Efficient Enumerations for Minimal Multicuts and Multiway Cuts
设$G = (V, E)$是一个无向图，$B \subseteq V \times V$是一组终端对。节点/边多割是$G$的顶点/边的子集，其移除将破坏$B$中每个端子对之间的所有路径。计算{ \em minimum}节点/边多割的问题是NP困难的，并且从几个观点进行了广泛的研究。本文研究了枚举所有{ \em minimal}节点多割的问题。我们给出了一个最小结点多割的增量多项式延迟枚举算法，它扩展了Khachiyan等人的最小边多割的枚举算法。节点/边多割的重要特殊情况是节点/边{ \em multiway cuts}，其中终端对的集合包含某个子集$T \subseteq V$（即$B = T \times T$）中的每对顶点。我们改进了这种特殊情况下的运行时间界：我们设计了一个多项式延迟和指数空间枚举算法的最小节点多路切割和多项式延迟和空间枚举算法的最小边多路切割。
2020-06-29 cs.DS
Edge-Cut Width: An Algorithmically Driven Analogue of Treewidth Based on Edge Cuts
分解参数，如树宽，通常用于获得固定参数算法的NP-难图问题。对于W [1]-hard树宽参数化的问题，一个自然的替代方案是使用一个合适的树宽模拟，它基于边切割而不是顶点分隔符。虽然树割宽度已经被创造为树宽的类似物，但它的算法应用经常导致令人失望的结果：在12个问题中，人们希望通过基于边割的树宽类似物来参数化固定参数的易处理性，其中8个被证明是W [1]-hard参数化的树割宽度。作为我们的主要贡献，我们开发了一个基于边缘切割的模拟树宽称为边缘切割宽度。直观地说，切边宽度是基于测量通过图的生成树的圈的密度。它的好处不仅包括一个相对简单的定义，但主要是它有有趣的算法属性：它可以计算一个固定参数的算法，它产生的固定参数算法的所有上述问题的树切割宽度未能做到这一点。
2022-02-28 cs.CC cs.DS
Cluster Editing: Kernelization based on Edge Cuts
{ \sc簇编辑}问题的核化算法是近年来参数化计算研究的热点。到目前为止，这个问题的大多数核化算法都是基于{ \it临界团}的概念。在本文中，我们提出了新的意见和新技术的研究核化算法的{ \sc集群编辑}的问题。我们的技术是基于{ \sc簇编辑}和图边割之间的关系的研究。作为一个应用，我们提出了一个${\cal O}(n^2)$的时间算法，构造一个$2k$内核的{\it加权}版本的{\sc集群编辑}的问题。我们的结果满足{ \sc集群编辑}问题的未加权版本的最佳核大小，并显着提高了加权版本的问题的二次大小的以前的最佳核。
2010-09-10 cs.DS
Fixed-parameter tractability of counting small minimum $(S,T)$-cuts
计数最小割的参数化复杂性是一个自然的问题，因为Ball和Provan证明了它的#P-完备性。对于任意无向图$G=(V,E)$及其两个不相交的顶点集$S,T$，我们设计了一个计算最小边$(S,T)$ -割的固定参数的易处理算法，该算法以最小边的大小$p$为参数.我们的算法在变换后的图实例上操作。这种变换称为引流，它揭示了至多$n=\left| V \right|$连续最小$(S,T)$ -割集$Z_i$的集合。证明了任意最小$(S,T)$ -截$X$至少包含一个截$Z_i$的边.这一观察，与门格尔定理，使我们能够建立算法计数所有最小$(S,T)$ -切割与运行时间$2^{O(p^2)}n^{O(1)}$。最初专用于计数最小切割，它可以被修改以获得最小边缘$(S,T)$ -切割的FPT采样。
2019-07-05 cs.CC cs.DS
Maximum cuts in edge-colored graphs
最大色割问题的输入包括一个图$G=(V,E)$与边着色$c:E\to \{1,2,3,\ldots , p\}$和一个正整数$k$，问题是$G$是否有一个非平凡的边割使用至少$k$颜色。彩色切割问题具有相同的输入，但要求使用所有$p$颜色的非平凡边切割。与经典的最大割问题不同的是，我们证明了这两个问题是NP-完全的，即使在完整的，平面的，或有界树宽图。此外，我们证明了彩色切割是NP-完全的，即使每个颜色类导致一个集团的大小最多为3，但平凡可解时，每个颜色诱导一个$K_2$。在积极的一面，我们证明了最大色割是固定参数易处理的参数时，无论是$k$或$p$，在这两种情况下，通过构建一个三次内核。
2018-05-02 cs.CG cs.DM cs.DS
Computing the $4$-Edge-Connected Components of a Graph in Linear Time
我们提出了第一个线性时间算法，计算的$4$ -边连接组件的无向图。因此，我们也得到了第一个线性时间算法测试$4$边缘连接。我们的研究结果是基于一个线性时间算法，计算$3$-边连接图$G$的$3$ -边切割，和一个线性时间程序，给定的所有$3$ -边切割的集合，分区的$G$的顶点到$4$ -边连接组件。
2021-05-06 cs.DS
Packing multiway cuts in capacitated graphs
我们考虑无向图中的“多路切割包装”问题：给定图G=（V，E）和k个商品，每个商品对应于图中不同顶点上的一组终端;我们的目标是产生一个切割集合{E_1，...，E_k}，使得E_i是商品i的多路切割，并且使任何边缘上的最大负载最小化。边上的载荷被定义为解中穿过边的切口数。在该问题的容量限制版本中，目标是最小化任何边缘上的最大相对负载--边缘负载与其容量的比率。多路切割包装出现在图标记问题的上下文中，其中我们给出了一组项目的部分标记和它们的邻域结构，并且，非正式地，目标是以最一致的方式完成标记。这个问题是由Rabani，Schulman和Swamy（SODA'08）提出的，他们在一般图中提出了一个O（log n/log log n）的近似，在树中也提出了一个改进的O（log^2 k）近似。这里n是图中的节点数。我们提出了这个问题的第一个常数因子近似任意无向图。我们的方法是基于这样的观察，即问题的每一个实例都有一个接近最优的层流解（也就是说，没有一对切口相互交叉）。
2008-10-03 cs.DS
Minimum Cuts in Directed Graphs via Partial Sparsification
本文给出了一个在$\tilde O(n\cdot \max(m^{2/3}, n))$时间内求具有$n$顶点和$m$边的边加权有向图的最小割的算法。这提高了30岁的界限$\tilde O(nm)$郝和Orlin获得这个问题。我们的主要技术是减少定向mincut问题的$\tilde O(\min(n/m^{1/3}, \sqrt{n}))$调用{ \em任何} maxflow子程序。使用最先进的maxflow算法，这将产生上述运行时间。我们的技术也产生快速{ \em近似}算法寻找最小切割有向图。对于边和顶点加权图，我们给出了$(1+ε)$ -近似算法，运行在$\tilde O(n^2 / ε^2)$时间。
2021-11-17 cs.DS
Deterministic Edge Connectivity in Near-Linear Time
我们提出了一个确定性的近线性时间算法，计算边连通度，并找到一个简单的无向无权图G的n个顶点和m条边的最小割。这是第一个O（MN）时间确定性算法的问题。在近似线性时间中，我们也可以构造所有最小割的经典仙人掌表示。Gabow在STOC'91中提出的最快确定性算法的时间复杂度为O（m+k^2 n），其中k是边连通度，但k可以是Omega（n）。在STOC'96会议上，Karger提出了一种求解最小割问题的随机近似线性时间MonteCarlo算法。正如他所指出的，没有比使用Gabow的较慢的确定性算法和比较大小更好的方法来证明返回的cut的最小性。我们的主要技术贡献是一个近线性时间算法，合同顶点集的一个简单的输入图G的最小度d，产生一个多重图具有~O（m/d）的边，保持所有的最小切割G的每边至少有2个顶点。在我们的确定性近线性时间算法中，我们将通过使用PageRank a la Brin和Page（1998）发现的低电导切割来分解问题，正如Andersson，Chung和Lang在FOCS'06中所分析的那样。通常，这种低电导切割算法是随机蒙特卡罗算法，因为它们依赖于猜测一个好的开始顶点。然而，在我们的例子中，我们有如此多的结构，不需要猜测。
2018-10-27 cs.DM cs.DS
A Simple Algorithm for Minimum Cuts in Near-Linear Time
我们考虑无向加权图的最小割问题。我们给出了一个简单的算法，以找到一个最小割，$2$ -尊重（削减两个边缘）的生成树$T$的图$G$。这个过程可以用来代替Karger的近似线性时间最小割算法（J. ACM，2000）中给出的复杂子程序。我们给出了一个自包含的版本的Karger的算法与新的程序，这是很容易的状态和相对简单的实现。它在$O(m \log^3 n)$时间内以高概率在$m$ -边，$n$ -顶点图上产生最小割，与Karger方法的复杂性相匹配。
2020-06-10 cs.DS
A new width parameter of graphs based on edge cuts: $α$-edge-crossing width
该研究提出新图宽度参数$α$-边交叉宽度，明确其与已有宽度参数的层级关系，给出对应近似算法，并基于该参数得到列表着色与预着色扩展问题的FPT算法，填补了树划分宽度与边割宽度间的复杂度空白。
2025-07-30 cs.DM cs.DS math.CO
Solving $(k-1)$-Stable Instances of k-Terminal Cut with Isolating Cuts
k-终端切割问题，也称为多路切割问题，定义在具有称为“终端”的$k$不同顶点的边加权图上。“我们的目标是从图中删除最小权重的边集合，这样任何一对终端之间都没有路径。这个问题是NP难的。隔离切口是将一个端子与其余端子分开的最小切口。所有隔离切割的并集（最大的除外）是最佳k-末端切割的$(2-2/k)$ -近似。这是目前已知的唯一一种不需要求解线性规划的用于k-端子切割的近似算法。一个k-末端切割的实例是$γ$ -稳定的，如果切割中的边最多可以乘以$γ$而不改变唯一的最优解。在本文中，我们表明，在任何$(k-1)$ -稳定的情况下，k-终端切割，源集的隔离切割是唯一的最优解的k-终端切割实例的源集。我们的结论是，$(2-2/k)$近似算法返回的最优解$(k-1)$稳定的情况下。我们是第一个结果表明，这种$(2-2/k)$ -近似是一类特殊的图的精确优化算法。我们还表明，我们的$(k-1)$ -稳定性的结果是紧密的。我们构造了k-终端割问题的$(k-1-ε)$ -稳定实例，这些实例只有平凡的隔离割：也就是说，每个终端的隔离割的源集就是终端本身.因此，$(2-2/k)$近似不返回最优解。
2019-10-02 cs.DS
Finding All Global Minimum Cuts In Practice
我们提出了一个实际有效的算法，发现所有的全球最小切割在巨大的无向图。我们的算法使用了大量的核化规则，以减少图形到一个小的等效的实例，然后找到所有的最小切割使用Nagamochi，Nakao和茨城算法的优化版本。在共享内存中，我们能够在几分钟内找到具有数十亿条边和数百万条最小割的图的所有最小割。我们还给出了一个新的线性时间算法，以找到最平衡的最小割给定的输入表示的所有最小割。
2020-02-17 cs.DS
Maintaining Expander Decompositions via Sparse Cuts
在这篇文章中，我们表明，保持扩张器分解的算法进行边删除直接删除稀疏削减重复可以有效的。形式上，对于一个$m$ -边无向图$G$，如果$|E_G(S, \overline{S})| < ϕ\cdot \min\{vol_G(S), vol_G(\overline{S})\}$，我们称一个割$(S, \overline{S})$是$ϕ$ -稀疏的. $G$的$ϕ$ -扩展器分解是将$V$划分为集合$X_1, X_2, \ldots, X_k$，使得每个簇$G[X_i]$不包含具有在簇之间交叉的$\tilde{O}(ϕm)$边缘的$ϕ$ -稀疏切割（意味着它是$ϕ$ -扩展器）.计算$ϕ$ -扩展器分解的一种自然方法是通过$ϕ$ -稀疏切割来分解簇，直到任何簇中都不包含这样的切割。我们表明，即使在图中进行边缘删除，这个元算法可以有效地实现与摊销更新时间$m^{o(1)}/ϕ^2$稍微放松。我们的方法自然延伸到维护定向$ϕ$ -扩展器分解和$ϕ$ -扩展器层次结构，从而给出了一个统一的框架，同时具有比以前的最先进的工作更简单的证明。在所有的设置中，我们的算法匹配以前的算法的运行时间子多项式的因素。此外，我们的算法提供了更强的保证$ϕ$ -扩展分解。例如，对于经历边缘删除的图，我们的方法是第一个保持动态扩展器分解的方法，其中每个更新的分解是对先前分解的细化，并且我们的方法是第一个保证在整个动…
2023-01-22 cs.DS
Thin Trees for Near Minimum Cuts
Boston University（波士顿大学）；London School of Economics and Political Science（伦敦政治经济学院）
本文证明了在考虑近最小割集合时，存在O(1/k)薄的生成树，解决了强细树猜想的特定情况。
2026-05-12 cs.DS
Minimum+1 Steiner Cuts and Dual Edge Sensitivity Oracle: Bridging the Gap between Global cut and (s,t)-cut
本文研究了容量为minimum+1的Steiner割，提出了用于查询割的数据结构和对偶边敏感性预言机，并证明了空间下界，弥合了全局割与(s,t)-割之间的研究空白。
2024-06-21 cs.DS
Fixed-parameter tractability of multicut parameterized by the size of the cutset
给定一个无向图$G$，一个顶点对的集合$\{(s_1,t_1),..., (s_k,t_k)\}$，和一个整数$p$，边多割问题询问是否存在一个至多$p$边的集合$S$，使得移除$S$将每个$s_i$与相应的$t_i$断开。顶点多割是类似的问题，其中$S$是至多$p$顶点的集合。我们的主要结果是，这两个问题都可以在时间$2^{O(p^3)}... n^{O(1)}$中解决，即，由解中割集的大小$p$参数化的固定参数易处理。相比之下，对于问题的有向版本，不太可能存在运行时间为$f(p)... n^{O(1)}$形式的算法，因为我们证明它是W[1]-硬参数化的割集的大小。
2013-09-03 cs.DS
Optimal Lower Bounds for Sketching Graph Cuts
研究了图的草图割和拉普拉斯二次型的空间复杂度。我们表明，任何数据结构，近似存储的所有削减在$n$顶点上的无向图的$1+ε$错误的大小必须使用$Ω(n\log n/ε^2)$位的空间在最坏的情况下，提高了$Ω(n/ε^2)$界的Andoni等人。和匹配的最佳已知的上限实现的频谱稀疏。我们的证明是基于一个刚性的切割（和频谱）近似的现象，这可能是独立的利益：任何两个$d-$经常图，近似对方的削减显着优于随机图近似完整的图形必须重叠在一个常数部分的边缘。
2017-12-29 cs.DM cs.DS
Fast Computation of Small Cuts via Cycle Space Sampling
我们描述了一种新的基于采样的方法来确定无向图中的割。对于一个图（V，E），它的圈空间是E的所有子集的族，这些子集在每个顶点都有偶数度。我们证明，以高概率，采样的循环空间确定的削减的图。这导致了简单的新的线性时间顺序算法，找到所有的切割边缘和切割对（一组2个边缘，形成一个切割）的图。在图G=（V，E）中的分布式计算模型中，我们的方法对几个问题产生了更快的算法。G的直径用Diam表示，最大度用Delta表示。我们得到简单的O（直径）时间分布算法，找到所有的切割边缘，2-边连接组件，并削减对，匹配或改进以前的时间界限。在自然条件下，这些新算法是普遍最优的-即一个欧米茄（直径）时间下界举行的每一个图。我们得到了一个O（直径+Delta/log V）-时间分布式算法寻找割顶点，这是快于最好的以前的算法时，三角洲，直径= O（sqrt（V））。一个简单的扩展，我们的工作产生的第一个分布式算法与3-边连接组件的次线性时间。基本的分布式算法是蒙特卡洛，但它们可以在不增加渐近复杂性的情况下被拉斯维加斯。在EREW PRAM上的并行计算模型中，我们的方法产生了一个简单的算法，具有最佳的时间复杂度O（log V），用于寻找割对和3-边连接组件。
2010-07-21 cs.DC cs.DS
Solving Routing Problems via Important Cuts
我们介绍了一种使用重要切割的新方法，该方法允许我们为以下路由问题设计明显更快的固定参数易处理（FPT）算法：由有向边的数量参数化的混合中国邮递员问题（Gutin等人，JCSS 2017），由两个指定顶点之间的路径的数量p参数化的最小共享边问题（MSE）（Fluschnik等人，JCSS 2019）和加权最小切割预防问题（Gruttemeier等人，WG 2021）。最小脆弱性问题（MV）是MSE的推广（Assadi等人，2014年）。用于由p参数化的MV（与MSE的参数相同）的唯一已知FPT算法是用于弦图（Aoki等人，JCO 2018）。我们设计了一个FPT算法，用于所有无向图上的MV。
2022-06-08 cs.DS
Independent sets and cuts in large-girth regular graphs
我们提出了一个局部算法，在大围长3-正则图上产生一个独立的期望大小$0.44533n$集，在大围长4-正则图上产生一个独立的期望大小$0.40407n$集。在大围长3-正则图上，我们还构造了一个$1.34105n$边的割（或平分或二部子图）。这些分别减小了从$0.0178$到$0.01$、从$0.0242$到$0.0123$和从$0.0724$到$0.0616$的最佳已知上限和下限之间的间隙。我们使用的是局部算法，因此，该方法还提供了$1 / 0.44533 \approx 2.24554$和$1 / 0.40407 \approx 2.4748$的分数着色数和分数边着色数$1.5 / 1.34105 \approx 1.1185$的上界。我们的算法是Hoppen和Wormald介绍的技术的应用。
2016-02-08 cs.DM cs.DS math.CO
Maximizing Matching Cuts
本文综述了最大匹配割问题，即寻找图中最大的匹配割，并比较了相关匹配割变体，探讨了与最大割和最小割的关系。
2023-12-20 cs.CC cs.DM cs.DS
Vertex Sparsifiers for c-Edge Connectivity
我们证明了存在O（f（c）k）大小的顶点稀疏因子，它们在一组k个终端顶点之间保持所有的边连通性值，其中f（c）是一个只依赖于c的函数，即边连通性值。这种构造是算法性的：我们还提供了一种算法，其运行时间线性依赖于k，但在c中呈指数关系。这意味着对于c的常数值，可以在每次操作的polylog时间内回答边缘插入/删除和c-边缘连接查询的离线序列。这些结果是通过结合最小终端分离割无向图的结构结果与最近的发展，在扩展分解为基础的方法，找到小顶点/边割图。
2019-10-23 cs.DS
Global and fixed-terminal cuts in digraphs
多路切换类问题的计算复杂性可能会根据终端是否固定而显著变化。在这项工作中，我们提出了一个全面的研究这一现象在两种类型的切割问题的有向图：双割和bicut。1.已知固定终端边加权双重割是有效可解的。我们证明了一个紧的逼近因子$2$的固定终端节点加权双重切割。我们表明，全球节点加权双割不能近似为一个因子小于$3/2$下的唯一游戏猜想（UGC）。2.已知固定终端边加权双割具有紧逼近因子$2$。我们表明，全球边缘加权bicut是近似的一个因素严格优于$2$，全球节点加权bicut不能近似的一个因素小于$3/2$下UGC。3.在这些调查中，我们还证明了两个结果的无向图是独立的利益。首先，我们证明了节点加权$3$ -割问题的NP-完全性和$4/3$的一个紧不可逼近界。其次，我们证明了对于常数$k$，存在一个有效的算法来解决最小$\{s,t\}$分离$k$ -割问题。我们的算法的技术是组合的，基于LP和基于枚举的近似最小割。我们的硬度结果是基于组合减少和完整性差距的情况下。
2017-07-06 cs.DS math.OC
Hypergraph Cuts with Edge-Dependent Vertex Weights
我们开发了一个框架，将边相关的顶点权重（EDVWs）到超图最小的s-t切割问题。这些权重能够反映超边内顶点的不同重要性，从而导致更好地表征切割属性。更确切地说，我们引入了一类新的超边分裂函数，我们称之为EDVWS为基础的，其中分裂超边的惩罚只取决于与分裂的每一侧的顶点相关联的EDVWS的总和。此外，我们提供了一种方法来构建子模EDVWS为基础的分裂功能，并证明了超图配备这样的分裂功能可以减少到一个图共享相同的切割性能。在这种情况下，超图最小s-t割问题可以使用图最小s-t割问题的成熟解决方案来解决。此外，我们表明，现有的稀疏化技术可以很容易地扩展到我们的情况下，使减少图更小，更稀疏，从而进一步加快算法应用到减少图。使用真实数据的数值实验表明，我们提出的基于EDVWS的分裂函数的有效性相比，全或无分裂函数和基数为基础的分裂函数通常采用现有的工作。
2022-08-04 cs.DS cs.SI
Local Guarantees in Graph Cuts and Clustering
相关聚类是一个优雅的模型，它可以捕获基本的图切割问题，例如组合优化中广泛研究的最小$s-t$切割，多路切割和多切割。这里，我们给出一个图，其边标记为$+$或$-$，目标是产生尽可能与标签一致的聚类：聚类内的$+$边和聚类间的$-$边。相关聚类（和其他图切割问题）的经典方法是优化全局目标。我们离开这一点，并研究当地的目标：最大限度地减少分歧的边缘事件在一个单一的节点，和类似的最大最小协议的目标。这自然会产生一个家庭的基本最小最大图切割问题。一个典型的代表是最小最大$s-t$切割：找到一个$s-t$切割，最大限度地减少任何节点上的切割边的最大数量。我们提出以下结果：$(1)$是求解最小化任意结点上不一致边的最大总权问题的一个$O(\sqrt{n})$ -近似（从而提供了第一个已知的近似上述家庭的最小最大图切割问题），$(2)$一个非常简单的$7$ -近似最小化局部分歧完全图（在$48$的先前最佳已知近似的基础上进行改进），以及$(3)$是用于最大化入射在任何节点上的一致边的最小总权重的$1/(2+\varepsilon)$近似，从而改进了$1/(4+\varepsilon)$ -近似，该近似是从切割和政党联盟博弈中的近似纯纳什均衡的研究中得出的。
2017-04-02 cs.DS
Perfect matching cuts partitioning a graph into complementary subgraphs
在划分成互补子图（Comp-Sub）中，我们给出了一个图$G=(V,E)$和一个边集性质$Π$，并问对于某个图$H$，$G$是否可以分解成两个图$H$和它的补图$\overline{H}$，使得边割$[V(H),V(\overline{H})]$满足性质$Π$ .出于以前的工作，我们认为Comp-Sub（$Π$）时，属性$Π=\mathcal{PM}$指定的边缘切割的分解是一个完美的匹配。证明了当图$G$是$\{C_{k\geq 7}, \overline{C}_{k\geq 7} \}$ -free时，Comp-Sub（$\mathcal{PM}$）是GI-难的.另一方面，我们证明了Comp-Sub（$\mathcal{PM}$）在$hole$ -free图和$P_5$ -free图上是多项式时间可解的.此外，我们提出了弦，距离遗传和扩展的$P_4$ -载货图的Comp-Sub（$\mathcal{PM}$）的特征。
2022-10-13 cs.DS math.CO
Fast Approximations for Rooted Connectivity in Weighted Directed Graphs
我们考虑计算有向图中最小加权割的近似。我们考虑有根和全局最小割，边割和顶点割。对于这些问题，我们给随机蒙特卡罗算法计算$(1+ε)$ -近似最小割$\tilde{O}(n^2 / ε^2)$时间。这些结果扩展并建立在最近的工作[4]上，该工作在具有小整数容量的有向图中获得了具有相似运行时间的精确算法。
2021-04-14 cs.DS
A tight example for approximation ratio 5 for covering small cuts by the primal-dual method
The Open University of Israel（以色列开放大学）
该研究通过构造一个例子证明，对偶算法在小割覆盖问题中的近似比5是紧的。
2025-12-21 cs.DS
On Happy Colorings, Cuts, and Structural Parameterizations
我们研究了最大快乐顶点和最大快乐边问题。前一个问题是集群化的一个变体，其中一些顶点已经被分配到集群。第二个问题给出了多路未切割的自然推广，这是经典多路切割问题的补充。由于聚类和切割问题在理论和实践中的基础性作用，它们一直受到人们的广泛关注。我们建立了一个新的这两类问题之间的连接，通过提供最大幸福顶点和节点多路切割之间的减少。此外，我们还研究了最大快乐点和最大快乐边的结构和距离平凡参数化。在这些方向上获得的结果回答了四个作品中明确提出的问题：Agrawal '17，Aravind等人'16，Choudhari和Reddy '18，Misra和Reddy '17。
2019-07-14 cs.DS
Local Flow Partitioning for Faster Edge Connectivity
研究了简单无向图的最小割问题，给出了一个确定性的$O(m \log^2 n \log\log^2 n)$时间算法。这改进了$O(m \log^{12} n)$（Kawarabayashi和Thorup，STOC 2015）的最佳先前已知的确定性运行时间和$O(m \log^{3} n)$（Karger，J.ACM 2000）的最佳先前已知的随机化运行时间，尽管Karger的算法可以进一步应用于加权图。此外，我们的结果扩展到平衡有向图，其中有向图的平衡捕获图是如何接近欧拉的。我们的方法是使用Kawarabayashi和Thorup图压缩技术，反复发现低电导削减。为了找到这些切口，他们使用基于扩散的局部算法。相反，我们使用基于流的本地算法，并适当地调整其框架，以与我们的基于流的子例程。基于流动和扩散的方法都有很长的历史，被应用于寻找低电导切割。扩散算法有几种变体，它们自然是局部的，而使流方法局部化则更复杂。一些先前的工作已经证明了基于局部流的算法在改善或清除低电导切割方面的良好特性。然而，我们的流量子程序是第一个既本地又产生低电导切割的子程序。因此，它可能具有独立利益。
2019-11-08 cs.DS
An FPT Algorithm for Diverse Minimum s-t Cuts
University of Bergen（卑尔根大学）
研究在有向加权图中寻找多样最小边s-t割的问题，给定整数k和d，判断图中是否存在k个最小s-t割满足特定条件。证明该问题以k + d为参数时是固定参数可解的，基于多样最小s-t割的新结构特性和流增强技术。
2026-07-07 cs.DS
Minimum Cuts in Directed Graphs via $\sqrt{n}$ Max-Flows
我们给出了一个在$n$ -顶点，$m$ -边加权有向图中使用$\tilde O(\sqrt{n})$调用任何maxflow子程序来寻找mincut的算法。使用最先进的maxflow算法，这产生了在$\tilde O(m\sqrt{n} + n^2)$时间内运行的定向mincut算法。这改善了30岁的界限$\tilde O(mn)$郝和Orlin获得这个问题。
2021-04-16 cs.DS
A Faster Local Algorithm for Detecting Bounded-Size Cuts with Applications to Higher-Connectivity Problems
考虑以下有向图中的“局部”切割检测问题：我们被给予起始顶点$s$，并且需要检测是否存在具有至多$k$条边的切割与切割交叉，使得切割的包含$s$的一侧具有至多$Δ$内部边。如果我们被给予对输入图的查询访问，那么这个问题原则上可以在次线性时间内解决，而无需读取整个图，并且查询复杂度取决于$k$和$Δ$。我们设计了一个优雅的随机化过程，通过$O(k^2 Δ)$查询解决了这个问题的松弛变体，特别是改进了Escherhik等人[SODA 2017]之前的$O((2(k+1))^{k+2} Δ)$边界。在该松弛变体中，如果存在包含至多具有$k$外边缘和$Δ$内边缘的$s$的分量，则该过程必须成功地检测这样的分量，但是它实际检测的分量可以具有至多$O(k Δ)$内边缘。除了其本身的兴趣，这种切割检测程序已被用于许多算法应用程序的更高的连接性问题。因此，我们的新的割检测过程几乎容易地暗示（1）更快的顶点连通性算法，其特别地对于顶点连通性的多对数值具有接近线性的运行时间，（2）用于计算最大$k$ -边连通子图的更快的算法，以及（3）用于更高边和顶点连通性的更快的属性测试算法，其解决了两个公开问题，一个是Goldreich和Ron [STOC '97]，另一个是Orenstein和Ron [TCS 2011]。
2019-04-22 cs.DS
Shared-memory Exact Minimum Cuts
无向边权图的最小割问题要求我们将其节点集分成两个块，同时最小化割边的权和。在本文中，我们工程师已知的最快的精确算法的问题。像Padberg和Rinaldi的算法或Nagamochi、Ono和Ibaraki的算法这样的最先进的算法识别可以收缩以减小图大小的边，使得在收缩的图中保持至少一个最小切割。我们的算法通过多种技术实现了对这些算法的运行时间的改进。首先，我们使用最近开发的快速和并行的\emph{inexact}最小割算法，以获得更好的界限的问题。然后，我们使用依赖于这个界限的约简，以比以前更快地减小图的大小。我们使用改进的数据结构，以进一步提高我们的算法的运行时间。此外，我们并行的收缩例程Nagamochi，小野和茨城。总的来说，我们到达一个系统，性能优于最快的国家的最先进的求解器的\emph{exact}最小切割问题显着。
2018-08-16 cs.DS
Randomized Approximation Schemes for Cuts and Flows in Capacitated Graphs
我们改进了随机抽样技术，用于近似解决涉及图中的切割和流动的问题。我们给出了一个近线性时间的结构，将任何n个顶点的图转换为O（n \log n）-边图在相同的顶点，其削减具有近似相同的值作为原始图的。例如，在这个新的图中，我们可以运行Goldberg和Rao的O（m^{3/2}）时间最大流算法来在O（n^{3/2}）时间内找到s-t最小割。这对应于原始图中的（1+ 1）倍最小s-t切割。在O（log n）的时间内，我们可以用O（n^2）的时间复杂度来计算一个稀疏割。一个相关的方法导致一个随机的分治算法产生一个近似最大流在O（m sqrt{n}）的时间。
2002-07-23 cs.DM cs.DS
Minimum Cuts in Near-Linear Time
我们显着改善已知的时间界限解决无向图的最小割问题。我们使用的“半对偶”之间的最小切割和最大生成树包装与我们以前开发的随机抽样技术相结合。我们给出了一个随机算法，它以高概率在O（mlog^3 n）时间内找到一个m-边，n-顶点图的最小割。我们还给出了一个更简单的随机算法，找到所有的最小切割高概率在O（n^2 log n）的时间。该变体具有最佳RNC并行化。时间复杂度为O（n^2 log^3 n）。树包装方法的其他应用是新的，几乎紧边界上的近最小割图可能有一个新的数据结构，用于表示它们在一个空间有效的方式。
1998-12-08 cs.DS
A note on small cuts for a terminal
给定图$G = (V,E)$和终端$s\in V$，$s$的割$X$是包含$s$的顶点集。我们寻找在两种意义上小的切口，即，在$X$中不超过$k$顶点，并且不超过离开$X$的$t$边。通过回答Fomin等人提出的一个问题（arXiv：1304.6189），我们证明了该问题是由$k$或$t$参数化的固定参数可处理的。
2014-03-04 cs.DS
Multicommodity Flows and Cuts in Polymatroidal Networks
我们考虑{ \em polymatroidal}网络中的多商品流和切割问题，其中节点的边存在子模块容量约束。多拟阵网络是由Lawler、Martel和Hassin在单一商品环境中引入的，与Edmonds和Giles的次模流模型密切相关;著名的最大流-最小割定理在这个更一般的环境中成立。就作者所知，多商品情况下的多边形网络以前没有被探索过。我们的工作主要是出于应用程序的信息流在无线网络中。我们还考虑了无向polymatroidal网络的概念，并观察到，他们提供了一个自然的方式来推广流和削减的边缘和节点容量限制无向网络。我们建立了多对数流切间隙的结果，在几个场景中，以前已经考虑在标准的网络流模型的能力是在边缘或节点。我们的研究结果已经在无线网络信息流中得到应用，我们期待在未来有更多的应用。在技术方面，我们的关键工具是制定和分析的对偶的流动松弛通过连续扩展的次模函数，特别是Lovász扩展。对于有向图，我们依赖于一个简单而有用的减少从polymatroidal网络的标准网络。对于无向图，我们依赖于子模函数的Lovász扩张与Matousek和Rabinovich引入的低平均失真的线嵌入之间的相互作用;这种联系受到Feige，Hajiaghayi和Lee关于节点容量限制的多商品流和切割的工作的启发并推广。嵌入对多面体网络的适用性具有独立的数学意义。
2011-10-31 cs.DM cs.DS cs.IT
Cuts and Gauges for Submodular Width
Institute of Logic and Computation, TU Wien（逻辑与计算研究所，维也纳工业大学）
本文将子模宽度重新表述为几何术语，通过新的分支宽度参数近似子模宽度，连接了超图边分离与子模函数成本，并将其与图论概念如线图树宽和多商品流相关联。
2026-04-24 cs.DB cs.DM cs.DS
Recovering Communities in Structured Random Graphs
EPFL（洛桑联邦理工学院）；Bocconi University（博科尼大学）
在结构随机图中，研究了在存在大量重叠稀疏切割时如何恢复社区结构，并证明在特定条件下可近似恢复所有切割。
2026-01-23 cs.DS
Max Cut and the Smallest Eigenvalue
我们描述了一个新的近似算法的最大切割。我们的算法运行在$\tilde O(n^2)$的时间，其中$n$是顶点的数量，并实现了$.531$的近似比。在最优解切割$1-ε$边缘分数的情况下，我们的算法找到切割$1-4\sqrtε + 8ε-o(1)$边缘分数的解决方案。我们的主要结果是一个变种的频谱分割，它可以在近线性时间内实现。给定一个图，其中最大切割最优是边缘的$1-ε$分数，我们的谱分割算法找到一组$S$的顶点和$S$的二分区$L,R=S-L$，使得至少一个$1-O(\sqrt ε)$分数的边缘事件在$S$有一个端点在$L$和一个端点在$R$。(This可以被视为图的邻接矩阵的最小特征值的Cheeger不等式的模拟。）迭代此过程产生上述近似结果。一种不同的、更复杂的谱划分变体导致$\tilde O(n^3)$时间算法，该算法在最优值为$1/2 + ε$的图中切割边缘的$1/2 + e^{-Ω(1/\eps)}$部分。
2008-12-08 cs.DS
Graph Bisection with Pareto-Optimization
我们介绍FlowCutter，一种新的算法来计算一组边缘切割或节点分隔符，优化切割大小和平衡的帕累托意义上。我们的核心算法解决了平衡连接的st边切割问题，其中两个给定的节点s和t必须通过删除边来分离，以获得两个连接部分。使用核心算法，我们构建了计算节点分隔符并且独立于s和t的变体。使用帕累托集，我们可以识别切割尺寸和平衡之间的特别好的权衡，可以用于计算收缩和最小填充顺序，这可以用于可定制收缩层次（CCH），一种用于最短路径计算的加速技术。我们的核心算法在O（cm）时间内运行，其中m是边缘数，c是切割尺寸。这使得它非常适合具有小切割的大型图，例如道路图，这是我们的主要应用。对于道路图，我们提出了一个广泛的实验研究表明，FlowCutter优于目前的最先进的切割尺寸以及CCH性能方面。
2017-11-22 cs.DS
Fixed-Parameter Tractability of Directed Multiway Cut Parameterized by the Size of the Cutset
给定一个有向图$G$，一组$k$终端和一个整数$p$，\textsc{Directed Vertex Multiway Cut}问题询问是否存在一个至多由$p$（非终端）顶点组成的$S$集合，该集合的删除将断开每个终端与所有其他终端的连接。\textsc{Directed Edge Multiway Cut}是类似的问题，其中$S$是至多$p$边的集合。众所周知，这两个问题确实是等效的。多路切割的自然推广是\emph{multicut}问题，其中我们希望仅断开一组给定的$k$对，而不是所有对。马克思（Theor。比较科学2006）证明了在无向图中多路割是由$p$参数化的固定参数易处理（FPT）。Marx和Razgon（STOC 2011）证明了无向多割是FPT，有向多割是W[1]-hard，由$p$参数化。我们通过我们的主要结果完成了这幅图，该结果是\textsc{Directed Vertex Multiway Cut}和\textsc{Directed Edge Multiway Cut}都可以在时间$2^{2^{O(p)}}n^{O(1)}$中求解，即，FPT由解的割集的大小$p$参数化。这就回答了马克思提出的一个悬而未决的问题（Theor.比较科学2006）和Marx and Razgon（STOC 2011）。从我们的结果可以看出，对于$k=2$末端对的情况，\texts…
2013-04-25 cs.CC cs.DS
Parameterized complexity of length-bounded cuts and multi-cuts
我们表明，最小长度有界的L-But问题可以在线性时间内计算L和输入图的树宽度作为参数。在这个问题中，任务是找到一组边的图，这样删除这一组后，两个指定的顶点之间的最短路径是至少L长。我们推导出一个FPT算法更一般的多商品的长度有界切割问题时，参数终端的数量也。对于前一个问题，我们证明了当参数化仅由路径宽度（而不是树宽度）完成时的W[1]-硬度结果，并且当参数化为树宽度和L时，该问题不允许多项式核。我们还推导出一个FPT算法的最小长度有界割问题时，参数化的树的深度。从而显示了这个问题的一个有趣的范例和参数树的深度和路径宽度。
2015-11-09 cs.DS
A scalable clustering algorithm to approximate graph cuts
针对图割计算复杂度高的问题，提出基于 $st$-MinCut 划分和 Gomory-Hu 树的 Xist 算法，在加权无向图中高效近似原始图割，实现顶点上线性、边上二次的运行时间，并在大型数据集上优于谱聚类。
2024-10-12 cs.DM cs.DS
Approaching $\frac{3}{2}$ for the $s$-$t$-path TSP
我们表明，有一个多项式时间算法的近似保证$\frac{3}{2}+ε$的$s$ - $t$ -路径TSP，任何固定的$ε>0$。众所周知，Wolsey对Christofides算法的分析也适用于$s$ - $t$ -路径TSP，其自然LP松弛除了窄割（其中LP解具有小于2的值）。一个固定的最优路径要么在一个狭窄的切割中有一条边（然后称该边和该切割为孤独的），要么至少有三条边（然后称该切割为忙碌的）。我们的算法“猜测”（动态规划）孤独的削减和边缘。然后，我们将实例划分为更小的实例并加强LP，要求值至少为3用于繁忙切割。通过建立一个$k$级递归动态程序，我们可以计算生成树$(V,S)$和LP解$y$，使得$(\frac{1}{2}+O(2^{-k}))y$在$T$ -连接多面体中，其中$T$是$S$中度具有错误奇偶性的顶点的集合.
2019-07-23 cs.DM cs.DS math.CO
Discounted Cuts: A Stackelberg Approach to Network Disruption
Ministry of Economic Development of the Russian Federation（俄罗斯联邦经济部）
针对网络破坏的斯塔克尔伯格攻防博弈场景，提出折扣割数学模型与统一算法框架，证明有界亏格图上的相关问题可多项式时间求解，打通多领域协作桥梁。
2025-11-13 cs.AI cs.DS
Determining 4-edge-connected components in linear time
在这项工作中，我们提出了第一个线性时间确定性算法计算无向图的4-边连通组件。首先，我们给出了一个算法，列出所有的3-边割在一个给定的3-边连通图，然后我们使用这个算法的输出，以确定图的4-边连通组件。
2021-05-04 cs.DS
Sketching Cuts in Graphs and Hypergraphs
Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）
本文研究了图与超图中切口的草图化方法，证明了流模型中Max-Cut近似的空间下界，并提出了一种高效的超图切口稀疏化算法，同时探索了CSP问题的草图化方法。
2014-09-08 cs.DS
Length-Bounded Cuts: Proper Interval Graphs and Structural Parameters
在本文中，我们研究的长度有界割问题的特殊图类，以及从参数化的复杂性的观点。这里，我们给出一个图$G$，两个顶点$s$和$t$，以及正整数$β$和$λ$。任务是找到一组大小至多为$β$的边$F$，使得$G$中长度至多为$λ$的每个$s$ - $t$ -路径包含$F$中的某个边。Bazgan等人证明了当输入图$G$是~真区间图时，长度有界割算法是多项式时间算法.我们证实了这一猜想，通过展示一个动态规划为基础的多项式时间算法。我们加强了Dvokiák和Knop的W[1]-硬度结果。我们的约简更短，似乎更容易描述，并且约简的目标具有更强的结构性质。因此，我们给出了输入图的路宽和最大度的组合参数的W[1]-硬度。最后证明了反馈顶点数的长度有界割是W[1]-难的。我们的硬度结果补充了已知的XP算法。
2019-10-08 cs.DS
Small Cuts and Connectivity Certificates: A Fault Tolerant Approach
我们重温经典的连接性问题，在分布式计算的CONGEST模型。通过使用容错网络设计的技术，我们展示了改进的结构，其中一些甚至是“本地的”（即，具有$\widetilde{O}(1)$轮）用于与硬全局问题密切相关的问题（即，具有$Ω(Diam+\sqrt{n})$轮的下限）。我们的主要结果是：（1）对于具有常边连通度的$D$ -直径无权图，我们给出了$poly(D)$圈中最小割的精确分布确定性计算。这解决了最近在Daga，Henzinger，Nanongkai和Saranurak，STOC'19中提出的开放问题之一。(2)对于$D$ -直径无权图，我们提出了一个确定性算法，在$poly(D)\cdot 2^{O(\sqrt{\log n\log\log n})}$轮中计算所有的边连通度直到常数。(3)在$\widetilde{O}(λ)$轮中计算稀疏$λ$连通性证书。先前的构造仅已知用于$λ\leq 3$并且需要$O(D)$轮。这解决了Dori PODC'18提出的问题。
2020-08-03 cs.DC cs.DS
Faster Algorithm for Second (s,t)-mincut and Breaking Quadratic barrier for Dual Edge Sensitivity for (s,t)-mincut
本文研究第二最小容量 (s,t)-割，提出仅需 O(√n) 次最大流计算的有向图算法，并给出 O(m) 时间计算 Minimum+1 (s,t)-割及 O(m) 空间 DAG 刻画方法，进而在简单图上突破对偶边敏感性预言机的 Ω(n^2) 空间下界。
2025-07-02 cs.DS
An Approximation Algorithm for Fully Planar Edge-Disjoint Paths
对于边不相交路径问题的最大化问题，如果供给图和需求边构成一个平面图，我们设计了一个常数因子的近似算法。通过平面对偶，这等价于平面图中的包装切割，使得每个切割仅包含一个需求边。我们还表明，自然的线性规划松弛有恒定的完整性差距，产生一个近似的最大多流最小多割定理。
2020-01-06 cs.DM cs.DS math.CO
