives of the associated Legendre function of the first kind (with applications to the construction of the associated Legendre function of the second kind of integer degree and order)
对于$m,n\in\mathbb{N}$，建立了第一类相关勒让德函数关于其次数$[\partial P_ν^{m}(z)/\partialν]_{ν=n}$及其阶数$[\partial P_{n}^μ(z)/\partialμ]_{μ=m}$的偏导数之间的关系。利用这种关系，从作者[R. Szmytkowski，J.Math.Chem.46（2009）231]。还导出了第二类整数阶Legendre函数$Q_{n}^{m}(z)$的几个新的表达式。
On the derivatives $\partial^{2}P_ν(z)/\partialν^{2}$ and $\partial Q_ν(z)/\partialν$ of the Legendre functions with respect to their degrees
我们提供了度导数$[\partial^{2}P_ν(z)/\partialν^{2}]_{ν=n}$和$[\partial Q_ν(z)/\partialν]_{ν=n}$的封闭形式表达式，其中$z\in\mathbb{C}$和$n\in\mathbb{N}_{0}$分别是第一类和第二类勒让德函数。对于$[\partial^{2}P_ν(z)/\partialν^{2}]_{ν=n}$，我们发现$$\displaystyle\frac{\partial^{2}P_ν(z)}{\partialν^{2}}\bigg|_{ν=n}=-2P_{n}(z)\textrm{Li}_{2}\frac{1-z}{2}+B_{n}(z)\ln\frac{z+1}{2}+C_{n}(z),$$，其中$\textrm{Li}_{2}[(1-z)/2]$是双对数函数，$P_{n}(z)$是Legendre多项式，而$B_{n}(z)$和$C_{n}(z)$是$n$次的$z$中的某些多项式.对于$[\partial Q_ν(z)/\partialν]_{ν=n}$和$z\in\mathbb{C}\setminus[-1,1]$，我们推导出了$$\displaystyle \frac{\partial Q_ν(z)}{\partialν}\bigg|_{ν=n}=-P_{n}(z)\textrm{Li}_{…
On the derivative of the associated Legendre function of the first kind of integer degree with respect to its order
研究了第一类整数次Legendre函数关于其阶数$\partial P_{n}^μ(z)/\partialμ$的导数。在推导和研究了$μ$任意复形的一般公式后，对非负整数$[\partial P_{n}^μ(z)/\partialμ]_{μ=\pm m}$进行了详细的讨论。应用所得结果得到了第二类整数阶Legendre函数$Q_{n}^{\pm m}(z)$的几个显式表达式。特别是，我们到达的公式推广到$Q_{n}^{\pm m}(z)$（$0\leqslant m\leqslant n$）的情况下，著名的Christoffel的第二类勒让德函数，$Q_{n}(z)$的表示。还评价了衍生物$[\partial^{2} P_{n}^μ(z)/\partialμ^{2}]_{μ=m}$、$[\partial Q_{n}^μ(z)/\partialμ]_{μ=m}$和$[\partial Q_{-n-1}^μ(z)/\partialμ]_{μ=m}$（均含有$m>n$）。
On Parameter Differentiation for Integral Representations of Associated Legendre Functions
对于相关勒让德函数用修正贝塞尔函数表示的整表示，我们证明了在积分符号下关于参数微分的合理性.有了这个理由，第一和第二类相关的勒让德函数的导数相对于程度评估在奇数半整数度，一般复杂的订单，和导数相对于订单评估在整数阶，一般复杂的程度。我们还讨论了由$f(z)=z/(\sqrt{z+1}\sqrt{z-1})$给出的复变函数$f:{\mathbb C}\setminus\{-1,1\}\to{\mathbb C}$的性质。
Some differentiation formulas for Legendre polynomials
在最近的一系列工作中，我们已经提供了一些明确的表达式的衍生物的第一类相关的勒让德函数关于其程度，$[\partial P_ν^{m}(z)/\partialν]_{ν=n}$，与$m,n\in\mathbb{N}$。在本通讯中，我们使用其中的一些表达式来获得几个，我们相信新的，明确的公式的衍生物$\mathrm{d}^{m}[P_{n}(z)\ln(z\pm1)]/\mathrm{d}z^{m}$，其中$P_{n}(z)$是勒让德多项式。
On the derivative of the associated Legendre function of the first kind of integer order with respect to its degree
在我们最近的作品[R。Szmytkowski，J.Phys.A39（2006）15147; corrigendum：40（2007）7819; addendum：40（2007）14887]，我们研究了第一类Legendre函数$P_ν(z)$关于其次数$ν$的导数。在目前的工作中，我们扩展了这些研究，并构建了几个表示的衍生物的第一类相关的勒让德函数，$P_ν^{\pm m}(z)$，关于程度$ν$，为$m\in\mathbb{N}$。首先，我们建立了$\partial P_ν^{\pm m}(z)/\partialν$的围道积分表示.然后，他们被用来推导Rodrigues型公式的$[\partial P_ν^{\pm m}(z)/\partialν]_{ν=n}$与$n\in\mathbb{N}$。其次，得到了$[\partial P_ν^{\pm m}(z)/\partialν]_{ν=n}$的一些封闭形式的表达式。这些结果被施加到找到几个表示，明确和罗德里格斯型，为相关的勒让德函数的第二种整数度和顺序，$Q_{n}^{\pm m}(z)$ ;明确表示是适合用于数值计算的目的，在各个地区的复杂$z$平面。最后，衍生物$[\partial^{2}P_ν^{m}(z)/\partialν^{2}]_{ν=n}$，$[\partial Q_ν^{m}(z)/\partialν]_{ν…
The parameter derivatives $[\partial^{2}P_ν(z)/\partialν^{2}]_{ν=0}$ and $[\partial^{3}P_ν(z)/\partialν^{3}]_{ν=0}$, where $P_ν(z)$ is the Legendre function of the first kind
我们推导出明确的表达式的参数导数$[\partial^{2}P_ν(z)/\partialν^{2}]_{ν=0}$和$[\partial^{3}P_ν(z)/\partialν^{3}]_{ν=0}$，其中$P_ν(z)$是第一类的勒让德函数。我们发现{displaymath} \frac{\partial^{2}P_ν(z)}{\partialν^{2}} \bigg|_{ν=0} =-2 \Li_{2} \frac{1-z}{2}，{displaystyle}其中$\Li_{2}z$是双对数（Schramkowski最近使用\emph{Mathematica}得出了此公式），{displaystyle} \frac{\partial^{3}P_ν(z)}{\partialν^{3}} \bigg|_{v =0} =12 \Li_{3} \frac{z+1}{2} -6 \ln \frac{z+1}{2} \Li_{2} \frac{z+1}{2} -π^{2} \ln \frac{z+1}{2} -12 <$（3），{displaystyle}其中$\Li_{3}z$是3阶的多重对数，$ζ(s)$是黎曼zeta函数。
On the nonoscillatory phase function for Legendre's differential equation
本文通过将Legendre微分方程的复解表示为振荡指数函数与非振荡初等函数的积分乘积，证明了该方程存在非振荡相函数，并推导了用于大阶Legendre函数和其非振荡相函数导数的渐近展开。
Generating Functions for Lacunary Legendre and Legendre-like Polynomials
不同性质的操作方法的使用被证明是一个相当强大的工具来研究不同的问题，关于理论的勒让德和勒让德样多项式。我们展示了如何使用著名的整表示连接Hermite和Legendre多项式和操作技术允许新的性质，有关的生成函数，无理函数的重复导数等的推导.最后，我们推广的积分变换的方法，多个变量的功能，并得出一个给定的函数的勒让德多项式的新的扩展准则.
On conformable fractional Legendre polynomials and their convergence properties with applications
本文的主要目的是对共形分数阶勒让德多项式（CFLP）进行广泛的研究。这项研究被认为是一个推广和细化，在一个简单的方式，标量的情况下，到上下文中的一致分数微分。我们通过不同的生成函数引入CFLP，并给出了它们的一些主要性质和收敛结果。随后，我们得到了CFLP的一些纯递推关系和微分递推关系，Laplace的首次积分公式和正交性质。在此基础上，我们提出了移位CFLP，并描述了用配置法求解某些分数阶微分方程（FDE）的一致导数意义下的实用格式。一些有用的例子FDES处理支持我们的理论结果和检查他们的精确解。据我们所知，所得结果是新的，可以丰富特殊函数的分式理论。
A simple derivation of the integrals of products of Legendre polynomials with logarithmic weight
该研究针对带对数权的勒让德多项式乘积积分问题，给出了阶数为m、n的勒让德多项式对应区间[0,1]上含对数权乘积积分的简单推导方法。
Generalizations of an integral for Legendre polynomials by Persson and Strang
Ewesson和Strang（2003）计算了平方奇数次勒让德多项式除以x^2的[-1，1]上的积分等于2。我们考虑了正交多项式关于一般偶正交测度的类似积分，Gegenbauer和Hermite多项式作为显式特殊情况。接下来，经过二次变换，我们被引导到一般的非对称的情况下，雅可比和Laguerre多项式作为显式的特殊情况。在这种情况下，也会出现不确定求和的例子。本文的结论与哈恩多项式的早期结果的推广。为了达到相对较好的明确评价，必须进行一些调整。
Asymptotic expansions for solutions of differential equations having coalescing turning points, with an application to Legendre functions
本文研究了具有两个汇合转向点的线性二阶常微分方程在实参数取大值时的解，得到了以抛物柱函数表示的一致渐近展开及显式误差界，并应用于推导阶数和序均很大时连带 Legendre 函数的新渐近展开。
On Polar Legendre Polynomials
本文引入一类新的多项式$\{P_{n}\}$，我们称之为极勒让德多项式，它们表现为具有$n+1$单位质量的力场平衡位置的高斯反问题的解.本文研究了这类多项式的代数、微分和渐近性质，这类多项式关于一个微分算子和一个离散连续的Sobolev型内积同时正交.
BesselK Derivatives with respect to Order at one half
第二类修正Bessel函数在s = .5时的阶导数作为积分的有限表达式得到，该积分推广了出现在一阶导数中的指数积分（定理1）。导数是在研究贝塞耳K与黎曼ζ函数的关系时产生的。任何使用的术语，导数，相对于贝塞尔函数，在这里意味着导数相对于其阶。
Derivatives with respect to the order of the Bessel function of the first kind
给出了贝塞尔函数$J_ν(z)$关于其阶数$ν$的k阶导数的显式表达式。考虑了$ν$阳性或阴性病例的特殊情况。
Closed form expressions for derivatives of Bessel functions with respect to the order
我们已经使用最近的整表示的导数的贝塞尔函数的顺序，以获得封闭形式的表达式广义超几何函数和Meijer- $G$功能。此外，我们已经进行了类似的计算的修改贝塞尔函数的导数的顺序，获得封闭形式的表达式以及。为此，我们得到了修正Bessel函数的导数关于阶的整表示。作为副产品，我们已经计算了两个非列表积分。
An Identity Involving Integration with Respect to Variable Order of Fractional Derivative
1993年，Samko和Ross介绍了阶不是常数而是函数时的分数阶积分和微分的研究。这一建议引起了一些进一步的想法和结果。特别地，这意味着关于导数阶的积分的可能性。这里的身份，其中涉及黎曼-刘维尔分数阶导数的表达式是集成的导数的顺序。
Sparse Legendre expansions via $\ell_1$ minimization
研究从少量随机样本中恢复关于勒让德多项式基稀疏的多项式，通过验证预处理随机勒让德矩阵的受限等距性质，证明了ℓ1最小化方法可以高效恢复，并推广到雅可比多项式等正交多项式系统及无限维函数空间的近似恢复。
q-derivatives of multivariable q-hypergeometric function with respect to their parameters
本文研究Srivastava和Daoust基本多元超几何函数关于参数的q-导数。这个函数包含了一个整数的各种q-超几何级数的一个和几个变量。对于一般情况下的和指数具有正实系数，给出了显式方程。作为例子，给出了非合流Horn型超几何函数的q-模拟的导数$H_3$.
On the $n$-th derivative and the fractional integration of Bessel functions with respect to the order
得到了贝塞尔函数的$n$阶导数关于阶数的整表示。这些表达式的数值计算是非常有效的使用双指数积分策略。另外，从Macdonald函数对应的整表示中，我们计算了一个新的积分。最后，我们计算了Bessel函数的分数阶导数关于阶数的整式。对文献中给出的某些特殊情况也给出了简单的证明。
A derivative concept with respect to an arbitrary kernel and applications to fractional calculus
本文提出了关于任意核函数的导数的新概念。研究了与这种新算子有关的若干性质，如反演规则、分部积分法等。特别是，我们引入的共轭核的概念，这将是有用的保证，建议的导数算子承认一个右逆。所提出的概念包括作为特殊情况的Riemann-Liouville分数阶导数，Hadamard分数阶导数和许多其他分数阶算子。此外，利用我们的概念，引入了涉及某些特殊函数的新的分数次算子，并研究了它们的一些性质。最后，证明了涉及所引入的导算子的边值问题的存在性结果。
A Caputo fractional derivative of a function with respect to another function
本文考虑了一类关于另一函数的Caputo型分数阶导数.研究了半群律、分数次导数与分数次积分的关系、泰勒定理、费马大定理等性质。此外，一个数值方法来处理这样的运营商，包括在近似的分数阶导数的总和，取决于一阶导数，提出。通过实例说明了该方法的有效性和适用性。最后，分数阶导数的应用，通过考虑人口增长模型，并表明我们可以更准确地使用不同的内核的分数算子的过程建模。
Derivatives of Srivastava's hypergeometric functions with respect to their parameters
本文研究了Srivastava三重超几何函数对其参数的导数，推导了显式公式和多种微分关系，扩展了经典和多变量超几何函数的微分公式，为数学物理和工程应用提供了新工具。
The partial derivative of Okamoto's functions with respect to the parameter
自2005年引入以来，Okomoto函数作为$x$函数的单参数族的可微性已经被广泛分析。作为一个类似的调查，在本文中，我们考虑的偏导数Okomoto的函数的参数$a$。我们把一个显着的重点放在$a = 1/3$来描述无处可微函数$K(x)$的无限导数的点集产生的一个例子的测量零集豪斯多夫维数$1$的属性。
Multi-integral representations for Jacobi functions of the first and second kind
该研究将雅可比多项式与第二类雅可比函数推广为指标可取复数的雅可比函数，按解析延拓来源分为两类，借助高斯超几何函数性质推导了两类雅可比函数的多重导数与多重积分表示。
Harmonic analysis of little $q$-Legendre polynomials
本文研究 little $q$-Legendre 多项式的调和分析，利用 Fourier 变换与连分数等工具证明其 $L^1$-代数具有弱顺从性与右特征顺从性但不顺从，提供了首个此类多项式超群实例。
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