A Gross-Kohnen-Zagier theorem for non-split Cartan curves
设$p$为素数，$E/\mathbb{Q}$为导体$p^2$的椭圆曲线，其解析秩为奇.我们证明了它的特殊点的位置所产生的非分裂Cartan曲线和虚二次域$p$是惰性的编码在Jacobi形式的权重$6$和格指数的秩$9$的傅里叶系数，得到类似的结果Gross，Kohnen和Zagier。
2019-11-23 math.NT
Heegner points on Cartan non-split curves
令$E$是导体$N$的椭圆曲线，并且令$K$是虚二次域，使得$E/K$的根数是$-1$。设$O$是$K$中的一个序，并假设存在一个奇素数$p$，使得$p^2 \mid\mid N$，且$p$在$O$中是惰性的。虽然$X_0(N)$上没有Heegner点附着在$O$上，但在本文中，我们在Cartan非分裂曲线上构造了这样的点。为了做到这一点，我们给出了一种方法来计算的Cartan非分裂曲线的形式的傅立叶展开，并证明了构造的点形成一个Heegner系统在经典的情况下。
2015-08-28 math.NT
Cuspidal divisor class groups of non-split Cartan modular curves
我发现一个明确的描述模块化单位的西格尔功能的模曲线$X^+_{ns}(p^k)$相关的正规化的非分裂Cartan子群的水平$p^k$其中$p\not=2,3$是一个素数。$X^+_{ns}(p^k)$上的尖点除子类群$\mathfrak{C}^+_{ns}(p^k)$被明确地描述为群环$R = \mathbb{Z}[(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^*/\{\pm 1\}]$上的模。本文给出了$|\mathfrak{C}^+_{ns}(p^k)|$的一个含广义Bernoulli数$B_{2,χ}$的公式.
2016-05-02 math.NT
Double Covers of Cartan Modular Curves
给出了一种策略，得到了分别与$\text{GL}_2(\mathbb F_{p})$的可裂和非可裂Cartan子群相关联的模复盖的显式方程，其中$p$是素数.然后将其成功地应用于水平$13$的情况。
2017-08-31 math.NT
Quadratic Points on Non-Split Cartan Modular Curves
本文研究了非分裂Cartan模曲线$X_{ns}(p)$上的二次点，其中包括$p = 7, 11,$和$13$ .最近，Siksek证明了$X_{ns}(7)$上的所有二次点都是$X_{ns}^+(7)$上有理点的回调。使用类似的技术$p=11$，并采用一个版本的Chabauty的对称功率曲线的$p=13$，我们表明，同样适用于$X_{ns}(11)$和$X_{ns}(13)$。作为结果，我们证明了某些类的椭圆曲线在二次域是模。
2021-05-13 math.NT
Residual Galois representations of elliptic curves with image contained in the normaliser of a non-split Cartan
已知如果$p>37$是素数并且$E/\mathbb{Q}$是没有复数乘法的椭圆曲线，则$E$的mod $p$伽罗瓦表示$$ \barρ_{E,p}:\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\rightarrow \operatorname{GL}(E[p]) $$的像是$\operatorname{GL}(E[p])$的整体，或者是$\operatorname{GL}(E[p])$的非分裂Cartan子群的正规化子中的\emph{contained}。在本文中，我们表明，当$p>1.4\times 10^7$，图像的$\barρ_{E,p}$是$\operatorname{GL}(E[p])$，或\emph{full}正规化的非分裂的Cartan子群。我们用它来证明下面的结果，部分解决了Najman的问题。对于$d\geq 1$，令$I(d)$表示素数集合$p$，对于该素数集合，存在定义在$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线，并且不允许在次数为$\leq d$的数域上定义次数为$p$的复数乘法。我们表明，对于PDMATHBNA，我们有$$ I(d)=\{p\text{ prime}:p\leq d-1\}. $$
2020-10-12 math.NT
Explicit p-adic Hodge theory for elliptic curves and non-split Cartan images
Adam Mickiewicz University（亚当·密茨凯维奇大学）；Sorbonne Université, CNRS, IMJ-PRG（索邦大学，法国国家科学研究中心，IMJ-PRG）；Università di Pisa（比萨大学）
利用p进Hodge理论分类椭圆曲线E/Q_p的p进Galois像，特别关注潜在超奇异约化情形，给出从Weierstrass模型确定滤波(φ,Gal(K/Q_p))-模的算法，并推导全局结论。
2026-06-08 math.NT
Serre's uniformity problem in the split Cartan case
证明了存在一个整数p_0，使得对任意素数p>p_0，X_split（p）（Q）由尖点和CM-点组成。等价地，对Q上的任意非CM椭圆曲线E和任意素数p>p_0，由E的p-整除点上的伽罗瓦作用诱导的伽罗瓦表示的像不包含在分裂Cartan子群的正规化子中.这给了塞尔的一个老问题的部分答案。
2009-03-03 math.AG math.NT
Arithmetic intersections on non-split Cartan modular curves
研究非分裂Cartan模曲线上的算术交集，当素数p不分解时，确定相应除子在所有有限素数处的交集数，关键在于分析p处的不良缩减。
2026-04-08 math.NT
Explicit Chabauty-Kim for the Split Cartan Modular Curve of Level 13
我们扩展显式二次Chabauty方法在以前的工作中开发的前两个作者的情况下，非超椭圆曲线。这导致一个算法来计算曲线上的有理点亏格$g \ge 2$在有理数的雅可比矩阵具有Mordell-Weil秩$g$和Picard数大于1，并满足一些额外的条件。然后将该算法应用于模曲线$X_{s}(13)$上，完成了$\mathbf{Q}$上非CM椭圆曲线的分类，由于Bilu-Parent和Bilu-Parent-Rebolledo的存在，使其具有分裂Cartan水平结构.
2017-11-15 math.AG math.NT
Equationless quadratic Chabauty for non-split Cartan modular curves
University of Colorado, Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）；Università di Roma Tor Vergata（罗马托尔维加塔大学）；Università di Pisa（比萨大学）；Trinity College Dublin（都柏林三一学院）；Université de Bordeaux（波尔多大学）
本文针对素数级N≥13的非分裂Cartan模曲线$X_{\rm{ns}}^+(N)$，提出一种无方程的二次Chabauty方法，结合除子算术算法，成功重新推导了$X_{\rm{ns}}^+(13)$的有理点集合。
2026-08-12 math.AG math.NT
Non-split Cartan curves and a characterization of fake elliptic curves
Universitat Oberta de Catalunya（加泰罗尼亚开放大学）
该文针对虚二次域上的无潜在CM且L-函数为平方的阿贝尔曲面，结合非分裂Cartan模曲线的二次点研究，给出了其具有四元数乘法的刻画条件，部分情形为无条件结论。
2026-09-07 math.AG math.NT
An explicit correspondence of modular curves
在本文中，我们回顾了另一种证明Merel猜想断言，一定明确的对应关系给出了与分裂和非分裂Cartan子群的正规化子相关的Jacobian之间的等距关系。这种替代的证明不需要广泛的表示论，并且可以用某些有限几何模$\ell$来公式化。其次，我们推广这些参数表现出明确的对应关系，给出了分裂和非分裂Cartan子群的雅可比行列式之间的同构关系。一个有趣的特点是，所需的显式对应是相当复杂的，但可以表示为一定的线性组合的双陪集运营商的系数，我们能够使明确的。
2018-01-11 math.NT
Rational points on the non-split Cartan modular curve of level 27 and quadratic Chabauty over number fields
本文针对27级非分裂Cartan子群正规化子这一3进伽罗瓦像分类的唯一遗留问题，发展数域上模曲线的二次Chabauty方法，结合局部高度分析确定相关模曲线有理点，完成非复乘椭圆曲线3进伽罗瓦像分类。
2025-01-14 math.AG math.NT
Semistable reduction of modular curves associated with maximal subgroups in prime level
我们完成了与$\mathrm{GL}_2 ({\mathbb F}_p )$的极大子群相关的模曲线的半稳定模型的描述（对于$p$的任何素数，$p>5$）。也就是说，在非分裂Cartan模曲线和例外子群的新情况下，我们确定了约化模$p$的不可约分支和奇点，以及在奇点处的完全局部环。我们回顾了分裂Cartan模曲线的情况。这种描述足以计算雅可比矩阵的Néron模型的$p$处的纤维连通分量群。
2021-07-16 math.NT
Automorphisms of Cartan modular curves of prime and composite level
研究了$\mathrm{GL}_2(\mathbb Z/n\mathbb Z)$的Cartan子群及其正规化子的子群所对应的模曲线的自同构.证明了当$n$足够大时，所有的自同构都是由复上半平面的分歧覆盖诱导的。对素数水平$p\ge 13$的非分裂曲线得到了新的结果：曲线$X_{\text{ns}}^+(p)$没有非平凡自同构，而曲线$X_{\text{ns}}(p)$只有一个非平凡自同构.此外，作为我们的结果的直接后果，我们计算的自同构群的$X_0^*(n):=X_0(n)/W$，其中$W$是由Atkin-Lehner对合生成的$X_0(n)$和$n$是一个足够大的广场。
2021-08-07 math.NT
The geometry of the unipotent component of the moduli space of Weil-Deligne representations
本文研究分裂约化群G中幂单Weil-Deligne表示的模空间，刻画其光滑不可约分支，并应用光滑性结果证明某类普通自守形式空间是相应全局变形环上的局部一般自由模。
2025-10-16 math.NT
An unexpected trace relation of CM points
设$E/\mathbb{Q}$是导体$N=p^2M$的椭圆曲线，其中$p$是不整除$M$的奇素数。设$\mathcal{O}_f$是导体$f$（与$N$互质）在虚二次域$K$中的阶，其中$p$是惰性的，并且使得$E/K$的函数方程的符号是$-1$。与这些数据相关联的是在$p$处的非分裂Cartan能级的Shimura曲线和在其上的导体$f$的CM点。我们也可以考虑在另一条Shimura曲线上的导体$pf$的CM点，使用在$p$处的分裂Cartan能级。这些曲线允许参数化$E$和采取CM点的图像，我们得到的点分别定义在$H_f$和$H_{pf}$上的$E$（导体$f$和$pf$的环类字段）。我们证明了这些点所产生的不同的志村曲线满足迹兼容性是非平凡的当且仅当局部符号的$E/\mathbb{Q}$在$p$是$+1$。
2019-04-22 math.NT
A Modular Curve of Level 9 and the Class Number One Problem
本文给出了9阶非分裂Cartan子群的正规化子所对应的模曲线的一个显式参数化。我们确定了这条模曲线的所有积分点。作为应用，我们给出了类数为1的问题的另一种解法。
2009-02-18 math.NT
A non-split sum of coefficients of modular forms
我们将引入并研究$GL_2$ -自守形式沿二次多项式的Hecke特征值的某些截断和。一个省电的估计建立和新的应用程序的时刻的关键$L$ -值相关的二次域推导。详细讨论了Heegner点的高度和奇异模的渐近性质的应用。
2009-02-14 math.NT
Integral points of a modular curve of level 11
利用椭圆曲线中线性型的下界，我们确定了与11级非分裂Cartan群的正规化子相关联的模曲线的积分点。作为应用，我们得到了复二次域类数问题的一个新解。
2011-07-14 math.NT
Computing with necklaces on elliptic curves
提出使用椭圆曲线p-挠群中项链的模解释来研究非分裂Cartan群正规化子的模曲线上点的计算方法，并用于探究具有复乘的有理点在模ℓ约化下相等时的素数条件。
2026-09-28 math.NT
Computing integral points on X_ns^+(p)
本文给出了一种计算GL_2（F_p）的非分裂Cartan子群的正规化子所对应的素数水平p的模曲线上整点的算法。使用我们的方法，我们表明，对于7<p<101，该曲线上唯一的积分点是CM点。
2020-11-22 math.NT
Explicit arithmetic intersection theory and computation of Néron-Tate heights
我们描述了一个计算算术曲面上的交对的通用算法。我们已经实现了我们的算法，曲线超过$\mathbb Q$，我们展示了如何使用它来计算监管机构的一些雅可比的光滑平面四次曲线，并在数值上验证了猜想的桦树和Swinnerton-Dyer的雅可比的分裂Cartan曲线的水平13，平方。
2019-04-03 math.NT
Quadratic Chabauty for modular curves: Algorithms and examples
我们描述了如何二次Chabauty方法可应用于明确确定一组有理点的点上模曲线属$g>1$的雅可比矩阵有Mordell-Weil秩$g$。这扩展了我们以前在13级的分裂Cartan曲线上的工作，并允许我们考虑在坏约化的素数处可能具有很少的已知有理点或非平凡局部高度贡献的模曲线。我们说明了我们的算法与一些例子，我们确定了一组合理的点上的几个模曲线的亏格2和3：这包括Atkin-Lehner等价物$X_0^+(N)$的素数水平$N$，曲线$X_{S_4}(13)$，以及其他一些曲线相关的Mazur的程序B。我们还描述了亏格为6的非分裂Cartan模曲线$X_{\textrm{ns}} ^+ (17)$上有理点的计算。
2023-03-07 math.AG math.NT
Special Loci in the Moduli of Curves
本文提出新技术研究模空间中的混合特征特殊轨迹，应用于曲线模空间，得到分裂雅可比簇的稠密性、超奇异轨迹非稠密性及代数环提升等结果，并推广至更一般情形。
2026-11-11 math.AG math.NT
The intersection motive of the moduli stack of shtukas
对于有限域上的分裂约化群G，我们证明了具有有界修改和水平结构的迭代G-shtukas的模栈的交（上同调）动机的定义独立于动机的三角范畴上的动机t-结构的标准结构.这与函数场的朗兰兹对应中l的独立性的一般期望是一致的。
2019-12-23 math.AG math.KT math.NT
On the moduli description of local models for ramified unitary groups
局部模型是用来模拟志村簇的p-adic积分模型的étale-局部结构的方案。Pappas和Zhu最近给出了一个一般的群论结构的平坦局部模型parahoric水平结构的任何tamely分歧组，但它仍然是一个有趣的问题，表征局部模型，在可能的情况下，在一个明确的模问题。在分支的、准分裂的GU_n的局部模型的设定中，在Rapoport和Zink的书的一般框架中开始了对显式模描述的工作，随后由Pappas和Pappas-Rapoport推进。在本文中，我们提出了一个进一步的改进，他们的模的问题，我们表明是必要的和充分的特征（平坦）的局部模型在一定的特殊的极大parahoric情况下的签名（n-1，1）。
2015-03-09 math.AG math.NT math.RT
Bordifications of the moduli spaces of tropical curves and abelian varieties, and unstable cohomology of $\mathrm{GL}_g(\mathbb{Z})$ and $\mathrm{SL}_g(\mathbb{Z})$
本文构造热带曲线与热带阿贝尔簇模空间的边化，证明热带Torelli映射可延拓，并由此得到$\mathrm{GL}_g(\mathbb{Z})$和$\mathrm{SL}_g(\mathbb{Z})$无穷多个新的不稳定上同调类，同时给出Borel稳定上同调定理的新几何证明。
2025-02-28 math.AG math.AT math.NT
Gaussian Universality of Products Over Split Reductive Groups and the Satake Isomorphism
该研究利用Satake同构与Hall-Littlewood多项式，刻画非阿基米德域上分裂约化群乘积的奇异数与角元，推广已有结果并证明其最小分离性，推导相关概率极限定理，建立代数分解与概率极限的统一框架。
2025-02-10 math.NT math.PR math.RT
