A boundary-value problem for a mixed type equation involving hyper-Bessel fractional differential operator and Hilfer's bi-ordinal fractional derivative
在矩形区域上，考虑一类混合型方程的边值问题，该方程具有超Bessel微分算子的正则化Caputo-like对应项和双序Hilfer分数阶导数.利用分离变量法，拉普拉斯变换，所考虑的问题的一个唯一的可解性已被建立。此外，我们还找到了一类具有双序Hilfer导数和超Bessel微分算子的正则化Caputo-like对应物的非零起点微分方程初值问题的显式解.
2021-07-15 math-ph math.AP math.CA
Fractional Differential Equations Involving Caputo Fractional Derivative with Mittag-Leffler Non-Singular Kernel: Comparison Principles and Applications
本文研究了具有$0<α<1.$阶Mittag-Leffler非奇异核的含有Caputo分数阶导数的线性和非线性分数阶微分方程.首先得到了函数在极值点处的分数阶导数的一个新的估计，并得到了线性分数阶微分方程解存在的一个必要条件.所得到的充分条件确定了相应的分数阶初值问题的初始条件。然后，我们推导出比较原则的线性分式方程。应用这些原理得到了线性方程解的范数估计和非线性方程解的唯一性结果。我们还得到了非线性方程的解的上下界上界。通过几个例子说明了新结果的适用性。
2017-10-10 math.CA
Higher derivatives of the inverse tangent function and a summation formula involving binomial coefficients
2017年，O. Deiser和C. Lasser给出了反正切函数的$n$阶导数的显式表达式.我们根据Faà di Bruno的公式用不同的方法计算这个导数。比较这两个结果，得出二项式系数的以下恒等式：$$\sum_{i=m}^{[n/2]}\frac{(-1)^i}{4^i}\binom{i}{m}\binom{n-i}{i}=\frac{(-1)^m}{2^n}\binom{n+1}{2m+1},$$，其中$n,m\in \mathbb{N}_0$和$m\leq [n/2]$。正如C. Krattenthaler，这个公式是Gaussel的超几何函数$_2F_1$的公式的特殊情况。
2018-10-19 math.CA
Eight interesting identities involving the exponential function, derivatives, and Stirling numbers of the second kind
本文建立了函数$\frac1{(1-e^{\pm t})^k}$及其导数$\bigl(\frac1{e^{\pm t}-1}\bigr)^{(i)}$可以用第二类组合数和Stirling数的系数线性组合表示的恒等式，其中$t\ne0$和$i,k\in\mathbb{N}$ .
2012-02-09 math.CA math.CO math.NT
Generalized Taylor formulas involving generalized fractional derivatives
本文建立了给定函数$f$的广义泰勒展开式，其形式为$\displaystyle{f(x) = \sum_{j=0}^m c_j^{α,ρ}\left(x^ρ-a^ρ\right)^{jα} + e_m(x)}$ \noindent，其中有$m\in \mathbb{N}$，$c_j^{α,ρ}\in \mathbb{R}$，$x>a$和$0< α\leq 1$ .在$ρ= α= 1$的情况下，该表达式与经典的泰勒公式一致。系数$c_j^{α,ρ}$、$j=0,\dots,m$以及$e_m(x)$的估计是根据广义Caputo型分数阶导数给出的。举例说明了这些结果在函数逼近和解级数形式的分数阶微分方程中的应用。
2017-12-13 math.CA
On a problem of Mazur from "The Scottish Book" concerning second partial derivatives
本文讨论了"苏格兰书"中关于二阶偏导数的一个Mazur问题。证明了：若定义在矩形上的实变函数$f(x,y)$关于$y$有连续导数，且对几乎所有的$y$，函数$\,F_y(x):=f'_y(x,y)$有有限变差，则在矩形上几乎处处存在偏导数$f"_{yx}$.本文构造了一个二次可微函数，其偏导数$f'_x$在正测度集上关于第二个变量是不连续的。这解决了马祖尔问题的负面影响。
2016-01-14 math.CA math.GN
The partial derivative of Okamoto's functions with respect to the parameter
自2005年引入以来，Okomoto函数作为$x$函数的单参数族的可微性已经被广泛分析。作为一个类似的调查，在本文中，我们考虑的偏导数Okomoto的函数的参数$a$。我们把一个显着的重点放在$a = 1/3$来描述无处可微函数$K(x)$的无限导数的点集产生的一个例子的测量零集豪斯多夫维数$1$的属性。
2021-11-17 math.CA
Discreet Solutions for Matrix Systems in Partial Derivatives Hyperbolic and Singular
本文研究一类强耦合双曲型偏微分方程组离散解的构造。在构造过程中，采用了离散分离基变量的方法。得到了两个独立的差分方程：一个是奇异矩阵问题，另一个是Sturm-Liouville向量问题，利用叠加原理得到了稳定的离散解.
2011-04-06 math.CA
Lyapunov type inequality for fractional differential equation with k-Prabhakar derivative
本文对含k-Prabhakar分数阶导数的分数阶边值问题建立了一类李雅普诺夫型不等式.
2017-02-06 math.CA
Homoclinic Solution to Zero of a Non-autonomous, Nonlinear, Second Order Differential Equation with Quadratic Growth on the Derivative
本文针对导数具有二次增长的非自治非线性二阶微分方程，应用Galerkin方法结合Strauss逼近求得正的、光滑的偶同宿于零的弱解，并研究了解的正则性及对参数的依赖关系。
2024-06-03 math-ph math.AP math.CA
Some inequalities for partial derivatives on time scales
首先证明了时间尺度上函数合成的几个加权不等式，然后应用这些不等式建立了几个新的多元动态Opial型不等式.一些推广和应用偏微分动力方程也被认为是。
2016-05-19 math.CA math.DS
Lyapunov type inequality for hybrid fractional differential equation with Prabhakar Derivative
本文对含有Prabhakar分数阶导数的混合分数阶边值问题建立了一个李雅普诺夫型不等式。
2016-09-10 math.CA
An explicit formula of the parameter dependence of de partial derivatives of the Green's functions related to arbitrary two-point boundary conditions
本文推导了格林函数偏导数对参数依赖的显式积分公式，并据此简化了其常符号单调性证明，改进了现有结果，且方法可推广至非局部条件及偏/分数阶微分方程。
2024-05-27 math.CA
About estimations of difference for the partial integro-differential equation with small parameter at the leading derivative
本文研究了二阶偏积分微分方程的奇摄动问题。得到了Cauchy问题解的估计。
2006-01-20 math.CA math.DS
Hartman-Wintner-type inequality for fractional differential equations with k-Prabhakar derivative
对一类含k-Prabhakar分数阶导数的非局部分数阶边值问题建立了Hartman-Wintner型不等式.
2022-08-17 math.CA
Inequalities in approximation theory involving fractional smoothness in $L_p$, $0<p<1$
本文研究了$L_p$，$0<p<1$中涉及Weyl和Liouville-Grünwald导数的最佳三角逼近和分数阶光滑模的不等式.将已知的不等式推广到光滑性参数的整个范围，并得到了几个新的不等式。作为应用，导出了涉及光滑模$ω_β(f^{(α)},δ)_p$的逼近论的正逆定理，其中$f^{(α)}$是函数$f$的分数阶导数.给出了具有分数阶光滑模的最优下降率的函数类的一个刻划。
2018-11-08 math.CA
The equality of mixed partial derivatives under weak differentiability conditions
我们回顾和发展了两个鲜为人知的结果，混合偏导数的平等，可以被认为是最好的结果，迄今为止，在各自的领域。前者是由米库西茨基和他的学派提出的，讨论的是某一特定点上的平等，而后者是由托尔斯泰提出的，讨论的是几乎处处的平等。微分几何和广义相对论的应用进行了评论。
2014-05-07 math.CA math.HO
On mixed partial derivatives of modified Bernstein-Stancu polynomials for functions of several variables
本文研究在最小正则性条件下，利用修正 Bernstein 多项式对多变量函数二阶混合偏导数进行 $L_1$ 范数逼近的问题。
2024-06-28 math.CA math.PR
The parameter derivatives $[\partial^{2}P_ν(z)/\partialν^{2}]_{ν=0}$ and $[\partial^{3}P_ν(z)/\partialν^{3}]_{ν=0}$, where $P_ν(z)$ is the Legendre function of the first kind
我们推导出明确的表达式的参数导数$[\partial^{2}P_ν(z)/\partialν^{2}]_{ν=0}$和$[\partial^{3}P_ν(z)/\partialν^{3}]_{ν=0}$，其中$P_ν(z)$是第一类的勒让德函数。我们发现{displaymath} \frac{\partial^{2}P_ν(z)}{\partialν^{2}} \bigg|_{ν=0} =-2 \Li_{2} \frac{1-z}{2}，{displaystyle}其中$\Li_{2}z$是双对数（Schramkowski最近使用\emph{Mathematica}得出了此公式），{displaystyle} \frac{\partial^{3}P_ν(z)}{\partialν^{3}} \bigg|_{v =0} =12 \Li_{3} \frac{z+1}{2} -6 \ln \frac{z+1}{2} \Li_{2} \frac{z+1}{2} -π^{2} \ln \frac{z+1}{2} -12 <$（3），{displaystyle}其中$\Li_{3}z$是3阶的多重对数，$ζ(s)$是黎曼zeta函数。
2013-01-28 math-ph math.CA math.MP
On the derivatives $\partial^{2}P_ν(z)/\partialν^{2}$ and $\partial Q_ν(z)/\partialν$ of the Legendre functions with respect to their degrees
我们提供了度导数$[\partial^{2}P_ν(z)/\partialν^{2}]_{ν=n}$和$[\partial Q_ν(z)/\partialν]_{ν=n}$的封闭形式表达式，其中$z\in\mathbb{C}$和$n\in\mathbb{N}_{0}$分别是第一类和第二类勒让德函数。对于$[\partial^{2}P_ν(z)/\partialν^{2}]_{ν=n}$，我们发现$$\displaystyle\frac{\partial^{2}P_ν(z)}{\partialν^{2}}\bigg|_{ν=n}=-2P_{n}(z)\textrm{Li}_{2}\frac{1-z}{2}+B_{n}(z)\ln\frac{z+1}{2}+C_{n}(z),$$，其中$\textrm{Li}_{2}[(1-z)/2]$是双对数函数，$P_{n}(z)$是Legendre多项式，而$B_{n}(z)$和$C_{n}(z)$是$n$次的$z$中的某些多项式.对于$[\partial Q_ν(z)/\partialν]_{ν=n}$和$z\in\mathbb{C}\setminus[-1,1]$，我们推导出了$$\displaystyle \frac{\partial Q_ν(z)}{\partialν}\bigg|_{ν=n}=-P_{n}(z)\textrm{Li}_{…
2017-07-08 math.CA
Green's Theorem for Generalized Fractional Derivatives
本文研究了三类广义部分分式算子。通过考虑具有更一般核的分数阶偏导数，证明了格林定理的一个推广。即使在广义算子化为标准的Riemann-Liouville或Caputo意义下的分数次偏导数和分数次积分的特殊情况下，也得到了新的结果.
2012-10-26 math.CA
On the derivative of the associated Legendre function of the first kind of integer degree with respect to its order
研究了第一类整数次Legendre函数关于其阶数$\partial P_{n}^μ(z)/\partialμ$的导数。在推导和研究了$μ$任意复形的一般公式后，对非负整数$[\partial P_{n}^μ(z)/\partialμ]_{μ=\pm m}$进行了详细的讨论。应用所得结果得到了第二类整数阶Legendre函数$Q_{n}^{\pm m}(z)$的几个显式表达式。特别是，我们到达的公式推广到$Q_{n}^{\pm m}(z)$（$0\leqslant m\leqslant n$）的情况下，著名的Christoffel的第二类勒让德函数，$Q_{n}(z)$的表示。还评价了衍生物$[\partial^{2} P_{n}^μ(z)/\partialμ^{2}]_{μ=m}$、$[\partial Q_{n}^μ(z)/\partialμ]_{μ=m}$和$[\partial Q_{-n-1}^μ(z)/\partialμ]_{μ=m}$（均含有$m>n$）。
2008-03-27 math-ph math.CA math.MP
On parameter derivatives of the associated Legendre function of the first kind (with applications to the construction of the associated Legendre function of the second kind of integer degree and order)
对于$m,n\in\mathbb{N}$，建立了第一类相关勒让德函数关于其次数$[\partial P_ν^{m}(z)/\partialν]_{ν=n}$及其阶数$[\partial P_{n}^μ(z)/\partialμ]_{μ=m}$的偏导数之间的关系。利用这种关系，从作者[R. Szmytkowski，J.Math.Chem.46（2009）231]。还导出了第二类整数阶Legendre函数$Q_{n}^{m}(z)$的几个新的表达式。
2009-10-23 math-ph math.CA math.MP
On the derivative of the associated Legendre function of the first kind of integer order with respect to its degree
在我们最近的作品[R。Szmytkowski，J.Phys.A39（2006）15147; corrigendum：40（2007）7819; addendum：40（2007）14887]，我们研究了第一类Legendre函数$P_ν(z)$关于其次数$ν$的导数。在目前的工作中，我们扩展了这些研究，并构建了几个表示的衍生物的第一类相关的勒让德函数，$P_ν^{\pm m}(z)$，关于程度$ν$，为$m\in\mathbb{N}$。首先，我们建立了$\partial P_ν^{\pm m}(z)/\partialν$的围道积分表示.然后，他们被用来推导Rodrigues型公式的$[\partial P_ν^{\pm m}(z)/\partialν]_{ν=n}$与$n\in\mathbb{N}$。其次，得到了$[\partial P_ν^{\pm m}(z)/\partialν]_{ν=n}$的一些封闭形式的表达式。这些结果被施加到找到几个表示，明确和罗德里格斯型，为相关的勒让德函数的第二种整数度和顺序，$Q_{n}^{\pm m}(z)$ ;明确表示是适合用于数值计算的目的，在各个地区的复杂$z$平面。最后，衍生物$[\partial^{2}P_ν^{m}(z)/\partialν^{2}]_{ν=n}$，$[\partial Q_ν^{m}(z)/\partialν]_{ν…
2009-07-18 math-ph math.CA math.MP
On inequalities between norms of partial derivatives on convex domains
本文研究凸区域上边界为零的二元凹函数偏导数 $L_p$-范数比值的有界性问题，证明了 $p=1$ 时比值始终有界并给出精确估计，而 $p>1$ 时结论依赖于区域几何。
2025-05-02 math.CA math.FA math.OC
On a sampling expansion with partial derivatives for functions of several variables
令$B^p_σ$、$1\le p<\infty$、$σ>0$表示所有$f\in L^p(\mathbb{R})$的空间，使得$f$的傅立叶变换（在分布的意义上）在$[-σ,σ]$之外消失。经典采样定理指出，每个$f\in B^p_σ$可以从其在由$π/σ$间隔的等间距采样点$\{πm/σ\}_{m\in\mathbb{Z}} $处的采样值精确地重建。如果我们知道$f(θπm/σ) $和$f'(θπm/σ)$，$m\in\mathbb{Z}$，则还可以从具有特定$1< θ\le 2$的采样点$\{πθm/σ\}_m $处的采样值进行重构。本文给出了多元函数的抽样级数。这些级数包含函数及其偏导数的样本。
2019-08-16 math.CA math.CV
