Quantitative stability estimates for a two-phase Serrin-type overdetermined problem
本文研究了一类具有逐段常系数的散度型二相椭圆算子的Serrin型超定问题。特别是，我们考虑的情况下，两个阶段的超定问题是接近的一个阶段设置。首先，我们通过一个阶段的稳定性结果显示定量的稳定性估计的两相问题。此外，我们证明了不存在相应的内问题的上述两相稳定性的结果。
2021-07-13 math.AP
Serrin-type overdetermined problems for Hessian quotient equations
证明了一类完全非线性方程，即Hessian商方程和Hessian商曲率方程的超定问题解的对称性。我们的方法是基于建立一个Rellich-Pohozaev型恒等式的Hessian商方程和使用一个P函数。我们的结果推广了k-Hessian方程和k-曲率方程的超定问题。
2022-09-13 math.AP
Serrin's overdetermined problem on the sphere
研究了单位球$S^N \subset \mathbb{R}^{N+1}$的子域$Ω$中的Serrin超定边值问题\begin{equation*} -Δ_{S^N}\, u=1 \quad \text{ in $Ω$},\qquad u=0, \; \partial_ηu=\textrm{const} \quad \text{on $\partial Ω$} \end{equation*}，其中$Δ_{S^N}$表示$S^N$上的Laplace-Beltrami算子.如果$S^N$的子域$Ω$允许这个超定问题的解，则它被称为Serrin域。在我们的主要结果中，我们构造了$S^N$，$N \ge 2$中的Serrin域，它们从赤道的对称直管状邻域分叉。我们的结果提供了$S^{N}$中Serrin域不被测地球包围的第一个例子。
2017-11-09 math.AP
Symmetry and rigidity results for Serrin's overdetermined type problems in weighted Riemannian manifolds
Università degli Studi di Milano（米兰大学）
研究带权流形上有界域上的Serrin过定边界值问题，建立域闭合为紧致时的刚性结果，分析解与周围流形几何关系，并探讨非紧闭合域在欧几里得空间形变下的情况。
2026-04-01 math.AP
The classical overdetermined Serrin problem
在这次调查中，我们认为经典的超定问题，研究Serrin在1971年。原来的证明依赖于亚历山德罗夫的移动平面方法，最大值原理，和改进的霍普夫的边界点引理。从那时起，针对同一问题的其他方法也被设计出来。其中，我们认为一个由于温伯格罢工的基本论点使用，并成为非常受欢迎。然后讨论了不依赖于最大值原理的含调和函数的对偶方法、形导数方法和纯积分方法。对于每一个，我们考虑利弊以及一些概括。
2017-11-30 math.AP
Serrin's overdetermined problem in rough domains
本文证明了 Serrin 超定定理在 Lipschitz 域及更一般的有限周长集（允许裂缝）上成立，通过新方法肯定解决了长期未决的开放问题。
2025-03-29 math.AP
On Serrin's overdetermined problem in space forms
本文考虑空间型中的超定Serrin型问题，推广了Weinberger在[Arch. Rational Mech. Anal.，43（1971）]通过引入适当的P-函数。
2017-02-17 math.AP math.DG
Quantitative stability for the nonlocal overdetermined Serrin problem
The University of Western Australia（西澳大学）；Adelaide University（阿德莱德大学）
该研究通过移动平面法构造新反对称障碍，建立非局部Serrin超定问题的定量稳定性，得到优于经典拉普拉斯情形的稳定性估计及相关非局部引理，工具具独立研究价值。
2026-09-04 math.AP
Unbounded periodic solutions to Serrin's overdetermined boundary value problem
研究了$\mathbb{R}^N$中非平凡无界区域$Ω$的存在性，使得超定问题$$ -Δu = 1 \quad \text{in $Ω$}, \qquad u=0, \quad \partial_νu=\textrm{const} \qquad \text{on $\partial Ω$} $$有解$u$ .通过这一点，我们补充Serrin的分类结果从1971年产生的每一个有界域承认上述问题的解决方案是一个球在$\mathbb{R}^N$。我们构造的域在某些变量上是周期性的，在其他变量上是径向的，并且它们从直的（广义的）圆柱体或平板分叉。我们还表明，这些领域是唯一的自我Cheeger相对于一个周期细胞的问题。
2016-09-09 math.AP
Hölder stability for Serrin's overdetermined problem
在有界区域$Ω$中，考虑问题$Δu+f(u)=0$在$Ω$中的正解，$u=0$在$\partialΩ$上，其中$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$是局部Lipschitz连续函数.在充分条件下的$Ω$（例如，如果$Ω$是凸的），我们表明，$\partialΩ$是包含在一个球面环的半径$r_i<r_e$，其中$r_e-r_i\leq C\,[u_ν]_{\partialΩ}^α$的一些常数$C>0$和$α\in (0,1]$。这里，$[u_ν]_{\partialΩ}$是$u$的标准导数在$\partialΩ$上的Lipschitz泛函。该结果改进了[1]中对Serrin超定问题获得的对数估计的Hölder稳定性。它还推广到一个大类的半线性方程的Hölder估计在[6]的情况下扭转刚度（$f\equiv 1$）通过积分恒等式。证明的关键在于[1]中包含的思想，并使用Carleson型估计和改进的Harnack不等式。
2015-06-19 math.AP
Serrin's overdetermined theorem within Lipschitz domains
Brown University（布朗大学）；Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
本文在Lipschitz领域中证明了Serrin过定定理，并提供了一种新的证明方法，解决了相关问题。
2026-03-11 math.AP
Rigidity and quantitative stability for partially overdetermined problems and capillary CMC hypersurfaces
本文研究半空间中的 Serrin 型部分超定问题与毛细 CMC 超曲面，证明了毛细球冠的刚性刻画及相应的定量稳定性结果。
2023-11-30 math.AP
Serrin's type problems in warped product manifolds
本文考虑了翘曲积流形中的Serrin超定问题，并利用Weinberger引入的P-函数方法证明了Serrin的型刚性结果。
2019-12-20 math.AP
Rigidity results for Serrin's overdetermined problems in Riemannian manifolds
本文研究Riemannian流形上的Serrin超定问题，通过共形变换与P函数方法证明Pohozoaev型恒等式及Serrin型刚性结果，并利用广义归一化壁面剪应力界限得出Dirichlet问题的对称性结果。
2024-10-16 math.AP math.DG
Serrin's overdetermined problems on epigraphs
Université de Picardie Jules Verne（皮卡第朱尔·凡尔纳大学）
研究Serrin超定问题，当Ω为上图像且u为经典解时，在f为特定类型及维度条件下，证明Ω是仿射半空间、u是一维的，部分回答相关问题，且当f(0)<0时在任意N≥2维度有新单调性结果。
2026-07-22 math.AP
Symmetry results for some overdetermined obstacle problems
本文针对两类超定障碍问题（Serrin型与两相问题）证明对称性，分别利用比较原理与上调和性，以及Serrin移动平面法。研究背景与问题、方法细节、结论与意义均完整覆盖。
2023-06-21 math.AP
Serrin's Overdetermined Problem and Constant Mean Curvature Surfaces
对于所有的$N \geq 9$，我们发现光滑的整个epigraphs在$\R^N$，即光滑域的形式$Ω: = \{x\in \R^N\ / \ x_N > F (x_1,\ldots, x_{N-1})\}$，这不是半空间，其中的问题的形式$Δu + f(u) = 0 $在$Ω$有一个积极的，有界的解决方案0 Dirichlet边界数据和常数Neumann边界数据$\partial Ω$。这否定地回答了Berestycki、Caffarelli和Nirenberg \cite{bcn2}提出的大维数问题。在1971年，Serrin \cite{serrin}证明了一个有界域，这样一个超定问题是可解的，必须是一个球，在类比著名的结果由亚历山德罗夫说，一个嵌入紧凑的表面与常数中曲率（CMC）在欧几里得空间必须是一个球。在较低的维度，我们成功地提供了域的边界接近一个给定的CMC表面的Serrin的超定问题是可解的大膨胀的例子。
2013-10-16 math.AP math.DG
Symmetry and linear stability in Serrin's overdetermined problem via the stability of the parallel surface problem
我们考虑问题$$ -Δu=f(u) \ \mbox{ and } \ u>0 \ \ \mbox{ in } \ Ω, \ \ u=0 \ \mbox{ on } \ Γ, $$的解，其中$Ω$是$\mathbb{R}^N$中的有界区域，其边界$Γ$为类$C^{2,τ}$，$0<τ<1$，$f$是局部Lipschitz连续非线性。塞林著名的对称性定理指出，如果正规导数$u_ν$在$Γ$上是常数，那么$Ω$必须是一个球。在[CMS 2]中，已经证明Serrin定理可以通过以下方式的稳定性获得：首先，对于解$u$，证明对于依赖于$δ>0$的某个常数$C_δ$的估计$$ r_e-r_i\le C_δ\,[u]_{Γ^δ} $$，其中$r_e$和$r_i$是包含$Γ$的球形环的半径，$Γ^δ$是在距离$δ$处平行于$Γ$并且足够接近$Γ$的表面，其次，如果$Γ$上的加法$u_ν$是常数，证明了$$ [u]_{Γ^δ}=o(C_δ)\ \mbox{ as } \ δ\to 0^+. $$本文证明了这种策略是成功的.作为该方法的一个副产品，对于$C^{2,τ}$ -正则域，我们还得到了Serrin对称性结果的线性稳定性估计。我们的结果是最优的，并大大改进了[ABR]的类似的渐近型估计和[CMV]的Hölder估计，仅限于凸域。
2015-05-25 math.AP
On Serrin's overdetermined problem and a conjecture of Berestycki, Caffarelli and Nirenberg
本文讨论了在epigraph $$ \{\begin{aligned} &Δu+ f(u)=0,\ \ \ {in}\ Ω=\{(x^\prime,x_n): x_n>φ(x^\prime)\},\\ &u>0,\ \ \ {in}\ Ω,\\ &u=0,\ \ \ {on}\ \partialΩ,\\ &|\nabla u|=const. {on} \partialΩ. \end{aligned}. $$中Serrin超定问题的刚性结果。我们证明了在等距的情况下epigraph必须是半空间，并且解$u$必须是一维的，只要满足下列假设之一：$n=2$ ;或$ φ$是全局Lipschitz，或$n \leq 8$和$ \frac{\partial u}{\partial x_n} >0$在$Ω$中。考虑到在\cite{DPW}中构造的维数为$n\geq 9$的反例，该结果是最优的。这部分回答了Berestycki，Caffarelli和Nirenberg \cite{BCN}的一个猜想。
2015-02-16 math.AP math.DG
On a partially overdetermined problem in a cone
我们证明了刚性的Serrin的超定问题中的一个锥，包含在一个半空间中的任意尺寸。在锥是一个epigraph的特殊情况下，这个结果以前在低维用不同的方法显示。
2017-07-18 math.AP
Wulff shape characterizations in overdetermined anisotropic elliptic problems
研究了可能各向异性退化椭圆型偏微分方程的超定问题，包括著名的Serrin超定问题，并利用积分恒等式和一个点态不等式证明了相应的Wulff形特征.我们的技术提供了一种统一的方法来解决这些问题。
2017-03-21 math.AP
Overdetermined problems for fully nonlinear elliptic equations
我们证明了在有界区域$Ω$中的一个完全非线性椭圆方程解的存在性，该区域具有一个超定边界条件，该超定边界条件规定Dirichlet和Neumann常数数据迫使该区域$Ω$是一个球。这是Serrin 1971年经典结果的推广。
2013-06-27 math.AP
Overdetermined problems for fully non linear operators
本文考虑了具有Dirichlet和Neumann条件的有界光滑区域上的完全非线性奇异或退化椭圆算子的超定问题，与Serrin的经典结果一样，我们证明了非平凡常数符号解的存在性意味着该区域是一个球.
2011-05-27 math.AP
A Serrin-type problem with partial knowledge of the domain
我们提出了一个定量估计的径向对称配置有关的Serrin型超定问题的扭转刚度在有界域$Ω$，当该方程是已知的$Ω\setminus \overlineω$只有一些开放的子集$ω\Subset Ω$。这个问题有具体的动机，在最佳加热故障，层流和光束与小的不均匀性。
2020-05-11 math.AP
Serrin's overdetermined problem for fully nonlinear non-elliptic equations
令$u$表示有界单连通域$Ω\subset R^2$上旋转不变Hessian方程$F(D^2u)=0$的解，其中$\partial Ω$上具有常数Dirichlet和Neumann数据。本文证明了：如果$u$是实解析的且不恒零，则$u$是径向的，$Ω$是圆盘.全非线性算子$F\not\equiv 0$是一般类型的，特别是不假定是椭圆的.我们还表明，结果是尖锐的，在这个意义上，它是不正确的，如果$Ω$不是单连通的，或者如果$u$是$C^{\infty}$，但不是真正的分析。
2019-02-05 math.AP math.DG
Stability results for nonlocal Serrin-type problems, antisymmetric Harnack inequalities, and geometric estimates
本文研究了非局部偏微分方程的对称性与几何性质，包括由分数阶拉普拉斯算子驱动的超定问题、反对称解的 Harnack 不等式及分数阶平均曲率的几何估计。
2025-07-12 math.AP
Serrin-type overdetermined problem for the $p$-Laplacian with Robin boundary conditions
Scuola Superiore Meridionale（南方高等学院）；Università degli Studi di Verona（维罗纳大学）
本文研究带Robin边界条件的p-Laplacian的Serrin型超定问题，通过新积分恒等式证明解的对称性，并得到类似Serrin和Alexandrov定理的刚性结果。
2026-09-25 math.AP math.DG
A bifurcation analysis on a nonlocal overdetermined problem
该研究针对含Kirchhoff型非局部项的Serrin型超定问题，明确了不同分岔参数取值下解的精确数量，并分析了大参数情形下解的分岔曲线渐近性质，丰富了非局部超定问题的分岔理论结果。
2024-12-12 math.AP
Linear stability estimates for Serrin's problem via a modified implicit function theorem
我们研究Serrin的经典超定问题的扰动下的Neumann边界条件。常Neumann边界条件的问题的解决方案存在的基础域是一个球。问题是，对于常数的扰动，是否仍然存在允许问题解的域。此外，人们可能会问，一个允许扰动问题的解的域是否在平移之前是唯一的，以及它是否靠近球。我们发展了一个新的隐函数定理的一对Banach三元组，适用于非线性问题的损失的衍生物，但在考虑点。结合对线性化算子的详细分析，证明了扰动超定问题存在解的区域的存在性和局部唯一性。此外，建立了区域形状的最优线性稳定性估计。
2021-03-12 math.AP
Serrin's problem and Alexandrov's Soap Bubble Theorem: enhanced stability via integral identities
我们考虑Serrin的超定问题的扭转刚度和Alexandrov的肥皂泡定理。我们提出了新的积分恒等式，这两个问题之间表现出很强的相似性，并有助于获得更好的（在某些情况下最佳）的径向对称配置的定量估计。肥皂泡定理的估计得益于Serrin问题的估计。
2017-09-06 math.AP
Exact solution structures on some nonlocal overdetermined problems
Osaka Metropolitan University（大阪公立大学）
本文研究了带有非局部项的过定问题的解结构，证明了解的数量与超越方程相同，并通过唯一解获得显式解形式。
2025-12-17 math.AP
Serrin problems with vertical boundary behavior
Universidad de Alicante（阿利坎特大学）；Università degli Studi di Padova（帕多瓦大学）
研究一类含垂直边界条件且强迫梯度爆破的Serrin型超定问题，确定其在球上有解的范围，证明在此范围内解域为球且解由明确径向分布唯一确定。
2026-07-22 math.AP
On a two-phase Serrin-type problem and its numerical computation
本文考虑一类关于散度型算子的Serrin型超定问题，该算子具有分段常系数。利用依赖于形状导数的扰动变元和隐函数定理，给出了在径向对称位形附近唯一可解的充分条件。这个问题也处理数值，通过一个基于Kohn-Vogelius功能的最速下降算法。
2021-09-13 math.AP
Overdetermined problems for the normalized $p$-Laplacian
将Serrin和Weinberger关于Laplacian算子的对称性结果推广到高度退化的对策论$p$算子，证明了当$Ω$是球时，$-Δ_p^Nu=1$在$Ω$，$u=0$和$\tfrac{\partial u}{\partialν}=-c\neq 0$在$\partialΩ$上的黏性解只能存在于有界区域$Ω$上.
2018-01-05 math.AP
A characterization of capillary spherical caps by a partially overdetermined problem in a half ball
本文研究Guo-Xia提出的Serrin型部分超定问题，证明了一个刚性结果，刻画了半圆球中的毛细球冠。
2024-08-19 math.AP
Nearly optimal stability for Serrin's problem and the Soap Bubble theorem
我们提出了新的定量估计的径向对称配置有关Serrin的超定问题的扭转刚度，亚历山德罗夫的肥皂泡定理，和其他相关问题。新的估计改进了我们以前的两篇文章中获得的估计，并且在某些情况下是最优的。
2019-12-16 math.AP
A general integral identity with applications to a reverse Serrin problem
该研究提出新的通用微分与积分恒等式，推广了此前Serrin问题相关公式，并首次引入反向Serrin问题，证明其定量对称性结果，还得到对应Poisson方程解的刚性结果。
2024-05-15 math.AP
Symmetry and asymmetry in a multi-phase overdetermined problem
本文研究多相超定扭转问题中的径向对称性条件，证明两相情形需要两个边界超定条件才能保证径向对称，并进一步构造出三层及以上多相问题中满足可数无穷多个超定条件的非径向构型，揭示了对称性随相数增加而失效的现象。
2023-04-12 math.AP
The Soap Bubble Theorem and a $p$-Laplacian overdetermined problem
本文考虑正则有界区域$Ω\subset\mathbb R^N$上的$p$ -Laplacian方程$-Δ_p u=1$，在齐次Dirichlet边界条件下，具有$N\ge2$.利用Alexandrov的肥皂泡定理和Serrin关于超定问题的对称性结果，证明了如果$\partialΩ$的平均曲率$H$为常数，则$Ω$为球，Dirichlet $p$ -Laplacian问题的唯一解为径向解.使用的主要工具是积分恒等式、$P$函数和最大值原理。
2019-03-03 math.AP
A Serrin-type symmetry result on model manifolds: an extension of the Weinberger argument
在非负里奇曲率的模型流形上，考虑了方程$Δu=-1$的超定边值问题的经典“Serrin对称性结果”.使用温伯格经典的论点的延伸，我们证明了一个欧几里得对称性的结果下，一个合适的“兼容性”的假设之间的解决方案和几何模型。
2018-11-13 math.AP math.DG
Alexandrov, Serrin, Weinberger, Reilly: simmetry and stability by integral identities
标题中的专有名词与著名的肥皂泡定理和某些超定边值问题中的径向对称性的有影响力的证明有关。我们将对这些结果作一个简要的回顾，并指出它们的一些分支。我们还将展示最近的证明如何揭示相关问题的稳定性结果。
2017-09-26 math.AP
Counterexamples to Symmetry for Partially Overdetermined Elliptic Problems
我们展示了几个反例表明，著名的Serrin的对称性半线性椭圆超定问题的结果可能不成立的部分超定问题，也就是说，当Dirichlet和Neumann边界条件只规定的部分边界。我们的反例启发了前两位作者对这类部分超定组的正对称性结果，并证明了他们的假设。
2009-02-17 math.AP math.OC
Radial symmetry and partially overdetermined problems in a convex cone
利用适当下调和函数$P$的最大值原理和积分恒等式，得到了空间型中凸锥中部分超定边值问题解的径向对称性.在维数$2$中，我们证明了凸锥外部分超定问题的Serrin型结果。进一步，我们得到了锥上一类具有混合边界条件的本征值问题的Rellich恒等式.
2020-09-01 math.AP math.DG
Overdetermined problems and constant mean curvature surfaces in cones
我们考虑了部分超定问题的扇形域$Ω$在锥$Σ$在$\mathbb{R}^N$，$N\geq 2$，并证明了刚性结果的Serrin型显示，存在一个解决方案意味着$Ω$是一个球形部门，下凸假设的锥。我们还考虑了与之相关的刻画具有边界的常中曲率紧致曲面$Γ$的问题，这些曲面满足关于锥$Σ$的“胶合”条件。证明了如果锥是凸的或曲面是径向图，则$Γ$必是球冠。最后，我们证明了，在域或曲面的相对边界与圆锥正交的条件下，不需要其他假设。
2018-05-07 math.AP
A discrete-time overdetermined problem for the heat equation
本文研究热方程的离散时间过定问题，探讨在离散无限时间点上施加恒定流量条件时，域为球体的必要条件，同时分析几何与谱信息的关联及方法的通用性。
2026-04-22 math.AP
An anisotropic Serrin's problem in general domains
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
研究各向异性拉普拉斯算子的超定问题，在弱均匀可整流性假设下，证明解存在当且仅当域是反射Wulff形状的平移和缩放。
2026-06-23 math.AP
A miscellanea of qualitative and symmetry properties of the solutions to the two-phase Serrin's problem
针对形状优化驱动的两相Serrin超定边值问题，研究复合梁扭转刚度与体积约束下最优构型性质，通过移动平面法等证明无局部极小值、无外伸分支、外边界无平坦部分，且同心球是两组不同电导率下的唯一容许解。
2024-11-01 math.AP
Serrin's overdetermined theorem and weak Bernoulli laws without Alt--Caffarelli regularity
Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
本文研究几何不规则领域中的分布Bernoulli型条件，证明了在无Alt-Caffarelli正则性假设下，存在非球形有限周长领域满足弱Bernoulli定律，但表面密度界失效，从而反驳了Serrin型过定问题。
2026-06-08 math.AP math.CV
A note on the Prodi-Serrin conditions for the regularity of a weak solution to the Navier-Stokes equations
研究了Navier-斯托克斯方程弱解的正则性.目的是研究放松的Prodi-Serrin条件，以获得t > 0的正则性。结果中最有趣的方面是，初始数据$v_0\in J^2(\OO) J2(Ω)$不需要兼容性条件。
2017-06-05 math.AP
Why are the solutions to overdetermined problems usually "as symmetric as possible"?
本文利用隐函数定理研究了形泛函非退化临界点的对称性。我们证明了，如果一个形状功能是不变的一些连续的旋转群，那么它的非退化临界点（有界开集足够光滑的边界）共享相同的对称性。我们还考虑的情况下，形状功能表现出平移不变性，除了旋转不变性。最后，我们研究了这一结果在Serrin型单/两相超定问题理论中的应用。在此基础上，我们给出了一个简单的证明，证明了球是唯一的非退化的临界点的拉格朗日相关的最大化问题的扭转刚度下的体积约束。我们注意到，证明不依赖于移动平面或重排技术的方法。
2022-12-02 math.AP
On the Dirichlet and Serrin problems for the inhomogeneous infinity Laplacian in convex domains: Regularity and geometric results
给定$\mathbb{R}^n$的一个开有界子集$Ω$，它是凸的并且满足一个内球面条件，我们考虑$Ω$中的pde $-Δ_{\infty} u = 1$，服从$\partial Ω$上的齐次边界条件$u = 0$.我们证明了这个Dirichlet问题的唯一解是幂凹的（精确地说，是3/4凹的），并且它是$C ^1(Ω)$类的。然后研究了在$\partial Ω$上附加额外边界条件$|\nabla u| = a$得到的超定Serrin型问题;通过使用适当的$P$函数，我们证明，如果$Ω$满足与上述相同的假设并且另外包含在两个直径点处具有接触$\partial Ω$的球，则该Serrin型问题的解的存在意味着切割轨迹和$Ω$的高脊必然重合。反过来，在维度$n=2$中，这需要$Ω$必须是类似体育场的域，并且特别地，在其边界是$C^2$类的情况下，它必须是球。
2015-05-02 math.AP
Notes on Overdetermined Singular Problems
本文研究有界区域中奇异解的超定边值问题，并获得了若干刚性结果。
2023-12-12 math.AP
Hessian operators, overdetermined problems, and higher order mean curvatures: symmetry and stability results
本文将Serrin对称性结果与Alexandrov肥皂泡定理的联系扩展至Hessian算子超定问题与常高阶平均曲率边界，提供新对称性结果、定量稳定性估计及多种替代证明。
2025-05-29 math.AP
A rigidity problem on the round sphere
本文考虑旋转对称空间中的一类超定问题，在欧几里得空间中，这类超定问题化为经典的Serrin超定问题.我们证明了一些一般的旋转对称空间的积分恒等式，这意味着刚性的情况下的圆形球的结果。
2015-12-24 math.AP math.DG
