The Fermi-Pasta-Ulam "numerical experiment": history and pedagogical perspectives
Fermi-Pasta-Ulam（FPU）开创性的数值实验在计算机模拟历史上发挥了重要作用，因为它首次引入了这一概念。此外，它提出了一个令人困惑的问题，十多年后才得到回答。在介绍了这个问题之后，我们简要回顾了它的历史，然后提出了一些简单的数值实验，并提供了Matlab代码，以研究“FPU”问题的各个方面。
2005-03-22 nlin.CD nlin.PS
The Fermi-Pasta-Ulam problem: 50 years of progress
简要回顾了Fermi-Pasta-Ulam（FPU）佯谬，提出了解决方案，并讨论了它与其它物理问题的关系。我们专注于思想和概念，已成为现代非线性力学的核心，在他们的历史观点。从FPU的第一个数值结果开始，理论和数值结果都讨论了与遍历性，可积性，混沌和运动稳定性问题密切相关。与玻色-爱因斯坦凝聚和相互作用玻色粒子的量子系统有关的新方向也被考虑。
2005-03-08 cond-mat.stat-mech nlin.CD physics.hist-ph
Low energy chaos in the Fermi-Pasta-Ulam problem
讨论了FPU问题中混沌临界能量随链中粒子数增加而趋于零的可能性。在这个制度的长线波的分布，并估计新的边界过渡到能量均分。
1996-11-13 chao-dyn nlin.CD
Effective stochastic model for chaos in the Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou chain
了解不同的波激发，如声子和局域孤子之间的相互作用，是至关重要的发展粗粒度的描述多体，近可积系统。我们对待Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou（FPUT）的非线性链，并数值表明，在短时间尺度，相关的最大李雅普诺夫指数，它可以建模为一个随机扰动的可积近似-户田链。在低能量下，两个轨道之间的分离，开始在紧密接近的是由几个孤子模式和一个固有的，表观浴代表许多辐射模式的背景之间的相互作用。它是足够的，只考虑一个随机扰动的Toda孤子模式来解释在以前的工作中报道的幂律分布，描述如何的李雅普诺夫指数的大FPUT链的能量密度的系统减少。
2022-04-10 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Recurrence recovery in heterogeneous Fermi--Pasta--Ulam--Tsingou systems
针对异质 FPUT 振子系统中能量递归失效的问题，本文提出利用结构化异质性恢复递归，并发现阵列中心对称性可能是关键来源。
2023-07-13 cond-mat.stat-mech math.DS nlin.CD
Variability in Fermi--Pasta--Ulam--Tsingou Arrays Prevents Recurrences
1955年，费米、帕斯塔、乌拉姆和钦古报道了一维非线性振子阵列中模式间能量随时间的重现。随后，已经有无数的数值实验使用同质FPUT阵列，其中包括链的理想，非线性耦合振荡器。然而，固有的变化-例如，由于制造公差-在任何物理系统的参数中引入异质性。我们证明，这样的公差降低观察复发，往往导致完全损失，在中等大小的阵列。我们数值模拟异质FPUT系统的动态公差的影响进行调查。我们的研究结果表明，在真正的非线性振荡器阵列的公差可能会限制其数值实验结果的物理系统的适用性，除非适当的异质性考虑。
2018-04-18 cond-mat.other cond-mat.stat-mech math.DS
Equilibrium time-correlation functions of the long-range interacting Fermi-Pasta-Ulam model
我们提出了一个数值研究的动力学相关性（结构因素）的长期推广的费米-Pasta-Ulam振荡器链，其中两个晶格点之间的相互作用的强度衰减的幂$α$的倒数的距离。在有限能量密度下的结构因子显示出明显的峰值，对应于长波长的传播模式，其色散关系与线性理论的预测是相容的。我们表明，动力学标度举行，与动力学指数$z$弱依赖于$α$的范围$1<α<3$。线形有一个非平凡的函数形式，似乎与$α$无关。在可访问的时间和大小范围内，我们还发现，即使是相对较大的值的$α$的短程限制是很难达到的。
2019-05-22 cond-mat.stat-mech nlin.CD physics.plasm-ph
Thermostatistics in the neighborhood of the $π$-mode solution for the Fermi-Pasta-Ulam $β$ system: from weak to strong chaos
我们考虑Fermi-Pasta-Ulam $β$系统的$π$模解.通过扰动它，我们研究了系统作为能量密度的函数从一个区域的解是稳定的，到一个区域，在那里是不稳定的，首先弱，然后强混沌。我们介绍，作为随机性的指标，比率$ρ$（定义时）之间的第二和第一时刻的一个给定的概率分布。我们将用数值方法证明弱混沌和强混沌之间的过渡可以解释为一组合适的动力学变量的对称破缺。此外，我们表明，在该地区的弱混沌有数值证据表明，由Tsallis分布的热统计。
2010-03-29 nlin.CD
Energy transport and correlation between two attractors connected by Fermi-Pasta-Ulam chain
研究了由Fermi-Pasta-Ulam（FPU）链连接的两个吸引子组成的系统的时间演化。发现在足够长的时间后，系统中存在自洽的大尺度结构。小波变换用于分离不同尺度下的模态。我们发现，非线性长波长模式沿链传播有助于能量输运。此外，系统中的所有点被发现是相关的。我们的结果满意地解释了为什么混沌行为不足以确保傅立叶热定律和热导率发散，因为它是最近发现的Lepri等人（PRL 78，1897（1997）。）。
1998-02-12 chao-dyn cond-mat nlin.CD
Efficient integration of the variational equations of multi-dimensional Hamiltonian systems: Application to the Fermi-Pasta-Ulam lattice
研究了多维Hamilton系统中变分方程的有效积分问题。为此，我们考虑了一个龙格库塔型积分器，泰勒级数展开方法和所谓的“切线映射”（TM）技术的基础上辛积分计划，并将它们应用到费米-帕斯塔-乌拉姆$β$（FPU- $β$）晶格的$N$非线性耦合振荡器，与$N$范围从4到20。众所周知的行为的广义排列指数（GALI）混沌检测技术的快速和准确的再现被用作测试的集成方案的效率的指标。实施TM技术-这表明测试算法中的最佳性能-和利用GALI方法的优点，我们成功地跟踪低维环面的位置。
2011-04-15 math.DS nlin.CD
Instability dynamics of nonlinear normal modes in the Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou chains
非线性简正模是存在于非线性链中的周期轨道，它的不稳定性在多体哈密顿系统走向热化的动力学中起着至关重要的作用。在这里，我们专注于非线性模式的稳定性如何依赖于扰动强度和系统的大小，以观察他们是否有相同的行为在不同的模型。为此，作为示例，系统地研究了固定边界条件下Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou（FPUT）- $α$和- $β$链中${N}/{2}$模的不稳定动力学。应用Floquet理论，我们表明，对于两个模型的稳定时间$T$作为扰动强度$λ$的函数遵循相同的行为，即，$T\propto(λ-λ_c)^{-\frac{1}{2}}$，其中$λ_c$是不稳定性阈值。还得到了$λ_c$对$N$的依赖关系。$T$和$λ_c$的计算结果与直接分子动力学模拟的结果吻合较好。最后，简要讨论了不稳定动力学对系统热化性质的影响。
2022-07-31 nlin.CD physics.class-ph
Symmetric invariant manifolds in the Fermi-Pasta-Ulam lattice
具有周期性边界条件和$n$粒子的Fermi-Pasta-Ulam（FPU）晶格允许一大群离散对称性。这些对称的不动点集自然形成不变的辛流形，在这个简短的说明中进行了研究。对于每个$k$划分$n$，我们发现$k$自由度不变流形。它们代表由$k$傅立叶模式组成的短波长解，并且可以被解释为具有周期性边界条件的嵌入晶格和仅$k$粒子。在这些不变的流形其他不变的结构和精确的解决方案，例如周期和准周期的解决方案和驻波和行波。其中一些结果已经发现以前由其他作者通过模式耦合系数的研究，最近也通过调查“灌木丛的正常模式”。本文的方法与后一种方法类似，但比前者系统得多。我们无需任何困难的计算就得出了以前未知的结果。此外，它表明，类似的不变流形也存在于Klein-Gordon晶格和热力学和连续极限。
2002-09-25 nlin.CD nlin.SI
Macroscopic evidence of microscopic dynamics in the Fermi-Pasta-Ulam oscillator chain from nonlinear time series analysis
通过分析嵌入在最近邻非简谐Fermi-Pasta-Ulam振子链中的重杂质的位置和动量时间序列，研究了在多自由度系统的宏观行为中检测微观动力学特征的问题.在前人工作中得到的结果[M. Romero-Bastida，Phys. Rev. E { \bf 69}，056204（2004）]提出杂质对链的动力学没有显著贡献，并且可以被认为是杂质所耦合的系统的动力学的探针。（$r,τ$）熵是测量单位时间在不同时间尺度$τ$和观测量$r$下产生的信息量的熵，它是利用重杂质的位置和动量信号，对系统的能量密度$ε$（每自由度的能量）和杂质质量$M$的不同值，通过非线性时间序列分析的方法进行数值计算的.从这两个时间序列得到的结果进行了比较和讨论。
2005-02-28 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Anomalous conduction and second sound in the Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou chain: wave-turbulence approach
一维粒子链是解释纳米管和纳米线等低维固体中反常热传导的基本模型。在这些系统中，热能由声子携带，即通过非线性共振相互作用的传播晶格振荡。声子之间的平均能量转移由直接从微观动力学导出的波动方程（WKE）描述。在这里，我们使用的空间非均匀WKE的原型$β-$费米-帕斯塔-乌拉姆-Tsingou（FPUT）模型，配备恒温器能够设置不同的温度在两端。我们的主要发现如下：（1）电导率与系统尺寸的异常标度，与已知的微观动力学结果密切一致，是由于高和低波数之间的非平凡的相互作用。(ii)高波数声子弛豫到局部热力学平衡，扩散地传输能量，{ \it à la Fourier}。(iii)低波数的声子几乎没有相互作用，并且以弹道的方式传递能量;后一种现象类似于第二声发射，例如在超流体中观察到的。
2022-03-12 cond-mat.mes-hall cond-mat.stat-mech nlin.CD
Thermal transport in long-range interacting Fermi-Pasta-Ulam chains
在远程（LR）相互作用系统的热传输的研究目前特别具有挑战性。主要困难在于边界条件的选择和热流的定义时，驱动系统在一个平衡态由通常的热库。在这里，通过采用反向类型的热浴，可以克服这些困难，我们揭示了LR相互作用费米-面食-乌拉姆链的热传输的内在特征。我们发现，在LR指数$σ=2$的适当取值范围内，当导热系数$κ$满足\emph{nonballistic}幂律长度（$L$）时，$κ\sim L^α$仍然存在，它的标度指数$α\simeq 0.7$可以比通常的预测在短距离相互作用系统大得多。其内在机制与系统新的热扩散过程、较弱的不可积性和特殊的离散呼吸子动力学有关。我们的研究结果揭示了寻找低维材料支持更高的热导率，通过适当的LR相互作用。
2020-02-22 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Bushes of vibrational modes for Fermi-Pasta-Ulam chains
Poggi和Ruffo在Phys.D103（1997）251中发现了Fermi-Pasta-Ulam（FPU）β模型的一些精确解和多模不变子流形。在本文中，我们演示了如何得到这样一种类型的结果，为任意N粒子链与周期性边界条件的帮助下，我们的群论方法[物理D 117（1998）43]的基础上的概念，灌木丛的正常模式的力学系统与离散对称。在模态空间中的积分微分方程描述FPU-alfa动力学推导。研究了FPU-alfa模型的模丛的稳定性损失，特别是在位移模式周期为点阵间距两倍（Pi模）的动力学区域的极限情况N >> 1。我们的FPU-α链的结果进行了比较与Poggi和Ruffo的FPU-β链。
2002-04-06 nlin.CD
Analysis of ballistic transport and resonance in the $α$-Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou model
采用计算热响应函数的方法，在一维$α$ -Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou（FPUT）模型中阐明了弹道输运和共振现象.空间正弦温度分布在以前的研究中看到的周期性振荡的存在被证实。然而，使用响应函数获得的结果使得能够更完整地理解。特别是，它表明，共振涉及正常模式之间的节拍，往往加强在一维链。非谐散射的作用是破坏整个统计系综的相位相干性，随着非谐性的增加，输运被推向扩散区。这些结果提供了额外的洞察异常热输运在低维系统。简正模散射也探讨了使用时间关联函数。有趣的是，这些计算，除了证明整个模拟系综的相位相干性的损失，似乎显示在强非谐性条件下所谓的q呼吸子的证据。最后，我们描述了如何在这里概述的方法可以开发，包括量子统计，也是第一性原理估计的声子散射率，以阐明第二个声音和弹道输运在现实的材料在低温下。
2022-07-22 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Detecting chaos, determining the dimensions of tori and predicting slow diffusion in Fermi--Pasta--Ulam lattices by the Generalized Alignment Index method
最近提出的GALI方法用于快速检测混沌、确定规则运动的维数和预测多维哈密顿系统的慢扩散。我们提出了一个有效的计算GALI $_k$指数，它表示体积元素的$k$随机选择的偏离向量从一个给定的轨道，基于奇异值分解（SVD）算法。在正则轨道位于低维环面上的情况下，我们从理论上得到了GALI长时间行为的渐近估计，并进行了数值验证。GALI $_k$指数被应用于快速检测混沌振荡，识别低维环面的费米-Pasta-Ulam（FPU）晶格在低能量和预测弱扩散远离准周期运动，很久以前，它实际上是观察到的振荡。
2008-03-10 nlin.CD
The two-stage dynamics in the Fermi-Pasta-Ulam problem: from regular to diffusive behavior
本文用数值和解析方法研究了Fermi-Pasta-Ulam（FPU）α模型和可积Toda模型在基模初始激发时的弛豫过程。我们表明，这两个系统的动力学是几乎相同的短期内，当初始未激发模式的能量随着时间的几何级数增长，通过一个长期的雪崩过程。在第一阶段的动力学结束时，户田系统的时间平均模态能量谱稳定到其最终轮廓，在低能量下，由q呼吸器的谱描述。Toda平衡态可以很好地描述FPU系统的长寿命准态。从长期来看，FPU系统的模态能谱通过尾模的扩散式上升而逐渐脱离Toda能谱，并最终达到平衡平坦形状。我们发现一个简单的法律描述的增长的尾部模式，这使我们能够估计的时间尺度均分的FPU系统，即使在小的能量，它变得不可观测。
2011-10-24 nlin.CD nlin.SI
Dynamics and Statistics of the Fermi--Pasta--Ulam $β$--model with different ranges of particle interactions
本文研究了Fermi-Pasta-Ulam（FPU）$β$模型，通过引入两个独立的指数$α_1$和$α_2$，使{力}随距离$r$而衰减.我们的研究结果表明，弱混沌，在这个意义上的降低Lyapunov指数，和$q$ -高斯概率密度函数（PDF）的总和的动量，只有当长程相互作用包括在四次部分。更重要的是，对于$0\leq α_2<1$，我们获得了$q \equiv q_\infty >1$的外推值，作为$N\rightarrow \infty$，这表明这些pdf持续存在于该极限。另一方面，当长程相互作用只施加在二次部分，强混沌和纯高斯pdf总是得到的动量。我们也集中在粒子能量的类似的pdf，并获得了$q_E$ -指数（与$q_E>1$）时，四项相互作用是长期的，否则我们得到标准的玻尔兹曼-吉布斯重量，与$q=1$。$q_E$的值与由动量分布得到的$q$的值在很小的偏差内一致。
2016-11-10 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Anomalous transport in the Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou model: a review and open problems
Institute for Complex Systems and Mathematical Biology, University of Aberdeen（阿伯丁大学复杂系统与数学生物研究所）
本文综述了FPUT模型中异常输运现象，揭示了两种不同 universality 类别及热导率与系统尺寸的关系，探讨了有限尺寸效应和保守噪声对输运特性的影响。
2026-02-17 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Memory effects in the Fermi-Pasta-Ulam Model
用数值和解析方法研究了强非线性Fermi-Pasta Ulam模型在热平衡下的中间散射函数。从分子动力学模拟，我们区分两个极限制度，作为系统的行为作为一个理想气体在高温下和作为一个谐波链低激发。在中等温度下，ISF以非平凡的方式弛豫到平衡。然后，我们解析计算任意高阶的ISF的泰勒系数（两体相互作用的特定简单形状允许我们推导出这些的迭代方案）。递推结果与数值计算结果符合得很好。通过估计散射函数的完全级数展开，我们可以在一定的温度范围内重建其粗粒度的动力学。这是由一个记忆依赖的广义朗之万方程（GLE），它可以通过投影算子技术。此外，通过分析ISF的第一系列系数，我们可以提取一个参数相关联的动力学记忆效应的强度。
2018-12-04 nlin.CD
Macroscopic detection of the strong stochasticity threshold in Fermi-Pasta-Ulam chains of oscillators
数值计算了由嵌入在非谐最近邻Fermi-Pasta-Ulam振子链中的重杂质组成的系统在不同杂质质量值$M$下的最大李雅普诺夫指数.对于所有考虑的杂质质量值$M$，在能量密度$ε$（每自由度能量）的相同值$ε_{_T}$处获得弱混沌和强混沌之间的交叉。该阈值$\epsi lon_{_T}$与杂质动量自相关函数弛豫时间标度发生变化时的能量密度$ε$值一致，这是前人工作[M. Romero-Bastida和E. Braun，Phys. Rev. E { \bf 65}，036228（2002）]。完整的李雅普诺夫谱不显著依赖于杂质质量$M$。这些结果表明，杂质并没有显着贡献的链的动力学不稳定性（混沌），可以被认为是一个探针的杂质耦合到系统的动力学。最后，证明了在最大李雅普诺夫指数的交叉值$ε_{_T}$相同的能量密度下，链的Kolmogorov-Sinai熵存在从弱混沌到强混沌的交叉.这一结果的影响进行了讨论。
2004-02-16 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Holographic Thermalization, stability of AdS, and the Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou paradox
对于具有负宇宙学常数的广义相对论中的实无质量标量场，我们揭示了一大类接近AdS的球对称初始条件，但其数值演化不会导致黑洞的形成.根据AdS/CFT字典，这些批量解决方案是对偶状态的强相互作用的边界CFT，未能热化在晚些时候。此外，由于这些状态不是静止的，它们定义了不平衡的动态CFT配置。我们开发了一个两个时间尺度的微扰形式主义，捕捉直接和逆级联的能量，并同意我们完全非线性演化在适当的制度。我们还表明，这种形式主义承认一个大类的拟周期解。最后，我们证明了一个惊人的平行动态AdS和经典的费米-Pasta-Ulam-Tsingou问题。
2014-06-16 gr-qc hep-th nlin.CD
Variations on the Fermi-Pasta-Ulam chain, a survey
本文以对称性破缺为指导思想，对低能周期Fermi-Pasta-Ulam链进行了综述。Rink在2001年分析了经典的周期FPU链（所有粒子质量相等），得出的主要结论是β链的标准形总是可积的，在许多情况下这也适用于α链。具有交替质量的FPU链已经显示出一定的对称性破缺。得到了三个精确的周期解族和几个精确的不变流形，它们与Chechin等人的结果有关。（1998-2005）关于周期解的丛。一个2n个粒子的交替链作为子流形存在于具有k个2n个粒子的链中，k=2，3，. .在大质量m的情况下，光学和声学群之间的相互作用被证明。共振所起的作用表明了质量比的作用。1：1：1：.：1共振不会出现任何数量的粒子和质量比。一个有趣的例子是1：2：3共振后产生的Hamilton-Hopf分岔和破缺对称性的Shilnikov-Devaney意义上的混沌行为。另一个有趣的例子是1：2：4共振。正如预期的那样，各种情况下的分析有显着的影响，复发现象，这将说明的数值结果。
2020-03-20 nlin.CD physics.class-ph
Antipersistent energy current correlations in strong long-ranged Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou type models
研究一维强长程 FPT 类型系统的热传输，发现反持续性能流相关性随参数σ非单调变化，在σ=0.5处出现极小值，其机制源于时空标度交叉与声子及离散呼吸子的散射过程。
2024-03-22 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Interactions of renormalized waves in thermalized Fermi-Pasta-Ulam chains
从统计和波共振的角度研究了\textit{thermal equilibrium}中粒子的Fermi-Pasta-Ulam（FPU）链中的色散相互作用波。它表明，即使在一个强非线性制度，在热平衡链可以有效地描述一个系统的弱相互作用\textit{renormalized}非线性波，具有（i）瑞利-金斯分布和（ii）波之间的零相关性，就像非相互作用的自由波。这种重正化是通过一组正则变换实现的。这些重整化波的重整化线性色散得到，并示出在良好的协议与数值实验。此外，通过自洽性，平均场参数的色散关系的重正化的动力学解释。事实证明，这种重正化主要来自平凡的共振波相互作用，即，没有动量交换的相互作用此外，使用多时间尺度，统计平均方法，我们表明，近共振波的相互作用引起的共振峰的频谱的重整化模式的加宽。对$β$ -FPU链的共振宽度的理论预测与数值测量值吻合得很好。
2007-03-26 nlin.CD
Fermi-Pasta-Ulam model with long-range interactions: Dynamics and thermostatistics
本文介绍并数值研究了一维Fermi-Pasta-Ulam（FPU）$β-$模型的长程相互作用推广。标准的四次相互作用通过一个衰减为$1/r^α$（$α\ge 0$）的耦合常数来推广（其强度由$b>0$表征）。在$α\to\infty$极限下，我们恢复了原始FPU模型。通过经典的分子动力学计算，我们证明了：（i）对于$α\geq 1$，随着振子个数的增加，最大李雅普诺夫指数保持为正（因此产生遍历性），而对于$0 \le α<1$，它渐近地减少为$N^{- κ(α)}$（违反遍历性）;（ii）对于足够大的$α$，时间平均速度的分布是麦克斯韦分布，而$q$ -高斯分布则很好地接近它，当$α$从0增加到接近1时，指数$q(α)$从大约1.5单调地减少到1（高斯）。对于足够小的$α$，整个图像与时间$t_c$处从$q$ -统计到玻尔兹曼-吉布斯（BG）热统计的交叉一致。更准确地说，我们构建了一个“相图”的系统，在该系统中，这种交叉发生通过一个前沿的形式$1/N \propto b^δ/t_c^γ$与$γ>0$和$δ>0$，在这样一种方式，$q=1$（$q>1$）的行为占主导地位的$\lim_{N \to\infty} \lim_{t \to\infty}$订购（$\lim_{t \to\infty} \lim_{N \to\infty}$订购）。
2014-05-14 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Quasiperiodicity in the $α-$Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou problem revisited: an approach using ideas from wave turbulence
本文重新研究弱非线性α-FPUT系统中的准周期回归，发现基于波湍流正则变换的方法无法重构原始观测，归因于小分母问题，并指出系统热化等关键问题仍需深入研究。
2023-04-12 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
The Fermi-Pasta-Ulam problem revisited: stochasticity thresholds in nonlinear Hamiltonian systems
从统计力学的观点研究了具有立方非谐相互作用的谐振子的Fermi-Pasta-Ulam $α$模型。N= 32至128振子的系统似乎足够大，可以表明统计力学行为。一个关键因素是FPU $α$模型和Toda晶格的最大Lyapounov系数$λ_{max}$的比较。对于一般的初始条件，$λ_{max}(t)$是不可区分的两个模型的时间，随着减少的能量增加（在固定N）。然后突然出现分叉，这可以讨论有关的规则，孤子状结构的分裂。在这个分叉之后，FPU模型的$λ_{max}$似乎接近一个常数，而Toda晶格的$λ_{max}$似乎接近零，这与它的可积性一致。这表明，对于一般的初始条件FPU $α$ -模型是混乱的，因此将接近平衡和能量均分。然而，有一个阈值能量密度$ε_c(N)\sim 1/N^2$，低于该阈值，就会发生俘获;在这里，动力学似乎是规则的，类似于孤立子，并且接近平衡--如果有的话--所需的时间比在任何可用的计算机上观察到的时间都要长。超过这个阈值，系统的行为似乎与统计力学一致，表现出在物理上合理的时间内接近平衡。费米、帕斯塔和乌拉姆选择的初始条件并不通用，而且低于阈值，可能需要无限长的时间才能达到平衡。
1998-04-21 chao-dyn nlin.CD
Prethermalization in Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou chains
本研究通过演化短波长模使FPUT悖论更显著，提出预测激发模的技术，发现能量传播速度差异导致预热化阶段随激发次数延长，推广了原始实验并深化了对能量均分的理解。
2025-07-09 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Stages of dynamics in the Fermi-Pasta-Ulam system as probed by the first Toda integral
我们研究了Fermi-Pasta-Ulam（FPU）系统中轨道的长期演化，并利用相应Toda格点模型的积分族中的第一个非平凡积分$J$作为探针.为此，我们进行模拟FPU-轨迹的各种类别的初始条件所产生的激励孤立的模式，数据包，以及“通用”（随机）的初始数据。对于与局部能量激发相对应的初始条件，$J$表现出产生类似于文献中使用的观测量的“S形”曲线的变化，例如“谱熵”或各种类型的“关联函数”。然而，$J(t)$是免费的波动固有的这些观测，因此它构成了一个理想的观测探测FPU动态的阶段中所涉及的时间尺度。我们观察到两个基本的时间尺度：i）“稳定时间”（大致上，FPU轨迹表现得像Toda），ii）“平衡时间”（超过能量均分）。在特定能量交叉点以下，发现这两个时间以指数方式缩放为特定能量的逆幂。然而，随着自由度$N$增加为$\varepsilon _c \sim N^{-b}$，以及$b \in [1.5, 2.5]$，该交叉变为零。相反，对于“通用数据”初始条件，$J(t)$允许量化FPU轨迹在横向于Toda tori的方向上在时间上的连续缓慢扩散。
2018-12-05 nlin.CD
Stability of Simple Periodic Orbits and Chaos in a Fermi -- Pasta -- Ulam Lattice
本文从Fermi-Pasta- Ulam（FPU）$β$ -模型最简周期轨道（SPO）稳定性的角度研究了该模型的局域动力学和全局动力学之间的联系.特别地，我们证明了线性晶格中存在相对高的$q$模式$(q=2(N+1)/{3})$，即每两个相对运动的粒子中有一个粒子是固定的（这里称为SPO 2），它可以精确地延续到$N=5+3m, m=0,1,2,...$的非线性情况，其第一个不稳定，$E_{2u}$，作为能量（或$β$）对于{ \it任何}固定的$N$增加，实际上{ \it与FPU递归分解之前的“弱”形式的混沌的开始一致}，正如最近在相应线性链的非常低（$q=3$）模式的延续的类似研究中所预测的。每个粒子的能量阈值的行为类似于$\frac{E_{2u}}{N}\propto N^{-2}$。我们也完全遵循另一个SPO（与$q=(N+1)/{2}$）的性质，其中固定和移动粒子互换（这里称为SPO 1），并在比SPO 2更高的能量下不稳定，因为$\frac{E_{1u}}{N}\propto N^{-1}$。我们发现，他们的第一次不稳定后，这些SPO有不同的（正）李雅普诺夫谱在他们的附近。然而，随着能量的进一步增加（在固定的$N$），这些光谱收敛到{ \it the same}指数递减函数，从而提供了强有力的证据，表明SPO 1和SPO 2周围的混沌区域已经“合并”，大规模的混沌已经遍…
2006-05-04 nlin.CD
Exact discrete resonances in the Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou system
在N个耦合非谐振子系统中，精确共振相互作用在简正模之间的能量交换中起着重要作用。在弱非线性区域中，这些相互作用可以促进傅立叶空间中的能量均分。我们考虑著名的Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou（FPUT）系统的解析共振波-波相互作用。使用基于分圆多项式的数论方法，我们证明了寻找N个粒子系统的精确共振的问题等价于一个丢番图方程，其解敏感地依赖于N的因子集。我们提供了一个算法来构建所有可能的共振，基于两种方法：配对和割圆，我们引入建立明确的解决方案的4，5和6波共振条件。我们的研究结果揭示了一些光的理解长期存在的FPUT悖论，关于灵敏度的共振流形相对于粒子的数量N和相应的时间尺度的相互作用导致热化。在这个意义上，我们证明了6波共振总是存在的任何N，而5波共振存在，如果N是可分的3和N > 6。它是已知的（有限N），4波共振不混合能量的频谱，所以我们调查是否5波共振可以产生能量混合在一个显着的区域的傅立叶频谱通过分析的傅立叶模式，可以通过共振非线性相互作用的互联网络。答案取决于不能被3整除的N的奇数约数的集合：这个集合的大小决定了动态独立分量的数量，对应于独立的运动常数（能量）。我们发现，6波共振连接所有这些独立的组件，在原则上提供了一个全面的热化恢复机制。
2018-10-16 nlin.CD nlin.SI
Weak chaos detection in the Fermi-Pasta-Ulam-$α$ system using $q$-Gaussian statistics
我们研究数值统计分布的总和的轨道坐标，被视为独立的随机变量的精神，中心极限定理，在弱混沌制度与激发的第一（$k=1$）和最后（$k=N$）线性正常模式的费米-Pasta-Ulam- $α$系统在固定的边界条件下。我们表明，在低能量（$E=0.19$），当$k=1$线性模式被激发，混沌扩散发生的分布，以及近似长时间（$t>10^9$）的$q$ -高斯准定态（QSS）与$q\approx1.4$。另一方面，当在相同能量下激发$k=N$模式时，扩散现象是\textit{absent}并且运动是准周期性的。事实上，当能量增加到$E=0.3$时，前一种情况下的分布通过\textit{shorter} $q$ -高斯态并迅速趋向于高斯态（即$q\rightarrow 1$），其中均分开始，而在后一种情况下，我们需要达到E=4才能看到\textit{sudden transition}到高斯统计，而没有任何通过中间QSS的通道。这可能是由于两种情况下不同的能量局部化性质和重现现象，支持这样的观点，即当能量被放置在第一模式时，弱混沌和“粘性”动力学导致一个更渐进的能量共享过程，而强混沌和均分突然出现时，只有最后一个模式最初被激发。
2011-05-07 nlin.CD
Efficient time series detection of the strong stochasticity threshold in Fermi-Pasta-Ulam oscillator lattices
本文研究了用混沌0-1检验法在非谐振子链中检测强随机阈值的可能性，即随着系统能量密度的增加，系统从弱混沌到强混沌的转变。我们比较了上述方法的结果与最大的李雅普诺夫指数的缩放行为计算通过切空间动力学，这是迄今为止最可靠的方法来检测强随机性阈值。我们发现0-1检验确实可以在所研究的能量密度值范围内进行检测。此外，我们确定，传统的非线性时间序列分析方法无法正确计算最大的Lyapounov指数，即使是非常大的数据集，而0-1测试的计算工作量保持不变，在整个范围内的能量密度的值与中等大小的时间序列。因此，我们的研究结果表明，对于相空间的定性探测，0-1测试可以是一个有效的工具，如果适当考虑其局限性。
2011-01-05 nlin.CD
On the role of 5-wave resonances in the nonlinear dynamics of the Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou lattice
本文通过引入仅含共振相互作用的精确共振演化方程，研究了FPUT晶格在弱非线性下的动力学，发现当3整除N时，5波共振主导其超混沌行为。
2025-02-28 nlin.CD nlin.PS
The 1:2:4 resonance in a particle chain
我们考虑四个质量在一个圆形的配置与最近邻相互作用，推广的空间周期费米-帕斯塔-乌拉姆链，其中所有的质量是平等的。我们确定的质量比，产生的$1{:}2{:}4$ ~共振-在一般情况下是不可积的已经在三次。取四个质量中的两个相等，可以保留完全对称的费米-帕斯塔-乌拉姆链的离散对称性，并产生可积的标准形近似。如果势的立方项为零，则后者也成立。我们把这些情况下的上下文中，并分析由此产生的动力学，包括失谐的$1{:}2{:}4$ ~粒子链内的共振。
2020-02-04 nlin.CD
Energy transport in anharmonic lattices close and far from equilibrium
对Fermi-Pasta-Ulam链中的稳态热输运问题进行了数值研究，结果表明，在热力学极限下电导率发散。模拟进行了时间可逆的恒温器，无论是小的和大的温度梯度。在后一种情况下，热流的波动与Gallavotti和Cohen最近的研究结果一致。
1997-09-15 chao-dyn cond-mat.stat-mech nlin.CD
Wave Turbulence and thermalization in one-dimensional chains
本综述梳理了一维链系统热化机制研究的发展脉络，重点总结了波湍流方法框架下的相关成果，并提出该领域待解决的开放性问题与未来挑战。
2024-07-14 cond-mat.stat-mech nlin.CD
