Torsion points on hyperelliptic Jacobians via Anderson's $p$-adic soliton theory
我们证明了某些阶的扭点不在由方程$y^2=x^{2g+1}+x$与$g \geq 2$给出的超椭圆曲线的雅可比簇中的θ因子上。证明采用了安德森的方法谁证明了一个类似的结果循环商的费马曲线的素数度。
2012-06-28 math.NT
Computing local p-adic height pairings on hyperelliptic curves
我们描述了一个算法来计算局部分量在p的科尔曼-格罗斯p-adic高度配对的因子上的超椭圆曲线。由于高度配对的科尔曼积分，我们还提供了新的技术来评估科尔曼积分的亚纯微分，并提出我们的算法，实现在Sage。
2010-10-28 math.AG math.NT
Explicit Coleman integration for hyperelliptic curves
科尔曼的p-adic积分理论在数个数论应用中有着突出的地位，例如寻找曲线上的挠和有理点，以及计算K理论中的p-adic调节器（包括椭圆曲线上的p-adic高度）。给出了一种计算超椭圆曲线上Coleman积分的算法，并在Sage中实现了该算法.
2010-05-04 math.NT
Computing p-adic heights on hyperelliptic curves
Charles University（查理大学）；University of Groningen（格罗宁根大学）
本文提出一种计算双曲曲线在p处的局部Coleman-Gross p进高度的算法，该算法比之前的算法更高效且适用于奇数和偶数次双曲曲线。
2024-11-12 math.NT
Algorithms for hyperelliptic Mumford Curves $p$-adic Uniformization, $p$-adic integrals and $p$-adic heights
Bilkent University（比尔肯特大学）；Universitat Autònoma de Barcelona（巴塞罗那自治大学）；Bernoulli Institute, Rijksuniversiteit Groningen（格罗宁根大学伯努利研究所）
针对超椭圆Mumford曲线，提出计算$p$-adic Schottky群的算法，并利用该均匀化计算$p$-adic Abelian积分和Schneider高度，通过SageMath数值示例验证。
2026-07-03 math.AG math.NT
p-adic integration on bad reduction hyperelliptic curves
本文介绍了一种计算坏约化超椭圆曲线上p-adic积分的算法。对于坏约化曲线，有两种p-adic积分的概念：可以局部执行的Berkovich-Coleman积分和具有理想数论性质的阿贝尔积分。通过用环和基本大开集覆盖一条坏约化的超椭圆曲线，将Berkovich-Coleman积分的计算归结为好约化的超椭圆曲线上的已知算法.这是由于Balakrishnan，Bradshaw和Kedlaya，以及Balakrishnan和Besser的正则和亚纯1-形式的好约化曲线，分别。然后，我们采用热带几何技术，由于第一命名的作者与拉宾诺夫和Zureick-Brown转换成阿贝尔积分的Berkovich-Coleman积分。我们提供了我们的算法的例子，验证某些阿贝尔积分之间的扭转点消失。
2020-08-03 math.AG math.NT
Quadratic Chabauty: p-adic height pairings and integral points on hyperelliptic curves
给出了超椭圆曲线上0次因子的p-adic高度配对在p处的分量的计算公式。我们用这个给一个Chabauty一样的方法找到p-进近似的p-积分点的曲线时，Mordell-Weil秩的雅可比等于属。在这种情况下，我们得到了一个明确的界限，这样的p-整点的数量，我们能够使用显式计算的方法。该方法的一个重要方面是，它只需要一个基的Mordell-Weil组张量与有理数。
2014-12-30 math.AG math.NT
Images of 2-adic representations associated to hyperelliptic Jacobians
设$k$是$\mathbb{C}$的一个子域，它包含所有的$2$ -单位幂根，设$K = k(α_{1}, α_{2}, ... , α_{2g + 1})$，其中$α_{i}$是独立的且超越于$k$的，并且$g$是一个正整数.研究了由$y^{2} = \prod_{i = 1}^{2g + 1} (x - α_{i})$给出的$K$上超椭圆曲线的Jacobian $J$所对应的$2$ -adic Galois作用的象.我们的主要结果表明，伽罗瓦在$\mathrm{Sp}(T_{2}(J))$中的象与主同余子群$Γ(2) \lhd \mathrm{Sp}(T_{2}(J))$重合.作为一个应用程序，我们发现生成器的代数扩展$K(J[4]) / K$生成的$4$ -扭转点的$J$的坐标。
2014-10-10 math.AG math.NT
Fast computation of hyperelliptic curve isogenies in odd characteristic
设p为奇素数，g $\ge$ 2为整数.本文给出了一个计算p进数域Qp的扩张K上亏格为g的超椭圆曲线的Jacobian之间同构的显式有理表示的算法。它依赖于一阶微分方程系统的有效分辨率，具有p-adic精度的对数损失。
2020-09-25 math.AG math.NT
Efficient computation of Cantor's division polynomials of hyperelliptic curves over finite fields
设$p$为奇素数。提出了一种利用进微分方程计算超椭圆曲线雅可比行列式的有理表示的算法，并对精度损失进行了分析.因此，在可能解除了问题的$p$ -adics，我们得出快速算法计算明确康托的划分多项式的超椭圆曲线定义在有限域。
2022-03-02 math.AG math.NT
Boundedness results for 2-adic Galois images associated to hyperelliptic Jacobians
令$K$是数域，并且令$C$是具有Jacobian $J$的$K$上的超椭圆曲线。假设$C$由一个形式为$y^{2} = f(x)(x - λ)$的方程定义，该方程用于判别式$Δ$的某个不可约一元多项式$f \in \mathcal{O}_{K}[x]$和某个元素$λ\in \mathcal{O}_{K}$。我们的第一个主要结果说，如果有一个素数$\mathfrak{p}$的$K$除$(f(λ))$，但没有$(2Δ)$，那么自然的$2$ -进伽罗瓦表示的图像是开放的$\mathrm{GSp}(T_{2}(J))$，并包含一定的同余子群的$\mathrm{Sp}(T_{2}(J))$取决于最大功率的$\mathfrak{p}$除$(f(λ))$。我们还提出并证明了这个结果的一个变体，适用于$C$时定义的一个方程的形式$y^{2} = f(x)(x - λ)(x - λ')$为不同的元素$λ, λ' \in K$。然后，我们表明，在前声明中的假设适用于几乎所有的$λ\in \mathcal{O}_{K}$，并证明了一个统一的有界性结果的Cadoret和Tamagawa的定量形式。
2021-10-21 math.NT
Very simple 2-adic representations and hyperelliptic jacobians
设$K$是数域，$n>4$是整数，$f(x)$是$K$上次数为$n$的不可约多项式，其伽罗瓦群是全对称群$S_n$或交错群$A_n$。假设$C:y^2=f(x)$是相应的超椭圆曲线，$J$是定义在$K$上的雅可比。对于每个素数$\ell$，我们将$Q_{\ell}$模写成$V_{\ell}(J)$，将附着在θ因子上的$V_{\ell}(J)$上的黎曼形式写成$e_{\ell}$。(Here $Q_{\ell}$是$\ell$ -进数的字段。）对于$e_{\ell}$的辛群的$Q_{\ell}$ -李代数，我们写$sp(V_{\ell}(J))$。我们把$K$的伽罗瓦群$Gal(K)$的象的李代数记为$g_{\ell}$，在$Aut(V_{\ell}(J))$中。我们证明了$g_{\ell}$与直和$Q_{\ell}I \oplus sp(V_{\ell}(J))$重合，其中$I$是恒等算子。
2001-09-05 math.AG math.NT
Wild Galois representations: a family of hyperelliptic curves with large inertia image
在这项工作中，我们概括的主要结果arXiv：1812.05651家庭的超椭圆曲线具有潜在的好约化在$p$ -进字段的程度$p$和最大可能的图像下的惯性$\ell$ -进伽罗瓦表示相关的雅可比矩阵。我们将证明这个伽罗瓦表示因子是有限群的非分歧特征标和不可约表示的张量积，它可以等于惯性像（在这种情况下表示很容易确定）或它的$C_2$ -扩展。在第二种情况下，有两个合适的表示，我们将明确地描述伽罗瓦作用，以确定正确的。
2021-12-11 math.NT
Computing integral points on hyperelliptic curves using quadratic Chabauty
给出了奇次超椭圆曲线上亏格等于其雅可比行列式的Mordell-Weil秩的有理数上整点的计算方法。我们的方法包括一个组合的$p$ -进近似技术在以前的工作中介绍了Mordell-Weil筛
2015-11-09 math.NT
The $p$-adic CM-method for genus 2
提出了一种构造亏格为2的超椭圆CM-曲线的非阿基米德方法。
2005-03-08 math.AG math.NT
Algorithms for $p$-adic Heights on Hyperelliptic Curves of Arbitrary Reduction
本文提出计算任意约化类型超椭圆曲线上 Coleman--Gross $p$-进高度的算法，涵盖局部高度计算、Blakestad 分裂算法及数值实例，包括首个坏约化曲线的二次 Chabauty 示例。
2025-02-28 math.AG math.NT
Computing L-series of hyperelliptic curves
利用点计数、群算法和p-adic方法，讨论亏格至多为3的Q上超椭圆曲线的L-级数的系数计算.
2022-05-28 math.AG math.NT
Computation of the Unipotent Albanese Map on Elliptic and Hyperelliptic Curves
研究了Minhyong Kim的非交换Chabauty方法中出现的幂幺Albanese映射。特别是，我们探讨了显式计算的$p$ -进德拉姆周期映射$j^{dr}_n$椭圆曲线和超椭圆曲线通过其泛幂幺连接数域$\mathcal{U}$。几个算法形成的计算有限水平版本$j^{dr}_n$的幂幺Albanese映射的一部分。$\mathcal{U}$的对数扩张的计算一般需要用开覆盖来描述，并且可以被视为计算下降理论的一个简单例子。我们还证明了一个建设性的版本的Hadian引理中使用的Hodge过滤$\mathcal{U}$上的仿射椭圆和奇超椭圆曲线的计算。我们使用这些算法提出了一些新的例子来描述这些周期图的坐标。该描述将以迭代$p$ -adic Coleman积分的形式给出。我们还考虑了用切向基点代替有理基点时坐标的计算，并给出了一些新的例子。
2019-10-10 math.NT
Most odd degree hyperelliptic curves have only one rational point
考虑曲线y ^2 =f（x）的光滑投影模型C，其中f（x）在Z[x]中是一元的，且是2g+1次可分的。我们证明了，对于g >= 3，这些正分数只有一个有理点，在无穷远无穷远点。我们证明了这个分数的下界，趋于1的g趋于无穷大。最后，我们表明，C（Q）可以算法计算这样的曲线的一部分。该方法可以概括如下：利用p-adic分析和McCallum的思想，我们发展了Chabauty方法的一个重新表述，表明某些可计算条件意味着#C（Q）=1;另一方面，利用进一步的p-adic分析，算术曲面理论，关于超椭圆曲线上挠点的一个新结果，关键的是非零2-Selmer群元素的Bhargava-Gross等分布定理，我们证明了当p=2时，这些条件经常满足.
2014-06-15 math.NT
Computing isogenies between jacobians of hyperelliptic curves of arbitrary genus via differential equations
设$p$为奇素数，且为与$p$互质的整数.本文研究了$p$ -进数域$\mathbb{Q}\_p$的扩张$K$上任意亏格的超椭圆曲线的Jacobian之间的$(\ell,...,\ell)$ -同构的显式有理表示的算法.该算法在$\ell$和曲线的亏格上都具有拟线性复杂度。
2021-02-16 math.AG math.NT
Models of Hyperelliptic Curves with Tame Potentially Semistable Reduction
令$C$为离散值域$K$上的超椭圆曲线$y^2 = f(x)$。$f(x)$的根之间的$p$ -adic距离可以用一个称为聚类图的完全组合对象来描述。我们证明了$C$的簇图，连同$f$的首项系数和$\mathrm{Gal}(\bar{K}/K)$对$f$根的作用，完全决定了$C$的最小严格正交模型的特殊纤维的组合.特别是，我们给出了一个明确的描述的特殊纤维在此数据。
2019-11-13 math.NT
Computing rational points on rank 0 genus 3 hyperelliptic curves
计算$\mathbb{Q}$上亏格$3$奇次超椭圆曲线$C$上的有理点，这些曲线的Jacobian为Mordell-Weil秩$0$ .该计算应用Chabauty-Coleman方法来找到$p$ -adic积分的某个系统的零点集，该系统已知是有限的并且包括有理点$C(\mathbb{Q})$的集合。我们在Sage中实现了一种算法，以在$5870$曲线数据库上执行Chabauty-Coleman方法。
2020-09-23 math.AG math.NT
Explicit Vologodsky Integration for Hyperelliptic Curves
Vologodsky的理论$p$进积分起着核心作用，在计算几个有趣的不变量算术几何。与Coleman提出的理论相比，它的优点是对$p$的还原类型不敏感。基于Besser和Zerbes最近的工作，我们描述了一个算法，用于计算Vologodsky积分的坏约化超椭圆曲线。这扩展了以前的联合工作与卡茨所有亚纯微分形式。我们说明了我们的算法在Sage中计算的数值例子。
2021-12-14 math.AG math.NT
A modular approach to Fermat equations of signature $(p,p,5)$ using Frey hyperelliptic curves
本文针对广义费马方程$x^n+y^n=z^5$执行Darmon纲领步骤，构建工具证明满足2进、5进条件的解的指数$n$的最优上界，将问题归约为大像猜想，为维数大于1的Frey阿贝尔簇情形提供测试案例。
2025-01-14 math.NT
Counting Points on Hyperelliptic Curves using Monsky-Washnitzer Cohomology
本文描述了一种计算奇特征有限域上任意超椭圆曲线上点的算法，利用Monsky-Washnitzer上同调计算Frobenius特征多项式的p-adic逼近.对于固定的p，亏格g在p^n元域上的曲线的渐近运行时间是O（g^{4+ε} n^{3+ε}）。
2001-11-20 math.AG math.NT
Uniform bounds for the number of rational points on hyperelliptic curves of small Mordell-Weil rank
证明了数域K上亏格为g的超椭圆曲线C上的K-有理点个数存在一个仅依赖于g和[K：Q]的界，使得其Jacobian的Mordell-Weil秩r至多为g-3.若K = Q，则显式界为8 rg + 33（g - 1）+ 1。证明是基于Chabauty的方法，新的成分是一个估计的对数在一个p进的“环”的曲线，这概括了磁盘上的标准约束的零的数量。关键的观察是，对于一个p-adic域k，C上的k-点集可以被一个圆盘和圆环的集合覆盖，这些圆盘和圆环的数量根据g（和k）是有界的。我们还证明了，加强了Poonen和作者最近的一个结果，当亏格g趋于无穷大时，Q上唯一有理点是无穷远无穷远点的奇次超椭圆曲线的下密度在由同余条件定义的族上一致趋于1.
2015-11-25 math.AG math.NT
Arithmetic of hyperelliptic curves over local fields
University of Bristol（布里斯托大学）；King’s College London（伦敦国王学院）
本文提出一种描述局部域上双曲曲线性质的聚类图方法，用于编码其伽罗瓦表示、判别式及其他不变量。
2018-10-15 math.AG math.NT
Memory efficient hyperelliptic curve point counting
在最近的算法中，使用变形，以计算在有限域上的品种的点数，某些微分方程的矩阵在p-adic域出现。我们提出了一种新的策略来解决这类方程的内存有效的方式。其主要应用是一个需要拟三次时间和参数n的二次记忆的算法，它解决了以下问题：对于扩张度为n且特征小的有限域上亏格为g的超椭圆曲线E，计算其zeta函数.这大大提高了Kedlaya的结果，具有相同的准立方时间渐近，但也需要立方内存大小。
2010-02-19 math.AG math.NT
Local heights on hyperelliptic curves and quadratic Chabauty
本研究提出一种计算奇素数ℓ≠p处超椭圆曲线局部高度的算法，拓宽了二次Chabauty方法的适用范围，并给出含双非平凡局部高度素数曲线的首次计算实例。
2025-05-21 math.AG math.NT
Higher dimensional 3-adic CM construction
我们使用代数θ函数的Mumford代数形式找到了模曲线X_0（3）的高维类似物的方程。因此，我们得到了一个方法，用于构造亏格为2的超椭圆曲线的小次数的数字域，其雅可比矩阵有复乘和良好的普通约化在素数3。我们证明了一个准二次时间算法的存在性，用于计算一个典型的电梯在特征3的基础上，这些方程，我们的方法在亏格1和2的详细描述。
2007-09-01 math.NT
Two-dimensional families of hyperelliptic jacobians with big monodromy
设$K$是一个特征不等于2的整体域，$u(x)\in K[x]$是一个偶数次不可约多项式$2g\ge 6$，其上的Galois群是全对称群$S_{2g}$或交错群$A_{2g}$ .我们明确地描述了如何选择（无限多）对不同的元素$K$ $t_1, t_2$，使$g$维雅可比超椭圆曲线$y^2=(x-t_1)(x-t_2))u(x)$有没有非平凡的自同态的代数封闭的$K$，并有大$\ell$ -进单值。
2014-06-19 math.AG math.NT math.RT
Computing torsion subgroups of Jacobians of hyperelliptic curves of genus 3
给出了亏格为3的超椭圆曲线在有理数上的雅可比矩阵的有理挠子群的计算方法。我们应用岩浆实现我们的算法的曲线数据库，由于萨瑟兰低判别以及一系列的曲线系数小。在这个过程中，我们发现了一些以前没有在文献中描述的扭转结构。该算法是一个推广的算法属2由于斯托尔，我们扩展到满足一定条件的阿贝尔簇。我们的想法是计算p-adic扭转升降机的点在有限域使用库默尔品种，并检查他们是否合理使用高度。Stoll对亏格为3的超椭圆曲线的雅可比行列式都作了明确的表示。本文部分基于第二名作者的硕士论文。
2023-03-16 math.AG math.NT
2-descent for Bloch--Kato Selmer groups and rational points on hyperelliptic curves I
本文提出了一种通过 Galois 协同论方法确定超椭圆曲线 Jacobian 的 Bloch-Kato Selmer 组秩的方法，并利用该方法回答了关于有理点的问题。
2026-02-27 math.AG math.NT
Factorization of Coefficients for Exponential and Logarithm in Function Fields
设$X$是$\mathbb F_q$上的椭圆曲线或分歧超椭圆曲线.我们将讨论如何因式分解这样的曲线上的Hayes模的指数和对数级数的系数。这使我们能够获得$v$ -进收敛的结果，这样的指数和对数系列，$v$一个“有限”的素数。作为一个应用，我们可以证明$v$ -adic Goss $L$ -值$L_v(1, Ψ)$对于适当的特征$Ψ$是对数代数的。
2020-10-24 math.NT
Moduli of Hyperelliptic Curves and Multiple Dirichlet Series
本文给出了与二次Dirichlet L-级数的乘积相关联的$distinctive$重狄利克雷级数的一个显式构造，我们认为它应该与Kac-Moody群的双覆盖上的广义亚格Whittaker函数紧密相连.为了做到这一点，我们首先强加一组公理，独立于任何一组函数方程，上述对象应该满足。由此，我们推出多重狄利克雷级数的$p$-部分的系数满足一定的递推关系.这些关系导致一族恒等式，在某些容许双覆盖的模空间的组合结构中，它是$encoded$。最后，通过这一关键的联系，我们应用Deligne的理论的重量来表示归纳的$p$-部分的系数的Frobenius的特征值作用于$\ell$-adic tale上同调的局部系统上的模$\mathscr{H}_{g}[2]$的超椭圆曲线的属$g$与2级结构。
2018-08-29 math.AG math.NT
p-adic elliptic polylogarithms and cubic Chabauty
Boston University（波士顿大学）；King’s College London（伦敦国王学院）
研究p进椭圆多项式对数在立方查巴图方法中的应用，通过p进log和局部p进高度构造有限集，验证Kim猜想新实例。
2026-04-22 math.AG math.NT
p-Adic sigma functions and heights on Jacobians of genus 2 curves
设$C$是数域$K$上的亏格$2$超椭圆曲线，其Weierstrass点$\infty$在无穷远处，$J$是其雅可比矩阵，$Θ$是关于$\infty$的θ因子，$p$是任意素数.利用除数$2Θ$的Néron函数的$p$-adic模拟，给出了$p$-adic高度$h_p\colon J(\overline{\mathbb{Q}})\to \mathbb{Q}_p$的显式构造.我们定义这样的Néron函数使用除法多项式和概括的布莱克斯塔德的$p$ -进西格玛函数的正式组的$J$。我们证明了我们的$p$ -adic Néron函数$λ_v$在$K$的非阿基米德位置$v$是图像，在适当的迹映射下，除数$Θ$ à la Colmez的对称$v$ -adic Green函数。我们使用它来将$λ_v$和$h_p$与局部和全局扩展的Coleman-Gross（以及因此的Nekovásness）$p$ -adic高度配对相关联。我们提供了我们的实现示例，包括大于$10^6$的素数$p$的示例，并解释了如何使用类似的技术来计算$p$ -独立于约化类型的$C$上第一、第二和第三类微分的进积分。作为应用，我们还给出了在某些亏格$4$双超椭圆曲线上有理点处消失的显式二次Chabauty函数.
2023-02-07 math.NT
Group-theoretic Johnson classes and a non-hyperelliptic curve with torsion Ceresa class
Colorado State University（科罗拉多州立大学）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；University of Toronto（多伦多大学）；University of Georgia（佐治亚大学）
本文通过群论方法构造Johnson/Morita余数，应用于曲线的pro-l étale基本群，讨论其与Hain和Matsumoto工作的关系，并给出一个非双曲曲线的Ceresa类在l-adic Abel-Jacobi映射下具有torsion图像的例子。
2023-03-29 math.AG math.GT math.NT
Heat Equations and Hearing the Genus on p-adic Mumford Curves via Automorphic Forms
本文在p-adic Mumford曲线的K-有理点上构造自伴算子，生成Feller半群，通过热方程谱的极限点对应微分形式零点，从而从谱恢复亏格，超椭圆情形可显式提取。
2024-05-28 math.AG math.NT
About the choice of a basis in Kedlaya's algorithm
Kedlaya算法（Kedlaya，J. Ramanujan Math. Soc 16，2001）可用于计算特征为p的有限域上任意超椭圆曲线的点，其中p是奇素数。该算法使用曲线的p-adic提升的上同调。曲线的弗罗贝尼乌斯态射导致了这个上同调空间的自同构。该算法的关键步骤是以足够高的p-adic精度确定这个自同构：它以关于某个基的矩阵形式给出。Edixhoven已经找到了一个基础，具有的性质，系数的矩阵是p-adically积分。这允许较小的所需精度，因为必须计算该矩阵的（半线性）幂直到某个给定精度。本文描述了Edixhoven的基础，并提供了一个证明的事实，该基础是合适的。
2008-09-07 math.AG math.NT
Congruences for Hasse--Witt matrices and solutions of $p$-adic KZ equations
本文证明 Laurent 多项式组 Hasse--Witt 矩阵的一般 Dwork 型同余式，并借此研究 KZ 方程模 $p^s$ 多项式解的算术与 $p$-adic 解析性质，进而证明超椭圆曲线族对应的 $p$-adic KZ 联络存在秩 $g$ 的不变子丛。
2021-10-25 math-ph math.AG math.CA
Large 2-adic Galois image and non-existence of certain abelian surfaces over Q
受算术应用的启发，我们需要一些可能独立感兴趣的工具。设$\mathcal E$是$\mathbb Z_p$上秩为$p^4$的绝对不可约群概型.我们提供了一个完整的描述本田系统的$p$-可分集团$\mathcal G$，使$\mathcal G[p^{n+1}]/\mathcal G[p^n] \simeq \mathcal E$的所有$n$。然后，我们找到了第二层$\mathbb Q_p(\mathcal G[p^2])/\mathbb Q_p(\mathcal G[p])$的阿贝尔导体的边界，在我们的情况下比可以从Fontaine的边界推导出的更强。设$π\!: \, {\rm Sp}_{2g}(\mathbb Z_p) \to {\rm Sp}_{2g}(\mathbb F_p)$为约化映射，$G$为${\rm Sp}_{2g}(\mathbb Z_p)$的闭子群，其中$\overline{G} = π(G)$不可约且由transvection生成。我们填补了文献中的空白，表明如果$p=2$和$G$包含一个transvection，那么$G$是尽可能大的${\rm Sp}_{2g}(\mathbb Z_p)$与给定的减少$\overline{G}$，即$G = π^{-1}(\overline{G})$。当$A = J(C)$是超椭圆曲线$C\!: \, y^2 + Q(x)y…
2017-01-07 math.NT
Two-Torsion Subgroups of some Modular Jacobians
本文提出利用 theta 超平面构造零维概形并结合数值逼近与格约化计算亏格 3–5 非超椭圆曲线 Jacobian 的 2-挠子群，且对多个模 Jacobian 验证广义 Ogg 猜想。
2025-10-21 math.NT
Uniform bounds for the number of rational points on curves of small Mordell--Weil rank
设$X$是度为$d = [F:Q]$的数域$F$上亏格为$g\geq 2$的曲线.关于$X$的$F$ -有理点的个数$\#X(F)$上的一致有界$N(g,d)$的存在性问题是算术几何中一个突出的公开问题，由[CHM 97]已知，它是由Battieri-Lang猜想导出的.一个相关的猜想假定存在关于$X$的Jacobian $J$在Abel-Jacobi映射下位于$X$的像上的几何扭点个数的一致界$N_{{\rm tors},\dagger}(g,d)$.对于固定的$X$，Manin-Mumford证明了这个量是有限的，Raynaud [Ray 83]也证明了这个量是有限的。当$X$具有Mordell-Weil秩$r\leq g-3$时，给出了$\#X(F)$的一个显式一致界.这将Stoll最近的工作推广到任意曲线的小秩超椭圆曲线上的统一界。利用同样的技巧，我们给出了一个明确的，无条件的一致界的$F$ -有理扭点的$J$躺在图像的$X$下的Abel-Jacobi映射。当$X$的约化类型是高度退化的时，我们还给出了落在$X$上的$J$的几何扭点个数的显式一致界.我们的方法结合Chabauty-科尔曼的$p$进积分，非阿基米德潜在的理论上的Berkovich曲线，和理论的线性系统和因子的度量图。
2017-01-06 math.AG math.NT
