The nested simple conformal loop ensembles in the Riemann sphere
简单共形回路系综（CLE）是一类在共形不变系统的研究中特别感兴趣的简单不相交回路的随机集合。除其他事项有关这些CLEs，我们证明了其嵌套的“全平面”版本下的反演$z \mapsto 1/z$分布的不变性。
2014-05-23 math-ph math.MP math.PR
Conformal Correlation Functions in the Brownian Loop Soup
我们定义和研究一组运算符，计算统计特性的布朗循环汤，共形不变的气体随机布朗循环（布朗路径约束开始和结束在同一点）在两个维度。我们证明了这些算子的关联函数具有共形场论中共形原色的许多性质，并计算了它们的共形维数。维数是真实的和积极的，但有一个新的功能，他们不断变化的一个实参数的周期函数。我们讨论了布朗环汤与自由场的关系，并利用这个关系建立了环汤的中心荷是其强度的两倍。
2015-08-28 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Conformal radii for conformal loop ensembles
共形循环系综CLE（k），在[8/3，8]中定义为k，是平面域中循环的随机集合，它们是O（n）循环模型的约束标度极限。我们计算了围绕确定性点的嵌套环的共形半径的分布。我们的结果与Cardy和Ziff以及Kenyon和Wilson对O（n）模型的预测一致。我们还计算了CLE（k）衬垫的期望维数为2-（8-k）（3 k-8）/32 k，这与Duplantier给出的O（n）模型衬垫的分形维数一致。
2009-01-19 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Multi-loop Feynman integrals and conformal quantum mechanics
提出了多圈费曼图D维积分解析计算的新代数方法。我们表明，已知的分析方法的评价多圈费曼积分，如积分的部分和星三角关系的方法，可以大大简化使用这种代数方法。为了证明多圈费曼图的分析评价的代数方法的优点，我们计算梯形图的无质量$ϕ^3$理论。使用我们的代数方法，我们表明，特殊类的费曼图的评价问题减少到特定的量子力学问题的格林函数的计算。特别地，$ϕ^3$标量场理论中阶梯无质量图的积分由共形量子力学的格林函数给出。
2003-06-05 hep-ph hep-th math-ph
Conformal Loop Ensembles: Construction via Loop-soups
二维布朗环汤是平面区域中具有强度参数c的环的泊松随机集合。当c不大于1时，我们证明了循环簇的外边界是满足一定共形约束公理的不相交的简单循环（当c>1时，几乎肯定只有一个簇）.我们证明了各种结果的循环汤，集群的大小，和c=1相变。结合我们的另一篇关于简单共形循环系综（CLE）的马尔可夫特征的论文的结果，这证明了布朗循环簇的这些外边界实际上是SLE（k）循环，其中k在（8/3，4]中。更一般地说，它完成了以下三种简单CLE描述（作者在早期的工作中提出）是等价的事实的证明：（1）由分支Schramm-Loewner演化（SLE（k））曲线跟踪的随机回路系综，k在（8/3，4]中。(2)布朗环汤的外簇边界系综。(3)（唯一）随机回路系综满足共形约束公理。
2011-09-28 math-ph math.MP math.PR
Massive One-loop Conformal Feynman Integrals and Quadratic Transformations of Multiple Hypergeometric Series
计算技术的$N$ -倍梅林-巴恩斯（MB）积分，在同伴的论文中提出的相同的作者，是用来获得一套系列表示的大规模单圈共形3点费曼积分在各种配置。这表明了极大的简单性和效率的方法在非共振的情况下（通用传播功率），以及它的一些微妙的共振的（单位传播功率）。我们确认某些结果在物理和数学文献中，并提供了许多新的结果，其中一些处理更一般的大规模单圈共形$n$点的情况下。特别是，我们证明了两个最近的apturtures，使大量的单圈共形$n$ -点积分（通用传播功率）在多个超几何级数。我们展示了如何从杨氏自助分析中推导出这些结构，是由超几何函数理论中的一个新的二次变换塔相关。最后，我们还使用我们的MB方法来识别在Yangian方法中可能出现的虚假贡献。
2021-03-15 hep-ph hep-th math-ph
The conformally invariant measure on self-avoiding loops
我们证明了在平面上和每个黎曼曲面上的简单回路上存在唯一的（直到乘以常数）和自然的测度，使得该测度是共形不变的，并且在限制下也是不变的（即，包含在另一个黎曼曲面S中的黎曼曲面S'上的测度，只是S上限制在S'中的那些回路上的测度）。我们研究了它的一些性质和后果的临界渗流集团和布朗环的外边界。
2006-11-22 math-ph math.MP math.PR
Conformal invariance of loops in the double-dimer model
二聚体模型是对图的随机二聚体覆盖（完美匹配）的研究。图$G$上的双二聚体配置是$G$的两个二聚体覆盖的并集。我们引入四元数权重的二聚体模型，并展示了如何可以使用它们来研究同伦类（相对于一组固定的面）的循环在双二聚体模型上的可平面图。作为一个应用，我们证明了，在缩放极限的“均匀”双二聚体模型上${\mathbb Z}^2$（或任何其他二分可平面图共形近似$\mathbb C$），循环是共形不变的。作为其它应用，我们计算了圆柱上双二聚体模型中拓扑非平凡环的数目的精确分布和可平面图的两个面周围的期望环数。
2012-11-29 math-ph math.MP math.PR
The SLE loop via conformal welding of quantum disks
我们证明了$_κ$圈测度自然地产生于两个$γ$ -Liouville量子引力（LQG）盘对$γ^2 = κ\in (0,4)$的共形焊接.证明依赖于我们的同伴工作保形焊接的LQG磁盘和使用作为一个重要的工具的概念，均匀嵌入的LQG表面。结合Gwynne和Miller的工作，我们得到了由自回避多边形修饰的随机四边形在尺度极限内收敛于由SLE $_{8/3}$环修饰的LQG球面.我们的结果也是一个关键的输入最近的工作的第一和第三合著者的共形回路合奏的可积性。
2023-02-08 math-ph math.MP math.PR
The conformal loop ensemble nesting field
带参数$8/3 < κ< 8$的共形环系综CLE $_κ$是单连通域上可数无限个不相交环集合上的正则共形不变测度.我们表明，周围的$\varepsilon$球（$z$和$\varepsilon$的随机函数）减去其期望值的循环数几乎肯定收敛到$\varepsilon\to 0$的随机共形不变的限制在空间中的分布，我们称之为嵌套字段。我们通过分配i.i.d.权值的循环，我们对待另一种概念的收敛到嵌套领域的情况下，权重分布的平均值为零。我们还建立了估计的时刻CLE循环的数量周围的两个给定的点。
2014-12-21 math-ph math.CV math.MP
Conformal two-boundary loop model on the annulus
我们研究了临界区-2 < n < 2的圈模型的双边界扩展--对应于O（n）模型的稠密相，或者Q=n^2态Potts模型。该模型定义在纵横比为τ的环上。接触环的左边、右边或两边的环由任意（实）权重区分，而且取决于它们是否包裹周期方向。这些权重的任何值对应于共形不变的边界条件。通过代数和场论论证的结合，我们获得了连续极限中精确的七参数配分函数，作为τ的函数。作为一个具体应用，我们导出了一些新的逾渗团簇的交叉公式。
2008-12-15 math-ph math.MP
Conformal boundary conditions in the critical O(n) model and dilute loop models
研究了二维稀疏O（n）模型的共形边界条件.找到了边界Yang-Baxter方程的一对相互对偶解，它们描述了各向异性的特殊跃迁，并且可以用O（n）模型中的对称性破缺相互作用来解释。我们确定了相应的边界条件改变运营商，Virasoro字符，共形不变的配分函数。我们计算共形边界状态的熵，并组织在一个一致的相图中的各个边界临界点之间的流动。确定了负责各种流的运营商。最后，我们讨论了O（n）模型中开边界条件的关系，并提出了新的Ising畴壁的交叉概率。
2009-05-09 math-ph math.MP
Conformal loop ensembles and the stress-energy tensor
本文给出了共形场论（CFT）作为共形圈系综CLE_κ中的局部“对象”的应力-能量张量的构造，其中κ的所有值在稀区8/3 < κ<= 4（对应于中心荷0 < c <= 1，并包括所有CFT极小模型）.我们提供了一个快速介绍CLE，一个数学理论的随机循环在简单的连接域与共形不变性的性质，由谢菲尔德和维尔纳（2006年）。我们认为它的扩展到更一般的区域的定义，并作出各种假设，需要为我们的建设和预期举行CLE在稀释制度。使用这个，我们确定的应力-能量张量的CLE的上下文中。这是通过推导CLE概率函数中单次插入的相关共形沃德恒等式，以及单连通域上的适当边界条件;它在共形映射下的性质，包括Schwarzian导数;以及它在“相对配分函数”方面的一点平均来完成的。“这个结构的一部分与作者Riva和Cardy（2006）在SLE_{8/3}的上下文中发现的结构具有相同的精神，但被广泛推广，后者只处理单连通双曲区域中中心荷为零的情况。我们不使用CLE概率测度的显式构造，而仅使用其定义和预期的一般性质。
2012-09-07 hep-th math-ph math.MP
New Recipes for Brownian Loop Soups
我们定义了一个大的新类的共形初级运营商在合奏的布朗循环在两个维度被称为“布朗循环汤”，并计算其相关函数分析和封闭的形式。环路汤是具有中心电荷$c = 2 λ$的共形不变统计系综，其中$λ> 0$是汤的强度。以前的工作确定指数的分层运营商$e^{i βN(z)}$作为主要运营商。每个布朗环被随机分配$\pm 1$，并且$N(z)$被定义为围绕点$z$的所有环上的这些数字的总和。这些指数算子则具有共形维数${\fracλ{10}}(1 - \cos β)$。在这里，我们通过为每个循环分配一个更一般的随机值来推广这个过程。算子$e^{i βN(z)}$保持保形维数为$\frac λ{10}(1 - ϕ(β))$的主算子，其中$ϕ(β)$是用于为每个循环分配随机值的概率分布的特征函数。利用最近的结果，我们计算在封闭形式的确切两点函数在上半平面和四点函数在全平面这一类非常一般的运营商。这些相关函数在分析上取决于参数$λ, β_i, z_i$和特征函数$ϕ(β)$。它们满足共形Ward恒等式，并且是交叉对称的。在以前的工作中，四点函数的共形块展开揭示了额外的和尚未表征的共形初级算子的存在。
2020-07-03 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Loop groups and noncommutative geometry
我们用K-理论和非交换几何描述了环群的表示论。这是通过构建与任何给定的循环群$LG$的l级投影酉正能量表示相关联的合适的谱三元组来完成的。该结构是基于某些超对称共形域论模型与LG在共形网的设置。然后，我们推广到许多其他的合理手征共形域论模型，包括陪集模型和月光共形网的建设。
2018-10-08 hep-th math-ph math.KT
Conformal field theories in random domains and stochastic Loewner evolutions
我们回顾了最近发展的传统的代数方法之间的关系共形场论和最近的概率方法的基础上随机Loewner演变。它基于在共形场论中实现随机共形映射。
2003-09-08 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Existence and uniqueness of the conformally covariant volume measure on conformal loop ensembles
本文证明了共形环系综（CLE）上共形协变体积测度的存在性与唯一性，并利用Liouville量子引力构造了SLE的自然参数化，补充了先前研究。
2023-06-21 math-ph math.CV math.MP
Conformal Loop Ensembles: The Markovian characterization and the loop-soup construction
对于二维域中自避免环的随机集合，我们定义了一个简单而自然的共形约束性质，该性质由统计物理模型中界面的标度极限来满足。这个性质基本上是共形不变性和模型中相互作用的局部性的结合。不像Schramm用来描述SLE曲线的马尔可夫性（它涉及到任意停时的部分生成界面的条件），这个属性只涉及整个循环的条件，因此乍一看似乎更弱。我们的第一个主要结果是，确实存在一个具有这种性质的随机循环集合的一维族-对于（8/3，4]中的每个k都有一个-并且这些循环是SLE（k）的形式。证明分两步进行。首先，唯一性的建立表明，每一个这样的循环合奏可以产生的“探索”过程的基础上SLE。第二，存在性得到使用二维布朗回路汤，这是一个泊松随机收集的循环在一个平面区域。当环汤的强度参数c小于1时，我们证明了环群的外边界是满足共形约束公理的不相交的简单环（当c>1时，几乎必然只有一个环群）.我们证明了各种结果的循环汤，集群的大小，和c=1相变。综上所述，我们的结果意味着以下家庭是等价的：1。随机回路系综由k在（8/3，4]中的某些分支SLE（k）曲线跟踪。2. c在（0，1]中的布朗环汤的外簇边界系综。3.（唯一）随机回路系综满足共形约束公理。
2011-09-28 math-ph math.MP math.PR
Conformal nets are factorization algebras
我们证明了有限指数的共形网是因子分解代数概念的一个例子。这个结果是我们证明的一个要素，对于$G=SU(n)$，正能量表示的基本循环群的Drinfel'd中心的范畴是等价的自由循环群的正能量表示的范畴。
2016-11-17 math-ph math.MP
Extreme nesting in the conformal loop ensemble
带参数$8/3<κ<8$的共形环系综$\operatorname {CLE}_κ$是单连通域上可数无限个不相交环集合上的规范共形不变测度.给定$κ$和$ν$，我们计算点集$z$的几乎确定的豪斯多夫维数，对于点集$z$，围绕以$z$为中心的半径为$\varepsilon$的圆盘的CLE环的数量具有渐近增长$ν\log (1/\varepsilon )$为$\varepsilon \to0$。通过将这些结果扩展到给定回路独立同分布的设置。权，我们给一个基于CLE的治疗的极端的高斯自由场。
2016-03-15 math-ph math.CV math.MP
Rectangular amplitudes, conformal blocks, and applications to loop models
本文继续研究临界系统在矩形上的配分函数。Bondesan等人，Nucl.Phys.B862：553- 575，2012]。在这里，我们使用共形场论建立了矩形边界状态的一般形式，适用于描述支持不同边界条件的几何形状。我们讨论了矩形振幅的计算及其模块化的属性，提出明确的结果的情况下的自由理论。在本文的第二部分中，我们专注于应用程序的循环模型，详细讨论晶格离散化使用数值和分析计算。这些结果可以解释几何共形块，并作为一个应用程序，我们推导出新的概率公式，自我避免散步。
2012-07-30 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
The fully packed loop model as a non-rational $W_3$ conformal field theory
完全填充环（FPL）模型是与可积$U_q(\hat{\mathfrak{sl}}_3)$顶点模型相关的统计模型。本文研究了FPL的连续极限。与适当的重量的不可收缩的循环，我们给出了证据的扩展$W_3$对称性的连续。精确地计算了环面上的配分函数，得到了新的$W_3$特征的模不变量。获得完整的CFT谱，并发现与精确对角化非常一致。
2016-06-16 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Some recent aspects of random conformally invariant systems
这些是2005年7月在Les Houches的暑期学校上的一门课程的讲义。我们描述了最近的一些结果，二维共形不变系统。特别是，我们讨论了共形不变测度的循环和共形循环系综（CLE）。
2005-11-10 math-ph math.MP math.PR
Conformal invariance of the loop-erased percolation explorer
本文研究有界单连通区域中三角形格子上的临界渗流问题，其边界条件是在两个指定的边界点之间存在一个界面。我们说，界面形成一个“近环”，当它来到一个晶格间距的本身。我们定义了一条新的曲线，当我们穿过界面时，擦除这些近环。我们的Monte Carlo模拟这个模型使我们得出结论，这个循环擦除渗流界面的标度极限是共形不变的，分形维数为4/3。但是，它不是SLE_8/3。我们还考虑了一个近环的过程中，当探险家来到两个晶格间距本身。
2018-09-28 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Connection probabilities for conformal loop ensembles
本文的目的是解释，基于共形回路系综CLE $_κ$（具有简单回路和非简单回路，即，对于整个范围$κ\in (8/3, 8)$）如何推导CLE $_κ$的条件版本的保形矩形中的连接概率，该CLE可以被解释为在四个边界弧上具有有线/自由/有线/自由边界条件的CLE $_κ$（有线部分被视为待完成的环的部分）。特别是，在共形正方形的情况下，我们证明了两个有线边钩起来，使他们创造一个单一的循环的概率等于$1/(1 - 2 \cos (4 π/ κ))$。例如，将其与离散O（N）模型的相应连接概率进行比较表明，如果稀释O（N）模型（分别为正方形晶格上的临界FK（q）-渗流模型）具有非平凡的共形不变标度极限，则该标度极限必然是CLE $_κ$，其中$κ$是$(8/3, 4]$中的值，使得$-2 \cos (4 π/ κ)$等于$N$（分别为$[4,8)$中的值，使得$-2 \cos (4π/ κ)$等于$\sqrt {q}$）。我们的论证和计算一方面建立在Dubédat的SLE对易关系（由Dubédat、Zhan或Bauer-Bernard-Kytölä开发和使用）上，另一方面建立在共形回路系综的构造和性质以及它们与布朗回路汤、限制测度和高斯自由场的关系上，正如最近与Sheffield和Qian的工作中导出的那样。
2018-05-28 math-ph math.MP math.PR
Conformal loop ensembles and the stress-energy tensor. I. Fundamental notions of CLE
这是第一部分的工作，旨在建设的应力-能量张量的共形场论作为一个本地的“对象”共形回路系综（CLE）。这项工作是在更广泛的背景下重建量子场论从数学定义良好的合奏随机对象。本文件有两个目标。首先，我们提供了一个介绍CLE，随机循环的数学理论，在简单的连接域的共形不变性的属性，最近开发的谢菲尔德和维尔纳。预计与中心荷在0和1之间的CFT模型（包括所有极小模型）相关。其次，我们进一步发展理论推导的结果，将是至关重要的建设的应力-能量张量。我们介绍的概念，支持和连续性的CLE事件，我们证明了基本的，但重要的定理。然后，我们提出自然的定义CLE概率函数的黎曼球面和双连通域。在一些自然的假设下，我们证明了与这些构造相关的共形不变性和其他非平凡定理。我们只使用CLE的定义性质以及CLE测度的一些基本结果。虽然本文是指导建设的应力-能量张量，我们相信，定理证明和使用的技术是感兴趣的CLE在更广泛的背景下。实际施工将在本工作的第二部分。
2009-05-26 math-ph math.MP
Conformal invariance of CLE$_κ$ on the Riemann sphere for $κ\in (4,8)$
共形环系综（CLE）是$\mathbb C$中单连通域上非交叉环上的正则共形不变概率测度，并以参数$κ\in (8/3,8)$为索引.我们认为CLE $_κ$在整个平面上的政权，其中的循环是自相交的（$κ\in (4,8)$），并表明它是不变的反演映射$z \mapsto 1/z$。这表明全平面CLE $_κ$为$κ\in (4,8)$定义了黎曼球面上的循环上的共形不变测度。类似的声明在政权中的循环是简单的（$κ\in (8/3,4]$）证明了Kemppainen和维尔纳，并连同本工作涵盖了整个范围$κ\in (8/3,8)$，其中CLE $_κ$的定义。作为一个中间步骤的证明，我们表明，CLE $_κ$ $κ\in (4,8)$上的一个环，与任何指定数量的内边界周围的循环，是定义良好，共形不变。
2019-11-08 math-ph math.CV math.MP
Wilson loops for triangular contours with circular edges
我们计算威尔逊圈的最低阶扰动理论的三角形轮廓的边缘是圆弧。通过适当地解开轮廓的度量参数和共形参数之间的关系，结果与反常共形沃德恒等式预言的结构完全吻合.保形剩余函数在一般的4D情况下取决于三个尖点和三个扭转角。这些角度的限制所施加的封闭的轮廓进行了详细讨论，也为3D和2D的情况下。
2021-02-01 hep-ph hep-th math-ph
Boundary operators in the Brownian loop soup
New York University Abu Dhabi（阿布扎比纽约大学）；New York University（纽约大学）
该研究通过共形块展开揭示了布朗运动环汤中亚临界相的无限多个边界算符，并解释了其物理意义。
2026-01-06 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
The conformal geometry of Random Regge Triangulations
本文回顾了我们最近在二维单纯量子引力中三角化曲面对应的共形几何方面的一些工作。特别地，我们讨论了与随机Regge三角剖分相关的正则化Liouville作用及其与Hodge-Deligne理论的联系。
2003-10-07 gr-qc hep-th math-ph
Conformal boundary loop models
我们研究了一个模型的密集包装的自避免环上，有关Temperley李代数与一个额外的幂等边界生成。四个不同的权重被赋予循环，这取决于它们的同伦类以及它们是否接触环的外边缘。当可收缩体环x = q + 1/q的权满足-2 < x <= 2时，该模型对其余三个参数的任何实权都是共形不变的.我们对共形边界条件进行了分类，并给出了相应的边界标度维数的精确表达式。严格地计算了具有任何规定数目和类型的不可收缩环的扇区在全配分函数Z中出现的幅度。在此基础上，我们写了一些涉及Z的恒等式，这些恒等式对任何有限大小都成立。当可缩边界环y的权取一定的离散值y_r = [r+1]_q / [r]_q（r为整数）时，建立了其它涉及维拉索罗代数的标准特征标K_{r,s}的恒等式.详细讨论了O（n）模型中Dirichlet和Neumann边界条件的关系，并导出了新的标度维数。当q是单位根且y = y_r时，与A_m型RSOS模型建立了严格的联系。这些涉及到精确的循环和RSOS模型的传输矩阵，在有限的大小有效的频谱之间的关系。最后，将y=y_r的结果与Temperley Lieb布线理论联系起来。
2007-09-17 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Scalar conformal primary fields in the Brownian loop soup
布朗环汤是二维随机环的共形不变统计系综，其特征在于强度$λ>0$，中心电荷$c=2 λ$。最近的进展导致了一类标量共形初级"分层顶点算子" $\mathcal{O}_β$的四点函数的解析形式，其维数为$(Δ, Δ)$，具有$Δ= \fracλ{10}(1-\cosβ)$，计算模型的某些统计特性。Virasoro共形块展开的四点函数揭示了存在一组新的运营商的尺寸$(Δ+ k/3, Δ+ k'/3)$，所有非负整数$k, k'$满足$|k-k'| = 0$ mod 3。在本文中，我们介绍了边缘计数字段$\mathcal E(z)$，它计数通过接近点$z$的循环边界的数量。我们严格证明了$n$-点函数的$\mathcal E$是定义良好的，并表现出预期的共形初级领域的尺寸$(1/3, 1/3)$。我们解析计算了四点函数$\langle \mathcal{O}_β(z_1) \mathcal{O}_{-β}(z_2) \mathcal{E}(z_3) \mathcal{E}(z_4) \rangle$，并分析了它的共形块展开式。$\mathcal{E} \times \mathcal{E}$和$\mathcal{E} \times \mathcal{O}_β$的算子乘积展开产生具有"电荷" $β$和维度$(Δ+ k/3, Δ+ k/3)$的高阶边算子。因此，我们已经明确地确定了上述新集合中…
2022-02-01 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Conformal invariance of boundary touching loops of FK Ising model
在这篇文章中，我们展示了一个循环合奏的接口在FK伊辛模型在临界收敛，作为晶格网格趋于零，一个独特的共形不变的标度限制。离散循环合奏所描述的一个典型的树胶合的接口，然后示出收敛到一个树的分支SLE。该环系综包含无限多个环，因此我们的结果描述了无限多个环的SLE型过程的联合律，并给出了FK伊辛模型在界面随机几何意义下的满标度极限.本文中的其他一些结果是循环集合（或探索树的分支）的探索过程收敛到SLE $(κ,κ-6)$，$κ=16/3$，以及$4$标记点的此过程的推广收敛到SLE $[κ,Z]$，$κ=16/3$，其中$Z$指的是配分函数。后一个SLE流程不能写成SLE $(κ,ρ_1,ρ_2,\ldots)$流程，后者是最常考虑的SLE概括。
2019-06-30 math-ph math.MP math.PR
String equation for conformal loop ensemble on Liouville quantum gravity sphere
本文在Liouville量子引力球面上构造量子n孔球面，计算其面积拉普拉斯变换，证明其满足超几何弦方程，并揭示其与Weil-Petersson体积的联系。
2026-09-17 math-ph math.MP math.PR
Disordered O(n) Loop Model and Coupled Conformal Field Theories
本文分析了二维随机背景中波动环的一类模型。该模型被配制为O（n）自旋模型与淬火非均匀相互作用。使用副本方法，模型被映射到$M$层O（n）模型的$M\to 0$极限，该模型通过$ϕ_{1,3}$主字段相互耦合。重整化群流计算在解耦临界点附近，通过围绕伊辛点（$n=1$）的一个展开，改变$n$作为一个连续的参数。单圈β函数表明在自回避行走点（$n=0$）附近存在强耦合相（$0<n<n_*$），在伊辛点附近存在红外固定点（$n_*<n<1$）。对于固定点，计算有效中心电荷。能量算符和自旋算符的标度维数得到了两圈阶。简要讨论了与无规键$q$态Potts模型的关系。
2009-03-23 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech hep-th
Conformal invariance in random cluster models. II. Full scaling limit as a branching SLE
在本系列的第二篇文章中，我们建立了随机簇伊辛模型中界面的环系综到共形环系综（CLE）的收敛性--从而完全描述了模型在界面随机几何方面的标度极限。本文的核心工具是离散循环集合的探索树收敛到分支SLE $(16/3,-2/3)$。这样的Schramm的SLE的分支版本不仅具有局部性，而且从逻辑上产生于伊辛模型的可观测量。
2019-07-01 math-ph math.MP math.PR
Conformal invariance of planar loop-erased random walks and uniform spanning trees
证明了单连通区域$D$中环擦除随机游动的标度极限等于$D$中的径向SLE（2）路.特别地，极限存在并且是共形不变的。证明了Jordan域上的一致生成树的标度极限是存在的，并且是共形不变的。假设域的边界是一条$C^1$简单闭曲线，同样的方法被用来证明均匀生成树Peano曲线的缩放极限是连接$A$端点的$D$闭包中的弦SLE（8）路径，其中树沿着边界上的适当弧$A$连接。这个结果的一个副产品是SLE（8）几乎必然是由一条连续路生成的。
2003-03-10 math-ph math.CV math.MP
Boundary four-point connectivities of conformal loop ensembles
Peking University（北京大学）
本文基于CLE边界四点连通性研究，推导了κ∈(4,8)的Green函数，针对κ=6和16/3，确立了临界伯努利渗流与FK-Ising模型的精确公式，并识别了FK-Ising模型中的对数奇点。
2026-04-06 math-ph math.MP math.PR
Brownian Loops and Conformal Fields
这些课堂讲稿的主题是平面晶格模型的连续标度极限。这个主题在概率论和数理统计物理学中占据重要地位的原因之一是，标度极限提供了统计力学和（欧几里德）域论之间的联系。为了解释标度极限概念背后的主要思想，我将重点介绍一个“玩具”模型，它展示了统计力学模型在临界点及其附近的典型行为。这个模型被称为随机游动循环汤，实际上它本身就很有趣。它可以被描述为格环的泊松系综，或环的格气，因为它符合统计力学的理想气体框架。在介绍了该模型，并讨论了一些有趣的连接与离散高斯自由场，我将提出一些结果，其标度极限，这导致了泊松系综的连续循环称为布朗循环汤。后者是由Lawler和Werner介绍的，是一个非常有趣的对象，与Schramm-Loewner演化和各种统计力学模型有关。在讲座的第二部分，我将使用布朗回路汤来构造一个函数族，它的行为类似于共形场的相关函数。然后，我将使用这些函数及其推导来引入共形场的概念，并探讨标度极限与共形场之间的联系。
2016-02-11 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Random Curves by Conformal Welding
通过焊接由高斯自由场指数表示的单位圆的随机同胚，构造了平面上共形不变的随机闭曲线族。我们推测，我们的曲线是局部相关的SLE $(κ)$为$κ<4$。
2009-12-17 math-ph math.CV math.MP
Conformal loop ensembles and the stress-energy tensor. II. Construction of the stress-energy tensor
这是第二部分的工作，旨在建设的应力-能量张量的共形场论（CFT）作为一个本地的“对象”共形圈系综（CLE）。这项工作是在更广泛的背景下重建量子场论从数学定义良好的合奏随机对象。本文在第一部分结果的基础上，确定了CLE稀相区的应力-能量张量。这是通过推导它的共形沃德恒等式的CLE概率函数中的单插入，和它的共形变换下涉及的施瓦茨导数的性质。我们还给出了一个点函数的应力-能量张量的配分函数的概念，我们表明，这符合标准的CFT参数。这种构造与作者Riva和Cardy（2006）在SLE（8/3）的上下文中发现的精神相同，后者与零中心荷的情况有关。本构造将其推广到0和1之间的所有中心荷，包括所有极小模型。这种概括是不平凡的：这些想法的CLE上下文的应用程序需要引入一个重新归一化的概率，和推导的转换属性和一点函数没有对应的SLE上下文中。
2009-10-19 math-ph math.MP math.PR
Existence and uniqueness of the conformally covariant geodesic metric on simple conformal loop ensemble carpets
本文证明了在κ∈(8/3,4)范围内，简单共形环集地毯上的共形协变测地度量存在且唯一，并推测其描述了离散环模型在尺度极限下的化学距离度量。
2025-11-20 math-ph math.CV math.MP
Infinitesimal conformal restriction and unitarizing measures for Virasoro algebra
本文利用 SLE$_κ$ 环路测度构造了中心荷 $c(κ) \le 1$ 的 Virasoro 代数自然表示，引入非退化双线性 Hermite 形式证明其不定酉性，并基于无穷小共形限制性质完成证明。
2024-11-18 math-ph math.MP math.PR
Tightness of approximations to the chemical distance metric for simple conformal loop ensembles
假设$Γ$是一个在单连通域$D \subseteq {\mathbf C}$中具有简单环（$κ\in (8/3,4)$）的共形环系综（CLE $_κ$），该域的边界本身就是CLE $_κ$环的一种类型。让$Υ$成为$Γ$的地毯，即，$D$中未被$Γ$环包围的点的集合。我们证明，某些近似的$Υ$中的化学距离度量是紧的。更准确地说，对于每条路径$ω\colon [0,1] \to Υ$和$ε> 0$，我们让${\mathfrak N}_ε(ω)$是$ω$的$ε$ -邻域的勒贝格测度。对于$z,w \in Υ$，我们设${\mathfrak d}_ε(z,w;Γ) = \inf_ω{\mathfrak N}_ε(ω)$，其中下确界在具有$ω(0) = z$，$ω(1) = w$的所有路径$ω\colon [0,1] \to Υ$上，并设${\mathfrak m}_ε$为$\sup_{z,w \in \partial D} {\mathfrak d}_ε(z,w;Γ)$的中值。我们证明了$(z,w) \mapsto {\mathfrak m}_ε^{-1} {\mathfrak d}_ε(z,w;Γ)$是紧的，并且任何连续极限都定义了$Υ$上的测地度量，该度量关于欧氏度量是Hölder连续的。我们推测，顺序限制是唯一的，共形协变，并描述了离散回路模型收敛到CLE $_κ$的$κ\in (…
2021-12-15 math-ph math.CV math.MP
Conformal Deformation from Normal to Hermitian Random Matrix Ensembles
研究了正态随机矩阵系综在阶N趋于无穷大时的特征值统计。在该模型中，特征值在由简单的解析多项式曲线确定的区域内具有均匀的密度。研究了正常随机系综到Hermite随机系综的共形变形，给出了Hermite随机系综是Wigner系综的充分条件。
2009-09-04 math-ph math.MP math.PR
The conformally invariant metric on CLE$_4$ II: existence of geodesics
该系列第二篇论文证明了参数κ=4的共形环系综（CLE₄）中测地线的存在性，确立了其度量几何的定量估计，支撑了CLE₄唯一确定共形不变局部测地度量的结论。
2026-09-04 math-ph math.CV math.MP
Conformal invariance in random cluster models. I. Holomorphic fermions in the Ising model
我们构造离散的全纯观测值的伊辛模型在临界状态，并表明，他们有共形协变的尺度限制（网格的晶格趋于零）。在续集中，这些观测量被用来构造共形不变的界面的标度极限。虽然伊辛模型经常被引用作为共形不变性的经典例子，但似乎我们的文章是第一篇真正建立它的文章。
2007-07-31 math-ph math.MP math.PR
Limits of conformal images and conformal images of limits for planar random curves
Åbo Akademi（奥布皇家学院）
本文研究了平面随机曲线在粗糙边界下的标度极限及其共形像的性质，证明了极限与拓扑变换的可交换性，适用于κ∈(4, 8)的SLE过程。
2023-04-24 math-ph math.MP math.PR
Conformal invariance of double random currents I: identification of the limit
本文作为两篇系列论文的第一篇，通过证明高度函数收敛于高斯自由场并唯一识别环系综的子序列极限，为正方格子上临界双随机电流模型的共形不变性证明奠定基础。
2025-01-06 math-ph math.MP math.PR
Spin systems from loop soups
我们研究由随机游动回路汤的缠绕所定义的自旋系统。对于一个特定的选择的环汤强度，我们表明，相应的自旋系统是反射积极的，是对偶的，在Kramers-Wannier意义上，自旋系统$\text{sgn}(φ)$，其中$φ$是一个离散的高斯自由场。一般来说，我们证明了自旋关联函数具有与Camia，Gandolfi和Kleban研究的单参数函数族对应的共形协变标度极限（核物理B，902，2016），并根据布朗环汤的缠绕定义。这些函数的性质与共形场论中共形基色的关联函数的行为一致。在这里，我们证明了它们对应于连续场（随机广义函数）的关联函数的布朗回路汤的强度值不是太大。
2018-11-13 math-ph math.MP math.PR
Up-to-constants estimates on four-arm events for simple conformal loop ensemble
本文针对简单共形圈系综CLE$_κ$（$κ\in(8/3,4]$）中拓扑无约束的四臂事件，利用布朗圈汤表示和簇版本分离引理证明了最优常数估计，并推广到SLE$_κ$，修复了已有文献中的关键缺口。
2025-04-08 math-ph math.MP math.PR
The conformally invariant metric on CLE$_4$ III: uniqueness
本文是CLE₄共形不变度量系列论文的终篇，证明了前序构造的度量及其测地线的唯一性，确立重整化CLE_κ图度量在κ↓4时无需取子列即可收敛，给出了由均匀探测决定的测地线表示。
2026-09-04 math-ph math.CV math.MP
Solitons and nonsmooth diffeomorphisms in conformal nets
我们证明了S^1上的共形（共形协变）网的任何孤子表示都具有正能量，并利用非光滑共形协变构造了任何共形网的不可数族互不等价的孤子表示。在环群网上，我们证明了这些表示导出了S^1 \ {-1}中紧支环的子群的表示，这些表示不扩展到整个环群.在U（1）-流网的情形下，我们将Diff_+（S^1）的正态同胚协方差推广到Sobolev的Diff_+（S^1），s > 2，并证明了Diff_+（S^1）的正能真空表示推广到Diff_+（S^1）.对于U（1）-电流网和具有整中心荷的Virasoro网，所构造的孤子表示关于圆的Diff_+（S^1）为-1的稳定子群是连续协变的.
2018-11-13 math-ph math.MP math.OA
